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COLEGIO MAKARENKO PREPARATORIA

CÁLCULO INTEGRAL

CUADERNO DE TRABAJO

Nombre del Alumno:_______________________________________

Grupo: _____

Turno: ___________

Calificación:_____

ELABORÓ: M.C. JUAN JOSÉ ARBIZU PUGA

2019

1

PRESENTACION El desarrollo de las matemáticas es fundamental para la correcta comprensión de diversas situaciones cotidianas que pueden ser abordadas a través de la construcción geométrica o bien de la modelación matemática de dichos fenómenos, que permitan brindar una solución óptima a través de los conocimientos estudiados durante la preparatoria.

El planeamiento de estas ideas sigue un orden lógico donde el alumno poco a poco, y a partir de conceptos tan simples como la multiplicación, establece relaciones entre formas y números, reconociendo estructuras geométricas y su correspondiente simbolización algebraica, lo cual cumple con el objetivo de que sea el propio alumno, con la guía del maestro, el que pueda deducir y construir las estructuras buscadas, esto puede ser complementado mediante la solución de ejercicios extra clase y problemas en forma grupal, por equipo y finalmente individual donde el alumno reconozca sus propios avances y la importancia de este contenido para temas posteriores.

Este material tiene como finalidad servir de apoyo al alumno en la construcción de dichos conocimientos al proveerlo de una serie de ejercicios de los diversos temas abordados durante el curso para reforzar, practicar o complementar lo aprendido en el aula basándose en la primicia de que “La práctica hace al maestro”.

Lo anterior puede ser evaluado a través del desempeño del alumno en la construcción de los modelos matemáticos y de su participación activa en clase brindando soluciones numéricas o geométricas para cada una de los diferentes planteamientos hechos por el profesor.

Esperamos que este compendio de actividades te ayude a fortalecer tus experiencias y sea un pilar de apoyo en la construcción del conocimiento. Los Autores

CONTENIDO BLOQUE I. Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. BLOQUE II. Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. BLOQUE III. Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias exactas, naturales, sociales y administrativas. BLOQUE IV. Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, naturales, sociales y Administrativas. BLOQUE V Estadística Descriptiva1 BIBLIOGRAFIA

1

Bloque adicional sujeto a disponibilidad de tiempos

APLICANDO LA DIFERENCIAL PRIMER PARCIAL

Bloque I

BLOQUE I La Integral Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII 2

Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del siguiente es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos sencillas.

Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Geoffrey Leibniz (1646-1716), si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Johannes Kepler, Pierre Fermat (1601-1665), e incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.

Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y: para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.

3

I.- LA DIFERENCIAL Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x, la notación de Leibnitz, dx/dy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x). Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición está motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x)

Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: dy = m dx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ’(x), se tiene entonces: dy = f ’(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de diferencial. 4

Definición:

i. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento Δx; esto es dx = Δx.

ii. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada dy, se define como

dy = f’(x)Δx, o también, dy= f’(x) dx

EJERCICIO 1 CALCULO DE DIFERENCIALES I.- Resuelva los problemas siguientes empleando diferenciales:

1.- Aproximar

5

241

2.- El radio de un círculo crece de 10 m a 10.1m. Usar dA para estimar el crecimiento del área del círculo.

3.- El diámetro de un árbol era de 10 pulgadas. Durante el año siguiente, la circunferencia aumentó 2 pulgadas. ¿Cuánto se incremento el área de la sección transversal?

4.- Estime el volumen de material en un casco cilíndrico con una altura de 30 pulgadas, radio 6 pulgadas y espesor del casco

0.5 pulgadas.

5.- Determinar el incremento de área y de volumen que sufre un globo esférico cuando su diámetro interior cambia de 6.26 cm a 6.42 cm. (

6.- Haciendo uso de diferenciales evalué

22 .

5

V  43  r 3 , A  4 r 2 )

7.- Calcule la cantidad de material necesario para fabricar una lata de aluminio de 14 cm de altura 5.4 cm de diámetro interior y un espesor de pared de 0.15 cm considerando ambas tapas. (V

 r 2 h )

8.- Calcule la cantidad de material necesario para fabricar un tubo de cartón de 12 cm de altura 3.5 cm de radio interior y un espesor de pared de 0.2 cm (V

 r 2 h )

9.- Calcule la cantidad de material para fabricar un vaso de cristal si tiene 15 cm de altura, 3.4 cm de radio interior, un espesor de (V

0.3 cm y 0.7 cm grueso de la base

 r 2 h )

10.- El radio de la tapa circular de un pozo de alcantarillado es de 40 cm aproximadamente, con un error en la medición de 0.15cm. Utilizando diferenciales, estime el error máximo en el cálculo del área de un lado de la tapa. Calcule el error relativo y porcentual.

11.- El lado de una baldosa cuadrada mide 30cm con un error de medición de 0.15 cm. Use diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo del área. Calcule el error relativo y porcentual.

12.- Emplee diferenciales para estimar el incremento en el volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 10 a 10.1 cm. ¿Cuál es el incremento exacto en el volumen?

13.- Un globo esférico se infla con gas. Use diferenciales para estimar el incremento del área de la superficie del globo cuando el diámetro varia de 60 a 60.6 cm.

14.- Un lado de una casa tiene la forma de un cuadrado coronado por un triángulo equilátero. La base mide 48 pies con un error máximo en la medición de 1 pulgada.

6

Calcule el área del lado y use diferenciales para estimar el error máximo cometido en el cálculo. Evalúe el error relativo y porcentual.

15.- Hallar dy para las siguientes funciones.

a) y  (5  x)3 b)

2 4x ye

c) y 

sen x x

d) y  cos bx 2 e) y  arccos2x f) y  ln tan x g) 2 xy3  3x2 y  1

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/15

7

MÉTODOS

DE INTEGRACIÓN

8

Bloque II

I.- FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a, b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a, b]. Así: La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

II.- INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN. Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

9

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis». Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

donde C representa una constante llamada constante de integración.

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

Ejemplos de cálculo de integrales inmediatas

Resolución: Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.

Resolución:

Resolución:

Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

10

Por tanto,

Resolución: Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.

Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.

Resolución:

Hay que probar la certeza de la igualdad

Basta demostrar que la derivada de la función

 Recordando que

y llamando

por la derivada de un cociente, 11

Así,

Se concluye que

Por consiguiente,

IV.- TECNICAS DE INTEGRACIÓN Integración por descomposición Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:

Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

12

Segunda propiedad de las integrales La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Es decir,

Ejemplos de cálculo de integrales aplicando la técnica por descomposición

Resolución:

Son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1. Así,

Por consiguiente,

13

Resolución:

= - cos x - 3 In |cos x| + C

Resolución:

Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:

Así,

Resolución: (Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)

14

Aplicando la propiedad distributiva del producto:

Entonces,

Resolución:

Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

Por tanto,

15

Integración por cambio de variable (o sustitución)

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x

u(x

m

u(x) , la regla de la

cadena

Por tanto,

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

Ejemplos de cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

16

Resolución:

Resolución:

Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se solventa sin más que observar que

, es decir, basta multiplicar y dividir por la

constante (en este caso 2) que falta.

Resolución:

17

Resolución:

Se multiplica y se divide por 3:

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

Para resolver una integral del tipo

siendo a una constante cualquiera

se hace uso del cambio de variable, x = a · sen t. Diferenciando, dx = a · cos t dt. Así,

Por trigonometría se sabe que:

18

En consecuencia,

Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,

Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:

19

EJERCICIO 2 INTEGRALES INMEDIATAS Determina la función primitiva o integral indefinida de las siguientes funciones: Integrales Algebraicas

1)

2)

3)

 x dx 4

dx  x2 dx 3x (4x 2 -2 x )dx x

4)



5)



axdx

6)



dx 2x

7)



a  bxdx

8)

( x  4)dx  2x  3

9)

dy a  by



10)

2 2 x (2  x ) dx 

20

Integrales Trigonométricas





11)

2 sen 9 x  8  3x dx  

12)

2 sen  x cos xdx 2

 sec x   1  tan x  dx  

13)



14)

 sen 2xdx

15)

 sec3t

16)

dx  sen 2 x

17)

2 tan   cot  d   

18)

dx  1  cos x

tan3t dt

Integrales Exponenciales 19)

dx  ex

20)

10 dx

21)



x

e x dx x

21

22)

23)

 e

e

x a

e

sen x

e

x

 ax

 dx 2

cos xdx

3 dx x

24)



25)

-4x  8x e dx 

26)

3

27)

3x 5 e  dx

2

2x

dx

Integrales de la forma a2 y u2 28)

dx  x2  9

29)

dx  x2  4

dy 25  y 2

30)



31)

dx  9 x2  4

32)



du 4  (u  3)2

22

33)

dx  x2  4 x  3

34)

dx  2 x  x2 10

35)

dx  x2  8x  25

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/35

23

V.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el semestre anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales se obtenían las integrales inmediatas, bien de forma directa, bien por cambio de variable. Se estudiarán las técnicas más elementales para reducir a inmediatas aquellas integrales que no lo sean: integración por partes, integrales de cocientes de polinomios por descomposición en fracciones simples y fórmulas de reducción. Todos los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo. La integración por partes consiste en descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una integral que, pretendidamente, es más sencilla que la de partida. La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios transforma éste en una suma de fracciones cuyas integrales pueden solucionarse con facilidad. Por último, las fórmulas de reducción permiten, en algunos casos, resolver integrales que dependen de un número natural n si se conoce el valor de la integral que depende del número anterior o ante-anterior. Así, por ejemplo, a partir de

va a ser posible calcular las integrales de sen2x, sen3x, sen4x, etc.

INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE El m é t o d o d e i n t e g r a c i ó n p o r s u s t i t u c i ó n o c a m b i o d e v a r i a b l e se basa en la derivada de la función compuesta.

Para c a m b i a r d e v a r i a b l e identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva v a r i a b l e t , de modo que se obtenga una i n t e g r a l más sencilla. Pasos para integrar por cambio de variable

24

1 º Se hace el c a m b i o d e v a r i a b l e y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y d x , sutituyendo en la integral:

2 º Si la i n t e g r a l resultante es más sencilla, integramos:

3 º Se vuelve a la v a r i a b l e i n i c a l :

Ejemplo

25

EJERCICIO 3 INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE Resolver los siguientes ejercicios aplicando el Método de Integración por Cambio de Variable. 1.

9.

2.

10.

3. 11. 4. 12. 5. 13. 6. 14. 7. 15. 8. 16.

