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• Estefani Agudelo

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El concepto del valor esperado (VE) se utiliza en la estadística para determinar cuán beneficiosa o perjudicial podría ser una acción. El cálculo del valor esperado puede utilizarse en las estadísticas numéricas, en las apuestas u otros contextos que involucren la probabilidad, en las inversiones en la bolsa o en otras situaciones en las que pueda haber diferentes resultados. Puedes calcular el valor esperado de una situación identificando primero cada resultado posible y también la probabilidad de que cada uno de ellos ocurra. Esperanza matemática Definición: Llamamos esperanza matemática (también conocida como esperanza, valor esperado, media poblacional o simplemente media) al número que expresa el valor medio de un fenómeno aleatorio. Denotamos la esperanza de una variable aleatoria X como: μ=E[X].

Propiedades: Podemos decir que la esperanza es lineal, ya que cumple las propiedades lineales. Dados a, b y c números reales (constantes), y sean X e Y variables aleatorias, se cumple: 1. La esperanza de una constante en la misma constante: E[c]=c. 2. La esperanza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus esperanzas: E[ X+Y]=E[X]+E[Y]. 3. La esperanza del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por la esperanza de la variable aleatoria: E[aX]=aE[X]. 4. De las propiedades anteriores se deduce que: – E[aX+b]=aE[X]+b – E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

ESPERANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(X=x), la esperanza de X viene dada por: E[X]=∑xi∙P(X=xi)=x1∙P(X=x1)+………+xn∙P(X=xn). Ejemplo: Vamos a jugar a un juego con nuestros amigos que consiste en lanzar dos monedas. Cuando salen dos caras recibimos 3 euros, si sale una cara recibimos 1 euro y si no sale ninguna cara pagamos 5 euros.¿Cuál es la ganancia media del juego? 1º) En primer lugar, tenemos que hallar la función de probabilidad. Para ello estudiamos los valores que toma nuestra variable aleatoria X y la probabilidad con que lo hace:

X={3,1,-5} P(X=3)=P(salir dos caras)=1/2∙1/2=1/4. P(X=1)=P(sacar una cara)=P(sacar cara y cruz)+P(sacar cruz y cara)= 1/2∙1/2+ 1/2∙1/2=2/4=1/2 P(X=-5)=P(no sacar ninguna cara o sacar dos cruces)=1/2∙1/2=1/4. Por tanto la función de distribución queda de la siguiente manera: Luego la esperanza es: E[X]=3∙P(X=3)+1∙P(X=1)+(-5)∙P(X=-5)=3∙1/4+1∙1/2+(-5)∙1/4=0. Observación: Si la media obtenida en un juego, que en este caso corresponde con el dinero que hemos ganado, es 0, entonces se denomina juego justo (ni ganas ni pierdes). Cuando la media es mayor que cero (μ > 0) se dice que es un juego con ventaja; y cuando la media es menor que cero ( μ < 0) es un juego en desventaja.

ESPERANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), la esperanza de X se calcula como:

Ejemplo: Sabemos que la altura de un cierto árbol sigue una distribución continua con la siguiente función de densidad: f(x)=x/12, cuando 1