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• Diego Samanez

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Curvas y Lugares Geométricos a) Elipse Y

Y

P=(x,y) 𝑟(𝑡) P(x,y) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡)

P

b

X X

𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 𝐶: { 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡 𝐶: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = (𝑎 cos 𝑡 , 𝑏 sin 𝑡) 𝑥2 𝑦2 𝐶: 2 + 2 = 1 𝑎 𝑏

b) Astroide Y 𝑎 cos 𝑡 A

Y

t t 𝑎 sin 𝑡 𝑟(𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

a(sin 𝑡)2

B a(sin 𝑡)3

𝐶: {

𝑥 = a(cos 𝑡)3 𝑦 = a(sin 𝑡) 3

𝐶: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) = (a(cos 𝑡)3 ; a(sin 𝑡) 3 ) 𝐶: 𝑥 2/3 + 𝑦 2/3 = 𝑎2/3

P(x,y) X

𝑟(𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ X

c) Bruja de Agnesi Y

t

2a

Π-2t

(x,y) 𝑟(𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

ө

𝐶: {

𝑥 = 2𝑎 cot 𝑡 𝑦 = 𝑎 + 𝑎 cos(𝜋 − 2𝑡)

𝑟(𝑡) = (2𝑎 cot 𝑡 , 𝑎 + 𝑎 cos(𝜋 − 2𝑡)) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

X

Y

(x,y)

𝑟(𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

X

d) Cicloide Y

𝜋

𝑎 sin(𝑡 − 2 )

t X

𝜋

acos(𝑡 − 2 )

𝐶: {

𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡) 𝑦 = 𝑎 − 𝑎 cos 𝑡

𝑟(𝑡) = (𝑎(𝑡 − sin 𝑡), 𝑎 − 𝑎 cos 𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

e) Cicloide de Diocles Y

Q l

M

Q’

2𝑎 sin 𝑡

a

a

Y t X (x,y) 𝑟(𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ = l 𝑂Q’ =𝑄𝑀

𝐶: {

𝑥 = 𝑙 cos 𝑡 ; 𝑙 = 2𝑎 (sin 𝑡) 2 sec 𝑡 𝑦 = 𝑙 sin 𝑡

𝑟(𝑡) = (2𝑎 (sin 𝑡) 2 , 2𝑎 (sin 𝑡) 3 . sec 𝑡) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

X

f)

Catenaria

La ecuación de la catenaria tomando su minimo en el punto (0,h) es: 𝑥 −𝑥 𝑥 ℎ 𝑦 = ℎ cosh ( ) = . (𝑒 ℎ + 𝑒 ℎ ) ℎ 2

Se puede deducir la ecuación de la catenaria según el siguiente dibujo

𝑇. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑇0 , 𝑇. 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑤. 𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

= 𝑡𝑔𝜃 =

𝑤. 𝑠 𝑇0

𝑑𝑠 𝑑𝑦 = √1 + ( )2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑥

𝑦 = ℎ cosh (ℎ)

g) Toroide

Z

P

z=b sin u

b u a

b cos 𝑢

Y

Z

v

(a+bcosu)sinv

(a+bcosu)cosv P

X

Y

u

0 ≤ 𝑢 ≤ 2π; 0 ≤ v ≤ 2π 𝑥 = (𝑎 + 𝑏 cos 𝑢) cos 𝑣 𝑦 = (𝑎 + 𝑏 cos 𝑢) sin 𝑣 𝑧 = 𝑏 sin 𝑢

Capítulo 1 Funciones Vectoriales de Variable real 1.1. Definición Nos interesa estudiar funciones 𝑓⃗: 𝐴 → 𝑅 𝑛 , 𝐴 ⊂ 𝑅 Pues para cada 𝑡 ∈ 𝐴, 𝑓⃗(𝑡)es un vector En especial cuando 𝐴 es un intervalo

