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CURSO: GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA Tema

CURVAS PARAMÉTRICAS

:

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

Las

leyes

de

Newton y las matemáticas avanzadas

se

pueden utilizar para determinar

la

trayectoria de un proyectil. Si v0 es la velocidad inicial del proyectil que forma un ángulo  con la horizontal y a0 es la altitud inicial del proyectil (ver figura arriba), sin considerar la resistencia del aire, la trayectoria del proyectil está dada por el par de ecuaciones:

  x   v0 cos   t , 0  t  b ………………………………………………(I)  2 y  a  v sin  t  4.9 t    0 0  Donde: la variable t llamada parámetro representa el tiempo en segundos, x e y son las distancias medidas en metros. Eliminando el parámetro t en estas ecuaciones se obtiene:

y  a0   tan   x 

4.9 x 2 ……………………………………...(II) 2 v0 cos  2

La ecuación (II) corresponde a una parábola. Esta ecuación en x e y describe la trayectoria que sigue el proyectil, pero nos dice poco acerca de su vuelo. Por otro lado, las ecuaciones paramétricas (I) no sólo determinan la trayectoria del proyectil sino que también nos dirán dónde está en todo momento t. Las ecuaciones paramétricas se puede utilizar para determinar la velocidad y aceleración del proyectil en cualquier instante t. Esto ilustra otra ventaja de representar las curvas planas mediante ecuaciones paramétricas.

CURVA PLANA 1 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

Definición Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I   a, b , entonces a las ecuaciones

x  f (t ) , y  g (t )

se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de puntos

( x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I   a, b se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es lo que se llama una curva plana C (gráfica arriba). Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas, se trazan puntos en el plano XY. Cada conjunto de coordenadas  x; y  está determinado por un valor elegido para el parámetro t . Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t , la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la orientación de la curva. Ejemplo1 Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas: x  t 2  2t

y  t 1

Solución: Cada valor de t da un punto sobre la curva, como se muestra en la tabla. Por ejemplo, si t  0 , en tal caso x  0 , y  1 ; así, el punto correspondiente es  0;1 . En la figura 1 se grafican los puntos  x; y  determinados por varios valores del parámetro y se unen para producir una curva.

2 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

t

x

y

-2

8

-1

-1

3

0

0

0

1

1

-1

2

2

0

3

3

3

4

4

8

5 Figura 1

Una partícula cuya posición está dada por las ecuaciones paramétricas, se mueve a lo largo de la curva en la dirección de las flechas a medida que se incrementa t . Note que los puntos consecutivos marcados en la curva aparecen a intervalos de tiempo iguales, pero no a iguales distancias. Esto es porque la partícula desacelera y después acelera a medida que aumenta t .

Ejemplo2 En el ejemplo 1 el parámetro t fue irrestricto, esto es t es cualquier número real. Pero algunas veces t se restringe a estar en un intervalo finito. Por ejemplo, la curva paramétrica x  t 2  2t

y  t  1,

0t 4

Mostrada en la figura 2 es la parte de la parábola del ejemplo1 que comienza en el punto  0;1 y termina en el punto  8;5  . La cabeza de la flecha indica la dirección en la se traza la curva cuando

t crece de 0 a 4. Figura 2

En general, la curva con ecuaciones paramétricas x  f (t )

y  g (t ),

a t b

Tiene punto inicial  f (a), g (a)  y punto terminal  f (b), g (b)  .

3 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

Ejemplo3 (Trazado de una curva) Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas x  t2  4 y y 

t 2

 2  t  3.

,

Solución: Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntos  x; y  que se muestran en la tabla.

t

-2

-1

0

1

2

3

x

0

-3

-4

-3

0

5

y

-1

0.5

0

0.5

1

1.5

Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de g se obtiene la curva C que se muestra a continuación.

Figura3

Figura 3

Ejemplo4 A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la misma gráfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramétricas x  4t 2  4 ,

y t

,

1  t 

3 2

4 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

Figura 4

Tiene la misma gráfica que el conjunto dado en el ejemplo (3). Sin embargo, al comparar los valores de t en las figuras (3) y (4) se ve que en la segunda gráfica se traza con mayor rapidez (considerando a t como variable tiempo) que la primera gráfica. Por lo tanto, se pueden emplear distintas ecuaciones paramétricas para representar las diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria determinada.

