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• Oscar Rodriguez

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICAS, ADMINISTRATIVAS Y DEL COMERCIO

ASIGNATURA NRC INVESTIGACION 3068 OPERATIVA ESTUDIANTE: MENDEZ JAYA BRYAN DANIEL PROFESOR(A): ING. BYRON COCHA

ABRIL – AGOSTO 2016

INVESTIGACIÓN OPERTATIVA Conjunto de técnicas que permiten optimizar el proceso para llegar a un resultado. Aparece a raíz de la segunda guerra mundial como una estrategia. Aspectos fundamentales: Estrategia Logística Táctica La investigación operativa es un conjunto de términos que ha surgido para combinar la teoría con la práctica que a la vez han permitido solucionar problemas más complejos que surgen en una empresa. Como muchos de los avances de la investigación operativa se han debido a los hallazgos matemáticos desarrollados a través de la computación y sobre todo métodos más abreviados de cálculos matemáticos que han hecho factible la solución en problemas que hace años se consideraban fuera de nuestras posibilidades. Es una estrategia o técnica que nos permite llegar a un objetivo con la utilización adecuada de los recursos mínimos disponibles La Investigación operativa es tomada como una ciencia en formación debido al sin número de aplicaciones que tiene, de ahí que no exista un concepto formalizado. Existen muchas inquietudes que pueden plantear y resolver problemas en una amplia gama de actividades creando fundamentalmente más y nuevas posibilidades de acción en esta nueva materia, estas características ya la vez van formando la investigación operativa derivan utilidades para crear modelos de aplicación en empresas u organizaciones de carácter público o privado la investigación operativa reúne a un conjunto de ciencias como la filosofía, psicología, física, matemática, economía, estadística entre otras, identificado un problema concreto contribuyen a encontrar la causa y o efecto de un fenómeno en base de modelos matemáticos, método estadístico y criterios cualitativos provocando una definición de problemas y una solución práctica

EVOLUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La investigación operativa es tan antigua como la conducta del hombre, pues el avance científico es consecuencia de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. Nace como una estrategia Militar, para que los barcos lleguen a su destino. Al inicio de la Segunda Guerra Mundial los mandos militares pidieron ayuda a un grupo de científicos en diferentes áreas para resolver problemas estratégicos y tácticas, estos fueron los primeros equipos de la Investigación Operativa procedentes de diferentes disciplinas en donde surgieron tres elementos básicos para una operación de ataque militar:

Estrategia: Es el objetivo al que se quiere llegar Logística: Son los recursos con los que cuenta la empresa. Táctica: Es la forma, habilidad para llegar a los objetivos planteados con los recursos disponibles.

FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La investigación operativa aspira tener una mejor solución (óptima) para un problema de decisión con la restricción de los recursos limitados. En la investigación Operativa utilizaremos herramientas que nos permite tomar una decisión a la hora de resolver un problema, tal es el caso de los modelos matemáticos que se empleen según la necesidad. Para llevar a cabo el estudio de investigación de Operaciones, es necesario cumplir con una serie de etapas o fases entre las cuales podemos anotas las siguientes:      

Formulación de Problema Construcción de un modelo matemático Búsqueda de una solución Prueba de la solución Establecimiento de controles sobre la solución Ejecución (Poner en marcha la solución)

Formulación de Problema: Deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos de sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado,

MAXIMIZAR: producción, ventas, utilidades, entre otros.

OBJETIVOS MINIMIZAR: recursos, costos, tiempos entre otros.

Construcción de un Modelo Matemático: Las características esenciales de los modelos describirlos de diferente manera. Pueden clasificarse por sus dimensiones,

funciones, propósitos, temas o grados de abstracción, entre otros. Entre los modelos básicos tenemos los siguientes: Icónicos (planos, fotos, mapas) Analógicos (diagramas, curvas, estadígrafos) Simbólicos o Matemáticos (símbolos, ecuaciones)

Búsqueda de una Solución: Una vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solución al problema a partir del modelo. Este paso se los desarrolla determinando la solución óptima de modelo y luego ampliando esta solución al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemáticas del modelo impiden obtener una solución óptima, en estos casos una buena respuesta es suficiente.

Prueba de la Solución: Se puede hacer en 2 pasos

Tomando datos del pasado, haciendo una comparación entre el rendimiento lineal del sistema con la realidad de la empresa. Permite operar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento con el del modelo.

Establecimiento de Controles: Debe colocarse controles sobre la solución con el objeto de detectar cualesquier cambio en las condiciones en las cuales se basa el modelo, obviamente si cambian tanto el modelo, que el modelo ya no es una representación precisa del sistema, el modelo debe ser invalidado, en esta fase ese explica la solución o la administración o gerencia responsable del sistema en estudio, es importante que la explicación de la solución se haga en función de los procedimientos basados en el sistema real.

Ejecución: Consiste en traducir los resultados del modelo validado en instrucciones para el usuario a los ejecutivos responsables que serán los que tomen las decisiones

PROGRAMACIÓN LINEAL OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Proponer en forma cuantitativa acciones o decisiones a tomar para optimizar sistemas donde existan recursos escasos mediante la teoría o la práctica de la técnica de programación. Entender la hipótesis y programación básica de la programación lineal. Resolver gráficamente por qué el problema de programación Lineal de solo 2 variables. Formular y resolver modelos matemáticos a partir de las limitaciones de los problemas planteados. Determinar las soluciones óptimas para problemas de programación lineal utilizando el criterio pesimista, optimista y el valor esperado. Entender temas de programación Lineal tales como factibilidad, redundancia y soluciones óptimas alternativas. Utilizar software para resolver problemas de programación Lineal.

CONCEPTO: Es una fase de modelos de programación destinados a la designación eficiente de los recursos limitados, con el objeto de satisfacer las metas deseadas (maximizar utilidades, minimizar costos, minimizar desperdicios, entre otros). Las características distintivas de los modelos de Programación Lineal es que las funciones que representan el objeto y las restricciones son lineales es decir ecuaciones e Inecuaciones de primer grado. El Objetivo básico de la Programación Lineal es encontrar soluciones mediante modelos matemáticos, utilizando sistemas lineales a problemas de carácter técnico y económico que se presentan por la limitación de los recursos. La programación lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que representan relaciones lineales como para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible. El modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de decisión, coeficientes y/o parámetros, restricciones y una función objetivo. Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados son conocidos. Es Lineal porque las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribución de cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de cada restricción es proporcional al valor de la variable. Es aditivo porque los términos de sus restricciones y objetivos pueden sumarse o restarse. La contribución de cada variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible porque las variables de decisión pueden aceptar

valores fraccionarios, en caso de no aceptar valores fraccionales, se recomienda aceptar la Programación Lineal entera.

CONCEPTOS BÁSICOS Linealidad: Todo proceso, actividad o relación lineal utilizada, se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los factores con respecto a los demás y las cantidades de cada uno de los productos. Ejemplo

Terreno

Rosas

Claveles

1

2 1 500 𝑚3

Agua

50 hectáreas 1 10500 𝑚3

150000𝑚3

Abono

10

6

120 quintales

Personas

5

4

60 personas

Terreno X+2Y=20 X=20 Y=10 Agua X+Y=150 X=150 Y=150 Abono 10X+6Y=120 X=20

Y=12

Finitud: Hay que definir tanto el número de procesos identificados cuanto los resultados disponibles deberán corresponder a cantidades finitas, esto es conocidas y cuantificadas en forma determinada, es decir valores pasados (datos) para hacer proyecciones en investigación operativa no se habla de cantidades infinitas ya que en una empresa no se cuentan con recursos infinitos. Divisibilidad: los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se disponga de recursos. 1’000.000X1 + 3’500.000X2 ≤ 1’500.000 (Dividido para 100. 000) 10X1 + 35X2 ≤ 150 0,0005X1+0,00006X2 ≥ 0,0001 5X1+0.6X2 ≥ 1 (Multiplicado por 1000) Algoritmos o Iteraciones: Son operaciones sucesivas que nos permiten llegar a un objetivo.

EL PROBLEMA GENERAL DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL El problema de la programación lineal se presenta por los limitados recursos que se tratan de distribuir en la mejor forma. Los recursos que a la vez son limitados pueden ser distribuidos en formas como combinaciones matemáticas permitan realizarlos y relacionarlos con el mismo objetivo, de ahí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema. Los problemas de programación lineal resueltos por cualquiera de las técnicas deben cumplir los siguientes requisitos. Función Objetiva Hay 2 alternativas: Maximización Minimización Z(Max)= C1X1 + C2X2 + C3X3 +……..CnXn Z(Min)= C1X1 + C2X2 + C3X3 +……..CnXn En donde C1, C2, C3… en son los coeficientes de la función objetivo que pueden ser costos, utilidades, margen de utilidad, satisfacción entre otros. X1, X2, X3… Xn, son las variables del problema es decir lo que queremos encontrar o calcular.

Limitaciones o Restricciones: Son el conjunto de ecuaciones o inecuaciones que expresan las condiciones infinitas del problema, denominadas también coeficientes técnicos de producción, tecnológicos, de transporte, entre otros según el caso de estudio, y se representa de la siguiente forma: A11X1 + A12X2 + A13X3 + ……..A1nXn T1b1 A21X1 + A22X2 + A23X3 +……..+ A2nXn T2b2 A31X1 + A32X2 + A33X3 +………..+ A3nXn T3b3

An1X1 + An2X2 + An3X3 + ……….AnnXn Tnbn Dónde; A11, A12, A13, Anm son los coeficientes técnicos de las restricciones del problema. X1, X2, X3, Xn son las variables del problema. T1, T2, T3, Tn son la relación entre los coeficientes y las variables y los términos independientes que pueden ser ≤, ≥ ó =. B1, B2, B3, Bn : Términos Independientes a las disponibilidades.

Variables de no negatividad: Son las variables que intervienen en el problema X1; X2; X3; Xn mayores a ≥(O),

_

pero deben ser

X1; X2; X3; Xn ≥ O

Condiciones de optimización: Se va determinando por aproximaciones sucesivas estas pueden ser: Solución básica o zona factible o zona básica: Esta solución satisface las limitaciones y restricciones.

Solución Básica Factible: Es aquella que satisface tanto a las limitaciones o restricciones como a la función objetivo (Punto Óptimo).