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/16

26

INTEGRACIÓN POR PARTES Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas. 1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x). 2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x), permite escribir, d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,

Cómo se resuelve una integral por partes Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria. No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen

27

identificarse con u las funciones ln x, arc sen x, arc tan x y con dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc. Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx. Es posible también emplear el acróstico ILATE para elegir la función u: Inversas Trigonométricas Logarítmicas Algebraicas Trigonométricas Exponenciales Una vez elegida la función u el resto de la integral se empleara para dv.

Ejemplos: Integración por partes 1.- ∫e-x sen x dx Donde: u = e-x du = - e-x

dv = sen x v = - cos x

Aplicamos formula ∫u dv = u v - ∫v du ∫e-x sen x dx = - e-x cos x - ∫ - e-x (- cos x dx ) ∫e-x sen x dx = - e-x cos x - ∫ e-x cos x dx Volvemos a Integrar Donde: u = e-x

dv = cos x

du = - e-x

v = sen x

∫u dv = u v - ∫v du ∫e-x sen x dx = - e-x cos x – [e-x sen x - ∫ - e-x sen x dx ] ∫e-x sen x dx = - e-x cos x – e-x sen x - ∫ e-x sen x dx 28

Como podrás ver hemos llegado a la Integral original en el resultado, por lo cual la integral que tienes de lado derecho de la igualdad, la tenemos que mandar de lado izquierdo de la igualdad pero con signo contrario ∫e-x sen x dx + ∫e-x sen x dx = - e-x cos x – e-x sen x 2 ∫e-x sen x dx = - e-x cos x – e-x sen x El numero [2], que está multiplicando a la Integral. Lo pasamos dividiendo de lado derecho ∫e-x sen x dx = - ½ e-x cos x – ½ e-x sen x

Factorizamos y nos queda ∫e-x sen x dx = - ½ e-x ( cos x + sen x ) + C 2.-∫ arc tan √x dx Donde: u = arc tan √x du = dx /√x[2x + 2]

dv = dx v=x

Aplicamos Formula ∫u dv = u v - ∫v du x arc tan √x - ∫ x dx / 2√x [x + 1] x arc tan √x - ∫ √x dx / 2[x + 1] x arc tan √x – ½ ∫ √x dx / [x + 1] Sustituimos: u = √x u² = x du = dx / 2√x dx = 2√x du

29

x arc tan √x – ½ ∫ √x dx / [x + 1] x arc tan √x – ½ ∫ 2 u² du / [u² + 1] x arc tan √x – ∫ u² / [u² + 1] du Dividimos términos x arc tan √x – ∫ (1 - 1/ [u² + 1] ) du x arc tan √x – ∫ du + ∫ du/ [u² + 1] ) Resolvemos la integral 1 ∫ ----------- = arc tan u [u² + 1] x arc tan √x – u + arc tan √u + C Restituimos u = √x y este es el resultado x arc tan √x – √x + arc tan √x + C x arc tan √x + arc tan √x – √x + C 3.- ∫ 2x ln [ x² ] dx Donde: u = ln [ x² ]

dv = 2x

2x 2 du = ------- = ------x² x

v = x²

Aplicamos formula ∫u dv = u v - ∫v du ∫ 2x ln [ x² ] dx = x² ln [ x² ] - ∫ 2x dx Volvemos a Integrar ∫ 2x ln [ x² ] dx = x² ln [ x² ] – x² Factorizamos y nos queda x² ln [ x² ] – x² = x² [ ln [ x² ] – 1 ] + C 30

9.- ∫ x² e-x dx Donde: u = x² ……..dv = e-x du = 2x dx……..v = - e-x Aplicamos Formula ∫u dv = u v - ∫v du ∫ x² e-x dx = - x² e-x - ∫ - 2x e-x dx ∫ x² e-x dx = - x² e-x + ∫ 2x e-x dx Volvemos a integrar por partes u = 2x ………..dv = e-x du = 2 dx……..v = - e-x ∫ x² e-x dx = - x² e-x + ∫ 2x e-x dx ∫ x² e-x dx = - x² e-x + [ - 2x e-x dx - ∫ - 2 e-x dx ] ∫ x² e-x dx = - x² e-x - 2x e-x dx + ∫ 2 e-x dx Integramos ∫ x² e-x dx = - x² e-x - 2x e-x dx + ∫ 2 e-x dx ∫ x² e-x dx = - x² e-x – 2x e-x dx - 2e-x + C Factorizando, tomando a [- e-x ], como Factor Común - e-x [ x² + 2x + 2 ] + C

31

EJERCICIO 4 INTEGRACION POR PARTES Resolver los siguientes ejercicios aplicando el Método de Integración por Partes. 1. 2. 3. 4. 5.

6.

7.

8.

9.

10. 11. 12.

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/12 32

Integración por Sustitución Trigonométrica Para integrales que contienen u2 y a2 se puede hacer cualquiera de las siguientes sustituciones: Para Hacer el cambio Para obtener u  a sen 

a u 2

du  a cos  d

2

a 2  u 2  a cos  u  a tan 

du  a sec 2  d

u2  a2

u 2  a 2  a sec 

u  a sec  du  a sec  tan  d

u2  a2

u 2  a 2  a tan 

En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las formulas que tenemos en las tablas de formulas. Inclusive existen algunas de las mismas formulas que podemos deducir mediante algunas técnicas, como la que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo: Deduce la siguiente fórmula:

∫

𝑑𝑢 √𝑢2

+

𝑎2

= ln | 𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 | + 𝐶

Pensemos en una sustitución que podamos realizar en la integral de tal forma que nos permita una integración inmediata. Recordemos que: 1+ tan2  = sec 2  observemos que sucede si hacemos un cambio de variable que nos conduzca a el uso de esta sustitución, concretamente, sustituyamos u = a tan  du = a tan  = a sec2  d también se emplea comúnmente la letra v en lugar de u y la letra z en lugar dede la forma siguiente:

33

Recordemos que a

lo también queda expresado como:

de donde

donde la nueva c se ha juntado con la constante generada con el logaritmo:

al igual que esta integral se pueden encontrar de la misma forma algunas otras, vale la pena seguir la siguiente recomendación:

34

hemos de aclarar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitución del ejercicio anterior, de observación y comparación de las propiedades trigonométricas:

Calcular la siguiente integral y comprobar

Solución: Como podemos comprobar la integración no se puede realizar de manera inmediata. Antes de realizar alguna sustitución valdría la pena hacer alguna factorización en el radical

realizando la sustitución

por lo tanto:

como

entonces: del triangulo rectángulo siguiente identificamos: 35

 la hipotenusa es 2x y el cateto adyacente es 3 por lo tanto el cateto opuesto es igual a:

por lo que

EJERCICIO 5 INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA A continuación se presentan una serie de ejercicios para que los resuelva aplicando el Método de Integración por Sustitución Trigonométrica.

36

13) 14)

15)

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/15 37

Integración de Funciones Racionales por Descomposición en Fracciones Simples Una función F(x) =

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)

en la que P(x) y Q(x) son polinomios, recibe el

nombre de Fracción Racional. Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) entonces a la fracción se le llama propia; en caso contrario se denomina impropia. Toda fracción racional impropia puede expresarse (al menos teóricamente) como suma de un polinomio y fracción propia. Por ejemplo:

𝑥2 𝑥 2 +1

=𝑥−

𝑥 𝑥 2 +1

Toda fracción racional propia puede expresarse (al menos teóricamente) como la suma de fracciones simples o fracciones parciales cuyos denominadores son los factores de la fracción dada y los numeradores no son conocidos y solo bastaría investigar cual es el numerador de cada una de ellas. Dependiendo de la naturaleza de dichas factores se pueden establecer cuatro casos: Raíces reales simples (Factores Lineales Distintos): A cada factor lineal, ax + b, del denominador de una fracción racional propia le 𝐴 corresponde una fracción del tipo , siendo A una constante a determinar. 𝑎𝑥+𝑏

Raíces reales múltiples (Factores Lineales Iguales): A cada factor lineal, ax + b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia le corresponde una suma de n fracciones de la forma 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 + (𝑎𝑥+𝑏) 2 + ⋯ + (𝑎𝑥+𝑏)𝑛 siendo los numeradores constantes a determinar (𝑎𝑥+𝑏) Raíces complejas simples (Factores Cuadráticos Distintos): A cada factor cuadrático irreducible, ax2 + bx + c, que figure en el denominador 𝐴𝑥+𝐵 de una fracción racional propia le corresponde una fracción de la forma , 2 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 +𝑐 siendo A y B constantes a determinar Raíces complejas múltiples (Factores Cuadráticos Iguales): A cada factor cuadrático irreducible, ax2+ bx + c, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia le corresponde una suma de n 𝐴 𝑥 + 𝐵1 𝐴 𝑥 + 𝐵2 𝐴𝑛 𝑥 + 𝐵𝑛 fracciones de la forma (𝑎𝑥 21 + (𝑎𝑥 22 2 + ⋯ + (𝑎𝑥 2 𝑛 siendo los + 𝑏𝑥 +𝑐)

+ 𝑏𝑥 +𝑐)

valores de A y B constantes a determinar. 38

+ 𝑏𝑥 +𝑐)

Ejemplo 1:

Resolución: Al ser el grado del numerador, 3, mayor que el del denominador, 2, se dividen los polinomios y se obtiene: x3 - 3x2 + 1 = (x2 - 1) (x - 3) + (x - 2)

Tiene, por tanto, dos raíces simples distintas, 1 y - 1.

Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores también han de serlo: x - 2 = A(x + 1) + B(x - 1). Para determinar A y B, se dan valores a x: si x = 1, 1 - 2 = A(1 + 1) + B(1 - 1), - 1 = 2A, A = - 1/2 si x = -1, - 1 - 2 = A(- 1 + 1) + B(- 1 - 1), - 3 = -2 B, B = 3/2 Debe hacerse notar que, aunque a x se le pueden dar valores arbitrarios, en este caso se han elegido aquellos que anulan uno de los sumandos para simplificar los cálculos. Éste será un procedimiento muy generalizado.

39

Ejemplo 2:

Resolución: Como el grado del numerador, 2, es menor que el del denominador, 3, no se dividen los polinomios. Las raíces del polinomio x3 - 3x + 2 se obtienen aplicando la regla de Ruffini: x3 - 3x + 2 = (x - 1)2 (x + 2) El polinomio tiene una raíz simple, - 2, y una raíz múltiple, 1, de multiplicidad dos. La descomposición en fracciones simples de la fracción es:

Como en el caso anterior, se igualan los numeradores y se dan valores arbitrarios a x para determinar A, B y C. x2 + 3x - 5 = A(x - 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)2

Por tanto,

40

Ejemplo 3:

Resolución: Al resolver la ecuación de segundo grado x2 + 2x + 5 = 0, se obtienen las raíces - 1 + 2i y - 1 - 2i , por lo que x2 + 2x + 5 = (x + 1 - 2i) (x + 1 + 2i) = (x + 1)2 + 4 1.