Ejemplo5 Determine la gráfica de la curva x  cos t , y  sent , 0  t  2

Solución:

La tabla anterior muestra los valores de x e y que corresponden a los múltiplos de  4 para el parámetro t .Estos valores dan los ocho puntos graficados en la figura siguiente, los cuales

5 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

están en la circunferencia unitaria y lo cual se puede verificar aplicando la siguiente identidad trigonométrica: x2  y 2  cos2 t  sen2t  1.

Así como en el caso anterior del ejemplo 3, esta gráfica también tiene otra representación paramétrica, la cual se da a continuación:

x

1 t2 1 t2

,

y

2t , 1 t2

  t  

Y esto se puede ver ya que cumple x 2  y 2  1.

ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO Si se elimina el parámetro t del par de ecuaciones (1), se obtiene una ecuación en x y y , denominada ecuación cartesiana o rectangular de C . El parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo (1) se puede eliminar como sigue:

6 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x  4 y 2  4 , representa una parábola con un eje horizontal y vértice en  4;0  cómo se ilustra en la figura 2. El rango de x e y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas.

Ejemplo6

Obtenga una ecuación cartesiana de la curva definida por las ecuaciones

paramétricas

x  2t  3

,

y  4t  1

y dibuje la curva. Solución: El parámetro t se elimina de las dos ecuaciones al resolver la primera ecuación para t , obteniéndose

t

1 3 x 2 2

Y sustituirlo en la segunda ecuación:

3 1 y  4 x   1 2 2

y  2x  5 La gráfica de esta ecuación es una recta. Observe en las ecuaciones paramétricas que conforme t crece también los hacen x e y . Por tanto, una partícula que se mueve sobre la recta va hacia arriba y a la derecha, indicada en la figura mediante la flecha.

7 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

En general, la gráfica de cualquier par de ecuaciones paramétricas de la forma

x  at  b

,

y  ct  d

donde a  0 o c  0 , es una recta.

Ejemplo7 (Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro) Dibujar la curva representada por las ecuaciones

1 t 1

x

,

y

t , 1 t

t  1

Eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante. Solución: Para empezar, se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación.

x

1 t 1

x2 

1 t 1

t 1 

1 x2

Ecuación paramétrica

1  x2 t 2 x Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y , se obtiene

8 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

1 t 1 (1  x 2 ) x 2 y [(1  x 2 ) x 2 ]  1 y

y  1  x2

Ecuación paramétrica para y Sustitución de t por (1  x 2 ) x 2 . Simplificar

La ecuación rectangular y  1  x 2 , está definida para todos los valores de x . Sin embargo, en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para t  1 . Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se ilustra en la siguiente figura.

Figura 3 En un conjunto de ecuaciones paramétricas, el parámetro no necesariamente representa el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ángulo como parámetro.

Ejemplo8 (Emplear trigonometría para eliminar un parámetro) Dibujar la curva representada por

x  3cos y y  4sen ,

0    2

al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

Solución: Se despejan cos y sen de las ecuaciones dadas.

9 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

cos 

x 3

y

sen 

y 4

Despejar cos y sen

A continuación, se hace uso de la identidad cos2 t  sen2t  1. para formar una ecuación en la que solo aparezcan x y y . 2

cos2 t  sen2t  1



2

 x  y      1 3  4



x2 y 2  1 9 16

Ecuación rectangular

En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en  0;0  con vértices en  0;4  y  0; 4  y eje menor de longitud 2b  6 , como se muestra en la figura siguiente

Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El empleo de la técnica presentada en el ejemplo8, permite concluir que las gráficas de las ecuaciones paramétricas

x  h  a cos y y  k  bsen 0    2 Corresponde a una elipse (trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj) dada por

10 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

2

2

 xh  yk      1  a   b 

La gráfica de las ecuaciones paramétricas:

x  h  a sen

y

y  k  b cos

0    2

También corresponden a una elipse (trazada en sentido de las manecillas del reloj) dada por 2