  

Solución Óptima Solución Básica Punto Óptimo

Ejercicio N°1 Supongamos que se dispone de cierta cantidad de madera para la elaboración de mesas y sillas. Se dispone de 36 piezas de tabla triplex y 54 tablones que son utilizados para elaborar mesas las mismas que utilizan dos piezas de tabla triplex y 1 tablón; las sillas utilizan 1/4 de galón y en cada silla 1/8 de galón Nos interesa decidir cuantas sillas y cuantas mesas deben fabricar de modo que le permita obtener la máxima utilidad, sabiendo que el beneficio neto de cada silla es de $10 y de cada mesa $20. Función objetiva:

Z(Max)=20X1+10X2

Restricciones: Triplex Tablones Laca

2X1+1/4X2 ≤36 2X1+1X2 ≤54 1/4X1+1/8X2 ≤10

Variables de no negatividad

X1,X2≥0

Abstracción Ec. (1-2) 2X1 + 1/4X2 = 36 -2X1 - 1X2 = -54 ----------------------------3/4 X2=18 X2=24 X1=15 Z(Max) = 20(15) + 10(24) = 540 Interpretación: Se debe fabricar 15 mesas y 24 sillas para obtener una utilidad máxima de 540 dólares

Ejercicio N°2 El rancho Nueva Esperanza está considerando comprar dos marcas diferentes de alimento La pavo y mezclarlos para ofrecer una buena dieta de bajo costo para sus aves. Cada alimento contiene en porciones variables algunos de los tres de ingredientes nutricionales esenciales para pavos de engorde. Por ejemplo cada libro de la marca 1 contiene 5 onzas del ingrediente A, 4 onzas de ingrediente B y 0,5 onzas de ingrediente C. Cada libra de la marca 2 contiene 10 onzas de ingrediente A 3 onzas de ingrediente B. La marca 1 de alimento le cuesta al Rancho 0,02 centavos de dólar por onza; en tanto que la marca 2 de alimento le cuesta 0,03 centavos de dólar por onza. El propietario del rancho desea utilizar la programación lineal para determinar la dieta al menos costo posible y que cumpla con el requisito mínimo de ingesta mensual de cada ingrediente nutricional sabiendo que el requerimiento mensual mínimo del ingrediente A es de 90 onzas, del ingrediente B 48 onzas y del ingrediente C 1.5 onzas. Función objetivo: Z(Min): 0,02X1+0,03X2 Restricciones:

Ingrediente A: 5X1 + 10X2 ≥ 90 Ingrediente B: 4X1 + 3X2 ≥ 48 Ingrediente C: 0,5X1 ≥ 1,5 Variables de no negatividad: X1: X2 ≥ 0

Abstracciones Ecuación (1-2) 5X1 + 10X2 ≥ 90 (4) 4X1 + 3X2 = 48

20X1 + 40X2 = 360 -20X1 - 15X2 = -240

-------------------------------25X2 =120 X2 = 4,8

X1= 8,4

Z (Min): 0,02(8,4)+0,03(4,8)= 31,20 Interpretación El rancho Nueva Esperanza debe comprar 8,4 onzas de la marca 1 y 4,8 onzas de la marca 2 para cubrir con los requisitos mínimos necesarios de una dieta adecuada para alimento de engorde para pavos con una inversión mínima de 31,20 unidades monetarias. 5(8,4)+ 10(4,8) ≥ 90

90≥90 Cumplo con los requerimientos mínimos exigidos

4(8,4) + 3(4,8) ≥ 48

48≥48 Cumplo con los requerimientos mínimos exigidos

0,5(8,4) ≥ 1,5

4,2≥1,5 Utilizo 2,7 onzas más del mínimo requerido

Ejercicio N°3 Una panadería quiere introducir la elaboración de dos nuevos tipos de pan : integral y de centeno, ya que se tiene asegurado la venta de su producción .Estos panes se elaboran principalmente a base de tres ingredientes. Salvado integral harina de trigo y harina de centeno. Para elaborar un kilogramo de pan integral se necesita 350 gramos de salvado integral y 150 gramos de harina de trigo y para la elaboración de un kilogramo de pan de centeno se necesitan 250 gramos de harina de trigo y 250 gramos de harina de centeno. La disponibilidad diaria de salvado integral es de 210 kilogramos ,115 kilogramos de harina de trigo y 100 kilogramos de harina de centeno. El beneficio que deja cada kilogramo de pan integral es de 0.40$ y 0.60$ cada kilogramo de pan de centeno. La panadería desea saber la producción de pan integral y de centeno si se ha puesto las siguientes metas por orden de prioridad. Se desea obtener un beneficio de al menos 240 $ diarias Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan integral sea al menos el doble de que la de centeno. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan de centeno sea cuanto más 300 kilogramos

Función objetiva : Z(MAX) = 0.40X1 + 0.60X2

Restricciones: Disponibilidad salvado integral

0.35X1 ≤ 210

Disponibilidad harina trigo

0.15X2+0.25X2 ≤ 115

Disponibilidad harina centeno Beneficio mínimo Relacione entre pan Producción pan centeno

Variables de no negatividad : X1,X2 ≥ 0

0.25X2 ≤ 100 0.40X1 +0.60X2 ≥ 240 X1 ≥ 2X2 X2 ≥ 300

Abstracción Ec. 1^2 0.35X1

= 210

-0.35X1 – 0.58X2 = -267.95 --------------------------------------0.58X2

= -57.95

X1= 600

X2= 99.99

Z(MAX) = 0.40 ( 600) + 0.60(99.99) = 299.94 $ Interpretación: Se debe elaborar 600 kilogramos de pan integral y 99.99 kilogramos de pan de centeno para obtener una utilidad máxima de 299.94 $

Ejercicio N°4 Una tercena de la ciudad acostumbrada a preparar carne para albóndigas con una combinación de carne molida de res y carne molida cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa y le cuesta a la tercena 3$ por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32& de grasa y le cuesta 2.5$ por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albóndigas si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor del 25% ? ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tercena en cada libra de albóndiga , si se desea maximizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor del 25%?

Función objetivo: Z(MAX) = 3X1+2.5X2 Z(MIN) = 3X1+2.5X2

Restricciones: Producción máxima

0.2X1 + 0.32X2 ≤ 0.25 X1+X2 ≤ 1

Disponibilidad de carne

Variables de no negatividad:

X1,X2 ≥ 0

Abstracción

Ec. 1^2

0.2X1 + 0.32X2 = 0.25 -0.2X1 – 0.2X2 = -0.2 -------------------------------0.12X2 = 0.05

X1= 0.58

X2= 0.42

Z(MAX) = 3(0.58) + 2.5(0.42) = 2.79 Z(MIN) = NO HAY SOLUCION

Interpretación: La tercena debe emplear en cada libra de albóndigas 0.58 de carne de res y 0.42 de carne de cerdo para obtener una utilidad de 2,79 $ en cada libra

Ejercicio N°5 El ministerio de obras públicas ha decidido añadir exactamente 200 km de carretera y exactamente 100 km de autopista en el sector de la costa, el precio estándar para la construcción de la carretera es de 1’000.000 por km de carretera y de 5’000.000 por km de autopista. Solo dos contratistas, la compañía Alvarado y el cuerpo de ingenieros pueden realizar este tipo de construcciones, así que estos 300 km de camino deben ser construidos por estas compañías. Sin embargo, la compañía Alvarado puede construir a lo más 200km de carretera y autopista. Y el cuerpo de ingenieros puede construir a lo más 150 km. Por razones políticas a cada compañía debe adjudicarse de un contrato de al menos de 250’000.000 (antes de descuento). La primera compañía ofrece un descuento de 1000 dólares por km de carretera y 6000 por km de autopista. La segunda compañía ofrece un descuento de 2000 dólares por km de carretera y de 5000 por km de autopista. Si x1 y x2 representan el número de km de carretera y autopista respectivamente adjudicados a la compañía Alvarado, demuestre que el descuento total D recibido de ambas compañías está dada por D = 900.000 –1000 x1 + 1000 x2

El ministerio desea maximizar el descuento, resuelva el problema mediante el método gráfico.

Km carretera= x1 Km autopista= x2 Función objetivo: Z (máx.)= 900.000 –1000 x1 + 1000 x2 Restricciones: Capacidad Alvarado

x1 + x2 ≤ 200

Capacidad cuerpo de ing.

(200-x1) + (100- x2) ≤ 150

Adjudicación a Alvarado 250

1’000.000 x1 + 5’000.000 x2 ≥ 250’000.000; x1 +5 x2 ≥

Adjudicación cuerpo de ing. 1’000.000 (200-x1) 250’000.000 x1 + 5 x2 ≤ 450 Variables de no negatividad: X1, X1 ≥ 0

; x1 + x2 ≥ 150

+ 5’000.000 (100- x2)

≥

Ec.

Ec.

X1 + X2 = 200 -X1 - 5X2 = -450 ----------------------------4X2 = -250 X2=62.5

x1=137.5

Ec. X1 + X2 = 150 -X1 - 5X2 = -450 ----------------------------4X2 = -300 X2=75

X1=75

Ec. X1 + X2 = 150 -X1 - 5X2 = -250 ----------------------------4X2 = -100 X2=25

X1=125

Ec. X1 + X2 = 200 -X1 - 5X2 = -250 ----------------------------4X2 = -50 X2=12.5

X1=187.5

Z (máx.)= 900.000 –1000 (75)+ 1000 (75) = 900.000 Z (máx.)= 900.000 –1000 (125)+ 1000 (25)= 800.000 Z (máx.)= 900.000 –1000 (137.5)+ 1000 (62.5)= 825.000 Z (máx.)= 900.000 –1000 (187.5)+ 1000 (12.5)= 725.000

Solución factible: Z (máx.)= 900.000 –1000 (75)+ 1000 (75) = 900.000

Interpretación: para que el ministerio de obras públicas tenga el mejor descuento, debe distribuir 75 kilómetros de carretera y 75 kilómetros de autopista, para obtener un descuento de 900.000 dólares.