Identificación Así podemos identificar a 𝑓⃗: 𝐴 → 𝑅 𝑛 como 𝑓⃗ = (𝑓1 , 𝑓2 ,∙∙∙, 𝑓𝑛 ) Donde para cada 𝑖 𝜖 {1,2,∙∙∙, 𝑛} 𝑓𝑖 : 𝐴 → 𝑅 llamada 𝑖 −ésima componente de 𝑓⃗ Observación 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑖 = 𝐴 𝐴=𝐼⊂𝑅 𝑓⃗(𝑡) = (𝑡 2 , 𝑡 3 , 1) 𝑓1 (𝑡) = 𝑡 2 , 𝑓2 (𝑡) = 𝑡 3 , 𝑓3 (𝑡) = 1 𝑓⃗(𝑡) ∈ 𝑅 𝑛 , 𝑡 ∈ 𝐼

1.2. Rango Por definición 𝑓 → 𝑅 𝑛 𝑅𝑎𝑛 𝑓⃗ = {𝑓⃗(𝑡)/𝑡 ∈ R} Ejemplo: Encuentre el Rango de 𝑓⃗ ,si 𝑓⃗: [0, ∞ >→ 𝑅2

𝑓⃗(𝑡) = (𝑡 2 , 𝑡 4 ) Intuitivamente Rango de 𝑓⃗ pertenece al cuadrante I. (𝑎, 𝑏) ∈ cuadrante I, a ≥ 0, b ≥ 0 ∃ 𝑡0 ∈ [0, ∞ >/𝑓⃗(𝑘) = (𝑎, 𝑏) No es cierto 𝐺𝑟𝑎(𝑓⃗) = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0} Y

𝑦 = 𝑥2

X

Figura 1

1.3.

Gráfica de una función 𝑓⃗

𝐺𝑟𝑎(𝑓⃗) = {(𝑡, 𝑓(𝑡)/ 𝑡 ∈ 𝐴)} 𝐺𝑟𝑎(𝑓⃗)



Rn+1

Lo cual implica que podremos visualizar la gráfica de f, para n =1. Para n = 3, 𝐺𝑟𝑎(𝑓⃗) 𝑔⃗(𝑡) = (1,1,1,1) 𝐺𝑟𝑎(𝑓⃗) = {(𝑡, 1,1,1,1 ) /𝑡 ∈ 𝑅} Nos imaginamos estar en R5 n=2

𝑟⃗(𝑡) = (1,1)

𝐺𝑟𝑎(𝑟⃗) = {(𝑡, 1,1) /𝑡 ∈ 𝑅} 𝐺𝑟𝑎(𝑟⃗)

es una recta

𝐺𝑟𝑎(𝑟⃗) = {(0,1,1) + 𝑡(1,0,0)/ 𝑡 ∈ 𝑅}

(0, 0,1) 𝑙

Figura 2

1.4.

Operaciones

Sean 𝑓⃗: 𝐴 → 𝑅 𝑛 , 𝑔⃗: 𝐵 → 𝑅 𝑛 Definimos: 1) (𝑓⃗ + 𝑔⃗)(𝑡) = 𝑓⃗(𝑡) + 𝑔⃗(𝑡) 𝑅𝑎𝑛(𝑓⃗ + 𝑔⃗) = 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 2) c “cte” (𝑐𝑓⃗)(𝑡) = 𝑐𝑓⃗(𝑡) 𝑅𝑎𝑛 (𝑐𝑓⃗) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓⃗) 3) (𝑓⃗. 𝑔⃗)(𝑡) = 𝑓⃗(𝑡). 𝑔⃗(𝑡) ⃗⃗⃗𝑓⃗ = ⃗𝑓⃗𝑖 𝑒𝑖 𝑔⃗ = ⃗⃗⃗⃗𝑒 𝑔𝑖 𝑖 f. g = 𝑓𝑖 𝑔𝑖 (f . g)(t) = f(t) .g(t) 4)

Para n = 3

(𝑓⃗ x 𝑔⃗)(t) =⃗⃗⃗𝑓⃗(t) x 𝑔⃗ (t)