2

 xh  yk      1 .  a   b 

HALLAR ECUACIONES PARAMÉTRICAS En los ejemplos anteriores hemos desarrollado técnicas que nos han permitido dibujar la gráfica que representa un conjunto de ecuaciones paramétricas. Ahora inverso, es decir, determinaremos un conjunto de ecuaciones paramétricas a partir de descripción física o una gráfica dada. Ejemplo9 (Parametrizando una recta) Una recta por ejemplo puede ser descrita por

x  2 y  1 . Luego si lo expresamos como: x 1 2 x 1 y  2 2 y

Podemos decir que t 

x , entonces x  2t 2

Finalmente la parametrización queda:

1  y  t  2   x  2t

t  R

Ejemplo10 (Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada) Hallar un conjunto de 2 ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y  1  x

a) t  x

b) la pendiente m 

dy en el punto ( x, y ) dx

Solución:

11 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

a) Haciendo t  x se obtienen las ecuaciones paramétricas

x  t y y  1  x2  1  t 2 . b) Para expresar x e y en términos del parámetro m , se puede proceder como sigue. m

dy  2 x , derivada de y  1  x 2 dx

x

m , 2

despejar x

Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x . Para obtener una ecuación paramétrica para y , en la ecuación original se sustituye x por m 2 .

y  1  x2

Escribir la ecuación rectangular original

 m y  1     2

2

y  1

Sustitución de x por 

m2 4

m 2

Simplificación

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son haremos el caso

x

m 2

y

y  1

m2 4

12 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

En la gráfica anterior se observa que la orientación de la curva resultante es de derecha a izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la pendiente m. mientras que si se toma el apartado a) la curva tendría la orientación opuesta. 2

2

 x  y Ejemplo11 Parametrizar la elipse       1 a b Solución:

x  a  cos Haciendo el siguiente cambio   y  sen  b



x  a cos y  bsen

Ejemplo12 (Ecuaciones paramétricas de una cicloide) Determinar la curva descrita por un punto P en la circunferencia de un círculo de radio a que rueda a lo largo de una recta en el plano. A estas curvas se les llama cicloides.

Solución: Sea  el parámetro que mide la rotación del circulo y supóngase que al inicio el punto

P  ( x, y) se encuentra en el origen. Cuando   0 , P se encuentra en el origen. Cuando

13 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

   , P está en un punto máximo ( a,2a) . Cuando   2 , P vuelve al eje x en

 2 a;0  . En la figura siguiente se ve que APC  1800  

Por tanto,

sen  sen(180   )  sen(APC ) 

AC BD  a a

cos   cos(180   )   cos(APC )  

AP a

Lo cual implica que

AP  a cos( )

y

BD  asen .

Como el círculo rueda a lo largo del eje x , se sabe que OD  arco( PD)  a . Además, como BA  DC  a , se tiene x  OD  BD  a  asen y  BA  AP  a  a cos  .

Por tanto las ecuaciones paramétricas son x  a  asen  a (  sen ) y  a  a cos  a (1  cos  )

Parametrización de las cónicas a) Parametrización de la circunferencia: Consideremos la ecuación ordinaria o rectangular de la circunferencia:

 x  h 2   y  k 2  R 2 Sean C (h, k ) el centro de la circunferencia y R su radio, luego se parametriza por:  x  h  R cos( ) ,   0, 2    y  k  Rsen( )

14 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

b) Parametrización de la elipse: Consideremos la ecuación ordinaria o rectangular de la elipse:

 x  h 2   y  k 2 a2

b2

1

Sea C (h, k ) su centro, luego la elipse se parametriza por:

 x  h  a cos( ) ,   0, 2    y  k  bsen( ) c) Parametrización de la hipérbola: Consideremos la ecuación ordinaria o rectangular de la hipérbola:

 x  h 2   y  k 2 a2

b2

1

Sea C (h, k ) su centro, luego la hipérbola se parametriza por: 1. hipérbola con eje focal paralelo al eje X

 x  h  a sec( )       3  ,    ,    ,    2 2 2 2   y  k  b tan( ) 2. hipérbola con eje focal paralelo al eje Y