A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

Se resuelven por separado las dos integrales. 41

Por tanto,

d ) Sumando los resultados de b) y c). (C1 + C2 = C),

resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

EJERCICIO 6 INTEGRACION POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES SIMPLES A continuación se presentan una serie de ejercicios para que por favor los resuelva aplicando el Método de Integración por Descomposición en Fracciones Parciales Simples 1. 2. 3. 42

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/15

43

BLOQUE II VI.- Integral Definida Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial. La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida La integral definida cumple las siguientes propiedades:    

 

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):



Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

Función integral Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:

donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Interpretación geométrica de la función integral o función área. Teorema fundamental del cálculo integral La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que: F’(x) = f (x) 45

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:   

Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x). Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b). El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

Ejemplos: 1

 x4  1 1 2 3 ( 1  2 x  3 x  x ) dx  x  x  x   (1  1  1  )  (1  1  1  )  2.5   1 4  1 4 4  1) 1

2

1

1

3

1

e 1

1 dx dx e 2 x dx 1 du e 1 2x     ln u  ln( e  1 )  ln(e  1)  (ln 0  )   0 1  e 2 x 0 e 2 x (e2 x  1) 0 (e2 x  1) 2 0 u 0 0   u  e 2 x 1; du  2 e 2 x dx u1  e 1; u 2  e 0 1 0

2) 

f ( x)  3)

1 1 1 2  senxdx   cos x 0   (cos   cos 0)    0 0   

4)

5)

6)

7)

8)

46

EJERCICIO 7 CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS Determine el valor de cada una de las siguientes integrales definidas:

1)

  2x 1

1

2)



3)



2

4

5  x dx

1

2t dt 1 t2

3



4)



 x3 dx

2 x 2  1 dx

x

0

2

2

z2

1

5)

 1  z 

6)



2

x ln ( x  1) dx

0





7)

sen3 x dx

4 0

0

8)



9)

 x

2

3t

0

11)

12)

4 3

4  t 2 dt

dx

5

10) 

dz

3 2

0

2

 25



3

2

dx 25  x 2



4



9

2

1

dx x  6x  5 2

ln x x 47

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/20 48

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL SEGUNDO PARCIAL

ÁREA BAJO LA CURVA

49

BLOQUE III APLICACIONES DE LA INTEGRAL I.- Área bajo la Curva Una de las principales aplicaciones del cálculo integral consiste en la determinación del área de superficies limitadas por curvas considerando que estas están conformadas por una infinidad de rectángulos de área diferencial. y = f(x)

y

𝑏

𝐴 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 x=a

x=b

x

Siendo negativas las áreas por debajo del eje horizontal y positivas las áreas que se encuentran por encima del eje X Signo de función y área  Si f(x) > 0 (grafica por encima del eje OX) en un intervalo [ a, b ], el área 𝑏

A=∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥  Si f(x) < 0 (grafica por debajo del eje OX) en un intervalo [ a, b ], el área 𝑏

A=− ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Procedimiento:    

Hallamos los puntos de corte de la función f(x) con el eje OX entre los puntos a y b. f(x) = 0 Se halla una primitiva de la función f(x) ⇒ G(x) Se hallan las integrales definidas por separado en cada intervalo; las áreas de los recintos son los valores absolutos de las diferencias El Área Total será la suma de todas las áreas de cada uno de los recintos

50

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de l a f unci ón viene dada por: 𝑏

A=∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los pu nt os de cort e con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º El área es igual a la i nt egral def i nida de l a f unci ón que tiene como límites de integración los puntos de corte. Ejemplo 1. Calcular el área bajo la curva limitada por la curva y = 4x − x2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

En segundo lugar se calcula la integral:

51

2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de l a f unci ón viene dada por un viene dada por: 𝑏 A= − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Ejemplo 1.- Calcular el área bajo la curva limitada por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

52

2.- Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje OX entre π/2 y 3π/2.

3. La función toma valores positivos y negativos En ese caso el área bajo la curva tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de l a f unci ón seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración. 3º El área es igual a la suma de l as i nt egral es def i ni das en valor absoluto de cada intervalo.

53

Ejemplos 1. - Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

El área, por razones de simetría, se puede escribir:

2.- Calcular el área del círculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

54

El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

Hallamos los nuevos límites de integración.

55

56

3 Calcula el área bajo la curva limitado por la parábola f(x) = x2 y las rectas y = 0, x = 1, x = 3.

EJERCICIO 8 CALCULO DE AREAS BAJO LA CURVA Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función dada y el eje X en los límites indicados

81 2 u 4 128 2 Solución : A  u 3

1) 1) yy=x;x 3 x;= x-3,x3=, 0x  0 .

2) y  8 x  x 2 ; 3) y  x



4, 8



Solución : A 

.

1 ; x  0 , x  4 .

4) y  ( x  1)( x  2)( x  3) ;

0, 3

x2  1 1 5) y  2 ; x  , x  3 . 2 x 6) y  sen x ;   ,   . 7) y 

1 1 ; x , x2 . 2 x x 2

8) y  x 3  x ;



1 , 1



.

Solución : A  2 u 2 .

Solución : A 

11 2 u 4

11 2 u 6 Solución : A  4 u 2 Solución : A 

Solución : A  ln 2 u 2 Solución : A 

Ejercicios Resueltos

1 2 u 2

Revisado

___/8 57

II.- Área entre curvas Una aplicación muy importante de la integral definida lo constituye el encontrar el área de la región comprendida entre dos curvas. Como se recordará, si

es continua en el intervalo

, entonces

representa, geométricamente, el área de la región comprendida entre la curva eje X, desde

hasta

. Si

es continua en el mismo intervalo [a, b], entonces

representa también el área de la región comprendida entre la curva límites entre

y y

y el

. Si

, el eje X y los

, entonces el área de la región comprendida

estará dada por:

y aplicando propiedades de la integral definida: b

A= ∫a [f(x)-g(x)]dx Gráficamente:

58

59

60

61

62

5 Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

6 Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

63

De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

7 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x. En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

64

8 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x. Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

65

9 Hallar el área de de la región limitada por las funciones y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

66

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

EJERCICIO 9 CALCULO DE AREA ENTRE 2 CURVAS Halle el área de la región limitada por las ecuaciones de las curvas dadas a continuación:

1) y  x ; y  2 x ; x  3

Sol.

27 2 u 2

2) y  6  x 2 ; y  3  2 x

Sol.

32 2 u 3

3) y  x 2  1 ; y  5

Sol.

32 2 u 3

4) y  4 (1  x 2 ) ; y  1  x 2

Sol. 4 u 2

5) y  3x  x 2 ; y  3x 2  x3

Sol.

6) y 2  2 x  2 ; y  x  5

Sol. 18 u 2

7) y  x  1 ; y 2  2 x  1

Sol. 5 u 2

8) y 2  4  x ; y 2  x  2

Sol. 8

9) y  x ; y  3x ; x  y  4

Sol. 2 u 2

10) x 2  y 2  4 ; x 2  y 2  4 x

8 Sol.    2 3

Ejercicios Resueltos

8 2 u 3

3 u2

 3  u2 

Revisado

___/10 67

III.- Longitud de Curva Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función

, y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S

que va desde un punto a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a

, al

aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;

Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;

Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:

Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δyi / Δxi se transforma en un dy / dx general, que es por definición 68

. Dados estos cambios, nuestra

aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

Resumiendo, la longitud de un arco de curva se define como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el número de puntos de división tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados tiende a cero. Este proceso también se conoce como “rectificación de curvas.”, para la cual se emplea la expresión: 𝑏

𝑠 = ∫ √1 + 𝑓 ′ (𝑥)2 𝑑𝑥 𝑎

Ejemplos: 1 Encontrar la longitud del segmento de parábola

. Resolviendo ahora

con

69

en el intervalo

2 Encontrar la longitud de la curva Como

y no es continua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho

de que la longitud de la curva

será la misma para

( es prácticamente

con lo cual

que es la

utilizar la inversa) y ahora calculada en el ejemplo1.

3 Hallar la l ongi t ud del arco de curva

en el intervalo [0, 1].

70

EJERCICIO 10 CALCULO DE LA LONGITUD DE UNA CURVA Determinar la longitud de la curva de ecuación dada, en el intervalo indicado: 1) y = x ; en [ -1 , 1 ] 3

2

2) 𝑦 = (𝑥 2 + 1)2 ; en [ 1 , 4 ] 3

3

3) 𝑦 = 𝑥 2 + 4 , desde ( 0 , 4 ) hasta ( 1 , 5 ) 1

3

1

4) 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 2 , en [ 1 , 4 ] 3

5) y  sen x ; en  0 ,  6) y 

x3 6



1 2x



Sol.





1  cos 2 x dx 0

, desde el punto donde x  1 , hasta el punto donde x  3. Sol.

7) 9 a y  x ( x  3a ) , desde x  0 hasta x  3a. 2

14 3

Sol. 2 a 3

8) Encontrar la longitud del arco de la parábola 6 y  x 2 , desde el origen hasta el  8 punto  4 ,  .  3

Sol. 4. 98

9) Encontrar la longitud del arco de la parábola y  4 x  x 2 que está arriba del eje x. 10) Encontrar la longitud de la parábola semicúbica a y 2  x 3 desde el origen hasta la ordenada x  5a .

Sol.

335 27

a.

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/10

71

IV.- Volúmenes de Sólidos de Revolución Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución. Consideremos un rectángulo de altura r , anchura

y hagámosla girar

alrededor de un eje de revolución, tal como lo indica la figura:

Puede observarse que al hacer girar repetidas veces el rectángulo alrededor del eje de revolución se genera un cilindro cuyo volumen es:

Tomemos ahora una superficie plana y un eje de giro adyacente a ella, tal como lo muestra la figura anterior, dicha superficie plana está formada por n rectángulos cuya base es

y altura

, entonces al hacer girar la superficie alrededor del

eje de revolución, se verá que cada uno de ellos forma un cilindro cuyo volumen será:

y el volumen del sólido cuando

cuando el eje de giro es horizontal. 72

De manera análoga, si el eje de revolución es vertical, entonces :

Ejemplos: 1 Hallar el volumen generado al hacer girar alrededor del eje formada por

;

;

la superficie plana

.

El rectángulo representativo de la superficie plana que servirá de muestra para encontrar el volumen buscado siempre es perpendicular al eje de giro, así que el volumen de este rectángulo representativo, que denotaremos por

estará dado por:

y la suma de los volúmenes de todos los cilindros que se obtienen al hacer girar todos los rectángulos representativos desde

hasta

2 Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje limitada por

;

la superficie

.