Apreciaciones

1) Si: ∃ 𝑓⃗ + 𝑔⃗

⃗⃗⃗𝑓⃗ + 𝑔⃗ = 𝑔⃗ + 𝑓⃗ ⃗⃗ 2) Si: ∃ 𝑓⃗ + 𝑔⃗ , 𝑔⃗ + ℎ Nota:

⃗⃗ = 𝑓⃗ + (𝑔⃗ +ℎ ⃗⃗ ) (⃗⃗⃗𝑓⃗ + 𝑔⃗ ) + ℎ

δ: A → R 𝑓⃗ : A → 𝑅 𝑛

:

(δ𝑓⃗ )(t) = δ (t). 𝑓⃗(𝑡)

1.5.

t∈ 𝐴

Punto de acumulación En caso A  R , se vio que 𝑥0 es un punto de acumulación si: ∀ 𝑟 > 0 ∶ 〈𝑥0 − 𝑟, 𝑥0 + 𝑟〉 {𝑥0 } ∩ 𝐴 ≠ ∅ Vecindades n =1

V (𝑥0 , 𝑟) = (𝑥0 − 𝑟, 𝑥0 + 𝑟)

Para: 𝑥⃗0 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝐴



𝑅𝑛

V(𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗0 ∈ 𝑅 𝑛 /||𝑥⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗|| 𝑥0 < 𝑟} 0 𝑟) = {𝑥 V(𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗0 0 𝑟) se conoce como una vecindad de 𝑥 La vecindad reducida V(𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗0 } 0 𝑟) = V(𝑥 0 𝑟) − {𝑥 acumulación de A ∈ 𝑅 𝑛

𝑥⃗0 ∈ 𝑅 𝑛 es un punto de

si ∀𝑟 > 0 V(𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗, 0 𝑟) ∩ 𝐴 ≠ ∅

Si: A= {(𝑥, 𝑦)/∈ 𝑎} . Halle B = {(𝑎, 𝑏)/ (𝑎, 𝑏)𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴 } a ∈ 𝑄 , 𝑏 ∈ 𝑅 𝑏 − 𝑟 < 𝑏1 < 𝑏 + 𝑟

1.6.

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉((𝑎, 𝑏), 𝑟)

Límites Conceptos básicos. Sea 𝑓⃗ : A→ Rn A 

R

, 𝑡0 un punto de acumulación de A, si existe a un

𝐿⃗⃗ ∈ 𝑅 𝑛 tal que ∀ ɛ > 0, ∃δ=δ(ɛ)>0/t ∈ A ∩ V ;(t0; r) → ||𝐹⃗ − 𝐿⃗⃗|| < ɛ

En caso afirmativo escribiremos: lim 𝐹⃗ (𝑡) = 𝐿⃗⃗

𝑡→t0

Interpretación 𝑓: 𝐴 → 𝑅 𝑛

𝑡0 − 𝑓

A

𝑡0 + 𝑓

𝑓 ̅(𝑡) 𝑟

𝑅𝑛

Figura 3

Vecindad Si x∈ Rn , una vecindad de x, de radio r es : 𝑉(𝑥𝑖 , 𝑟) = { 𝑥̅ ∈ Rn /|| 𝑥̅ − 𝑥𝑖 || < 𝑟 } Vecindad en R2 𝑉(𝑎̅ , 𝑟) = { (𝑥, 𝑦) ∈ R2 /|| 𝑥 − 𝑎1 , 𝑦 − 𝑎2 || < 𝑟 } 2

𝑟 }

Figura 4

{ (𝑥, 𝑦) ∈ R2 /|| (𝑥 − 𝑎1 )2 + ( 𝑦 − 𝑎2 )2 ||
0(arbitrario) debemos hallar f = 𝐹⃗ (𝑡) (f depende de (ɛ) tal que se cumpla ||𝐹⃗ (𝑡)|| = ||(1,1,3)|| = ||(𝑡 − 1, t 2 − 1,3𝑡 − 3)||=||𝑡 − 1||||(1, t + 1,3)||

||(1, t + 1,3)|| = √1 + (𝑡 + 1)2 + 9 Tenemos

δ=1

0 0 𝑦 𝜃0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃0 + 2𝜋

Figura 4.14 Entonces el Jacobiano de dicha transformación seria

𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧) =

𝜕(𝑥,𝑦,𝑧) 𝜕(𝑟,𝜃,𝑧)

=

𝜕𝑥 𝜕𝑟 |𝜕𝑦 | 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝑟

𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜃

𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦| =r 𝜕𝑧 | 𝜕𝑧 𝜕𝑧

Asi 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃 Entonces una integral triple queda expresada como

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧)𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃 𝑆

4.5.

