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• FRANZ ALIAGA MAMANI

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Para la cuarentena

Las Medidas de Posición, En el ámbito de la Estadística Descriptiva, se conoce como Medidas de Posición a aquellas entidades numéricas utilizadas para señalar la posición que ocupa un dato determinado, en relación con el resto de datos numéricos, permitiendo así conocer otros puntos propios de la distribución de datos, que no son inherentes a los valores centrales. Cuartiles Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. El Q2 coincide con la mediana. Datos Agrupados

Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente: k= 1,2,3 Donde: Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k n = Número de datos Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k. fk = Frecuencia de la clase del cuartil k c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente: 

El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.

Datos agrupados ejercicios Hugo G. Chang

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Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:

Dónde: L1 = límite inferior de la clase que lo contiene P = valor que representa la posición de la medida f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada. Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada. Ic = intervalo de clase 

El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.

Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:

Dónde: L1 = límite inferior de la clase que lo contiene P = valor que representa la posición de la medida f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada. Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada. Ic = intervalo de clase 

El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.

Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:

Dónde: L1 = límite inferior de la clase que lo contiene P = valor que representa la posición de la medida Datos agrupados ejercicios Hugo G. Chang

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f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada. Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada. Ic = intervalo de clase. Deciles Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos. Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc. Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para fijar el aprovechamiento académico. Datos Agrupados Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.

k= 1,2,3,... 9 Dónde: Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datos Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k. fk = Frecuencia de la clase del decil k c = Longitud del intervalo de la clase del decil k Otra fórmula para calcular los deciles: 

El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40%, de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.

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

El quinto decil corresponde a la mediana.



El noveno decil supera al 90% y es superado por el 10% restante.

Donde (para todos): L1 = límite inferior de la clase que lo contiene P = valor que representa la posición de la medida f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada. Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada. Ic = intervalo de clase.

Percentiles Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos os percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99. Datos Agrupados Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula: Datos agrupados ejercicios Hugo G. Chang

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k= 1,2,3,... 99 Dónde: Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datos Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k. fk = Frecuencia de la clase del decil k c = Longitud del intervalo de la clase del decil k Otra forma para calcular los percentiles es: 

Primer percentil, que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.



El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones.



El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.

Ejercicios resueltos

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Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla: intervalo [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

fi 8 10 16 14 10 5 2 65

Fi 8 18 34 48 58 63 65

Cálculo del primer cuartil Buscamos

el

multiplicando

intervalo

donde

por

se

encuentra

el

cuartil,

y dividiendo por .

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas contiene a .

primer

La clase de

el intervalo que

es:

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Cálculo del segundo cuartil Buscamos multiplicando

el

intervalo por

donde

se

encuentra

el

segundo

cuartil,

y dividiendo por .

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Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas contiene a

.

La clase de

el intervalo que

es:

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Cálculo del tercer cuartil Buscamos multiplicando

el por

intervalo

donde

se

encuentra

tercer

cuartil,

y dividiendo por .

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas contiene a

el

La clase de

el intervalo que

es:

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

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PRÁCTICA 1 adjuntar todo el procedimiento desarrollado a estas hojas, donde irán las respuestas DATOS AGRUPADOS , Me y Mo, Q⁕ P⁕ Y D⁕ 1.- hallar la , Me y Mo

=

___________

Me = ___________ Mo = ___________

2.- hallar la , Me y Mo

=

___________

Me = ___________ Mo = ___________

3.- hallar la , Me y Mo Edad Nº personas

25-35

35-45

45-55

55-65

45

23

15

3

ẍ=

___________

Me = ___________ Mo = ___________ 4.- hallar la , Me y Mo Intervalos 00-10 11-21 22-32 33-43 44-54 55-65 66-76

f 22 26 92 86 74 27 12

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=

___________

Me = ___________ Mo = ___________

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5.- hallar la , Me y Mo Intervalos

f

[60, 63)

5

[63, 66)

18

[66, 69)

42

[69, 72)

27

[72, 75)

8

=

___________

Me = ___________ Mo = ___________

6.- Calcula el Q1 Q2 Q3, de la tabla de distribución de frecuencias que corresponde al puntaje obtenido por 60 estudiantes Puntaje 43 - 51 52 - 60 61 - 69 70 - 78 79 - 87 88 - 96 total

F 9 7 10 14 12 8 60

Q1 = ______

Q2 = ______

Q3 = _____

7.- Calcule el D3 D6 D8, de la siguiente tabla de distribución de frecuencias de las edades de 80 alumnos de una institución educativa Edades 6 - 8 9 - 11 12 - 14 15 - 17 18 - 20 total F 19 15 17 20 9 80 D3= _____

D6= _______

D8= ______

8.- Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla: intervalo [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) fi

3

5

7

4

2

Hallar: a) Los cuartiles 1º y 3º.

b) Los deciles 3º y 6º.

c) Los percentiles 30 y 70 Datos agrupados ejercicios Hugo G. Chang

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Practica 2 hallar

, Me y Mo datos agrupados

1.- Aplicada una prueba de medición de la inteligencia a un grupo de 50 alumnos, las puntuaciones obtenidas son las que aquí se presentan: 45 56 78 120 100 87 75 64 89 90 46 89 100 110 69 98 87 76 45 39 77 85 45 68 88 99 75 98 65 40 66 59 48 99 103 96 110 74 101 100 65 44 89 76 94 106 55 77 89 64 2.- Teniendo en cuenta las puntuaciones obtenidas ABC del asilo lira, donde las puntuaciones fluctúan entre 0 y 20, deseamos conocer: Puntuaciones obtenidas: 18

17

7 12 15

2

19 14 15 9

6

7 10 9 4

8 11 10 13

2 7 20

9 10 13 11 2 16 8 3 9 4

10 4 10 3

3.- Las puntuaciones obtenidas tras la aplicación de un test de inteligencia a un grupo de 50 alumnos de de Bachillerato han sido: 121 135 104 79 99

82 66 115 75 77 140 130 100

41 78

113 81 45 80 66 112

85 81 116 56

115 110 97 76 89 123

112 111 80 99

108 90 112 51 67 112 112 83 112

109

112 84 126 106

137 Hallar los valores y procedimiento para comprobar su realización,

☺, enviar

3 días después al correo:

[email protected]

[email protected]

Recuerden los tres primeros en enviar tienen 2 puntos adicionales y al final de la CUARENTENA se hará un sorteo de una calculadora científica con los alumnos que fueron los primeros de cada sesión al enviar sus trabajos, los que me conocen saben que lo hare porque ya obsequie 3 calculadoras y audífonos antes,

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