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• Ivan Hagler Becerra Vasquez

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¿Qué tiene en común las siguientes imágenes?

¿Qué clase de curva es?

¿Será alguna de las cónicas?

¿Qué es una cónica?

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA SESIÓN 1: Curvas paramétricas y sus aplicaciones DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Sede Lima Norte

Introducción ¿Qué clase de curva es utilizada en esta rampa? ¿Por qué de importancia?

su

¿en que estructuras o construcciones están presentes dichas curvas?

Saberes previos •

¿Qué es una cónica?

•

¿Diga cuáles son las cónicas?

•

¿Qué métodos conoces para graficar una ecuación en dos variables?

LOGRO

Al finalizar la sesión, el estudiante identifica, grafica y hace conversiones de ecuaciones paramétricas a cartesianas y viceversa, en el plano cartesiano 𝑅2 y en el espacio tridimensional 𝑅3 . Hace uso de las ecuaciones de conversiones y técnicas de gráficos como la tabulación y por eliminación del parámetro de manera correcta y ordenada.

Contenidos

1)

Curva paramétrica

2)

Conversión de ecuaciones cartesianas a paramétricas

y viceversa. 3)

Curvas paramétricas de algunas cónicas.

4)

Aplicaciones de la ecuación paramétrica.

1. Curva Paramétrica en el Plano Considere una partícula que se desplaza describiendo una curva C en el plano. Si f y g son funciones contínuas definidas en I ⊂ ℝ , entonces se puede describir el movimiento de la partícula especificando sus coordenadas (x,y) como función del tiempo 𝑡:

𝑥 = 𝑓(𝑡) ,,,𝑡 𝜖 I 𝑦 = g(𝑡)

Ecuaciones Paramétricas de parámetro 𝒕

ℝ Es decir, en el instante 𝑡 , la partícula se encuentra en el punto

𝑓 𝑡 , g(𝑡)

I

𝑦

curva C

𝑡 𝑓 𝑡 , g(𝑡)

Parametrización

y se dice que C es una curva paramétrica

𝑥

EJEMPLO 1 𝑥 = 𝑡2 Graficar la curva 𝑪: 𝑦 = 𝑡 3 , , , −1 ≤ 𝑡 ≤ 2

8 𝑡=2

7

Solución:

6

Realizamos una tabulación de algunos valores para el parámetro 𝑡

5 4

3

𝒕

𝒙

𝒚

−1

1

−1

0

0

0

1

1

1

2

4

8

2 1

𝑡=1

𝑡=0 –1

0

1

𝑡 = −1

2

3

4

EJEMPLO 2 Graficar la curva

Solución:

Realizamos una tabulación de algunos valores para el parámetro 𝑡

2 1

0

–1 –2

1

2

3

4

OBSERVACIONES: 1 2 Generalmente la parametrización

3

se escribe como

4

La parametrización de una curva no es única.

5

Al parametrizar una curva se puede recorrer toda o parte de ella más de una vez. Si a partir de las ecuaciones paramétricas es posible eliminar el parámetro, entonces se obtiene una ecuación en su forma cartesiana.

6

entonces es el punto inicial y Si punto final, además se debe tener en cuenta lo siguiente:

7

B A Curva simple

es el

B A Curva no simple

A=B A B Curva cerrada no simple

AB A=B Curva cerrada

EJERCICIO 1 𝑥 = 𝑡2 − 4 𝑡 Graficar la curva 𝐶: , 𝑡 ∈ −2, 2 𝑦= 2

Solución: Realizamos una tabulación de algunos valores para el parámetro 𝑡

𝒕 −1 0 1 2

𝒙

𝒚

EJERCICIO 2 Graficar la curva 𝐶:

𝑥 = 2𝑡 − 4 , 𝑡 ∈ −1, 4 𝑦 = 3 + 𝑡2

Solución: Realizamos una tabulación de algunos valores para el parámetro 𝑡

𝒕 −1 0 1 2

𝒙

𝒚

EJERCICIO 3 Graficar la curva 𝐶:

𝑥 =𝑡−4 , 𝑡 ∈ −1, 4 𝑦 = 3𝑡 2 − 6

Obtenga la ecuación cartesiana de la cónica y grafique

Solución: Para obtener la ecuación cartesiana, utilizamos por “eliminación del parámetro t”. Consiste en escoger en una de las ecuaciones paramétricas y despejar la variable “t”:

De 𝑥 = 𝑡 − 4 → 𝑡 = 𝑥 + 4, y reemplazamos en la otra ecuación: 𝑦 =3 𝑥+4

2

−6

EJERCICIO 4 Del siguiente gráfico, hallar:  La ecuación cartesiana de la elipse.  La ecuación paramétrica de la elipse.