𝑇

Integrales triples en coordenadas esféricas

Sea P un punto que está determinado en coordenadas cartesianas (x, y, z). Puede ser expresado tambi´en por la terna (𝜌, 𝜑, 𝜃) ,

donde ρ es la longitud del segmento que une el punto P con el origen O, φ el menor ángulo que forma dicho segmento con el eje 𝑧 positivo, y θ el ángulo que forma el eje x positivo con la proyecci´on del segmento OP sobre el plano 𝑥𝑦 . A dicha terna se le denomina coordenadas esf´ericas del punto P . Las ecuaciones que relacionan las coordenadas cartesianas con coordenadas esf´ericas son: 𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜑 Para que la transformación sea univalente, consideremos las siguientes restricciones 𝑝 > 0 ,0 < 𝜑 < 𝜋, 𝜃0 < 𝜃 < 𝜃0 + 2𝜋

Figura 4.15

CÁLCULO II

Capítulo 1 - Integrales múltiples

1.3.1

§1.3 Aplicaciones importantes de las Integrales múltiples Además del cálculo de áreas de regiones planas regulares o de volúmenes de cuerpos regulares acotados, que ya hemos abordado, las integrales múltiples tienes otras muchas aplicaciones. Destacamos las más útiles en Dinámica de medios continuos. En particular: i) el cálculo de masas de una placa D en el plano 2 o de un cuerpo V acotado en el espacio 3, cuando la masa se haya distribuida por una función densidad variable, (x,y) o (x,y,z); ii) el cálculo de centros de masas o de gravedad en ambos casos; iii) el cálculo de valores promedio de una función f(x,y) en D o f(x,y,z) en V; y iv) el momento de inercia respecto de un eje de distribuciones de masa en el plano o en el espacio con densidades dadas.

a) Cálculo de masas distribuidas a1) En el plano Dada una placa D cuya masa se halla distribuida por unidad de superficie según una ley de densidad dada, (x,y) (que puede ser constante), su masa se calcula sumando las masas de los elementos diferenciales de área, o sea, (x,y)dxdy mediante la integral doble: Masa(D) = ∬ σ ,

d d

(1.3-1)

Ejemplo 1.3-1: Masa de un semicírculo D de radio R cuya densidad de masa por unidad de superficie en cada punto es proporcional a la distancia del punto al diámetro del semicírculo. Solución: Tomando eje X en el diámetro y origen en el centro, la densidad es (x,y) = y. Luego la masa es: Masa(D) = ∬

d d = (pasando a polares para simplificar D) =

ρsenθρdρdθ =

#.

Ejemplo 1.3-2: Una lámina tiene forma de semicírculo, de radio R. Si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia al borde curvo, calcule la masa de la lámina. Solución: La masa resultante es 16 kπR 3 . Comprobarlo como ejercicio (ver el ejercicio nº 9 de la hoja de problemas del capítulo).

#.

a2) En el espacio Dado un sólido V cuya masa está distribuida por unidad de volumen según una ley de densidad dada, (x,y,z), la masa total de V se calcula análogamente, sumando las masas de los elementos diferenciales de volumen, o sea, (x,y,z)dxdydz mediante la integral triple: Masa(V) =

  ( x, y, z )dxdydz

(1.3-2)

V

Ejemplo 1.3-3: Masa de la esfera V de radio R cuya densidad en cada punto es inversamente proporcional a la distancia al centro. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad, de modo que en esféricas: (r,, ) = , luego masa(V) =

R

π

2π

0

0

0

 

krsenφdrdφdθ = k  r2 

2 R 0



 

  cos φ π θ 2π = 2kR2  0 0 

#.