DEBER N°1 PRIMER PARCIAL

Ejercicio N°1 Dos productos tienen el siguiente proceso. Hay un taller que lo más que puede hacer es 200 productos del tipo A o 100 del tipo B por día. El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 120 productos de tipo A y 160 del tipo B. también el tratamiento técnico puede procesar un total de 90 artículos del tipo A por día. El producto A tiene una utilidad de $4 y el producto B de $6. Determinar la producción óptima que maximice los beneficios.

SOLUCIÓN Función objetiva:

𝑍(max) = 4𝑥1 + 6𝑥2

Limitaciones o restricciones:

𝑋1

Proceso producto A

𝑋2 ≤ 200

Proceso producto B Capacidad producto A Capacidad producto B

Variable de no negatividad:

X1+X2 >= 0

≤ 200

𝑋1

≤ 120 𝑋2 ≤ 160

Interpretacion:

La empresa debe fabricar 120 productos de A y 100 productos de B de esta manera la empresa ontengra un beneficio de $1000.

Ejercicio N°2

Una fábrica elabora dos clases de champú A y B, para lo cual dispone de ingredientes para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora para llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, si dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo más en 70 botellas. La fábrica está en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 0,80 centavos y 0,90 centavos de la B. ¿Cuántas botellas de A y B se debe llenar para que la fábrica obtenga los mayores beneficios?

SOLUCIÓN

Función objetiva:

𝑍(max) = 0,80𝑋1 + 0,90𝑋2

Limitaciones o restricciones:

𝑋1 + 𝑋2

Disponibilidad independiente Disponibilidad hora/llenado Demanda de A Capacidad etiquetado A Capacidad etiquetado B

Variable de no negatividad:

X1+X2 >= 0

≤ 80

1/10 𝑋1 + 4/10𝑋2 ≤ 20 𝑋1 90𝑋1

≤ 70 = 90 60𝑋2 = 60

Interpretación: La empresa de champú, para poder mejorar sus beneficios deberán envasar una botella tanto de A como de B de esta manera se reducirá a $1,70 por botella y obtendrá mayor beneficio.

Ejercicio N°3

Una empresa planea una campaña de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320.000 individuos audiencia A, de los cuales al menos 120.000 tengan un ingreso mínimo anual de 5000$ y al menos 80.000 sean solteros. Se desea únicamente la radio y la televisión como medios de publicidad. Un anuncio de TV cuesta 10.000 $ y se estima que llega a un promedio de 40.000 individuos audiencia A, de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 5000 $ anuales y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta 6.000 $ y llega a un auditorio promedio de 10.000 oyentes clase A, de los cuales el 80% tienen ingresos superiores a los 5000 $ anuales y llega a 4000 solteros. Hallar el número de anuncios por cada medio para minimizar el costo.

Anuncio de Tv= x1 Anuncio radio = x2 Función objetivo: Z (min)= 10.000 x1 + 6000 x2 = 10 x1 + 6 x2 Restricciones: 25

80

Personas con ingresos de 5000$ 40.000 (100) 𝑥1 + 10.000 (100) 𝑥2 ≥ 120.000 10 𝑥1 + 8 𝑥2 ≥ 120 ; 𝟏) 𝟓 𝒙𝟏 + 𝟒 𝒙𝟐 ≥ 𝟔𝟎 Personas solteras

20

40.000 (100) 𝑥1 + 4.000 𝑥2 ≥ 80.000 𝟐)

Total de personas

𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟐𝟎

40.000 𝑥1 + 10.000 𝑥2 ≥ 320.000 𝟑) 𝟒 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟑𝟐

Variables de no negatividad X1, X1 ≥ 0 Solución Ecuación 2 y 3

𝟐) 𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 𝟑)

𝟒 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟑𝟐 ; 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 ( −𝟏) 2 𝑥1 + 𝑥2 = 20 − 4 𝑥1 − 𝑥2 = −32

Resolviendo: −2 𝑥1 = −12 𝒙𝟏 = 𝟔 Reemplazando el valor de x1 en la ecuación 2: 2 𝑥1 + 𝑥2 = 20 2 (6) + 𝑥2 = 20 𝒙𝟐 = 𝟖 Para minimizar el costo los valores de las variables deben ser x1=6 y x2=8

Z (min)= 10.000 (6) + 6.000 (8)= 108.000 $ Interpretación: la empresa debe utilizar 6 anuncios de televisión y 8 anuncios de radio, para minimizar el costo de los anuncios a 108.00 dólares

EJERCICIO N°4 Una compañía petrolera, que tiene 2 refinerías, necesita al menos 800,1400 y 500 barriles de petróleo de grados, bajo, medio y alto respectivamente. Cada día la refinería 1 produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado. Mientras que la refinería 2 produce 100 barriles de grado alto ,100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de 2500 dólares para operar la refinería 1 y de 2000 dólares para la refinería 2 ¿Cuántos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo?¿Cual es el costo mínimo?. Variables: X1: Cantidad de días que debe ser operada la refinería I X2 : Cantidad de días que debe ser operada la refinería II Función objetiva:

Z(min) = 2500 X1 + 2000 X2

Restricciones : Cantidad mínima de barriles de petróleo de grado bajo requerido: 200X1 + 100X2 ≥800 Cantidad mínima de barriles de petróleo de grado medio requerido: 300X1 +200X2 ≥ 1400 Cantidad mínima de barriles de petróleo de grado alto requerido: 100X1 + 100X2 ≥500

Variables de no negatividad:

X1 , X2≥0

Interpretación: La compañía petrolera, tiene que operar 4 días en la refinería I y 1 día en la refinería II para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo de $12000

Ejercicio N.- 5 Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingredientes para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de cerveza Pílsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado en un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de cerveza Club. Cada botella de cerveza Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia? Función Objetiva: Z(Max)=0.10X1+0.15X2 Pílsener=X1 Club=X2

Restricciones Disponibilidad de Ingredientes X1+X2≥30 Tiempo de llenado de botellas

0.05X1+0.08X2≤2

Demanda de cerveza Pílsener

X1=22

Demanda de cerveza Club

Variables de no negatividad

X2≤10

X1, X2≥0

Abstracción

Ec. (3-4)

X1=22 X2=10

Z(Max)= 0.10X1+0.15X2=0.10(22) +0.15(10)= $37

Interpretación: Se debe llenar 22 botellas de cerveza Pilsener y 10 botellas de cerveza Club para obtener una utilidad máxima de $37.

Ejercicio 6. Se fabrica dos productos a y b. Una unidad de a se lleva $2 de mano de obra y $6 cada unidad de b. de materia prima se lleva $4 cada uno de a , $2 cada uno de b.el desgaste de equipo se supone proporcional a la producción y es de $ 2 por cada una de A Y $2 por cada uno de B . se dispone de al menos de $ 36 para salarios al menos $48 para materia prima y cuando mucho $32 para desgaste de equipo. Se estima que la demanda de A en el mercado es al menos 9 unidades .el beneficio de A es de $20 cada uno y $10 cada uno de B .¿cuál es la cantidad que se debe producir de cada producto para obtener las utilidades más altas posibles? FUNCION OBJETIVO Z (MAX) = 20X1  10X2 RESTRICCIONES Disponibilidad de mano de obra

2X1 + 6X2 ≥ 36

Disponibilidad de materia prima

4X1 + 2x2 ≥ 48

Requerimiento desgate equipo

VARIABLE DE NO NEGATIVIDAD X1  X2  0 CONDICIONES DE OPTIMIZACIÓN

2X1 + 2X2 ≤ 32

2y3 

2X1 + 2X2 ≤ 32



10X1+8X2 = 8000

10X1 + 8(750) = 8000 X1 =

8000 − 6000 10

X1= 𝟐𝟎𝟎 X2 = 750 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 60(200)+ 40(750)

𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 42 000,00 INTERPRETACIÓN

Para maximizar su utilidad la empresa debe fabricar 200 unidades de tipo A Y 750 unidades de tipo B para tener una utilidad de $42000

EJERCICI0.- 7 Para el modelo (DE LA DIETA). Ozark Farms utiliza diariamente para lo menos 800 libras de alimentos especiales. El alimento especial es una mescla de maíz y semilla de soya con las siguientes compasiones: LIBRA POR LIBRA DE ALIMENTO PARA GANADO Alimentos para ganado

Proteínas

Fibra Costo(Libras)

Maíz

0,09

0,02

0,3

Semilla de Soya

0,6

0,06

0,9

Lo requerimiento dietético diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5%de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimentos supongamos que la disponibilidad diaria de maíz se limita a 450 libras. Identifique el nuevo espacio de solución la nueva solución óptima. Variables: X1= libras de maíz X2= libras de semilla de soya FUNCION OBJETIVO 𝑍(𝑀𝐴𝑋) = 0,30𝑋1 + 0,90𝑋2 RESTRICCIONES O LIMITACIONES 𝑋1 + 𝑋2 ≥ 800 0,09𝑋1 + 0,60𝑋2 ≥ 0,30(𝑋1 + 𝑋2) 0,02𝑋1 + 0,06𝑋2 ≤ 0,05(𝑋1 + 𝑋2) VARIABLE DE NO NEGATIVIDAD 𝑋1; 𝑋2 ≥ 0

GRAFICO

ABSTRACCION Ecuación 1 𝑋1 + 𝑋2 = 800 𝑋2 = 800 − 𝑋1 x1

x2

0

0

100

700

200

600

300

50

Ecuación 2 0,02𝑋1 + 0,30𝑥2 = 0 0,3𝑥1 = 0,21𝑥2 𝑋2 =

0,21𝑥1 0,3

x1

x2

0

0

100

70

200

140

300

210

Ecuación 3 0,02𝑥1 + 0,06𝑥2 = 0,05𝑥1 + 0,5𝑥2 0,01𝑥2 = 0,03𝑥1 𝑋2 =

0,03𝑥1 0,01

CONCLUSIÓN

Para el modelo de la dieta se debe utilizar 200 libras de maíz y 600 libras de semilla para obtener una minimización de $600

Ejercicio N° 8 Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?

