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Cap´ıtulo 5

Coordenadas Curvil´ıneas, Campos y operadores diferenciales

205

M´ etodos de la F´ısica Matem´ atica (Vol 1)

5.1.

BORRADOR PRELIMINAR

Disgreci´ on Derivativa

Los vectores podr´ an ser constantes o variables. Ahora bien esa caracter´ıstica se verificar´a tanto en las componentes como en la base. Esto quiere decir que cuando un vector es variable podr´an variar su m´odulo, su direcci´ on, su sentido o todo junto o separado. Obviamente esta variabilidad del vector depender´a de la base en la cual se exprese, por lo cual un vector podr´a tener una componente constante en una base y constante en otra. |ai(t) = ak (t) |ek i(t) = a ˜k |˜ ek i(t) = a ˆk (t) |ˆ ek i De esta manera, cuando uno piensa en un vector variable |ai(t) ⇐⇒ ~a (t) uno r´apidamente piensa en establecer un cociente incremental   d |ai(t) ∆ |ai(t) |ai(t+∆t) − |ai(t) = l´ım = l´ım ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt m l´ım

∆t→0

∆~a (t) d~a (t) ~a (t + ∆t) − ~a (t) = l´ım = ∆t→0 ∆t ∆t dt

La misma propuesta se cumplir´ a para las formas diferenciales (t) ha| . Como siempre, las propiedades de esta operaci´ on ser´ an       d |ai(t) + |bi(t) d |ai(t) d |bi(t) = + dt dt dt   d α (t) |ai(t) dt d

 (t)

ha |bi(t) dt

=

d (α (t)) |ai(t) + α (t) dt

 d

=

  d |ai(t) dt

  
! d |bi(t) ha|  |bi(t) + ha|(t)  dt dt

(t)

Ahora bien, esto implica que |ai(t) = ak (t) |ek i(t) =⇒

  d |ai(t) dt

=

  d ak (t) |ek i(t) dt

  d |ek i(t) d ak (t) = |ek i(t) + ak (t) dt dt

con lo cual hay que tener cuidado al derivar vectores y cerciorarse de la dependencia funcional de base y componentes. Habr´ a sistemas de coordenadas (bases de vectores) que sean constantes y otros con bases variables. As´ı, el radio vector posici´ on de una part´ıcula genera los vectores velocidad y aceleraci´on. ~r = ~r (t)

=⇒ ~v (t) =

d (~r (t)) dt

=⇒ ~a (t) =

d (~v (t)) d2 (~r (t)) = dt dt2

ahora bien ~r ≡ |ri = rP |ur i = xP |ii + yP |ji + zP |ki

Hern´ andez & N´ un ˜ez

con |ur i = cos θ |ii + sen θ |ji

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si suponemos que la part´ıcula describe un  rP = rP (t)  ⇐⇒  θ = θ (t)

BORRADOR PRELIMINAR

movimiento entonces   x = x (t) y = y (t) ; |ur i = |ur i(t) ;  z = z (t)

|ii = const |ji = const |ki = const

con lo cual d (|ur i) d (cos θ (t) |ii + sen θ (t) |ji) dθ (t) dθ (t) = = − (sen θ (t)) |ii + cos θ (t) |ji dt dt dt dt dθ (t) dθ (t) d (|ur i) = [− (sen θ (t)) |ii + cos θ (t) |ji] = |uθ i {z } dt dt | dt |uθ i

ya que k|ur ik =

p

hur |ur i =

p [cos θ (t) hi| + sen θ (t) hj|] [cos θ (t) |ii + sen θ (t) |ji] = 1

k|uθ ik =

p

huθ |uθ i =

p

[− (sen θ (t)) hi| + cos θ (t) hj|] [− (sen θ (t)) |ii + cos θ (t) |ji] = 1

y hur |uθ i = huθ |ur i = [− (sen θ (t)) hi| + cos θ (t) hj|] [cos θ (t) hi| + sen θ (t) |ji] = 0 M´ as a´ un d (− (sen θ (t)) |ii + cos θ (t) |ji) dθ (t) d (|uθ i) = = − (cos θ (t) |ii + sen θ (t) |ji) = − |ur i dt dt dt Con lo cual, una part´ıcula que describe un movimiento gen´erico vendr´a descrita en coordenadas cartesianas por ~r ≡ |ri = xP (t) |ii + yP (t) |ji + zP (t) |ki y su velocidad ser´ a d~r (t) d (|ri) d (xP (t) |ii + yP (t) |ji + zP (t) |ki) = = dt dt dt d (xP (t)) d (yP (t)) d (zP (t)) = |ii + |ji + |ki = vxP (t) |ii + vyP (t) |ji + vzP (t) |ki dt dt dt