Ejemplo 1.3-4: Hallar la masa del cuerpo  = {(x, y, z)  3 : x  0; y  0; x2  z  4  y2} sabiendo que la función de densidad está dada por ( x, y, z) = x4. Solución: masa() = 2, comprobarlo como ejercicio (ver ejercicio 12 de la hoja de problemas) #.

1.3.2

Cálculo II

b) Centros de masa b1) En un segmento En un segmento L sobre el que se encuentran un conjunto discreto de masas puntuales mi, en las abscisas xi, el centro de masas es el punto respecto del cual se obtiene el equilibrio de momentos (si imaginamos el segmento rígido, es el punto sobre el que hay que apoyar el segmento para que no gire y permanezca en equilibrio). Así que su abscisa xcm deberá cumplir: mi(xi – xcm) = 0.  mi xi De ahí se obtiene xcm = i m (1.3-3)  i i

Si la masa se halla distribuida a lo largo del segmento según una ley de densidad (x) e identificamos el segmento con un intervalo real [a, b], la fórmula anterior se extiende fácilmente: b

b

 xdm  x ( x )dx xcm = ma ( L )  ab a  ( x )dx

(1.3-4)

b2) En una placa del plano En una placa D del plano, con densidad de masa distribuida (x,y), el centro de masa tiene abscisa xcm y ordenada ycm, que se determinan de forma análoga:





xdm



x ( x , y )dxdy



ydm

y ( x , y )dxdy

xcm = mD( D )  D , ycm = mD( D )  D D  ( x , y )dxdy D  ( x , y )dxdy Se hace notar que si la placa presenta un eje de simetría, el centro de masa se encuentra en él.

(1.3-5)

Ejemplo 1.3-5: Hallar el centro de masas del semicírculo del ejemplo (1.3-1).. Solución: Con los mismos ejes de entonces, el radio perpendicular al diámetro es eje de simetría de D, por lo que el c. de m. se encuentra en él, así que xcm = 0. La masa total se calculó en el ejemplo citado y es R por lo que la ordenada ycm cumple: ycm =



D

y 2 dxdy 2 3

R

3

= =

3 2R 3

3R 8

R

π

0

0

 



π 2

ρ3 sen 2 θdρdθ =

 

π

 14  2cos 2θdθ  0

Así las coordenadas del c. de m. son:

3 2R 3

3R 8

  ρ dρ   sen θdθ   R

π 2

π

3

0

2

0

π



 14 (sen 2θ 0 ) =

3R 8



π

0

1cos2θ dθ 2

=

3πR 16

xcm = 0, ycm = 3πR 16

#.

Ejemplo 1.3-6: Una lámina de masa m tiene forma de triángulo rectángulo. Si la densidad en cada punto es proporcional al cuadrado de la distancia al vértice con ángulo recto, calcule el centro de masas de la lámina. Solución: Como ejercicio, comprobar que: xcm =

ba 2 (3a 2 b2 ) 60 m

, ycm =

ab2 (3b2  a 2 ) 60 m

, siendo a el cateto horizontal

y b el vertical (ver ej. 10 de la hoja de problemas del capítulo).

#.

b3) En un sólido del espacio Para un sólido V en 3, con su masa distribuida según una ley de densidad (x,y,z), el centro de masas tiene tres coordenadas que se determinan análogamente:



xdm

xcm = mV(V )

 

V

V

x ( x , y , z )dxdydz

 ( x , y , z )dxdydz



ydm

, ycm = mV(V )

donde los denominadores son la masa total de V.

