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• Maycol Ayala

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CURVAS PARAMÉTRICAS Se denomina CURVA PLANA o CURVA PARAMÉTRICA en el plano al conjunto C de pares ordenados (x , y) que dependen de una variable t .  x  f (t )

C: 

 y  g(t )

,

t  Intervalo I

[1]

siendo f (t ) y g(t ) funciones continuas.

A la variable t se le llama PARÁMETRO y a las ecuaciones [1] ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la curva C . Si el intervalo I es cerrado , I  [a , b] , a  b , a los puntos A  (f (a ) , g(a ))

y B  (f (b) , g(b)) se les llama EXTREMO INICIAL y

EXTREMO FINAL de la curva. Si ambos extremos coinciden se tienen una CURVA CERRADA.

CURVAS PARAMÉTRICAS EJEMPLO:

 x   t

C: 

2  y  4  t

,

t  [  2 , 2]

Si eliminamos el parámetro t obtenemos la ecuación y  4  x 2

t

x

y

-2

2

0

-1

1

3

0

0

4

1

-1

3

2

-2

0

Y 4

( x ( t ) , y( t )) 2

0

2

X

CURVAS PARAMÉTRICAS La ORIENTACIÓN de una curva paramétrica está determinada por la forma en que se localizan sus puntos para valores crecientes del parámetro. Una curva del plano puede ser la gráfica de distintos pares de ecuaciones paramétricas o PARAMETRIZACIONES . EJEMPLO.- La gráfica de y  4  x 2 metrizaciones

, x [2,2]

  x  t

C1 : 

2  y  4  t 

 x  2t

C2 : 

2  y  4  4t

puede ser descrita por las para-

t  [  2 , 2]

,

,

t  [  1 , 1]

CURVAS PARAMÉTRICAS

NOTA: La ecuación rectangular y  4  x 2 no puede describir el movimiento de un objeto sobre esta parábola. En cambio, si el parámetro representa el TIEMPO, sus ecuaciones paramétricas como C 1 y C 2 sí pueden describir su POSICIÓN, su DIRECCIÓN, e incluso su velocidad y aceleración en cada punto de ella.

TIPOS DE CURVAS PARAMÉTRICAS • SIMPLE NO CERRADA

• SIMPLE CERRADA

• CERRADA NO SIMPLE

• NO CERRADA NI SIMPLE

CURVAS PARAMÉTRICAS EJEMPLO.- Se puede eliminar el parámetro t de las ecuaciones C1 :

  

x  Cos t , y  Sen t

t  [0 , 2  ]

mediante una identidad trigonométrica x 2  y2  Cos2 t  Sen 2 t  1 , para reconocer que su gráfica es una circunferencia completa de radio 1 , con orientación antihoraria.

Y 1

(t   / 2) (Cos t,Sen t )

(t   ) 1

1

(t  0) , ( t  2  )

1

 1 (t  3  / 2)

X