 x  h  a tan( )       3  ,     ,    ,  o bien   2 2 2 2   y  k  b sec( )  x  h  a cot( ) ,    0, 2      y  k  b csc(  )  d) Parametrización de la parábola: Sea la ecuación rectangular de la parábola y  ax2  bx  c la forma más sencilla de parametrizarlo es:

 x  t , t  2 y  at  bt  c  

15 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. grafique las curvas siguientes dadas en su forma paramétrica, hacer una tabla con una cantidad razonable de puntos:

 x t   t 2  4  a.  1 3 , y t  t     2

t   3,3

3   x  t   t  2t  4 b.  , y t  t  1    

t   2, 2

c.

 x t   t 2   1,  y t   t 

d.

  x  t   4sin t , t   0, 2   y t  4cos t    

e.

  x  t   5cos t , t   0, 2   y t  3sin t    

f.

  x  t   sec(t ) , t   0, 2   y t  tan( t )    

t   3,3

 xy  c 2  2. Verifique que las hipérbolas  x 2 y 2 , pueden ser parametrizadas por:  2  2 1 a b  x  t   ct   c  y t   , t  t 

 0

y

 x  t   a sec(t )      y  t   b tan(t ) , t   2 ; 2 

Respectivamente. 3. Encontrar la ecuación cartesiana de cada una de las curvas dadas paramétricamente por estas ecuaciones. a.

 x  t   t  4   y  t   1  2t

3  x t   t b.   y  t   4t  c.

 x  t   t  1  2  y  t   t  2

 x  t   t 2 3  y  t   t

d. 

 x  t   t 2  1 3  y  t   t  2

e. 

f.

 x t   t 2   2  y t   t 

16 Ingeniería Civil, Geológica y Minas 2014-0

1 t   x  t   t g.   y t   1  t  t

 x  t   sin t  y  t   cos 2t

h. 

j.

 x  t   3cos t   y  t   5cos 2t

k.

x  2sec t , y  3tan t

l.

x

1 t 2t , y 1 t 1 t

 x  t   3cos t   y  t   4sin t

i.

4. (Folium de Descartes) Parametrizar la curva cuya ecuación rectangular es 3 y 2  a  x   x 2  x  3a  , a  0 . Haciendo y  tx . 5. (Lemniscata de Bernoulli) Parametrizar la curva cuya ecuación rectangular es

x

2

 y 2   a 2  x 2  y 2  , a  0 . Haciendo y  xsent 2

6. El punto Q se encuentra sobre la curva x 

2t , 2t

y

3  2t . Si la abscisa de Q es 4, 2t

hallar su ordenada. 7. La curva x  at 2  3, y  a(t  2) contiene el punto (17,0). Hallar el o los valores de a. 8. Mostrar que los dos pares de ecuaciones paramétricas representan la misma recta. Encuentre su ecuación cartesiana. a.

x  1  t,

y  3  2t

b.

x

1 , t 1

y

t 3 t 1

9. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva dada en su forma cartesiana

y  x 4  x 2 donde  es e parámetro tal que: x  2cos

3 1  x2 10. Dada la ecuación cartesiana y  de una curva plana. Encuentre las ecuaciones x paramétricas de esta curva si:

x  sin  1 b. x  t a.

11. En los ejercicios siguientes, encontrar la forma ordinaria de cada ecuación (cónica). Indicar el nombre de la cónica y su centro respectivamente. A continuación, utilice las Identidades trigonométricas para determinar las ecuaciones paramétricas de éstas. a) 25x2  200 x  9 y 2  18 y  616  0 b) 36 x2  360 x  4 y 2  8 y  760  0

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c) 4 x2  24 x  49 y 2  392 y  624  0 d) 16 x2  32 x  9 y 2  36 y  164  0 12. (APLICACIONES) Haciendo uso de las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento de un proyectil, dadas al inicio del capítulo, deducir las fórmulas para el tiempo de vuelo, alcance máximo y altura máxima. 13. Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30° por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y la altura máxima. hacer uso del ejercicio 12.

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