 

V

V

y ( x , y , z )dxdydz

 ( x , y , z )dxdydz



zdm

, zcm = mV(V )

 

V

z ( x , y , z )dxdydz

V  ( x , y , z )dxdydz

(1.3-6)

CÁLCULO II

Capítulo 1 - Integrales múltiples

1.3.3

Ejemplo 1.3-7: Calcular el centro de masa de un cilindro circular V, de radio R y altura h, cuya masa se encuentra distribuida proporcionalmente a la distancia a la base superior o tapa del cilindro. Solución: Tomamos ejes de modo que el eje Z coincida con el eje del cilindro. Como es un eje de simetría, el c. de m. estará en él y cumplirá xcm = ycm = 0. Y sólo falta zcm. La densidad de masa es (x,y,z) = k(h – z) y la masa total será: Masa(V) = ∭ k h

ρdρdθd = … = kR2h2

=k

Y la ordenada z del c. de m.: zcm =

∭

k

=

dρdθd =

#.

Ejemplo 1.3-8: Hallar el centro de masa de un cono circular de radio R y altura h, sabiendo que la densidad, es constante. Solución: Comprobar como ejercicio que la ordenada z del c. de m. es: zcm = 1 4 h #.

c) Promedios integrales El teorema del valor medio de las integrales dobles o triples de funciones continuas ya se ha presentado en la sección correspondiente y no volveremos sobre ella. Vm(f ; D) =

,

∬

; Vm(f ; V) =

∬

, ,

∭

(1.3-7)

∬

d) Cálculo de momentos de inercia La dinámica de un sólido en el espacio utiliza el llamado momento de inercia, que es una cierta medida de la respuesta del cuerpo al intento de girarlo alrededor de un eje. Suponemos un sólido V en 3, donde se han tomado ejes X, Y, Z. La idea es sumar los productos de los elementos diferenciales de masa, dm, por el cuadrado de la distancia de cada uno de ellos al eje considerado. Así, los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente son: Ix =



V



( y 2  z 2 ) ( x, y , z )dxdydz ; Iy =

V

( x 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz ; Iz =



V

( x 2  y 2 ) ( x, y , z )dxdydz

De forma análoga se pueden calcular momentos de inercia de placas en el plano las aplicaciones en dinámica del sólido, la densidad es constante.

2

(1.3-8) . En la mayoría de

Ejemplo 1.3-9: Un sólido V de densidad de masa constante, , está acotado en el espacio 3 entre el paraboloide z = x2 + y2 y el cilindro x2 + y2 = a2. Encontrar su momento de inercia Iz . Solución: V = {(x,y,z) : 0  z  x2 + y2  a2} , pues el cilindro y el paraboloide se intersecan en el plano z = a2. Se tiene:

 x  ρ cos θ, y  ρsenθ, z  z  dxdydz  ρdρdθdz Iz =  ( x  y ) ( x, y , z )dxdydz =  V ( x, y , z )  V  (ρ, θ, z )  0  ρ  a, 0  θ  2π, 0  z  ρ  2

=

a

2π

ρ2

0

0

0

 

2

a

0

 

  ρ2

 ρ 2ρdρdθdz  2π  ρ3 z 0 dρ = 2

 ρ  1 6

6 a 0

π a 3

6

.

#.

Ejemplo 1.3-10: Hallar el momento de inercia de la placa de la figura respecto a un eje ortogonal a la misma por el origen de coordenadas, sabiendo que la densidad del círculo menor es proporcional a la distancia al origen y la de las aspas lo es a la distancia al borde curvo exterior. Los radios son 1 y 3 y la constante de proporcionalidad es 1. Solución: Como ejercicio comprobar que I = 83π 6

Figura 4.16

2

   = 

#.

La integral múltiple

Problemas resueltos 1. Sea f una función definida en I = [1, 2] × [1, 4] del siguiente modo: ( (x + y)−2 , x ≤ y ≤ 2x , f (x, y) = 0 , en el resto. Indique, mediante un dibujo, la porción Z A del rectángulo I en la que f no es f , supuesta su existencia. nula y calcule el valor de la integral A

Solución:

Figura 4.16 © ª La región sombreada, A = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2x , es la porción del rectángulo en la que f no se anula. La función f es continua en A, por tanto f es integrable en A. Luego, aplicando el teorema de Fubini: ¶ Z Z 2 µZ 4 Z 2 µZ f= f (x, y)dy dx = A

¶ 1 dy dx = (x + y)2 1 1 1 x ¸2x ¸2 Z 2· Z 2 1 1 1 1 1 − = dx = (− + )dx = log x = log 2. x + y 3x 2x 6 6 1 1 x 1 2x

2. Un sólido está limitado por la superficie z = x2 − y 2 , el plano xy, y los planos x = 1 y x = 3. Calcule su volumen por doble integración.