Empezaremos por hacer la gráfica del problema y trazar un rectángulo representativo perpendicular al eje de giro.

73

En este caso,

y

, por lo tanto el volumen representativo está dado por

Y la suma de todos los cilindros desde

hasta

:

Caso II: Cuando el eje de giro no es adyacente a la superficie que se va a girar. Si se hace girar dicha superficie alrededor del eje x, se obtiene la siguiente figura Observa que se genera un sólido con una región hueca. Si se toma un rectángulo perpendicular al eje de revolución y se hace girar repetidamente alrededor de éste, apreciaremos que se genera un cilindro circular hueco. Dado que el volumen de un cilindro circular hueco se representa geométricamente así:

entonces el que genera nuestro rectángulo en cuestión podrá expresarse así; con

Procediendo de manera análoga como en el primer caso, el volumen del sólido estará dado por

74

3 Calcula el sólido que se genera al girar alrededor del eje por las gráficas de x = y2 y y = x2

la superficie formada

Graficando primeramente:

Luego, como los puntos de intersección de ambas gráficas son

, entonces

Método de láminas cilíndricas. En oportunidades para calcular un volumen es necesario tomar los rectángulos paralelos al eje de rotación en lugar de perpendiculares como se hizo en los métodos anteriores, tal como se muestra en las siguientes figuras.

75

Cuando se gira uno de los rectángulos alrededor del eje de rotación forma una lámina cilíndrica o casquillo de altura y grosor . El volumen de esta lámina estaría dada por: y el volumen del sólido se obtendría sumando los volúmenes de todas las láminas contenidas en dicha región y que se puede expresar así;

4 Encuentra el volumen generado al hacer girar la superficie formada por alrededor del eje .

y

Solución:

En este caso como x representa todas las posiciones que van tomando las láminas dentro de la región sólida y

la altura de cada una de ellas, entonces:

5 Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX: y = sen x x = 0x = π

76

6 Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

7 Calcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY. Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

77

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

5 Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar: a) Alrededor de su eje mayor. b) Alrededor de su eje menor.

78

Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2. Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

79

EJERCICIO 11 CALCULO DE VOLÚMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION Encuentra el volumen del sólido que se genera al girar la superficie indicada alrededor del eje X.

4)

y  41 x 2 ;x = 4 ; y = 0

5) y  x 3 ; x = 2 ; y = 0 Alrededor del eje y. 6) x  y 2 ; x = 0 ; y = 2 7) x 

y ;y = 4 ; x = 0

2 8) y  4 x ; y  4 x

2 9) y  x ; y = 2

2 10) y  x ; 2 y = x

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/10 80

INTEGRAL DEFINIDA

BLOQUE IV

81

BLOQUE IV I.- Aplicaciones económicas de la integral definida Probabilidad como área. La condición probable de un evento puede obtenerse determinando el área correspondiente situada bajo la gráfica de una cierta función. (Véase la figura 1). En el caso de una variable aleatoria x continua, una función f(x) se llama función densidad de probabilidad o función de frecuencia de x cuando cumple lo siguiente: f(x)   

 f ( x)dx  1

 b

 f ( x)dx  P(a  x  b), a < b. Si f es continua, P(a < x < b) = P(a  x  b). a

Esto significa que la probabilidad es no negativa, la probabilidad de un evento seguro es b

igual a uno y la probabilidad que x esté en el intervalo (a, b) es igual a

 f ( x)dx con a

y = f(x), x = a, x = b.

Figura 1. Probabilidad como área bajo una curva Excedente del consumidor. Una función de demanda representa las cantidades de un bien que puede comprarse en diversos precios. Sea el precio del mercado po y la cantidad demandado qo. Aquellos consumidores que estuviesen dispuestos a pagar un precio mayor que el de mercado se benefician porque el precio es solamente po. (Véase la figura 2).

82

Figura 2. Excedente del consumidor La ganancia total del consumidor está dada por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = po lo cual se conoce como excedente del consumidor EC. Su ecuación será EC 

q0

 f (q)dq  q

0

p0 , donde p = f(q) es la función de demanda. Otra

0

manera de expresar este excedente es EC 

m0

 g ( p)dp .

p0

Excedente del productor. La función de oferta representa las cantidades de un artículo que se ofrecen en el mercado a diversos precios. Si el precio es p0 y la correspondiente cantidad en el mercado es q0, entonces aquellos productores que estén dispuestos a vender el artículo a un precio menor que el de mercado, se benefician porque el precio es p0. La ganancia total del productor está representada por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p0. llamándose excedente del productor. (Véase la figura 3).

Figura 3. Excedente del productor

83

La ecuación del excedente del productor EP será entonces, con p = f(q) la función de oferta EP  p0 q0 

q0

p0

0

M0

 f (q)dq . También puede hallarse así: EP   g ( p)dp .

Ingresos frente a costos. La integración se usa para hallar la utilidad total. Se maximiza la utilidad, en libre competencia si IM = CM. Entonces la utilidad total UT será q

UT   ( IM  CM )dq . 0

EJERCICIO 12 APLICACIONES ECONOMICAS 1. Un centro de computación está en servicio 12 horas al día, y las reparaciones, excepto los casos de urgencia, se programan para las siguientes 12 horas. La función densidad de probabilidad para el número de horas cuando el centro 1 x2 opera realmente, está dada por f ( x)   , 0  x  12. Determine la 24 1152 probabilidad de que la instalación opere entre 10 y 12 horas al día, y calcule la probabilidad de que el centro opere menos de 6 horas al día. 2. Una compañía tiene un número muy grande de automóviles para uso de sus empleados. Los registros del tiempo cuando cada auto está fuera de servicio por descompostura, sirven como base para decidir cuando se deberá vender un vehículo. La función densidad de probabilidad f8x) para el tiempo x (en días) que un auto está fuera de servicio, antes de ser considerada muy costosa su reparación y tenga que ser vendido, está dada por f ( x)  0,2e0, 2 x , 0  x  . Halle la probabilidad de que un auto esté fuera de servicio un total de más de 30 días antes de ser desechado y determine la probabilidad de que un auto esté fuera de servicio un total de menos de 5 días antes de ser vendido. (Nota: esta variable siempre toma valores enteros no negativos) 3. Determine si las funciones dadas son densidad de probabilidad: a. f(x) = x-2, 1  x   b. f(x) = 2e-4x, 0  x   1 c. f(x) = , 1  x  20 10 4. Si la función de demanda es y = 39 –x2 evalúe el excedente del consumidor si (a) x0 = 5/2, y (b) si el artículo es gratuito (es decir, y0 = 0). 5. Si la función de demanda es y = 16 - .y2 y la función de oferta es y = 2x + 1, determine el excedente del consumidor y el excedente del productor en un mercado de libre competencia.

84

6. Si la función de oferta es y =

9  x y x0 = 7, obtenga el excedente del productor.

7. Si la función de oferta es y = 4ex/3 y x0 = 3, calcule el excedente del productor. 8. Las funciones de demanda y de oferta (en un mercado de libre competencia) son y = 1/4(9 - x)2 y = 1/4(1 + 3x), respectivamente. Si se establece un impuesto adicional de 3 por unidad de producto, calcule la disminución en el excedente del consumidor. 9. La cantidad vendida y el precio están determinados en un mercado monopolice, por las funciones de demanda y •= ¼(10 - x)2 y de costo total y = (x3/4) + 5x de tal manera que se maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor. 10. La cantidad vendida y el precio en un mercado monopolice, se determinan por las funciones de demanda y = 20 - 4x2 y de costo marginal y’= 2x + 6, de manera que se maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.

ESTADISTICA TERCER PARCIAL DESCRIPTIVA

85

BLOQUE V

I.- ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA es la ciencia que observa los fenómenos de la vida y estudia e interpreta los resultados dando posibles soluciones La palabra "estadística" procede del vocablo "estado", pues era función principal de los gobiernos de los estados establecer registros de la población, etc.. La estadística se puede describir mejor, sin embargo, como una ciencia que estudia la interpretación de los datos numéricos, obtenidos mediante una encuesta o como resultado de un experimento aleatorio Dentro de la Estadística se distinguen dos ramas: La estadística descriptiva: describe el fenómeno (recoge, anota y organiza los datos que se quiera estudiar), y analiza los datos (mira las veces que se repite cada resultado (hace el recuento), calcula valores que los representen, los ordena, los clasifica, construye tablas, se representan gráficos y estudia si hay alguna explicación teórica que los justifique) La estadística inferencial: obtiene conclusiones y toma decisiones a partir del análisis de los datos. En esta fase se utiliza la probabilidad. En este curso estudiamos la estadística descriptiva II.- DEFINICIONES BÁSICAS Se llama población, universo o colectivo, al conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica (motivo de la estadística). Los elementos de una población se denominan individuos o unidades estadísticas.

86

Se denomina muestra a un subconjunto de la población. Una muestra es válida si es representativa de la población. Para ello los elementos deben ser elegidos de forma aleatoria: todos y cada uno de los elementos de la población tienen la misma posibilidad de formar parte de la muestra La muestra no es una porción cualquiera de la población, sino una porción representativa de ella. La composición de una muestra debe estar en proporción a la composición de la población a la que representa. Así, si se desea elegir una muestra formada por 1000 personas en la que el 60% de los individuos son mujeres, deberemos elegir para la muestra 600 mujeres y 400 hombres. Al número de elementos de una muestra se le denomina tamaño ( N ). Se llama carácter estadístico o variable estadística a una propiedad que permite clasificar a los individuos de una población o bien la cualidad observable en una población y que es el motivo de la estadística. Se distinguen dos tipos de caracteres estadísticos cualitativos y cuantitativos. Caracteres estadísticos cuantitativos son aquellos que se pueden medir (como por ejemplo, la talla de un individuo). Es evidente que un carácter cuantitativo toma distintos valores según el individuo que se examine. El conjunto de todos los valores que puede tomar un carácter estadístico cuantitativo se llama variable estadística y se representa por xi. Puede ser de dos tipos: discreta cuando la variable estadística toma valores aislados, esto es, entre dos valores consecutivos, no puede tomar los valores intermedios y continua cuando la variable estadística puede tomar cualquier valor intermedio entre dos valores dados. Caracteres estadísticos cualitativos son aquellos que no se pueden medir (como por ejemplo, la profesión de una persona). Se llaman modalidades de un carácter estadístico a cada una de las diferencias que se pueden establecer dentro de un carácter estadístico cualitativo (por ejemplo, son modalidades del carácter profesión de una persona: biólogo, abogado,…). Según esto, los caracteres cuantitativos determinan a las variables estadísticas mientras que los caracteres cualitativos determinan atributos (modalidades). III.- ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN Para analizar una muestra debemos seguir en orden los siguientes puntos: 1) Recolección de datos: Consiste en tomar los datos numéricos procedentes de la muestra. 2) Ordenación de los datos: Colocarlos por orden creciente o decreciente. 3) Recuento de frecuencias: Contar los datos obtenidos.