Horas tienda 1= x1 Horas tienda 2= x2

Función objetivo: Z (máx.)= 8x1 + 6x2 Restricciones: Horas disponibles en la semana

x1 + x2 ≥ 20

Horas de trabajo en la tienda 1

x1 ≥ 20

Horas de trabajo en la tienda 2

x2 ≥ 6

; x1 ≤ 12 ; x2 ≤ 10

Variables de no negatividad X1, X1 ≥ 0 Solución 𝟏) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 𝟐)

𝒙𝟏 = 𝟐𝟎

𝟑)

𝒙𝟏 = 𝟏𝟐

𝟒)

𝒙𝟐 = 𝟔

𝟓)

𝒙𝟐 = 𝟏𝟎

Graficando las cinco ecuaciones se puede obtener la zona factible de maximización, los valores son x1=12 y x2=10

Z (máx.)= 8(12) + 6(10) = 156$ Interpretación: Viviana Erazo debe trabajar 12 horas en la tienda 1 y 10 horas en la tienda 2, para obtener una ganancia máxima de 156 dólares.

Ejercicio N°9 La tienda de comestibles ByK vende 2 tipos de bebidas alcohólicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, ByK de colas, más económica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dólar por lata, mientras que el de la bebida de cola ByK suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al dia. Aun cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de marca ByK, porque considerablemente es más económica. Se calcula que la venta de la marca ByK superan a las de la marca A1 en una razón de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo ¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para su máxima utilidad? ¿Determine la razón de las utilidades por lata A1 y ByK que mantendrá inalterada la solución en (a) Variables Cola A: 𝑋1 Cola ByK: 𝑋2 Función objetiva

𝑍(max) = 0.5𝑋1 + 0.7𝑋2 Restricciones o Limitaciones Venta de Latas Venta superior

𝑋1 + 𝑋2 ≤ 500 𝑋1 ≤ 2𝑋2

Solución Grafica

Interpretación: Para maximizar la utilidad la tienda debe tener una existencia de 333 latas de cola de marca A y 167 latas de cola de la marca ByK así obtendrá una utilidad máxima de $283,33

MÉTODO SIMPLEX El método simplex se basa en el álgebra y se lo emplea para resolver problemas de programación lineal tanto de maximización como de minimización. Es un proceso repetitivo numérico que permite llegar a una solución óptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solución básica, si esta solución básica factible tomada como punto de partida no satisface, es necesario tomar otra solución que nos da un valor para Z mayor o menor y así sucesivamente hasta llegar a la solución final. Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas). Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex. Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones. El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo. Todas las variables están restringidas a valores no negativos. OBJETIVOS Explicar detalladamente por qué el método simplex encuentra soluciones óptimas para problemas de programación lineal. Determinar cuándo un problema de programación lineal tiene soluciones. Determinar cuándo un problema de programación lineal no tiene soluciones. PROCEDIMIENTO Cualquiera que sea el número de inecuaciones y de incógnitas de un sistema, este por sí mismo se ajusta a un tratamiento de identificación que nos dé una idea de que sea sujeto de solución. Cuando el sistema reúne a un número de ecuaciones inferior al número de incógnitas, existen muchas soluciones. Justamente es el caso más frecuente de los problemas de programación lineal, de allí que es necesario introducir (+) variables de holgura en los casos de expresión ≤ (igual o menor), restar (-) variables de holgura e introducir variables artificiales en los casos de ≥ (mayor o igual) y en los casos de = se introduce variables artificiales con signo más. ≤ + Variables de Holgura.

+S

≥ - Variables de Holgura + Variable Artificial.

–S+m

= + Variable Artificial.

+m

DUALIDAD – DUAL SIMPLEX PRIMAL

DUAL

F.O

F.O

Z (máx.)

Z (mín.)

Z (mín.)

Z (máx.)

REGLAS Todas las relaciones tienen que tener la misma relación MÍN (≥)

MÁX (≤)

≤ (-1)

≥

≤

≤

≥

≥

≥

≤

=

≥

=

≥ (-1) ≤

≤ (-1) ≥

≤

EJERCICIOS EN CLASES

Ejercicio 1 𝑍(max) = 6𝑋1 + 5𝑋2 + 4𝑋3 Restricciones: 2𝑋1 + 2𝑋2 + 𝑋3 ≤ 90 𝑋1 + 3𝑋2 + 2𝑋3 ≤ 150 2𝑋1 + 𝑋2 + 2𝑋3 ≤ 120 Variables

de

Neo 𝑋1 , 𝑋2 , 2𝑋3 ≤ 0

2𝑋1 + 2𝑋2 + 𝑋3 + 𝑆1 = 90 𝑋1 + 3𝑋2 + 2𝑋3 + 𝑆2 = 150 2𝑋1 + 𝑋2 + 2𝑋3 + 𝑆3 = 120 𝑍(max) = −6𝑋1 − 5𝑋2 − 4𝑋3 + 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3

negatividad

Variables básicas 𝑍 𝑆1 𝑆2 𝑆3

𝑍 1 0 0 0

𝑋1 -6 2 1 2

𝑋2 -5 2 3 x

𝑋3 -4 1 2 2

𝑆1 0 1 0 0

𝑆2 0 0 1 0

𝑆3 0 0 0 1

Solución 0 90 150 120

𝑍=0 𝑆1 = 0 𝑆2 = 150 𝑆3 = 120 Variables básicas 𝑍 𝑋1 𝑆2 𝑆3 Variables básicas 𝑍 𝑋1 𝑆2 𝑋3

𝑍 1 0 0 0

𝑋1 0 1 0 0

𝑍 1 0 0 0

1 1 2 -1

𝑋1 0 1 0 0

𝑋2

𝑋3 -1 1/2 3/2 1

𝑋2 0 3/2 7/2 -1

𝑆1 3 1/2 -1/2 -1

𝑋3 0 0 0 1

𝑆2 0 0 1 0

𝑆1 2 1 1 -1

0 0 0 1

𝑆2 0 0 1 0

𝑆3

Solución 270 45 105 30

𝑆3 1 -1/2 -3/2 1

Solución 300 30 60 30

Interpretación: Para obtener una utilidad de 300 se necesita tener en disponibilidad 30 unidades de X1, 60 unidades de X2 y 30 unidades de X3.

Ejercicio N°2 Una compañía vende 3 mezclas diferentes de nueces, la mezcla más barata contiene 40% de cacahuates. 30% de nueces y 30% de almendras. La mezcla regular contiene 30% de cacahuates, 40% de nueces y un 30% de almendras, mientras que la más cara contiene 50% de cacahuates, 25% de nueces y almendras. Cada semana la compañía obtiene 1800kilos de cacahuate, 1200 kilos de nueces y 1500 kilos de almendras. Cuantos kilos de cada muestra deberían producir a fin de maximizar las utilidades si las

ganancias son de 72$ por kilo de la mezcla barata, 65$ de la mezcla regular y 24$ por kilo de la mezcla más cara 1. Variables de decisión: X1 = Mezcla Barata X2 = Mezcla regular X3 = Mezcla cara MEZCLA BARATA REGULAR CARA KL DE MEZCLA

CACAHUATES 40% 30% 50% 1800

NUECES 30% 40% 25% 1200

2. Función Objetivo Z(máx.) = 72X1+65X2+24X3 3. Restricciones 720X1+540X2+900X3 1800 ≤ 360X1+480X2+300X3 1200 ≤ 450X1+450X2+375X3 1500 ≤ X1,X2,X3 ≥ 0 4. Variables de holgura 720X1+540X2+900X3+S1 1800 = 360X1+480X2+300X3+S2 1200 = 450X1+450X2+375X3+S3 1500 = 5. Iteraciones método simplex

ALMENDRAS 30% 30% 25% 1500

$/SEMANA 72 65 24

6. Interpretación Esta compañía tiene que producir 4000 kilos de la mezcla regular y no le conviene producir más de la mezcla más cara. Produciendo 4000 obtiene una utilidad de 288000. S3 dice que tengo 300 kilos de almendra disponible. S1 dice que tengo 200 kilos de cacahuates disponible.

Ejercicio No 3 El rancho Nueva Esperanza está considerando comprar 2 marcas diferentes de alimentos para pavos y mezclarles para ofrecer una buena dieta de bajo costo para sus aves. Cada alimento contiene en proporciones variables, algunos de los 3 ingredientes saludables esenciales para los pavos de engorde. Por ejemplo, de la libra de la Marca 1 contiene 5 onzas del ingrediente A, 4 onzas del ingrediente 4 y 0.5 onzas del ingrediente C. Cada libra de la Marca 2 contiene 10 onzas del ingrediente A, 3 onzas del ingrediente B. La Marca 1 de alimento le cuesta al rancho $0.02 cada libra; en tanto que la Marca 2 de alimentos cuesta $0.03 cada libra. El propietario del rancho desea utilizar la programación lineal para determinar la dieta al menor costo posible que cumpla con el requisito mínimos de ingesta mensual de cada ingrediente nutricional sabiendo que el requerimiento mensual mínimo del ingrediente A es de 90 onzas, del ingrediente B 48 onzas y del ingrediente C 1.5 onzas.