Problemas resueltos Solución: La intersección de la superficie con el plano xy es: ) z = x2 − y 2 → y 2 = x2 → z=0

y=x y = −x

)

y con los planos x = 1 y x = 3, las parábolas z = 1 − y 2 y z = 9 − y 2 , respectivamente.

Figura 4.17 Para hallar el volumen del sólido dado hemos de calcular la integral doble de la función z = f (x, y) = x2 − y 2 sobre la región D del plano xy comprendida entre las rectas x = 1, x = 3, y = x e y = −x : D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 3, −x ≤ y ≤ x} Z Z

Z 2

V =

2

3 µZ x

(x − y )dxdy = D

¶ 2

2

(x − y )dy dx = 1

Z =

1

3·

−x

y3 x y− 3

¸x

2

Z dx =

−x

1

3

4 3 1 x dx = x4 3 3

¸3 = 1

80 . 3

Z Z x2 y 2 dxdy siendo D la porción acotada del primer cua-

3. Calcule D

drante situada entre las dos hipérbolas xy = 1 y xy = 2 y las líneas rectas y = x e y = 4x.

La integral múltiple Solución: La región D es el conjunto © D = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ xy ≤ 2, x ≤ y ≤ 4x} = n o y = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ xy ≤ 2, 1 ≤ ≤ 4 . x Esta expresión nos sugiere el cambio de variables y u = xy, v = . x Con lo que r 2

y = vx, u = vx

→

x=

√ u , y = uv, v

siempre que u, v > 0

y la transformación que obtenemos es r 2

T :]0, +∞[×]0, +∞[→ R ,

T (u, v) = (

u √ , uv). v

T es una transformación inyectiva (para cada (x, y) hay un solo (u, v) tal que T (u, v) = (x, y)) y es de clase C 1 . Hemos de comprobar además que su jacobiano es no nulo: ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 1/v −u/v ¯ p ¯ p ¯ ¯ ¯ 2 u/v 2 u/v ¯ ¯ = 1 6= 0, ∀u, v > 0. JT (u, v) = ¯¯ ¯ 2v ¯ ¯ v u ¯ √ ¯ √ ¯ 2 uv 2 uv ¯ Podemos dibujar fácilmente la región D calculando los puntos de corte de las rectas con las hipérbolas dadas (recordemos que son sólo los del primer cuadrante): ) ) 1 1 xy = 1 xy = 1 2 → x = 1 → P1 = (1, 1); → x2 = → P2 = ( , 1) 4 2 y=x y = 4x xy = 2 y = 4x

) → x2 = )

xy = 2 y=x

1 1 4 → P3 = ( √ , √ ); 2 2 2

√ √ → x2 = 2 → P4 = ( 2, 2)

Problemas resueltos

Figura 4.18 Es obvio que esta región D (en el plano xy) es la imagen, T (Q), del recinto (en el plano uv) © ª Q = (u, v) ∈ R2 : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 4 . Aplicando el teorema del cambio de variable obtenemos: Z Z Z Z 1 2 2 x y dxdy = u2 dudv = 2v D Q ¸2 ¸4 Z 2 Z 4 1 u3 1 7 2 = u du. dv = . log v = log 2. 3 1 2 3 1 1 2v 1

4. Calcule la integral Z Z Z (2zx2 + 2zy 2 ) dxdydz , V

siendo V el volumen exterior a la hoja superior del cono z 2 = x2 + y 2 e interior al cilindro x2 + y 2 = 1, con z ≥ 0. Solución: La intersección del cono con el cilindro es: ) x2 + y 2 = z 2 → la circunferencia x2 + y 2 = 1 en el plano z = 1. x2 + y 2 = 1

La integral múltiple

Figura 4.19 El conjunto V será el conjunto descrito por: n o p V = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas  x = ρ cos ϕ   T : U → R3 , T (ρ, ϕ, z) = (ρ cos ϕ, ρ sen ϕ, z) y = ρ sen ϕ   z=z siendo U =]0, +∞[×]0, 2π[×R,

JT (ρ, ϕ, z) = ρ.