87

4) Agrupación de datos: En el caso de que la variable sea bien continua o bien discreta, pero con una variación de datos muy grande, es aconsejable agrupar los datos en clases o intervalos de clase, que son subconjuntos del conjunto de valores que puede tomar la variable continua, llamados intervalos 5) Construcción de la tabla de distribución de frecuencias: En dicha tabla estadística deberán figurar: a) Los valores de la variable, (si es cuantitativa), o las modalidades (si es cualitativa) b) Las frecuencias: absoluta, relativa, acumulada y porcentual. c) Los cálculos necesarios para facilitar el cálculo de los parámetros estadísticos. 6) Construcción de Graficas Estadísticas

IV.- TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Frecuencia absoluta ( fi ) La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + ⋯ + 𝑓𝑛 = 𝑁 Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega  (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria. 𝑛

∑ 𝑓𝑖 = 𝑁 𝑖=1

Frecuencia relativa ( fr ) La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por fr.

𝑓𝑟 = 88

𝑓𝑖 𝑁

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Si la frecuencia relativa la expresamos mediante porcentajes, encontramos la frecuencia porcentual. Se calcula multiplicando por 100 la frecuencia relativa. La frecuencia porcentual estará lógicamente comprendida entre 0 y 100 y la notaremos por Pi. Frecuencia acumulada ( fa ) Se llama frecuencia acumulada ( en sentido ascendente) del valor xi, y se representa por fa a la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi más la frecuencia absoluta de xi

𝑓𝑎 = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑖

Frecuencia relativa acumulada ( fra ) La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

𝑓𝑟𝑎 =

𝑓𝑎𝑖 𝑁

Distribución de frecuencias agrupadas La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Rango ( R ) Es la diferencia entre el valor máximo VM y el valor mínimo Vm de la distribución.

𝑅 = 𝑉𝑀 − 𝑉𝑚 Límites de la clase Los límites de un intervalo son los extremos de dicho intervalo; es aconsejable escoger los límites de modo que se sitúen en números enteros. Los intervalos se deben construir de tal forma que el límite superior ( Ls) de un intervalo coincida con el límite inferior (Li) del siguiente. Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

89

Amplitud de la clase ( A ) La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase cuando se conocen estos, comúnmente se obtiene como el cociente entre el rango ( R ) y el numero de intervalos ( n )cuando estos están definidos.

𝐴=

𝑅 𝑛

Marca de clase ( MC ) La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

𝑀𝑐 =

𝐿𝑠 + 𝐿𝑖 2

Ejemplo: Se tienen los siguientes datos: 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. 1º Se localizan el valor máximo VM y el valor mínimo Vm de la distribución. En este caso son 3 y 48. 2º Se calcula el Rango ( R ) restando ambos valores y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos ( n ) que queramos poner.

𝑅 = 𝑉𝑀 − 𝑉𝑚 Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 5 y 15. No existe ninguna ley que nos diga el número de intervalos que debemos formar, un mayor número de intervalos implica una menor claridad pero una exactitud mayor y al contrario, un número menor de intervalos significa ganar en claridad de expresión y en facilidad de cálculo, al igual que supone menos precisión y exactitud. Norclife establece que el número de clases debe ser aproximadamente igual a la raíz cuadrada positiva del número de datos ( 𝑛 = √𝑁 ), aunque por lo general queda a decisión de quien elabora la estadística. En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 y se consideran 10 intervalos para poder calcular la Amplitud ( A ) de cada intervalo :

90

𝐴=

𝑅 50 = =5 𝑛 10

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

Limites

Mc

fi

fa

fr

fra

[0, 5)

2.5

1

1

0.025

0.025

[5, 10)

7.5

1

2

0.025

0.050

[10, 15)

12.5

3

5

0.075

0.125

[15, 20)

17.5

3

8

0.075

0.200

[20, 25)

22.5

3

11

0.075

0.2775

[25, 30)

27.5

6

17

0.150

0.425

[30, 35)

32.5

7

24

0.175

0.600

[35, 40)

37.5

10

34

0.250

0.850

[40, 45)

42.5

4

38

0.100

0.950

[45, 50)

47.5

2

40

0.050

1

40

1

V.- GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Gran parte de la utilidad que tiene la Estadística Descriptiva es la de proporcionar un medio para informar basado en los datos recopilados. La eficacia con que se pueda realizar tal proceso de información dependerá de la presentación de los datos, siendo la forma gráfica uno de los más rápidos y eficientes, aunque también uno de los que más 91

pueden ser manipulados o ser malinterpretados si no se tienen algunas precauciones básicas al realizar las gráficas. Existen también varios tipos de gráficas, o representaciones gráficas, utilizándose cada uno de ellos de acuerdo al tipo de información que se está usando y los objetivos que se persiguen al presentar la información. Entonces, mencionaremos algunas consideraciones que conviene tomar en cuenta al momento de realizar cualquier gráfica a fin de que la información sea transmitida de la manera más eficaz posible y sin distorsiones: 

El eje que represente a las frecuencias de las observaciones (comúnmente el vertical o de las ordenadas) debe comenzar en cero (0), de otra manera podría dar impresiones erróneas al comparar la altura, longitud o posición de las columnas, barras o líneas que representan las frecuencias.



La longitud de los espacios que representan a cada dato o intervalo (clase) en la gráfica deben ser iguales.



El tipo de gráfico debe coincidir por sus características con el tipo de información o el objetivo que se persigue al representarla, de otra manera la representación gráfica se convierte en un instrumento ineficaz, que produce más confusión que otra cosa, innecesario o productor de malinterpretaciones. Por ejemplo, si se desea representar la proporción de población masculina en un país conviene más usar una gráfica de pastel o circular que una gráfica de barras al compararla contra la población femenina; por un lado se puede apreciar dicha proporción, por el otro se aprecia cuál de las dos poblaciones es mayor.

Hay un punto que conviene remarcar: existe software que permite la construcción rápida y eficiente de gráficas a partir de bases de datos o hojas de cálculos, pero no importa cuán bonita, bien delineada, bien coloreada o bien presentada esté una gráfica, si no se han tomado en cuenta consideraciones de este tipo que tienen que ver más sobre el objetivo de estas herramientas y la Estadística: la transmisión eficiente de la información. Tipos de gráficos Para las distribuciones de frecuencias la representación gráfica más común es el histograma. Un ejemplo es el que se presenta a continuación y que representa el número de "visitas" que ha tenido una página web de acuerdo a la hora de la visita.

92

En el eje horizontal (o de las abscisas) se representan los intervalos de los datos, marcándose de manera continua los límites de clase entre cada uno de ellos. De esta manera, el histograma está compuesto rectángulos, cuyo número coincide con la cantidad de intervalos considerados, el ancho de la base de cada uno de esos rectángulos es la misma siempre y coincide con los límites de los intervalos, y la altura corresponde a la frecuencia de cada intervalo. Es importante observar que resulta difícil utilizar este tipo de representación cuando existen intervalos abiertos o cuando los intervalos no son iguales entre sí. Otra observación es la amplitud de los intervalos, que se puede establecer utilizando la regla de Sturges2, pues al cambiarla la presentación visual de un histograma puede variar. El programa Excel no permite crear de manera automática histogramas, pues proporciona el ancho de las columnas de tal manera que quedan separadas. Un tipo de gráfico muy parecido al histograma es la gráfica de columnas. Para este tipo de gráfica, elaboradas con rectángulos también, se pide que sus bases sean del mismo ancho y sus alturas equivalentes con las frecuencias. Para este tipo, a diferencia del histograma, no es necesario tener una escala horizontal continua, por lo que los rectángulos (o barras) no tienen que aparecer juntas entre sí. Otra observación pertinente es que se pueden representar en la misma gráfica, utilizando las mismas escalas horizontales y verticales, varios datos correspondientes a las mismas variables producto de varias observaciones. Esto produce una gráfica con varias series, correspondiendo cada una de ellas a cada observación de la muestra (o población), y teniéndose una gráfica compuesta. Es conveniente que cada serie de datos (u observaciones) sean ilustradas o iluminadas de igual manera entre sí, pero distinta de las demás.

2

La regla de Sturges, propuesta por Herbert Sturges en 1926, es una regla práctica acerca del número de clases que deben considerar al elaborarse un histograma. Este número viene dado por la siguiente expresión: n = 1 + log2N, donde N es el tamaño de la muestra. Que puede pasarse a logaritmo base 10 de la siguiente forma: n = 1 + 3.332 * log N El valor de "n" (número de clases) es común redondearlo al entero más cercano.

93

El ejemplo que sigue pertenece al comportamiento de las calificaciones parciales de tres alumnos de preparatoria. Las series (cada una de las calificaciones parciales) están coloreadas con diferente color para mostrar el comportamiento tanto individual, como de cada uno de los alumnos con respecto a los demás. Es interesante observar que la escala horizontal no es continua (es nominal).

También es posible realizar gráficas de barras horizontales, los cuales se parecen mucho a las gráficas de columnas, con la salvedad importante de que la función de los ejes se intercambia y el eje horizontal queda destinado a las frecuencias y el eje vertical a las clases. Es muy común que este tipo de gráficos se utilicen para ilustrar el tamaño de una población dividida en estratos como, por ejemplo, son sus edades. El ejemplo que se presenta es la población de un país ficticio.

