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• Cristian V'p

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UNASAM 

Facultad de:

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Escuela Profesional: Ingeniería de Minas

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Título:

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Integrantes:

Ingeniería de Minas, Geología y Metalurgia

La Curva Clotoide Velásquez Pareja Cristhian Jesús Camones Alberto Johan Jefferson

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Curso:

Matemática III

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Docente:

Palma León Lucio Romel

Huaraz - 2017 – Perú

CLOTOIDE Los primeros trazados de carreteras y vías férreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. Pero, cuando coches y trenes alcanzaron velocidades más altas, se producía una incómoda y peligrosa sacudida al entrar en la curva. Los ingenieros comenzaron a buscar una solución, y la encontraron en las matemáticas y la física. ¿Quieres una explicación sencilla de por qué se usa la clotoide como curva de transición? Imagina que tienes que diseñar una autovía o una vía férrea de alta velocidad. Seguro que intentarás que haya todas las rectas posibles, pero también tendrás que hacer alguna curva. Y como la más sencilla de todas es la circunferencia, lo más fácil sería ir empalmando tramos rectos con arcos de circunferencia. Algo parecido a una cinta transportadora.

Parece que así fueron los primeros trazados y, como los primeros coches y trenes no iban a mucha velocidad, todo iba bien. Pero la cosa cambió cuando los vehículos fueron capaces de alcanzar velocidades mayores. Al entrar en la curva, en las uniones entre tramos, se notaba una súbita sacudida. Mal asunto. Así que los ingenieros comenzaron a estudiar qué pasaba y cómo se podía solucionar. La respuesta es fácil de entender y sólo necesitarás dos ingredientes. El primero viene de la geometría y es el radio de curvatura, un concepto bastante intuitivo. Para una circunferencia, el radio de curvatura es simplemente el radio de la circunferencia. Para una recta puedes pensar que ésta es una circunferencia muy

grande, de radio infinito. Así el radio de curvatura de una recta será infinito. ¿Fácil, verdad? El segundo ingrediente viene de la física y es la fuerza centrífuga, cuyo significado es aún más intuitivo. Seguro que te suena que la fuerza es “masa por aceleración” y, simplificando un poco, la fuerza centrífuga resulta ser lo siguiente: 𝑭𝒄𝒇 = 𝒎𝒗𝟐 /𝒓 donde (m) es la masa, (𝑣) es la velocidad y (r) es el radio de curvatura. 

Por un lado tienes la masa y la velocidad, que en tu fórmula aparecen multiplicando. Así que cuanto más grandes sean, mayor será la fuerza centrífuga. Tiene lógica; si vas más deprisa, la fuerza centrífuga será mayor, lo mismo que si tienes mayor masa.

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Por otro lado tienes el radio de curvatura, que en tu fórmula aparece dividiendo. Así que cuanto más grande sea, menor será la fuerza centrífuga. Tiene lógica; en una recta el radio de curvatura es infinito, así que (“dividiendo entre infinito”) en una recta la fuerza centrífuga es cero. También sabes que, a igual velocidad, la fuerza centrífuga es menor en una curva “más abierta” (con mayor radio) que en otra “más cerrada”.

¿Hasta aquí está todo claro? Genial, porque entonces vas a entender enseguida qué pasaba en las uniones entre recta y circunferencia. En esos puntos el radio de curvatura (r) pasaba de ser infinito (si lo prefieres, un número muy grande) a ser un número más o menos pequeño (el radio (R) de la circunferencia). Así que en el denominador de tu fórmula había un descenso brusco… ¡y por eso se producía un aumento brusco de la fuerza centrífuga! Mal asunto. ¿Qué puedes hacer entonces? Repasando tu fórmula 𝑭𝒄𝒇 = 𝒎𝒗𝟐 /𝒓 tienes: 

La masa (m), multiplicando. Disminuir ésta requeriría adelgazar el vehículo y sus ocupantes… y bien sabes que no es fácil.

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La velocidad (𝑣), multiplicando (y además al cuadrado). Podrías ir más despacio, pero entonces tardarías más… y seguro que no te gusta.

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El radio de curvatura (r), dividiendo. El de la recta es infinito, no lo puedes cambiar. Sí podrías aumentar el radio de la circunferencia, pero entonces (como en la imagen anterior) las rectas serían más cortas… y seguro que tampoco te gusta.

Así que tendrás que pensar en otra posibilidad. ¿Se te ocurre algo? Claro que sí, podrías introducir una curva de transición entre la recta y la circunferencia. Además sería genial que, en esa transición, el radio de curvatura (r) fuera disminuyendo suavemente desde el infinito (o número muy grande) de la recta hasta el radio (R) de la circunferencia. Según tu fórmula, eso haría que la fuerza centrífuga cambiara de manera suave, en lugar de hacerlo bruscamente.

¿Así que te gustaría que el radio de curvatura (r) fuera disminuyendo a medida que la distancia (d) recorrida fuera aumentando? Espera un momento. Tienes dos cantidades… quieres que una se haga más pequeña cuando la otra se haga más grande… ¡Es lo que en el colegio llamaban cantidades inversamente proporcionales! O sea, que quieres que el radio de curvatura (r) y la distancia (d) recorrida sean inversamente proporcionales. ¿Y cómo era eso? Ah, sí, eso significaba que su producto fuera siempre el mismo número. Justo esta propiedad es la que define a la curva clotoide, que ya conocían matemáticos y físicos. Su ecuación es precisamente 𝒓 ∙ 𝒔 = 𝑪𝟐 Siendo 𝒓 el radio de la curvatura 𝒔 el desarrollo o arco 𝑪 la constante de la espiral

Espiral de Cornu o clotoide ocoloide o clotoide (x,y)=(C(t), S(t)). La espiral converge al centro de los dos remolinos extremos de la imagen, a medida que t tiende a más infinito y menos infinito

Por eso en tus carreteras y ferrocarriles las curvas suelen encadenar tramos de recta – clotoide – circunferencia – clotoide – recta. De ese modo la fuerza centrífuga va cambiando gradualmente y puedes girar el volante de forma progresiva, en vez de tener que hacerlo bruscamente. Todo lo anterior sirve también, dándole la vuelta, para la salida de una curva. Además de en carreteras y vías férreas más o menos convencionales, las clotoides se utilizan también en circuitos de velocidad y en montañas rusas.

En el campo de la minería, se puede aplicar la curva de clotoide para la fabricación de carreteras que faciliten el acceso y salida de la mina, de los diferentes vehículos de transporte empleados en minería, de modo tal que no haya un volcamiento u otro cualquier accidente. Es por esta razón, que el diseño de la vía debe realizarse considerando las características del terreno, el impacto ambiental y el impacto social como expropiaciones, el planeamiento del tráfico, la economía y financiación de la obra y otras consideraciones legales.

También puede aplicarse la curva de clotoide en la fabricación de las vías para el transporte del material dentro de las galerías y túneles, de manera que no se genere: volcamientos o turbulencias que puedan dañar los vehículos, y la caída del material dentro de estos.

Los equipos de transporte subterráneo para transporte minero de la empresa sueca GIA Industri AB, permite transportar en cada viaje hasta 34,5 metros cúbicos de material Los carros se enganchan a una locomotora GIA DHD20 diesel de alta productividad y fácil operación y servicio. El equipo opera a una velocidad máxima de 30 km por hora.