Función Objetiva Z (min)= 0.02 x1 + 0.03 x2+ 0S1+ 0S2+0.0S3+ M1+M2+M3 Restricciones Requerimiento mínimo ingrediente A 5x1 + 10x2 ≥90 Requerimiento mínimo ingrediente B 4X1+3x2

≥ 48

Requerimiento mínimo ingrediente C 0.5x1

≥1.5

Variables de no negatividad

x1; x2≥0

Abstracciones 5x1+ 10x2-S1 +M1

=90

4x1+3x2

+M2

0.5x1

-S2

=48

-S3 +M3 =1.5

CJ

Xj m1 m2 m3 Zj Cj-Zj

M M M

90/10 5/10 10/10 -1/10 0/10 0/10 1/10 0/10 0/10

bn 90 48 1.50 139.50M ---------

9 ½ 1 -1/10 0 0 1/10 0 0

CJ 0.03 M M

𝑏𝑛 𝑥𝑖

=

𝑏𝑛 𝑥2

– ---------

90

3 1.5 0

0

0

0

M

M

M

X1 5 4 0.5 9.50M 9.50M

X2 10 3 0 13M 13M

S1 -1 0 0 -M -M

S2 0 -1 0 -M -M

S3 0 0 -1 -M -M

m1 1 0 0 M 0

m2 0 1 0 M 0

m3 0 0 1 M 0

48-9(3) 4-1/2(3) 3-1(3) 0+1/10(3) -1-0(3) 0-0(3) 0-1/10(3) 1-0(3) 0-0(3)

= 10 = 9 pigote 48

0.03

0.02 bn X1 9 1/2 21 5/2 1.5 0.5 22.50M 3M

Xj x2 m2 x1 Zj Cj Zj

0.02

= 16

3M

21 5/2 0 3/10 -1 0 -3/10 1 0

0.03 X2 1 0 0 0.03

0 S1 -1/10 3/10 0 3/10M

0 S2 0 -1 0 -M

0 S3 0 0 -1 -M

0

3/10M -M

-M

𝑏𝑛 𝑏𝑛 7.5 = = = 7.5 𝑥𝑖 𝑠3 1 13.5 5

=0

M m1 1/10 -3/10 0 3/10M 3/10M

3 −2

= 27/10 𝑝𝑖𝑔𝑜𝑡𝑒 = −1.5

M m2 0 1 0 M

M m3 0 0 1 M

0

0

1.5/0.5

3 1

21-3(5/2)

13.5

9-3(1/2)

7.5

5/2-1 (5/2)

0

1/2-1 (1/2)

0

0-0(5/2)

0

1-0(1/2)

1

3/10-0(5/2)

3/10

-1/10-0(1/2)

-1/10

0.5/0.5 0/0.5

0

0/0.5

0

0/0.5

0

-1/0.5

-2

-1-0(5/2)

-1

0-0(1/2)

0

0/0.5 0/0.5

0 0

0+2(5/2)

5

0+2(1/2)

1

1/0.5

2

-3/10-0(5/2)

-3/10

1/10-0(1/2)

1/10

1-0(5/2)

1

0-0(1/2)

0

0-2(5/2)

-5

0-2(1/2)

-1

CJ 0.03 M

Xj x2 m2

bn 7.5 13.5

0.02 X1 0 0

0.03 X2 1 0

0 S1 -1/10 3/10

0 S2 0 -1

0 0.03 0

0 0 3/10M -M 3/10M -M

0 S3 1 5

M m1 1/10 -3/10

M m2 0 1

-2 5M 5M

0 0 -3/10M M -3/10M 0

M m3 -1 -5

𝑏𝑛 𝑏𝑛 9 = = = 18 𝑥𝑖 𝑥2 1/2 21 5/2 1.5 0.5

0.02

x1 Zj Cj Zj

= 8.4 = 3 pigote

3 1 13.5M 0.02 – -----0

2 -5M 6M

13.5/5 0/5 0/5 3/10/5 -1/5 5/5 -3/10/5 1/5 -5/5

27/10 0 0 3/50 -1/5 1 -3/50 1/5 -1

CJ

0.0 3 0 0.0 2

X j x 2 S 1 x 1

bn 4.8 0 2.7 0 8.4 0

7.5-27/10

24/5

0-0

0

1-0

1

-1/10-3/50

-4/25

0+1/5

1/5

1-1

0

1/10+3/50

4/25

0-1/5

-1/5

-1+1

0

3-27/10(-2) 1-0(-2) 0-0(-2) 0-3/50(-2) 0+1/5(-2) -2-1(-2) 0+3/50 (-2) 0-1/5(-2) 2+1(-2)

42/5 1 0 3/25 -2/5 0 -3/25 2/5 0

0.0 2 X1

0.0 3 X2

0

0

0

M

M

M

S1

S2

S3

m1

m2

m3

0

1

-4/25

1/5

0

4/25

-1/5

0

0

0

3/50

-1/5

1

-3/50

1/5

-1

1

0

3/25

-2/5

0

-3/25

2/5

0

Z 0.31 j 2

0.0 2

C ------ 0 j – Z j

0.0 3 0

0.002 4 0.002 4

0 0.00 2 0.00 0 2

0.00 24

0.00 2

0

0.00 24

0.00 2

0

Análisis El rancho Nueva Esperanza debe comprar 8. 4 libras de la marca A y 4.80 libras de la marca B para cubrir con los requisitos mínimos de una dieta adecuada para el alimento de los pavos de engorde con una inversión mínima de $31.20.

EjercicioN°4 El ministerio de obras públicas ha decidido añadir exactamente 200km de carretera y exactamente 100km de autopista en el sector de la costa, el precio estándar para construcción es de $1000000 por kilómetro de carretera y de $5000000 por kilómetro de autopista. Solo 2 contratistas, la compañía ALVARADO y el CUERPO DE INGENIEROS pueden realizar este tipo de construcciones así que estos 300km de camino deben ser construidos por estas compañías. Sin embargo la compañía ALVARADO puede construir a lo más 200km de carretera y autopista y el CUERPO DE INGENIEROS puede construir a lo más 150km por razones políticas, a cada compañía debe adjudicarse un contrato de al menos 250000000 antes del descuento. La primera compañía ofrece un descuento de 1000 por km de carretera y 6000 por kilómetro de autopista. La segunda compañía ofrece descuento de 2000 por kilómetro de carretera y de 5000 por kilómetro de autopista. Si x1 y x2 representan el número de kilómetros de carreteras y autopistas respectivamente adjudicados a la compañía ALVARADO demuestre que el descuento total recibido de ambas compañías de miles de dólares está dado por 9000001000x1+1000x2 El ministerio de obras públicas desea maximizar el descuento total, resuelva problema método simplex. DATOS: FUNCION OBJETIVO

Z (MAX) = X1+X2 RESTRICCIONES Capacidad construcción Alvarado

X1+X2≤ 200

Capacidad construcción Cuerpo de Ingenieros Adjudicación Alvarado

X1+5X2≥ 250

Adjudicación Cuerpo de Ingenieros X1+X2≤450 VARIABLES DE NONEGATIVIDAD X1, X2≥0 ABSTRACCIONES X1+X2+S1=200 X1+X2 -S2+m2= 150 X1+5X2

-S3+m3= 250

X1+5X2

+S4= 450

X1+X2≥ 150

REEMPLAZO: Z (MAX)= 900000-1000(187.5)+1000(12.5) Z (MAX)= 725000 ANÁLISIS Para que el Ministerio de obras Publicas cumpla con todos los requerimientos para la realización de dichas obras y optimizando al máximo sus recursos se hace necesario que se construya 187.5 km de carretera y 12.5 km de autopista por parte de la compañía de ALVARADO y 187.5 km de autopista por parte de la compañía CUERPO DE INGENIEROS.

DEBER EJERCICIO N° 1 La Sta. Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de tercer año de Escuela Politécnica del Ejército. Comprende que “solo el trabajo y nada de diversión hacen de Fernanda una muchacha aburrida”. Como resultado Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar nada más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego? Función objetivo: Z(Max)= X1+2X2 Restricciones: X1+X2 ≥ 10

≈>

-X1-X2 ≤ -10

X1+X2 ≤ 10

≈>

X1+X2 ≤ 10

X1-X2 ≤ 0

≈>

X1-X2 ≤ 0

X1≤ 4

≈>

X1≤ 4

Análisis: Fernanda debe utilizar 4 horas para jugar y 5 horas para trabajo para cumplir con todas sus 10 horas disponibles de tal manera Fernanda pueda disfrutar tanto como trabajar

Ejercicio N°2 Margarita debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la Universidad. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Margarita puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. De manera que Margarita quiere basar su decisión acerca de cuantas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente; el factor de estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Margarita calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda? X1= horas en la tienda 1 X2= horas en la tienda 2 Función objetivo. Z (Max)= 8x1 + 6x2

Restricciones Horas disponibles:

x1+ x2 ≥ 20

Horas disponibles tienda 1:

x1 ≥ 5 ; x1 ≤12

Horas disponibles tienda 2:

x2 ≥ 6 ; x2 ≤10

Variables de no negatividad: x1,x1 ≥0

Margarita debe trabajar en la tienda 1, 12 horas y en la tienda 2, 10 horas.

EJERCICIO N°3 Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de producción por unidad de los productos A y B son de 10 y 12 minutos fabricante vende entre 150 y, respectivamente. El tiempo regular total de la maquina es de 2500 minutos por día. En un día cualquiera, el 200 unidades del producto A, pero no más de 45 unidades del

producto B. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0,50 de dólar por minuto. Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos a y b son de 7,50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel óptimo de fabricación para cada producto, así como cualesquiera número de horas extra necesarias en el centro. Si el costo por minuto de horas extras se incrementa a 1,50 dólares, ¿La compañía debe utilizar horas extras?

Función objetivo 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 6𝑥1 + 7,5𝑥2 − 0,5𝑥3

Restricciones 10𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑥3 = 2500

Tiempo total de amabas maquinas

𝑥1 ≥ 150

Venta mínima producto 1

𝑥1 ≤ 200

Venta máxima producto 1

𝑥2 ≤ 45

Venta máxima producto 2 Variables de no negatividad 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Abstracciones

10𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑥3 ≤ 2500 −10𝑥1 − 12𝑥2 + 𝑥3 ≤ −2500 −𝑥1

≤ 150 𝑥1

≤ 200 𝑥2

≤ 45

DUAL SIMPLEX

Función objetivo

𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 200𝑦1 − 2500𝑦2 − 150𝑦3 + 200𝑦4 + 45𝑦5 Abstracciones 10𝑦1 − 10𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 ≥6 12𝑦1 − 12𝑦2 + 𝑦5 ≥7,5 −𝑦1 + 𝑦2 ≥0,5

Solución Para alcanzar un nivel óptimo de fabricación se deben realizar 200 unidades del producto 1 y 45 del producto 2 empleando un tiempo de 40 minutos y así obtendrá una ganancia de 1557,50 empleando el costo adicional de 0,50 ctvs. por minuto, así mismo

si el costo por minuto de horas extras se incrementa a $1,50 la compañía no deberá utilizarlos ya que de igual manera se genera una ganancia de $2276,25.

Ejercicio N°4 La tienda de comestible NICOLAS vende dos tipos de bebidas: La marca sabor a cola A1 y la marca propia de la tienda, NICOLAS de cola, más económica. El margen de utilidad en la bebida A1 es de 5 centavos de dólar por lata, mientras que la bebida de cola NICOLAS suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aun cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de la marca NICOLAS, porque es considerablemente más económica. Se calcula que las ventas de la marca Bk superan a las de la marca A1 en una razón 2:1 por lo menos. Sin embargo, NICOLAS vende, como mínimo, 100 latas de A1 al día. ¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad?