A este tipo de gráficos en particular se le llama pirámide de edades por su forma. Incluso, cuando se compara la población masculina y femenina por estratos de edades, se estila utiliza el lado izquierdo para la población de un sexo y el lado derecho para el otro, el resultado es una "pirámide" casi simétrica (dependerá de la población en particular). Cuando los datos se relacionan entre sí, es decir, cuando podemos decir que 94

existe cierta continuidad entre las observaciones (como por ejemplo el crecimiento poblacional, la evolución del peso o estatura de una persona a través del tiempo, el desempeño académico de un estudiante a lo largo de su instrucción escolar, las variaciones presentadas en la medición realizada en algún experimento cada segundo o minuto) se pueden utilizar las gráficas de líneas, que consisten en una serie de puntos trazados en las intersecciones de las marcas de clase y las frecuencias de cada una, uniéndose consecutivamente con líneas:

Este ejemplo muestra el comportamiento del peso corporal (en kilogramos) dos individuos a lo largo de cinco observaciones anuales. Al igual que en el caso las gráficas de columnas (y de otras más) es posible presentar varias series observaciones (en este caso cada serie de observaciones son los pesos de individuo).

de de de un

Otra forma de representación de un uso menos común, y muy parecida a las gráficas de líneas, es el polígono de frecuencias. La diferencia fundamental entre ambas es que en el polígono de frecuencias se añaden dos clases con frecuencias cero: una antes de la primera clase con datos y otra después de la última. El resultado es que se "sujeta" la línea por ambos extremos al eje horizontal y lo que podría ser una línea separada del eje se convierte, junto con éste, en un polígono. El siguiente ejemplo corresponde al porcentaje del PIB gastado en docencia e investigación durante el año de 1990 en cinco países (fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo", 1994, XIX(114):12):

95

Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas mayor que y las ojivas menor que. Existen dos diferencias fundamentales entre las ojivas y los polígonos de frecuencias (y por esto la aplicación de la técnica es parcial): Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje horizontal, para la ojiva mayor que sucede con el extremo izquierdo; para la ojiva menor que, con el derecho. En el eje horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se colocan las fronteras de clase. Para el caso de la ojiva mayor que es la frontera menor; para la ojiva menor que, la mayor. Las siguientes son ejemplos de ojivas, a la izquierda la mayor que, a la derecha la menor que, utilizando los datos que se usaron para ejemplificar el histograma:

La ojiva mayor que (izquierda) se le denomina de esta manera porque viendo el punto que está sobre la frontera de clase "4:00" se ven las visitas que se realizaron en una hora mayor que las 4:00 horas (en cuestiones temporales se diría: después de las 4:00 horas). De forma análoga, en la ojiva menor que la frecuencia que se representa en cada frontera de clase son el número de observaciones menores que la frontera señalada (en caso de tiempos sería el número de observaciones antes de la hora que señala la frontera). 96

Si se utiliza una distribución porcentual acumulativa entonces se obtiene una ojiva (mayor que o menor que según sea el caso) cuyo eje vertical tiene una escala que va del 0% al 100%. El siguiente ejemplo es la misma ojiva menor que que se acaba de usar, pero con una distribución porcentual:

Cuando lo que se desea es resaltar las proporciones que representan algunos subconjuntos con respecto al total, es decir, cuando se está usando una escala categórica, conviene utilizar una gráfica llamada de pastel o circular. Por ejemplo, para ilustrar la matrícula en licenciatura (en México) por áreas de conocimiento en el año de 1992 se puede usar algo así como sigue (Fuente: ANUIES,1995):

De hecho, si se desea resaltar una de las categorías que se presentan, es válido tomar esa "rebanada" de la gráfica y separarla de las demás:

97

Hay que tomar algunas precauciones al utilizar este tipo de gráficos. Por un lado, comparar dos gráficos circulares (por ejemplo, si se quisieran comparar las proporciones de matrículas en licenciatura por áreas de conocimiento en licenciatura para dos años distintos) resulta muy difícil y, por tanto, no es muy aconsejable. VI.- PARÁMETROS ESTADISTICOS Una característica casi continua a lo largo de la estadística es el manejo de una gran cantidad de datos. Se ha visto ya que una forma de reducir la complejidad de los datos estadísticos de una distribución es la construcción de tablas estadísticas y las representaciones gráficas. Uno de los fines más importantes de la estadística descriptiva es el de resumir o sintetizar esas grandes cantidades de datos en unos pocos números que nos proporcionan una idea, lo más aproximada posible, de toda la distribución. Estos números se conocen con el nombre de parámetros estadísticos. En general, se llama parámetros estadísticos a ciertos valores característicos que representan los aspectos más destacables de dicha distribución y facilitan su estudio. Vamos a estudiar tres tipos: Medidas de Tendencia Central, Medidas de Posición y Medidas de Dispersión. VII.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las Medidas de Tendencia Central, sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios. Las medidas más importantes son: la media aritmética, la mediana y la moda, y bajo ciertos criterios la Media Armónica y la Media Geométrica. Media Aritmética (𝐱̅): 98

La medida de tendencia central más ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como la media y denotada por ̅x (léase como "equis testada"). Media aritmética para datos agrupados Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, no es posible conocer los valores individuales de cada una de las observaciones, pero si las categorías en las cuales se hallan. Para poder calcular la media, se supondrá que dentro de cada categoría, las observaciones se distribuyen uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase, llamado marca de clase, por lo tanto puede considerarse que todas las observaciones dentro de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto la media aritmética para datos agrupados puede definirse de la siguiente manera: Si en una tabla de distribución de frecuencia, con n clases, las marcas de clase son: x1, x2, x3,…,xn; y las respectivas frecuencias son f1, f2, f3, … , fn, la media aritmética se calcula de la siguiente manera:

𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + 𝑓3 𝑥3 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 ∑𝑛𝑖=1( 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ) 𝑥̅ = = 𝑛 𝑛 donde: n = número total de observaciones, por tanto Σfi puede simplificarse y escribirse como n ( n= Σfi ) Ejemplo: Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera y Asociados que fueron los siguientes: Clase No. Mc fi

1 14,628 10

2 29,043 4

3 43,458 5

4 57,873 3

5 72,288 3

6 86,703 5

Al calcular la cuenta promedio por cobrar (media aritmética) de estos datos se tiene lo siguiente: 𝑥̅ =

16,628(10) + 29,043(4) + 43,458(5) + 57,873(3) + 72,288(3) + 86,703(5) 10 + 4 + 5 + 3 + 3 + 5 𝑥̅ =

1,303,740 = 43,458 30

Propiedades de la media aritmética 99

    

Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media. Una serie de datos solo tiene una media. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero.  Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos. Desventajas de la media aritmética × Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos. × No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos. Mediana ( Md ) Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana, y denotada por Md La mediana es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos. Su aplicación se ve limitada ya que solo considera el orden jerárquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media. Mediana para datos agrupados. La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a continuación:

𝑛 − 𝑓𝑎𝑖 𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 + 2 𝐴 𝑓𝑚 Donde: Md = Mediana. Li = Limite inferior del intervalo, (llamado intervalo mediano) donde se encuentra la 𝑛 mediana, la forma de calcularlo es a través de encontrar la posición . 2

fai = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano. 100

fm= frecuencia del intervalo mediano. A = Amplitud del intervalo mediano. Geométricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de áreas iguales.

Ejemplo: Retomemos la tabla del ejemplo mostrado para determinar la media de atenciones médicas brindadas por el hospital, adicionando la columna de la frecuencia acumulada Tabla de frecuencias reportadas por una clínica Clases

fi

fa

[10,20)

8

8

[20,30)

20

28

[30,40)

14

42

[40,50)

8

50

[50,60)

2

52

[60,70)

2

54

[70,80)

1

55

Determinemos el dato medio de los datos, como n = 55 entonces n/2=27.5 El intervalo mediano o la clase donde se encuentra la mediana se encuentra en la segunda clase.

101

Li = 20, fai = 8, fm = 20, A = 10 sustituyendo en la ecuación tendremos

𝑛 − 𝑓𝑎𝑖 2 𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 + 𝐴 𝑓𝑚 55 −8 2 (10) = 29.75 𝑀𝑑 = 20 + 20 por lo que se puede concluir que el 50% de las personas atendidas en un fin de semana por el hospital tienen una edad inferior a los 29.75 años.

Ejemplo 2: Si se toman los datos obtenidos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencias de las cuentas por cobrar de la tienda Cabrera y Asociados que fueron las siguientes Clases

fi

fa

Mc

7,420 – 21,835

10

10

14,628

21,835– 36,250

4

14

29,043

36,250– 50,665

5

19

43,458

50,665– 65,080

3

22

57,873

65,080– 79,495

3

25

72,288

79,495– 93,910

5

30

86,703

Total

30

102

Si se desea calcular la mediana, es necesario primero encontrar la clase mediana, que será aquella que en teoría contenga el dato N/2 = 30/2 = 15, que corresponde con la tercera clase por cuanto que la frecuencia acumulada (fa) hasta esa clase es 19, luego entonces: Li = 36,250, fai = 14, fm = 5, A = 14,415 sustituyendo en la ecuación tendremos

𝑛 − 𝑓𝑎𝑖 𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 + 2 𝐴 𝑓𝑚 30 − 14 (14,415) = 39,133 𝑀𝑑 = 36,250 + 2 5 La mediana de cuentas por cobrar es Md = 39,133 Moda ( M ) A veces es importante conocer cuál es el valor que más prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia se le conoce como moda. La moda es la medida de tendencia central especialmente útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal. En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número que ocurre con más frecuencia.

La Moda para datos agrupados (M.): La Moda puede deducirse de una distribución de frecuencia o de un histograma a partir de la fórmula. 𝑀 = 𝐿𝑖 +

(𝑓𝑚 − 𝑓) 𝐴 (𝑓𝑚 − 𝑓) + (𝑓𝑚 − 𝑓𝑝 )

Donde; Li = límite inferior de la clase modal (clase de mayor frecuencia absoluta) fm = frecuencia modal f= frecuencia premodal fp= frecuencias postmodal 103

A = amplitud de la clase modal. Ejemplo: Para encontrar la moda es necesario, en primer lugar, identificar la clase modal; que será aquella que posea la mayor frecuencia absoluta. En el ejemplo de cuentas por cobrar de Cabrera y Asociados la clase modal será la primera, por cuanto que tiene la mayor frecuencia absoluta. A partir de esto se puede reemplazar en la formula anterior los datos, a saber Li =7,420 , A=14.415, f1 = 10 (frecuencia absoluta de la clase modal) f0 = 0 (frecuencia absoluta de la clase premodal) f2 = 4 (frecuencia absoluta de la clase postmodal) 𝑀 = 𝐿𝑖 +

𝑀 = 7,420 +

(𝑓𝑚 − 𝑓) 𝐴 (𝑓𝑚 − 𝑓) + (𝑓𝑚 − 𝑓𝑝 )

(10 − 0) (14,415) = 16,530 (10 − 0) + (10 − 4)

Propiedades de la moda  La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa).  La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.  Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos. Desventajas de la moda × En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez. × En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría preguntarse ¿cual es el valor representativo de la serie de datos?

Relación empírica entre la media aritmética, la mediana y la moda 104

En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente: Media Aritmética– Moda = 3(Media Aritmética – Mediana)

Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres valores coinciden.