De esta manera, y puesto que x2 + y 2 = ρ2 = 1 en el cilindro y z 2 = ρ2 en el cono, el recinto V es la imagen, T (Q), (salvo un conjunto de medida cero, que es la región del plano y = 0 comprendida entre el cilindro y el cono) del conjunto Q = {(ρ, ϕ, z) ∈ U : 0 < ρ ≤ 1, 0 < ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ ρ} ⊂ U. Por tanto, haciendo la integral con este cambio de variable obtenemos: Z Z Z (2zx2 + 2zy 2 ) dxdydz = V ¶ ¸ Z 1 ·Z 2π µZ ρ Z Z Z 2 3 2zρ ρ dρdϕdz = = 2zρ dz dϕ dρ = Q

1 µZ 2π

Z =

2

z ρ 0

0

¤ 3 ρ 0

¶

0

Z

0

1 µZ 2π

dϕ dρ = 0

0

0

¶

ρ6 ρ dϕ dρ = 2π 6

¸1

5

= 0

π . 3

Problemas resueltos Z Z Z xyz dxdydz , siendo A el conjunto

5. Calcule la integral A

A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0}. Solución:

Figura 4.20 Puesto que el conjunto A es un trozo de esfera haremos el cambio a coordenadas esféricas para que el recinto de integración sea más manejable.  x = ρ cos ϕ sen θ   y = ρ sen ϕ sen θ   z = ρ cos θ T : U → R3 ,

T (ρ, ϕ, θ) = (ρ cos ϕ sen θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos θ)

T es C 1 -invertible, con jacobiano, JT (ρ, ϕ, θ) = −ρ2 sen θ, distinto de cero en cualquier punto del abierto U =]0, +∞[×]0, 2π[×]0, π[. Sea n π πo Q = (ρ, ϕ, θ) ∈ R3 : 0 < ρ ≤ 1, 0 < ϕ ≤ , 0 < θ ≤ ⊂ U. 2 2 Es claro que su imagen mediante T es T (Q) = A − {(x, y, z) ∈ A : y = 0}

La integral múltiple y puesto que el conjunto {(x, y, z) ∈ A : y = 0} tiene medida cero en R3 , (es un trozo de plano) podemos aplicar el teorema del cambio de variable para calcular la integral que se pide por medio de una integral sobre el rectángulo Q: ZZZ xyz dxdydz = A

ZZZ =

ρ cos ϕ sen θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos θ ρ2 sen θ dρdϕdθ = "Z π "Z π # # Q

Z

1

2

= Z

0

0 1

= · =

2

Z

ρ5 dρ

ρ5 sen ϕ cos ϕ sen3 θ cos θ dθ dϕ dρ =

0 π 2

Z

0

0 ¸1 · 2 ¸ π2 6 ρ sen ϕ

6

6. Calcule la integral

0

2

π 2

sen ϕ cos ϕ dϕ ·

sen4 θ

¸ π2

4

0

0

sen3 θ cos θ dθ =

0

=

1 . 48

Z Z (x2 + 5y 2 )dxdy , D

extendida a la región del plano D := {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0,

Solución:

Figura 4.21

4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16}.

Problemas resueltos La región D es una corona circular; esto sugiere el cambio a polares para hacer la integral. Hacemos la transformación

x = ρ cos ϕ y = ρ sen ϕ

) T : U → R2 ,

T (ρ, ϕ) = (ρ cos ϕ, ρ sen ϕ)

donde U =]0, +∞[×]0, 2π[ y JT (ρ, ϕ) = ρ es distinto de cero en U . La corona D es la imagen mediante T del rectángulo © Q = ρ, ϕ) ∈ R2 : 2 ≤ ρ ≤ 4,

ª 0