Función objetiva:

Z (MAX) = 5 A1 + 7 A2

Restricciones 𝐴1 + 𝐴2 ≤ 500 −𝐴1 + 𝐴2 ≥ 0 −2𝐴1 + 𝐴2 ≥ 0

𝐴1 + 𝐴2 ≤ 500 A1-A2≤0 A2≤0

2A1 -A1≤-100

𝐴1 ≥ 100

Variables de no negatividad (valores mayores o iguales a cero) 𝐴1; 𝐴2 ≥ 0 Dual Simplex Función Objetiva Z(min)=500Y1+0Y2+0Y3-100Y4 Restricciones −𝐴1 + 𝐴2 + 2𝐴3 − 𝐴4 ≥ 5

𝐴1 − 𝐴2 − 𝐴3 ≥ 7 Abstracciones −𝐴1 + 𝐴2 + 2𝐴3 − 𝐴4 − 𝑆1 𝐴1 − 𝐴2 − 𝐴3

𝑏𝑛 𝑥𝑖

=

𝑏𝑛 𝑌3

− 𝑆2

5

7

0

0

0

M

M

Y 3 2

0 10 0 Y4 S 1 -1 -1

5

Y1 Y 2 -1 1

S 2 0

M 1 1

M 2 0

7

1

-1

-1

0

-1 0

12M

0

0

M

50 0

0

M

-M - - M M M -M - 0 0 M

--------

= −7

M m 1 M m 2 Zj Zj Cj 2.5 -½ 1/2 1 -1/2 -1/2 0 1/2 0

CJ

0 M

+ 𝑀2 = 7

50 0 Xj

5/2 -1/2 1/2 2/2 -1/2 -1/2 0/2 1/2 0/2

=5

C J

= 2 = 2.5 pigote −1

+ 𝑀1

Xj Y3 m2 Zj Zj-Cj

bn 2.5 9.5 9.5M -------

bn

0

7-2.5(-1) 1+1/2(-1) -1-1/2(-1) -1-1(-1) 0+1/2(-1) 0+1/2 (-1) -1-0(-1) 0-1/2(-1) 1-0(-1)

9.5 1/2 -1/2 0 -1/2 -1/2 -1 1/2 1

500

0

0

-100

0

0

M

M

Y1 -1/2 1/2 1/2M 1/2M

Y2 1/2 -1/2 -1/2M -1/2M

Y3 1 0 0 0

Y4 -1/2 -1/2 -1/2M -1/2M

S1 -1/2 -1/2 -1/2M -1/2M

S2 0 -1 -M -M

M1 1/2 1/2 1/2M -1/2M

M2 0 1 M 0

1 M 0

9.5/ (1/2) 1/2/ (1/2) -1/2/ (1/2) 0 -1/2/ (1/2) -1/2/ (1/2) -1/ (1/2) 1/2/ (1/2) 1/ (1/2)

19 1 -1 0 -1 -1 -2 1 2

CJ

0 500

Xj Y3 Y1 Zj Zj-Cj

bn 12 19 9500 -------

2.5-19(-1/2) -1/2-1(-1/2) ½+1(-1/2) 1-0(-1/2) -1/2+1(-1/2) -1/2 +1(-1/2) 0+2(-1/2) ½-1(-1/2) 0-2(-1/2)

12 0 0 1 -1 -1 -1 1 1

𝑏𝑛 𝑥𝑖

=

𝑏𝑛 𝑌1

2.5

= −1/2 = −5 9.5 1/2

= 19

pigote

500

0

0

-100

0

0

M

M

Y1 0 1 500 0

Y2 0 -1 -500 -500

Y3 1 0 0 0

Y4 -1 -1 -500 -400

S1 -1 -1 -500 500

S2 -1 -2 -1000 -100

M1 1 1 500 0

M2 1 2 1000 0

Análisis La tienda de comestibles Nicolás para maximizar su utilidad debe tener en existencia 100 latas de la marca sabor a cola A1 y de la marca Nicolás 400 latas. La utilidad máxima que obtendrá al vender las cantidades será de $3300.

Ejercicio N°5 Mueblina emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar mesas y sillas. Se requieren 2 horas para ensamblar una mesa y 30 minutos para ensamblar una silla. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13.5 dólares por mesa y 5 dólares por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día. Determine gráficamente y por el método simplex la mezcla de producción óptima durante 10 días. Método Gráfico Variables: 𝑆𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 = 𝑋1 𝑀𝑒𝑠𝑎𝑠 = 𝑋2 Restricciones: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑠𝑎

𝑋1 − 4𝑋2 ≤ 0

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑠𝑎

𝑋1 − 6𝑋2 ≤ 0

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑚𝑏𝑙𝑎𝑗𝑒

0.5𝑋1 + 2𝑋2 ≤ 320

Función Objetivo: 𝑍(𝑚á𝑥) = 5𝑋1 + 13.5𝑋2 Variables de no negatividad: 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0

𝑋1 = 320

𝑋2 = 80 𝑍(𝑚á𝑥) = 5𝑋1 + 13.5𝑋2 = 5(320) + 13.5(80) = 2680 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠. La mezcla de producción óptima para 10 días será la elaboración de 320 sillas y 80 mesas, contando con la mano de obra de cuatro carpinteros y teniendo como ganancia 2680 dólares. Método Simplex

La mezcla de producción óptima para 10 días será la elaboración de 320 sillas y 80 mesas, contando con la mano de obra de cuatro carpinteros y teniendo como ganancia 2680 dólares.

EJERCICIO N°6 Electro Lux produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo A emplea 10 unidades de cierto componente electrónico y el motor tipo 2 solo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8000 piezas al día. Las utilidades por motor para los tipos A y B son de 60 y 40 dólares, respectivamente. Determine la mezcla óptima para la producción diaria.

DATOS:

PRODUCTO

UNIDADES DE CAPACIDAD COMPONENTES ELECTRONICOS X1:MOTOR TIPO 10 600 A EN LINEA 1 X2: MOTOR TIPO 8 750 B EN LINEA 2 DISPONIBILIDAD 8000

UTILIDAD

60 40

Variables X1 = para motor de tipo A X2 = para motor de tipo B

Función Objetivo Z (MAX)= 60X1 + 40X2

Restricciones Disponibilidad de unidades de componentes electrónicos 8000

10X1 + 8X2 ≤

Capacidad para motor de tipo A

X1≤ 600

Capacidad para motor de tipo B

X2 ≤ 750

X1, X2 ≥ 0

Variables de no negatividad

ABSTRACCIONES 10X1 + 8X2 + S1+0S2 + 0S3

=8000

X1 +

0S1 + S2 +0S3

=600

X2 +

0S1 + 0S2 +S3 =750

TABLA SIMPLEX N°1

Cj 0 0 F.Pivote 0

Xj S1 S2

bn 8000 600

S2 Zj Zj-Cj

750 0 ______

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

𝑏𝑛 𝑋𝑗

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

600 = 𝟔𝟎𝟎 1

60 X1 10 1

40 X2 8 0

0 1 0 0 -60 -40 C.Pivote

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

0 S1 1 0

0 S2 0 1

0 S3 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

8000 = 800 10

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

750 =0 0

TABLA SIMPLEX N°2

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

𝑏𝑛 𝑋𝑗

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

600 =0 0

Cj 40 60 0

Xj X2 X1 S2 Zj Zj-Cj

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

bn 250 600 500 46000 ______

200 = 𝟐𝟓 8

𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐏𝐢𝐯𝐨𝐭𝐞 =

60 X1 0 1 0 60 0

40 X2 1 0 0 40 0

0 S1 0,125 0 -0,125 5 5

750 = 750 1

0 S2 -1,25 1 1,25 10 10

0 S3 0 0 1 0 0

TABLA SIMPLEX N°3 Variables X1 = para motor de tipo A: 600 X2 = para motor de tipo B: 250

Interpretación: La empresa Electro Lux para lograr optimizar la mezcla de la producción diaria, debe producir 600 motores de tipo A y 250 motores de tipo B para generar una utilidad de 46000 dólares.

Ejercicio N°7

El Supermaxi tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta solo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de la compañía se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares, respectivamente.

Desarrolle un programa de producción óptima para Supermaxi. Determine la razón del precio por caja con el precio por caja con el precio por caja de pasta que permitirá que Supermaxi produzca más cajas de jugo que de pasta.

Modelo Matemático 𝑋1 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑜𝑚𝑎𝑡𝑒 𝑋2 = 𝑃𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑇𝑜𝑚𝑎𝑡𝑒

PRIMAL Función Objetiva 𝑍(𝑀Á𝑋) = 18𝑋1 + 9𝑋2

Restricciones Máximo de latas por caja. Requerimiento de tomates para una lata de jugo de tomate. Requerimiento de tomates para una lata de pasta de tomate. Disponibilidad máxima de cajas de jugo de tomate en el mercado. Disponibilidad máxima de cajas de pasta de tomate en el mercado Valor de No Negatividad

𝑋1 ≥ 1

(-1)

−𝑋1 ≤ −1

1 3

(-1)

−𝑋2 ≤ − 3

𝑋2 ≥

𝑋1 ≤ 2000

𝑋2 ≤ 6000

𝑋2 ≤ 6000

DUAL SIMPLEX

Función Objetiva 𝑍(𝑀𝐼𝑁) = 24𝑦1 − 1𝑦2 − 0,33𝑦3 + 2000𝑦4 + 6000𝑦2

Restricciones 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑦5 ≥ 18 𝑦1 − 𝑦3 + 𝑦5 ≥ 9

Valor de No Negatividad 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑦5 ≥ 0

Abstracciones 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑦5 − 𝑠1 − 𝑦3

+ 𝑦5

+ 𝑚1 − 𝑠2

1

𝑋1 ≤ 2000

𝑋1 + 𝑋2 ≥ 0

𝑦1

𝑋1 + 𝑋2 ≤ 24

𝑋1 + 𝑋2 ≤ 24

= 18 + 𝑚2 = 9

ANÁLISIS 𝑍(𝑀Á𝑋) = 18𝑋1 + 9𝑋2 𝑍(𝑀Á𝑋) = 18(2000) + 9(−1976) 𝑍(𝑀Á𝑋) = 18216 Se puede concluir que a una producción de 2000 cajas de jugo de tomate a un costo de 18 dólares, la empresa debe dejar de producir 1976 cajas de pasta de tomate a un costo de 9 dólares, ya que estas no entran comercializadas en el mercado, y no tiene la aceptación requerida.