Media Armónica (MH): La Media Armónica, la representaremos como MH, es la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable, responde a la siguiente definición: Si se tiene un conjunto de observaciones tales como: x1, x2, … . xn; la media armónica, denotada por MH, se define como el reciproco de la suma de los valores inversos de la variable estadística divididos entre el número total de datos y se calcula con la siguiente fórmula

𝑀𝐻 = 𝑓1

𝑁

𝑓 𝑓 𝑓 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛

Para datos agrupados

Se utiliza para promediar velocidades, tiempos, rendimiento, etc. (cuando influyen los valores pequeños). Su problema: cuando algún valor de la variable es ó próximo a cero no se puede calcular Propiedades de la media armónica La media armónica se basa en todas las observaciones por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Da a los valores extremadamente grandes un peso menor que el que les da la media geométrica, mientras que a los valores pequeños les da un peso mayor que el que les da tanto la media aritmética como la media geométrica.

105

La media armónica esta indeterminada si alguno de los valores es cero, pues hallar el recíproco de cero implica dividir entre cero, lo cual no es válido. La media armónica está rígidamente definida y siempre es definitiva, excepto cuando uno de los valores es cero. La media armónica es el promedio que se ha de usar, cuando lo que se va a promediar son proporciones donde los numeradores de las razones son los mismos para todas las proporciones. Media Geométrica (MG): Se define como la raíz de índice de la frecuencia total cuyo radicando es el producto de las potencias de cada valor de la variable elevado a sus respectivas frecuencias absolutas, se denota por MG; suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen una progresión geométrica. También para promediar porcentajes, tasas, nº índices, etc. siempre que nos vengan dados en porcentajes y se calcula mediante la siguiente fórmula

𝑀𝐺 = 𝑛√𝑓1 𝑥1 ∗ 𝑓2 𝑥2 ∗ 𝑓3 𝑥3 ∗ … ∗ 𝑓𝑛 𝑥𝑛 Para datos agrupados Fórmula que algunas veces es conveniente expresarla en forma logarítmica. El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. El problema se presenta cuando algún valor es 0 ó negativo y exponente de la raíz par ya que no exista raíz par de un número negativo, entonces la fórmula anterior se presenta de la siguiente manera:

log 𝑀𝐺 =

𝑓1 log 𝑥1 +𝑓2 log 𝑥2 +𝑓3 log 𝑥3 +⋯+𝑓𝑛 log 𝑥𝑛 𝑁

Para datos agrupados

Propiedades de la media geométrica (MG) La media geométrica está basada en todas las observaciones, por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Sin embargo, da menos pesos a los valores extremadamente grandes que el que les da la media aritmética. La media geométrica es igual a cero si algunos de los valores es cero, y se puede volver imaginaria si ocurren valores negativos. Con la excepción de estos dos casos, su valor siempre es definitivo y está rígidamente definido. La media geométrica es la que se debe utilizar cuando lo que se va a promediar son tasas de cambios o proporciones, y se intenta dar igual peso a tasas de cambios iguales. VIII.- MEDIDAS DE POSICIÓN

106

Las medidas de posición, sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios. Las medidas de posición más importantes son los cuartiles, deciles y percentiles. Cuartiles Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales. Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos. Datos Agrupados Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

𝑛 𝑘 ( ) − 𝑓𝑎𝑖 𝑄𝑘 = 𝐿𝑖 + 4 𝐴 𝑓𝑘

k = 1,2,3 Donde: Li = Límite real inferior de la clase del cuartil k n = Número de datos fai = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k. fk = Frecuencia de la clase del cuartil k A = Amplitud del intervalo de la clase del cuartil k Deciles Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc. Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para fijar el aprovechamiento académico.

Datos Agrupados

107

Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.

𝐷𝑘 = 𝐿𝑖 +

𝑘(

𝑛 ) − 𝑓𝑎𝑖 10 𝐴 𝑓𝑘

k= 1,2,3,... 9 Donde: Li = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datos fai = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k. fk = Frecuencia de la clase del decil k A = Amplitud del intervalo de la clase del decil k Centiles o Percentiles Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99. Datos Agrupados Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula:

𝑛 𝑘( ) − 𝑓𝑎𝑖 𝑃𝑘 = 𝐿𝑖 + 100 𝐴 𝑓𝑘 k= 1,2,3,... 99 Donde: Li = Límite inferior de la clase del percentil k n = Número de datos fai = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del percentil k. fk = Frecuencia de la clase del percentil k A = Amplitud del intervalo de la clase del percentil k El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante. Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75. 108

IX.- MEDIDAS DE DISPERSION Los parámetros de dispersión: miden la mayor o menor concentración o dispersión de los valores alrededor de los parámetros de centralización. Los más característicos son la desviación media, el rango, la varianza y la desviación típica o estándar.

Rango o recorrido ( R ) Es la diferencia entre el valor máximo VM y el valor mínimo Vm de la distribución.

𝑅 = 𝑉𝑀 − 𝑉𝑚 Desviación media ( DM ) La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. Di = x - x La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por Desviación media para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución: xi

fi

xi · fi 109

|x - x|

|x - x| · fi

[10, 15)

12.5

3

37.5

9.286

27.858

[15, 20)

17.5

5

87.5

4.286

21.43

[20, 25)

22.5

7

157.5

0.714

4.998

[25, 30)

27.5

4

110

5.714

22.856

[30, 35)

32.5

2

65

10.174

21.428

21

457.5

98.57

Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por

.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Varianza para datos agrupados

110

Ejemplos: 1.- Calcular la varianza de la distribución de la tabla: xi

fi

xi · fi

xi2 · fi

[10, 20)

15

1

15

225

[20, 30)

25

8

200

5000

[30,40)

35

10

350

12 250

[40, 50)

45

9

405

18 225

[50, 60

55

8

440

24 200

[60,70)

65

4

260

16 900

[70, 80)

75

2

150

11 250

42

1 820

88 050

Propiedades de la varianza 1.- La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2.- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. 3.- Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: 111

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la varianza 1.- La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. 2.- En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza. 3.- La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado. Desviación estándar (  La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación estándar se representa por σ.

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Desviación estándar para datos agrupados

Ejemplos: 1.- Calcular la desviación estándar de la distribución de la tabla: 112

xi

fi

xi · fi

xi2 · fi

[10, 20)

15

1

15

225

[20, 30)

25

8

200

5000

[30,40)

35

10

350

12 250

[40, 50)

45

9

405

18 225

[50, 60)

55

8

440

24 200

[60,70)

65

4

260

16 900

[70, 80)

75

2

150

11 250

42

1 820

88 050

Propiedades de la desviación estándar 1.- La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2.- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no varía. 3.- Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar queda multiplicada por dicho número. 4.- Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño: 113

Observaciones sobre la desviación estándar 1.- La desviación estándar, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. 2.- En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación estándar. 3.- Cuanta más pequeña sea la desviación estándar mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

   V (x)

Coeficiente de variación El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética, se representa por CV CV=

 x

El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor. Ejemplo: Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 25. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

114

La primera distribución presenta mayor dispersión.

X.- EJEMPLOS GENERALES 1.- Se ha aplicado test a los empleados de una fábrica, obteniéndose las siete tabla: fi [38, 44) 7 [44, 50) 8 [50, 56) 15 [56, 62) 25

115

[62, 68) 18 [68, 74) 9 [74, 80) 6 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas. fi

fa

[38, 44)

7

7

[44, 50)

8

15

[50, 56)

15

30

[56, 62)

25

55

[62, 68)

18

73

[68, 74)

9

82

[74, 80)

6

88

2.- Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: xi

61

64

67

70

73

fi

5

18

42

27

8

116

Calcular: 1 La moda, mediana y media. 2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

xi

fi

fa

xi · fi

|x − x |

|x − x | · fi

xi2 · fi

61

5

5

305

6.45

32.25

18 065

64

18

23

1152

3.45

62.10

73 728

67

42

65

2184

0.45

18.90

188 538

71

27

92

1890

2.55

68.85

132 300

73

8

100

584

5.55

44.40

42 632

226.50

455 803

100

6745

Moda M = 67 Mediana 102/2 = 50 Me = 67 Media

Desviación media

Rango r = 73 − 61 = 12 Varianza

Desviación típica

3.- Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

117

xi

fi

fa

xi · fi

2

2

2

4

3

2

4

6

4

5

9

20

5

6

15

30

6

2

17

12

8

3

20

24

20

96

Moda M=5 Mediana 20/2 = 10 Me = 5 Media

4.- Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

5.- Dadas las series estadísticas: a) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. Calcular: La moda, la mediana y la media. La desviación media, la varianza y la desviación típica. Los cuartiles 1º y 3º. 118

Los deciles 2º y 7º. Los percentiles 32 y 85.

a) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. Moda No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia. Mediana 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Me = 5 Media

Varianza

Desviación típica Desviación media

Rango r=9−2=7 Cuartiles

Deciles 7 · (2/10) = 1.4 D2 = 3 7 · (7/10) = 4.9 D7 = 6 Percentiles 7 · (32/100) = 2,2 P32 = 4 7 · (85/100) = 5.9 P85 = 7 b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. Moda No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia. 119

Mediana

Media

Varianza

Desviación típica

Desviación media

Rango r=9-1=8

Cuartiles

Deciles 8 · (2/10) = 1.6 D2 = 2 8 · (7/10) = 5.6 D7 = 6 Percentiles 8 · (32/100) = 2.56 P32 = 3 8 · (85/100) = 6.8 P85 = 7 6.- Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla: [10, 15)

[15, 20)

[20, 25)

120

[25, 30)

[30, 35)

fi

3

5

7

4

2

Hallar: La moda, mediana y media. El rango, desviación media y varianza. Los cuartiles 1º y 3º. Los deciles 3º y 6º. Los percentiles 30 y 70.

Mc

fi

fa

Mc · f i

|Mc − x | · fi

M c2 · f i

[10, 15)

12.5

3

3

37.5

27.857

468.75

[15, 20)

17.5

5

8

87.5

21.429

1537.3

[20, 25)

22.5

7

15

157.5

5

3543.8

[25, 30)

27.5

4

19

110

22.857

3025

[30, 35)

32.5

2

21

65

21.429

2112.5

457.5

98.571

10681.25

21 Moda

Mediana

Media

Desviación media

Varianza

Desviación típica

121

Cuartiles

Deciles

Percentiles

7.- Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5. Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5. Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

En el segundo test consigue mayor puntuación. 8.- La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas. 1. Calcular la dispersión del número de asistentes. 2. Calcular el coeficiente de variación. 3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión? Desviación típica

Coeficiente de variación 122

Si todas las salas tienen un incremento de 50 personas, la media aritmética también se ve incrementada en 50 personas. La desviación típica no varía, ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie.

La dispersión relativa es menor en el segundo caso.

