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• Johann Huerta Ramos

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Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM.

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5. CURVAS PARAMETRICAS Y POLARES 5.1. CURVAS EN FORMA PARAMETRICA 5.1.1.

Curvas en forma parametrica

Se dice que j C R™ es una curva si existe una aplicacion continua a : [ a , b ] — > R™ tal que a ( [ a , b]) = j. La aplicacion a se llama parametrizacion de la curva. a(b)

• Origen de la curva: a ( a ) • Extremo de la curva: a(b) • Sentido de la curva: el que va de a ( a ) a a(b). at b Sea j C R™ una curva parametrizada por a : [a, b] — > R™. Se dice que

• j es una curva cerrada cuando el origen y el extremo coinciden, es decir, si a(a) = a(b). • j es una curva simple cuando la parametrizacion a es inyectiva en [a, b) y en ( a , b], es decir, si a(ti) = a(t 2 ) cuando ti = t 2 con t 1 , t 2 E [ a , b ) o con ti, t 2 E ( a , b]. La curva j no es simple cuando existen puntos multiples, es decir, cuando existen t 1 , t 2 E [a, b) o t 1 , t 2 E ( a , b] tales que a(t 1 ) = a ( t 2 ) con t 1 = t 2 . Intuitivamente, una curva no es simple cuando se corta a si misma en un punto interior. La definicion de curva se extiende de modo natural al caso en que el intervalo de definicion no es cerrado o acotado. En estos casos puede ocurrir que el origen y/o extremo no se alcancen.

5.1.2.

Algunas parametrizaciones de curvas

1. El segmento que va de P ( x 1 , y 1 , z 1 ) a Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) es una curva en R 3 parametrizada por:

a : [0,1] —► R3 t —► a ( t ) = (x 1 + t(x 2 - X 1), y 1 + t(y 2 - y 1), Z 1 + t(z 2 - Z 1)) 2. Una circunferencia en el plano es una curva cerrada. Dos parametrizaciones de la circunferencia de centro

( a , b ) y radio r recorrida en sentido positivo (contrario a las agujas de reloj) son: a : [0, 2n] —► R2

( 3 : [0,1] —► R2

t — > a ( t ) = (a + r cos t , b + r sin t)

t — > 3 ( t ) = (a + r cos 2 n t , b + r sin2nt)

y otra que la recorre en sentido negativo es: R es una curva parametrizada, por ejemplo, por la aplicacioon:

a : [a, b] —> R2 t —► a(t) = ( t , f (t))

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matematica Aplicada, FI -UPM.

5.1.3.

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Curva contraria

Si j C R™ es una curva parametrizada por a : [a, b] — > R™, se llama curva contraria a la misma curva recorrida en sentido contrario. Se suele representar por — j , y una parametrizacion suya es

3 : [— b , — a ] —► R2 t —> 3(t) = a(—t)

5.1.4.

Curvas suaves

Una curva j C R™ se dice curva suave si admite una parametrizacion a ( t ) = (x1 (t),x 2 (t),... , x ™ ( t ) ) , a < t < b , derivable, siendo el vector velocidad o vector tangente a'(t)

=

(xi(t),x2(t),■■■,x'n(t))

y la velocidad: l a ' (t)l ^ ^/Xl(ty2+X2(iy2+T77+xnn(ty2

La recta tangente a la curva suave j en el punto a(to) es, en forma vectorial y parametrica: "x1 = x1(to) + tx1(to) x 2 = x 2 (to) + tx' 2 (to)

(x 1 , x 2, ■ ■ ■ , x ™ ) = a(to) + ta'(to)

x ™ = x™(to) + tx'n(to) y en forma cartesiana (cuando ninguna derivada se anula):

x™ — x ™ ( t o )

x 1 — x 1(to) x 2 — x 2 (to) x1(to)

x 2 (t o )

x ™ (t o )

En el caso particular de curvas planas la parametrizacion se suele expresar por a ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , t E [ a , b], y la recta tangente en el punto a(t o ) = ( x ( t o ) , y ( t o ) ) es

x = x(t o) + t x ' ( t o )

( x ( t ) , y ( t ) ) = (x(to ),y(to)) + t ( x , ( t o ) , y \ t o ) )

x — x(to) y — y ( t o ) x ( t o ) - y (to)

y = y(to) + t y ' ( t o ) (si x (to)

=

0e y (to)

=

0)

En este caso, son tambien de interes los puntos en los que la tangente es horizontal o vertical:

• Un punto a(t o) es de tangente horizontal si y ' ( t o ) = 0. • Un punto a(t o) es de tangente vertical si x ' ( t o ) = 0.

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM.

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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones parametricas, indica el sentido en que se recorren y esboza su grafica: (a) Segmento A B con A ( — 1 , 3) y B(4,1) (b) (x — 1) 2 + (y + 2) 2 = 1 (c) y 2 = x3 2. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones cartesianas y esboza su grafica:

x =t +1

E

,t

y = t 2 — 2t

R

(b)

™ „ s x = 2 — sin t . y = cos t

,

n