Ejercicio N°8 Mueblina ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera pre cortada: Regulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad

diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura/barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares respectivamente. VARIABLE DE DECISIÓN: -Restricciones del problema: X1: Gabinetes Regulares X2: Gabinetes de Lujo FUNCIÓN OBJETIVO: Z máx = 100X1 + 140X2 RESTRICCIONES IMPUESTAS AL MODELO 0,5X1 + X2 ≤ 180 (Capacidad Total) X1 ≤ 200 (Capacidad de Gabinetes Regulares) X2 ≤ 150 (Capacidad de Gabinetes de Lujo) X1 , X2 ≥ 0 (NO NEGATIVIDAD) ABSTRACCIONES: 1) 0,5Xa + Xb ≤ 180

0,5Xa + Xb ≤ 180

0,5Xa + Xb = 180

0,5Xa + Xb =180

Xa= 0

Xb = 0

0,5(0) + Xb = 180

0,5Xa + 0 = 180

Xb = 180 (0,180)

0,5Xa = 180 Xa= 180/0,5 Xa=360 (360,0)

2) Xa ≤ 200 Xa = 200 (200,0) Método Gráfico

3) Xb ≤ 150 Xb = 150 (0,150)

Z máx = 100X1 + 140X2 V1 (200,0) V4 (60,150)

V2 (0,150)

V3 (200,80)

Z= 100(200) + 140(0) Z= 100(0) + 140(150) Z= 100(200) + 140(80) Z=100(60)+140(150) Z= 20000 + 0 Z= 0 + 21000 Z= 20000 + 11200 Z=6000+21000 Z= 20.000 Z= 21.000 Z= 31.200 Z= 27.000 RESPUESTA: SE DEBE PRODUCIR 200 GABINETES REGULARES Y 80 GABINETES DE LUJO PARA TENER UNA MAXIMA UTILIDAD DE $ 31.200 METODO DUAL SIMPLEX FUNCIÓN OBJETIVO Z (min) 180x1+200x2+150x3 RESTRICCIONES 0,5x1+x2 ≥ 100 X1+x2 ≥140 ABSTRACCIONES 0,5x1+x2-S1+M1=100 X1+x2-S1+M1 =140

SOLUCIÓN

V1 (200,0) V4 (60,150)

V2 (0,150)

V3 (200,80)

Z= 100(200) + 140(0) Z= 100(0) + 140(150) Z= 100(200) + 140(80) Z=100(60)+140(150) Z= 20000 + 0 Z= 0 + 21000 Z= 20000 + 11200 Z=6000+21000 Z= 20.000 Z= 21.000 Z= 31.200 Z= 27.000 RESPUESTA: SE DEBE PRODUCIR 200 GABINETES REGULARES Y 80 GABINETES DE LUJO PARA TENER UNA MAXIMA UTILIDAD DE $ 31.200

Ejercicio N°10

Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son de 2 libras para cada unidad de A y de 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares, respectivamente.

a) Determine la mezcla óptima de los dos productos

Identificación de Variables:

Producto A= X1 Producto B= X2

Función objetivo:

Z (MAX) = 20X1 + 50X2

Restricciones:

Volumen de Venta

X1≥ 0.80 (X1 + X2)

Demanda de A

X1 ≤ 100

Disponibilidad de Materia Prima

2X1+ 4X2 ≤ 240

Función de No negatividad

X1+X2 ≥ 0

ABSTRACCIÓN

0.20X1 – 0.80X2 = 0 X1 = 100 2X1 + 4X2 = 240

Primera restricción Cuando X1=0

Cuando X2=0

0.20*0 - 0.80X2 = 0

0.20X1 – 0.80 (0) = 0

X2 = 0 / 0.80

X1 = 0/0.20

X2 = 0

X 1= 0

P (0; 0) P (0; 0)

Segunda restricción

X1 = 100

P (100; 0)

X en la tercera restricción

X1 = 100

2(100) + 4X2 = 240 X2 = (240 – 200) /4 X2= 10 P (100; 10)

Remplazando valores en Z (MAX)

Z (MAX) = 20(80) + 50(20) Z = 2600

ANALISIS

Al realizar el ejercicio podemos mencionar que la mescla óptima para la empresa es de 80 de la variable X1(Producto A), del mismo modo se debe producir 20 de la variable X2 (Producto B) , para así obtener una utilidad de 2600 dólares.

Ejercicio N° 11

Una compañía que opera 10 horas al día fabrica cada uno de los productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema. Minutos por Unidad Producto Proceso 1

Proceso 2

Proceso 3

A B

6 20

8 10

10 5

Determine la mezcla óptima de los dos productos.

Utilidad unidad $2 $3

por

Supongamos que se están considerando los tres procesos para una expansión y usted necesita determinar su prioridad. Diseñe una forma lógica para lograr esta meta.

FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 2𝑋1 + 3𝑋2 RESTRICCIONES Disponibilidad de tiempo en el proceso 1 1

10𝑋1 + 5𝑋2 ≤ 600

Disponibilidad de tiempo en el proceso 2 2

6𝑋1 + 20𝑋2 ≤ 600

Disponibilidad de tiempo en el proceso 3 3

8𝑋1 + 10𝑋2 ≤ 600

Variables de no negatividad

𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0

PROBLEMA ORIGINAL CON RESPUESTAS.

RESULTADOS CON ITERACIONES

SOLUCIÓN GRÁFICA

ABSTRACCIÓN

10𝑋1 + 5𝑋2 = 600

(∗ −4)

6𝑋1 + 20𝑋2 = 600 Método de sustitución para encontrar 𝑋2 (restricción 1 y 2) −40𝑋1 −20𝑋2 =−2400 6𝑋1 +20𝑋2 =600 −34𝑋1 =−1800 −1800

𝑋1 = −34 𝑋1 =52.94

Remmplazamos 𝑋2 en la restricción 1 para encontrar 𝑋1 6𝑋1 + 20𝑋2 = 600 6(52.94) + 20𝑋2 = 600 317.64 + 20𝑋2 = 600 𝑋2 = 14.12 Reemplazamos en la función objetivo para determinar la utilidad. 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 2(52.94) + 3(14.12) 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 148.24 INTERPRETACIÓN Para maximizar su utilidad la compañía debe producir diariamente 52.94 unidades del producto A y 14.12 unidades del producto B, consiguiendo una utilidad diaria de 148.24 dolares.

Ejercicio N° 12

24) Almacén Familiar puede anunciar sus productos en la radio o la televisión locales. El presupuesto para anuncios está limitado a 10. 000 dólares al mes. Cada minuto de anuncios por la radio cuesta 154 dólares y cada minuto de comerciales por televisión cuesta 300 dólares. A la empresa le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no es práctico utilizar más de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisión son 25 veces más efectivos que los de la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisión. Determine el valor por unidad de incrementar el límite mensual en la publicidad por radio. Si el presupuesto mensual se aumenta a 15. 000 dólares, utilice la definición valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria.

Función Objetivo: Z (máx.)= 154X1 +300X2 Restricciones:

Costo por anuncio: 154X1 +300X2 ≤ 10 000 Relación entre radio y X1 ≤ 2X2 Tv: Tiempo en radio: X1 ≤ 400 Variable de no negatividad: X1,X2 ≥ 0 Solución Grafica

Método Simplex 154X1 +300X2+S1 = 10 000 X1-2X2+S2 =0 X1 +S3 = 400 Solución mediante el programa

X1 = 32 X2 = 16 Z (máx.)=154(32)+300(16)= 9728 Interpretación: Se debe realizar 32 anuncios por radio y 16 anuncios por televisión para optimizar nuestro gasto hasta unos 9728 dólares. Si incrementamos nuestro presupuesto hasta un 15 000 dólares de vemos realizar 48 anuncios por radio y 24 anuncios por televisión y optimizaremos nuestro gasto hasta unos 14 592 dólares.

TERCER PARCIAL

METODO TRANSPORTE Y ASIGNACION El problema general del transporte se refiere a la distribución de mercancía desde cualquier conjunto de centro de suministro, denominados orígenes (fuentes), hasta cualquier conjunto de centros de recepción, llamados destinos, de tal forma que se minimicen los costos totales de distribución. Cada origen tiene que distribuir ciertas unidades a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de unidades que deben recibir de los orígenes.

Image

01 Fuente:

(blogspot, 2014) Como se puede observar cualquier modelo de transporte se compone de unidades de un bien a distribuir, m orígenes, n destinos, recursos en el origen, demandas en los destinos y costos de distribución por unidad. Adicionalmente, se tienen varios supuestos: Supuesto de requerimientos: cada origen tiene un suministro fijo de unidades que se deben distribuir por completo entre los destinos. Supuesto de costo: el costo de distribuir unidades de un origen a un destino cualquiera es directamente proporcional al número de unidades distribuidas. Propiedad de soluciones factibles: un problema de transporte tiene soluciones factible si y sólo si la sumatoria de recursos en lo m orígenes es igual a la sumatoria de demandas en los destinos. Propiedad de soluciones enteras: En los casos en los que tanto los recursos como las demandas toman un valor entero, todas las variables básicas (asignaciones), de cualquiera de las soluciones básicas factibles (inclusive la solución optima), asumen también valores enteros.