EJERCICIO 13 ESTADISTICA A continuación se presentan una serie de ejercicios de los distintos temas para que por favor resuelva lo que se solicita en cada uno de ellos. 1.- El peso en kilogramos de un grupo de estudiantes del sexo masculino en un curso de educación física, son los siguientes: clases fi 52.5 – 57.5

8

57.5 – 62.5

9

62.5 – 67.5

6

67.5 – 72.5

4

72.5 – 77.5

2

77.5 – 82.5.

1

123

Total

30

Encuentre la media, la mediana y la Moda. Compare los resultados utilizando la fórmula señalada anteriormente en el texto relativa a la correspondencia entre estas tres medidas de tendencia central. 2.- Una compañía aérea quiere saber el número medio de viajeros al cabo de un mes. Realiza un estudio y obtiene los siguientes resultados: Número de viajeros Número de días: fi xi [0-300) 5 [300-600) 10 [600-900) 12 [900-1 200) 3 a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido. 3.- Una cadena de comidas a domicilio quiere saber el tiempo medio que tardan en repartir a una determinada zona de la ciudad. Para ello manda a sus repartidores que apunten el tiempo que invierten. Preguntando a 25 repartidores, se obtuvieron los siguientes resultados: Tiempo: xi [10, 12) [12, 14) [14, 16) Número de repartidores: 8 12 4 a) Representa la información en un histograma

[16, 18) 1

b) Calcula el tiempo medio y la desviación típica. 4.- Una compañía discográfica quiere estudiar el número de discos vendidos por un grupo de música independiente. Para ello realiza un seguimiento de las ventas durante un mes y llega a los siguientes resultados: Número de discos xi [100-200) [200-300) [300-400) [400-500)

Número de días: fi 10 15 3 2

a) Representa la información en un histograma

124

b) Calcula el número medio de discos vendidos y halla la desviación típica. 5.- La protectora de animales quiere investigar el número de perros abandonados durante los meses de verano en una ciudad. Encarga, durante 70 días, un estudio estadístico del número de perros abandonados en la calle. Los resultados del estudio han sido: Número de perros: xi Número de días: fi

[10, 15) 20

[15, 20) 10

[20, 25) 15

[25, 30) 17

[30, 35) 8

a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Halla el número medio de perros abandonados. c) Determina la varianza y la desviación típica. Distribución de Frecuencias y Graficas Estadísticas Elabore la distribución de frecuencias de las siguientes series de datos, con sus respectivas gráficas: 6. Los resultados siguientes representan las calificaciones del examen final de un curso de estadística elemental.

23

60

79

32

57

74

52

70

82

36

80

77

81

95

41

65

92

85

55

76

52

10

64

75

78

25

80

98

81

67

41

71

83

54

64

72

88

62

74

43

60

78

89

76

84

48

84

90

15

79

34

67

17

82

69

74

63

80

85

61

7. El gerente de una firma especializada en renta de condominios para vacacionistas, quiere saber cómo están distribuidas los montos de las rentas mensuales de los departamentos de la firma. Seleccionó una muestra de departamentos cuyas muestras son mostradas abajo. Rentas mensuales de los condominios 1170 1207 1581 1277 1305 1472 1077 1319 1537 1849 125

1332 1418 1949 1403 1744 1532 1219 1471 1399 1041 1379

821

896

1558 1118 1533 1510 1760

1826 1309 1426 1288 1394 1545 1032 1289 1440 1421 1329 1407

718

1500 1671

695

803

1457 1449 1455 2051 1677

1119 1020 1400 1442 1593 1962 1263 1788 1501 1668 1352 1340 1459 1823 1451 1138 1592

982

1981 1091

8. Los siguientes datos representan la duración de la vida en meses de 30 bombas de combustible similares. 24

36

4

40

16

5

18

6

30

60

3

72

66

78

3

28

67

72

15

3

18

48

71

22

57

9

54

4

12

72

9.- Los siguientes datos representan la duración de la vida, en segundos, de 50 moscas sometidas a un nuevo atomizador en un experimento de laboratorio controlado.

17

20

10

9

23

13

12

19

18

24

12

14

6

9

13

6

7

10

13

7

16

18

8

13

3

32

9

7

10

11

13

7

18

7

10

4

27

19

16

8

7

10

5

14

15

10

9

6

7

15

10.- Una compañía de cambio de aceite tiene varias sucursales en la zona metropolitana. El número de cambios de aceite en la sucursal de la calle Roble en los pasados 20 días son: 66

98

55

62

79

59

51

90

72

56

70

62

66

80

94

79

63

73

71

85

Medidas de Tendencia Central 126

Para cada uno de los siguientes problemas: (a) determine la media moda y mediana sin agrupar los datos; (b) elabore la distribución de frecuencia y calcule la media, moda y mediana para datos agrupados. 11.- Se aplicó una encuesta donde se les pide indicar el número de amigos o parientes que visitan cuando menos una vez al mes. Los resultados son los siguientes: 3

5

2

3

3

4

1

8

4

2

4

2

5

3

3

3

0

3

5

6

4

3

2

2

6

3

5

4

14

3

5

6

3

4

2

4

9

4

1

4

2

4

3

5

0

4

3

5

7

3

5

6

2

2

12.- Se conduce un estudio de los efectos de fumar sobre los patrones de sueño. La medición que se observa es el tiempo, en minutos, que toma quedar dormido. Se obtienen estos datos: 69

56

22

28

41

28

47

53

48

30

34

13

52

34

60

25

21

37

43

23

13

31

29

38

26

36

30

13.- Un banco seleccionó una muestra de 40 cuentas de cheques de estudiantes. Abajo aparecen sus saldos de fin de mes. 404

74

234

149

279

215

123

55

43

321

87

234

68

489

57

185

141

758

72

863

703

125

350

440

37

252

27

521

302

127

968

712

503

498

327

608

358

425

303

203

Medidas de Dispersión

127

Para cada uno de los siguientes problemas: (a) determine la varianza y la desviación estándar sin agrupar los datos; (b) elabore la distribución de frecuencia y calcule la desviación media, varianza, desviación estándar y desviación cuartilar para datos agrupados. 14.- Una cadena de tiendas de artículos deportivos al servicio de esquiadores principiantes, planea hacer un estudio de cuánto gasta un esquiador principiante en su primera compra de equipo. Una muestra de recibos de sus cajas registradoras reveló esas compras iníciales. 140

82

265

168

90

114

172

230

142

86

125

235

212

171

149

156

162

118

139

149

132

105

162

126

216

195

127

161

135

172

220

229

129

87

128

126

175

127

149

126

121

118

172

126

Ejercicios Resueltos

Revisado

___/14 FÓRMULAS Formulas de Derivación

d d cos u   u sen u dx dx d d tan u  u sec 2 u dx dx d d cot u   u csc 2 u dx dx d d sec u  u sec u tan u dx dx d d csc u   u csc u cot u dx dx

d C0 dx d x 1 dx d cx n  cnx n1 dx

d d d d uvw u v w dx dx dx dx d n d u  nu n1 u dx dx d d d uv  u v  v u dx dx dx d d v u u v d u  dx 2 dx dx v v

d u d dx arc sen u  dx 1 u2 d u d dx arc cos u   dx 1 u2

d d sen u  u cos u dx dx

d u d dx arc tan u  dx 1  u2

128

d u d dx arc cot u   dx 1 u2



d u d dx arc sec u  2 dx u u 1 d u d arc csc u   dx2 dx u u 1 d u d log u  dx log e dx u

du 1 ua  ln c  a 2 2a ua du 1 au  a 2  u 2  2a ln a  u  c

d u d dx ln u  dx u



d u d e  eu u dx dx



a 2  u 2 du 

d u d a  au ln a u dx dx



u 2  a 2 du 

Formulas de Integración

Métodos de Integración

 (du  dv  dw)   du   dv   dw  a du  a du a  cte  dx  x  c

Por Partes

u c a a u du 1 u  u 2  a 2  a arc tan a  c

u

u

du u2  a2



1 u arc sec  c a a

 ln u  u 2  a 2  c

u 2 a2 u a  u2  arc sen  c 2 2 a

u 2

u 2  a2 

a2 ln u  u 2  a 2  c 2

Por sustitución trigonométrica

n 1

 u du  n  1  c 

du u2  a2

 u dv  uv   v du

x n 1

n

 arc sen

2

2

u

 x dx  n  1  c n

du

2

Para

u  a sen 

du  ln u  c u

du  a cos  d a 2  u 2  a cos 

u

a  a du  ln a  c u

Para u 2  a 2 du

u u  e du  e  c

 sen u du   cos u  c  cos u du  sen u  c  sec u du  tan u  c  csc u du   cot u  c  sec u tan u du  sec u  c  csc u cot u du   csc u  c  tan u du  ln sec u  c  cot u du  ln sen u  c  sec u du  ln sec u  tan u  csc u du  ln csc u  cot u

a 2  u 2 du

u  a tan  du  a sec 2  d

u 2  a 2  a sec 

2

Para u 2  a 2 du u  a sec 

2

du  a sec  tan  d

u 2  a 2  a tan 

Fracciones parciales Factores Lineales Distintos c c

129

Factores Lineales Iguales

cot  

cos  sen 

sen2   cos 2   1 sec 2   1  tan 2 

Factores Cuadráticos Distintos

csc 2   1  cot 2  sen2  

1 1  cos 2 2 2

cos 2  

1 1  cos 2 2 2

Factores Cuadráticos Iguales

1 sen  cos   sen 2 2

Identidades trigonométricas

Integral Definida

1 sen  1 sec   cos  1 cot   tan  csc  

tan  

b

 f ( x) dx  F (b)  F (a) a

Volumen de Solido de Revolución

sen  cos 

b

V     f ( x) dx 2

a

BIBLIOGRAFIA 1. Cálculo con Geometría Analítica Leithold, Louis. Ed. Harla 2. Cálculo con Geometría Analítica Swokowski, Earl. Ed. Grupo Editorial Iberoamérica 3. Cálculo con Geometría Analítica. Dennis G. Zill. Grupo Editorial Iberoamérica 4. Cálculo Diferencial e Integral

Ayres, Frank. Ed. Mc-Graw Hill. Serie Shaums

5. Cálculo Diferencial e Integral Granville, William A. Ed. Limusa 6. Cálculo Diferencial e Integral. J. Stewart. Ed. Thomson 7. Cálculo. R. Larson, R. Hostetler, B. Edwards. Mc Graw Hill. 6a edición. 8. Cálculos de una Variable. G. B. Thomas. R. L. Finney. Addison Wesley Longman. 9a. Edición

9. Cálculo integral. Fuenlabrada, Samuel. Ed. Mc Graw Hill 2a edición. 130