Solución.

ELIMINACIÓN DE PARÁMETRO 𝑥 = 𝑓(𝑡) , 𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 para transformar a una ecuación 𝑦 = 𝑔(𝑡) cartesiana o rectangular, se debe tomar en cuenta los siguientes pasos:

Dada las ecuaciones paramétricas 𝐶:

Ecuación inicial

Ejemplo:

𝑥 = 𝑡2 − 4 𝑡 𝐶: 𝑦= 2

Paso 1

𝑡 = 2𝑦

Paso 2

𝑥 = (2𝑦)2 −4

Paso 3

𝑥 = 4𝑦 2 − 4

La gráfica es una parábola

La extensión de la gráfica va de acuerdo a la variación que puede tomar el parámetro “𝑡”. Usted puede elegir cualquier ecuación paramétrica para despejar el parámetro “𝑡”.

EJEMPLO 3 Utilice alguna identidad trigonométrica para que obtenga su ecuación cartesiana y gráfico correspondiente. 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝐶: , 𝑡 ∈ 0,2𝜋 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑡) Identidad trigonométrica

𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 1

Despejando seno y coseno:

𝑥 3 𝑦 sen 𝑡 = 4

Ec. paramétrica

Sustituir

cos 𝑡 =

𝑐𝑜𝑠 2 𝑡

+

𝑠𝑒𝑛2 𝑡

𝑥 = 3

2

𝑦 + 4

𝐶:

2

=1

𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡) , 𝑡 ∈ 0,2𝜋 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑡)

Ec. cartesiana

Ecuación rectangular (una elipse)

𝑥2 𝑦2 + =1 9 16

EJEMPLO 4 Parametrice la ecuación cartesiana en sentido antihorario y grafique dicha curva 𝑥−4 2 16

+

𝑦−6 2 4

= 1.

TAREA GRUPAL

1) Parametrice la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑥1 , 𝑦1 y 𝑥2 , 𝑦2 : 𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 𝑥2 − 𝑥1 ,

𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 𝑦2 − 𝑦1 ,

2) Por eliminación del parámetro, obtenga la forma estándar o canónica de la ecuación rectangular para cada una de las siguientes ecuaciones paramétricas: a) Círculo: x  h  r cos  , y  k  rsen

b) Elipse:

x  h  a cos  , y  k  bsen

c) Hipérbola:x  h  a sec  , y  k  b tan 

d) 𝐶:

𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡) , 𝑡 ∈ 0,2𝜋 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑡)

PROBLEMA PROPUESTO 1 Grafique la siguiente ecuación paramétrica:

 x  a cos t  C :  y  asent , t  0, 4   ht z  2  Algunas interrogantes: ¿En que sentido va la curva a medida que “t” aumenta? ¿Se puede encontrar la ecuación cartesiana de la curva?

PROBLEMA PROPUESTO 2 Parametrice la curva, que es la intersección de las superficies cuyas ecuaciones son: 2 2   z c y x  C: 2 2 2  a  x  y

Sugerencia:

Puedes graficar dichas superficies y ver cual es la intersección de ambas.

25/03/2020 Ver el enlace http://www.youtube.com/watch?v=T4FJKa-iiE8 20

3. Trabajo colaborativo

En equipos de tres o cuatro estudiantes, desarrollamos las actividades propuestas en la hoja de trabajo de la sesión.

4. Metacognición  ¿Qué hemos aprendido en esta sesión?  ¿Para qué nos sirve el aprendizaje de este tema?  ¿Qué estrategias hemos empleado para el desarrollo del tema?  ¿Qué dificultades enfrentaste? y ¿cómo las solucionaste?

5. Referencias bibliográficas

N°

CÓDIGO

1

516.3 OROZ

2

516.182 ESPI/E

AUTOR OROZCO MAYREN, GILBERTO ESPINOZA, RAMOS EDUARDO

TITULO

EDITORIA L

AÑO

Geometría Analítica: Teoría y Aplicaciones.

Trillas

Geometría Vectorial en R3

2004, s.n. 2004

2007