Debido a la particularidad del modelo de transporte la forma tabular Símplex adquiere una estructura que facilita el proceso de asignación a las variables básicas, tal se muestra a continuación:

Imag fuente (blogspot, 2014)

02

En los renglones se ubican los orígenes indicando en la columna de la derecha los recursos (oferta disponible). En las columnas se ubican los distintos destinos indicando en el último renglón los totales demandados. En el pequeño recuadro ubicado en la margen superior derecha se indica el costo de distribuir una unidad desde el origen hasta ese destino y en la parte inferior de cada recuadro se registran las asignaciones Xi para cada variable. En los casos donde la sumatoria de los recursos y las demanda no sean las mismas, se agrega un origen o destino ficticio con la cantidad que permita cumplir la propiedad de soluciones factibles. Después de planteado el modelo de transporte, el siguiente paso es obtener una solución básica factible, la cual se puede obtener a partir de cualquiera de los criterios siguientes: Regla de la esquina noroeste. Costos indirectos Salto de piedra en piedra Método de la ruta preferente. Método de aproximación de Vogel Antes de explicar el procedimiento para cada uno de estos criterios de asignación para encontrar la solución inicial BF, se debe conocer el número de variables básicas, el cual se determina con la expresión: m + n - 1. En el modelo anterior 3 + 2 - 1 = 4 variables básicas. Regla de la esquina noroeste: la primera elección X11, es decir, se inicia la asignación por la esquina noroeste de tabla. Luego se desplaza a la columna de la derecha si todavía quedan recursos en ese origen. De lo contrario se mueve al reglo debajo hasta realizar todas las asignaciones.( (blogspot, 2014)

Salto de piedra en piedra Según ( (UNAD, 2014) Las piedras serán las cantidades asignadas a cada casilla de la tabla. Se llamaran charcos las casillas vacías de la tabla. Salto horizontal en piedra, es decir en forma vertical o en forma horizontal. Realizar el mínimo de saltos posibles. La casilla a evaluar comienza con un signo (+) positivo y a medida en que se va recorriendo la ruta escogida se van alternando los signos. Buscar un salto de línea cerrada (donde empieza termina). Si la ruta asignada es correcta, sumamos algebraicamente los costos y la respuesta debe dar positiva, es decir que los valores positivos sean mayores que los valores negativos. Si la ruta no es correcta se debe reasignar. Reubicación: Tomamos las cantidades de las casillas negativas y elegimos el valor más pequeño entre ellos, para restárselo a las cantidades negativas y sumárselo a las positivas.

Image 03 fuente( UNAD, 2014) “METODO DE APOXIMACIÓN VOGEL” Según (Taha, 2004) el Método de Vogel es: El método de aproximación de Vogel es un método de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos. CARACTERÍSTICAS

Al igual que otros métodos de algoritmo de solución básica factible, se debe enviar las mayores cantidades al mayor costo posible’ este busca enviar las mayores cantidades a menor costo Tienen diferentes orígenes con diferentes destinos. Un origen puede abastecer a diferentes destinos. Al finalizar el ejercicio la oferta y la demanda deben de ser satisfecha en su totalidad y/o terminado sus valores en cero. La aproximación de Vogel finaliza en costo mínimo. Es más elaborado que los anteriores, más técnico y dispendioso. Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones. Generalmente nos deja cerca al óptimo

VENTAJAS Conduce rápidamente a una mejor solución. Mediante los cálculos de las llamadas penalizaciones de fila y columna, los cuales representan el posible coste despenalización que se obtendría por no asignar unidades a transportar a una determinada posición. Tiene en cuenta en el análisis la diferencia entre los menores costos de transporte, mediante los cálculos de las llamadas penalizaciones de fila y columna, los cuales representan el posible coste de penalización que se obtendría por no asignar unidades a transportar a una determinada posición. DESVENTAJAS No aporta ningún criterio que permita determinar si la solución obtenida por este método es la mejor (óptima) o no. Requiere mayores esfuerzos de cálculos que el Método de la esquina noroeste

APLICACIÓN

El modelo se utiliza para ayudar a la toma de decisiones en la realización de actividades como: control de inventarios, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en prensas entre otras. Este método es heurístico y suele producir una mejor solución inicial, produce una solución inicial óptima, o próxima al nivel óptimo.

CONNOTACION

Este método requiere mayor esfuerzo que el método de la Esquina Noreste pero conduce a una solución inicial bastante mejor, pues tiene en cuenta la información de los costes de transporte a través de penalizaciones desfila y columna, que representa el posible coste de penalización que se obtendría por no situar unidades a transportar en una determinada posición.

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO Según (BLOGSPOTS)El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, ya que su principal objetivo es enfocarse en las rutas que presentan menores costos. ASIGNACIÓN Se utiliza para asignar tareas aplicando el método HUMGARO. Se debe tener en cuenta que se debe tener siempre matrices cuadradas, al no tener una matriz cuadrada se deberá aumentar una fila o columna ficticia. MINIMIZAR Restar primero en cada fila el menor costo MAZIMIZAR Se debe restar el mayor costo a todos los costos que tenga.

EJERCICIOS Ejercicio N°1 La compañía de intermediación financiera H^K acaba ser instruida por uno de sus clientes para que invierta $250,000 de su dinero que obtuvo recientemente por la venta de unos terrenos. El cliente tiene un buen grado de confianza con la casa inversora, pero también tiene sus propias ideas sobre la distribución de los fondos que se van a invertir. En particular, solicita que la firma elija las acciones y bonos que crea que están bien valuados, pero dentro de los siguientes lineamientos: (a) Los bonos municipales deben constituir, por lo menos, 20% de la inversión (b) Por lo menos, 40% de los fondos debe ser colocado en una combinación de compañías electrónicas, aeroespaciales y farmacéuticas. (c) No más de 50% de la suma invertida en bonos municipales debe ser colocado en acciones de alto rendimiento y alto riesgo de una casa de beneficencia. Sujeto a estas restricciones, el objetivo del cliente es maximizar el rendimiento proyectado de las

inversiones. Los analistas de H^K, conscientes de estos lineamientos, preparan una lista de acciones y bonos de alta calidad y sus tasas de rendimiento correspondientes Inversiones

Tasa rendimiento proyectado (%) 5,3 X1 6,8 X2 4,9 X3 8,4 X4 11,8 X5

Bonos municipales de Los Ángeles Thompson Electrónicos Corporación Aero espacial unida Droguería Palmer Casa de beneficencia días felices

Formule el modelo de programación lineal y determine la selección de cartera a través de la técnica del simplex Zmáx= 5,3X1 + 6,8X2 + 4,9X3 + 8,4X4 + 11,8X5 Restricciones: Requerimiento de bonos municipales

X1 ≥ 50,000

Requerimiento de la combinación de compañías

X2 + X3 + X4 ≥ 100000

Suma invertida en bonos municipales

X5 ≤ 125000

Abastracciones: – s1

X1 X2 + X3 + X4

+ m1 – s2

X5

= 50,000

+ m2

= 100000

+ s3

Cj Xj

= 125000

5,3 6,8 4,9

8,4 11,8 M

0

M

0

0

bn

X1 X2 X3

X4 X5

m1

s1

m2

s2

S3

Iteración 1 0

m1

50.000

1

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

0

m2

100.000

0

1

1

1

0

0

0

1

-1

0

0

s3

125.000

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

zj

150.000

4,3 5,8 3,9

7,4 11,8 0

1

0

1

0

1

1

-1

0

-1

0

cj-zj

1

1

0

0

Iteración 2 5,3

X1

50.000

1

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

0

m2

100.000

0

1

1

1

0

0

0

1

-1

0

0

s3

125.000

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

zj

100.000

5,3 5,8 3,9

7,4 11,8 1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

-1

0

0

-1

0

cj-zj Iteración 3 5,3

X1

50.000

1

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

6,8

X2

100.000

0

1

1

1

0

0

0

1

-1

0

0

s3

125.000

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

zj

0

5,3 6,8 4,9

8,4 11,8 1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

-1

0

0

cj-zj Iteración 4 5,3

X1

50.000

1

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

6,8

X2

100.000

0

1

1

1

0

0

0

1

-1

0

0

s3

125.000

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

zj

945.000,03

5,3 6,8 6,8

5,3

-5,3 6,8

cj-zj

6,8 0

-6,8 0

0

0

-1,9 1,6 11,8 -5,3 5,3

-6,8 6,8

0

Iteración 5 5,3

X1

50.000

1

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

6,8

X2

100.000

0

1

1

1

0

0

0

1

-1

0

11,8 X5

125.000

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

2.420.000,05

5,3 6,8 6,8

zj cj-zj

0

0

6,8 11,8 5,3

-1,9 1,6 0

-5,3 6,8

-5,3 5,3

-6,8 11,8

-6,8 6,8

-11,8

Análisis e interpretación de resultados: Se obtuvo un máximo rendimiento proyectado de las inversiones de $ 2.420.000,05 además en el requerimiento de bonos municipales fue de $ 50,000, el requerimiento de

la combinación de compañías fue de $ 100000 y la suma invertida en bonos municipales fue de $ 125000 para poder obtener la máxima ganancia.

Ejercicio N°2 El famoso restaurante Kentucky Friend Chicken está abierto las 24 horas del día. Los meseros y sus ayudantes entran a las 3 am, 7 am, 11 am, 3 pm y 11 pm y cada uno cubre un turno de 8 horas. La siguiente tabla muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los periodos en que se divide el día.

periodo

horario

# meseros y ayudantes requeridos

1

3am-7am

3

2

7am-11am 12

3

11am-3pm 16

4

3pm-7pm

5

7pm-11pm 11

6

11pm-3am 4

9

El problema de programación de horarios de KFC es determinar cuántos meseros y ayudante deberán reportarse al trabajo al inicio de cada periodo para minimizar el personal toral requerido durante un día de operación (sugerencia: sea x1= número de meseros y ayudantes que empiezan a trabajar en el periodo i, donde i= 1, 2, 3, 4, 5, 6)

RESOLUCION X1= # meseros y ayudantes periodo 1 X2=# meseros y ayudantes periodo 2 X3=# meseros y ayudantes periodo 3 X4=# meseros y ayudantes periodo 4 X5=# meseros y ayudantes periodo 5 X6=# meseros y ayudantes periodo 6 PRIMAL

Función objetivo Z (min)= x1+x2+x3+x4+x5+x6 Variable de no negatividad x1;x2;x3;x4;x5;x6 Restricciones x1+x6>=3

requerimiento de empleados en el primer periodo

x1+x2>=12

requerimiento de empleados en el segundo periodo

x2+x3>=16

requerimiento de empleados en el tercer periodo

x3+x4>=9

requerimiento de empleados en el cuarto periodo

x4+x5>=11

requerimiento de empleados en el quinto periodo

x5+x6>=4

requerimiento de empleados en el sexto periodo

DUAL SIMPLEX Función objetivo Z (max)= 3y1+12y2+12y3+9y4+11y5+4y6 Restricciones y1+y2