~v (t) =

y la aceleraci´ on ~a (t) =

d (vxP (t)) d (vyP (t)) d (vzP (t)) |ii + |ji + |ki = axP (t) |ii + ayP (t) |ji + azP (t) |ki dt dt dt

Mientras que en coordenadas polares ser´ a

~r ≡ |ri = rP (t) |ur i(t)

=⇒ ~v (t) =

  d r (t)P |ur i(t) dt

=

con lo cual la velocidad ~v (t) = vr (t)P |ur i(t) + r (t)P Hern´ andez & N´ un ˜ez

d (r (t)P ) |ur i(t) + r (t)P dt

  d |ur i(t) dt

dθ (t) |uθ i dt

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BORRADOR PRELIMINAR

y la aceleraci´ on

~a (t) =

d (~v (t)) = dt d



~a (t) =

dr(t)P dt

dt



d



dr(t)P dt

|ur i(t) + r (t)P

dθ(t) dt

|uθ i

 =

dt

  d vr (t)P |ur i(t) dt

~a (t) =

dr (t)P dθ (t) d θ (t) |uθ i(t) + r (t)P |uθ i(t) + r (t)P dt dt dt2

  dr(t)  P d dt 

dθ(t) dt

 |uθ i

dt

  d |u i r (t) dr (t)P |ur i(t) + dt dt 2

+

+

 d r (t)P

dt

 − r (t)P

dθ (t) dt

 2 

  d |u i θ (t) dθ (t) dt

dt

dr (t)P dθ (t) d2 θ (t) |ur i(t) + 2 + r (t)P  dt dt dt2 

 |uθ i(t)

Claramente para el caso de un movimiento circular

r = R = const

=⇒

dR =0 dt

 ~r (t) = R |ur i(t)       ~v (t) = R dθ(t) =⇒ dt |uθ i         ~a (t) = −R dθ(t) 2 |u i + R d2 θ(t) |u i r (t) θ (t) dt dt2

De aqu´ı podemos ver claramente que velocidad ~v (t) y posici´on ~r (t) son ortogonales. La velocidad, ~v (t) , siempre es tangente a la trayectoria ~r (t) y en este caso la trayectoria es una circunsferencia. En general el vector Z X X X ∆ ~r (ti ) = d~r (t) = ~r (t) ~rmed = ∆ ~r (ti ) = (~r (ti + ∆ti ) − ~r (ti )) =⇒ l´ım i

es decir d~r (t) = l´ım∆t→0

∆t→0

i

i

P

∆ ~r (ti ) es tangente a la trayectoria. Es claro que   ∂xP (t) ∂yP (t) ∂zP (t) d~r (t) = d [xP (t) |ii + yP (t) |ji + zP (t) |ki] ≡ |ii + |ji + |ki dt ∂t ∂t ∂t

5.2.

i

Curvas y par´ ametros

Podemos generalizar esta afirmaci´ on y considerar un par´ametro gen´erico λ, en este caso ~r = ~r (xP (λ) , yP (λ) , zP (λ)) =⇒   ∂~r ∂xP (λ) ∂~r ∂yP (λ) ∂~r ∂zP (λ) d~r (xP (λ) , yP (λ) , zP (λ)) = + + dλ ∂xP (λ) ∂λ ∂yP (λ) ∂λ ∂zP (λ) ∂λ  =

Hern´ andez & N´ un ˜ez

∂xP (λ) ∂~r ∂yP (λ) ∂~r ∂zP (λ) ∂~r + + ∂λ ∂xP (λ) ∂λ ∂yP (λ) ∂λ ∂zP (λ)

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 dλ

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BORRADOR PRELIMINAR

con lo cual

d (•) ∂xP (λ) ∂ (•) ∂yP (λ) ∂ (•) ∂zP (λ) ∂ (•) = + + dλ ∂λ ∂xP (λ) ∂λ ∂yP (λ) ∂λ ∂zP (λ)   P (λ) ∂yP (λ) ∂zP (λ) con lo cual podemos considerar las cantidades ∂x∂λ , ∂λ , ∂λ como las componentes del vector,

d(•) d~r (λ) , (y en general del operador dλ ) tangente ala trayectoria parametrizada con λ.  ∂(•) ser´an los vectores base en esas coordenadas. , ∂(•) M´ as a´ un las cantidades ∂xP (λ) , ∂x∂(•) P (λ) ∂zP (λ)
1 As´ı al considerar coordenadas generalizadas q (λ) , q 2 (λ) , q 3 (λ)


|ri = ˜ r=˜ r q 1 (λ) , q 2 (λ) , q 3 (λ) ⇓
∂q 1 (λ) ∂~r ∂q 2 (λ) ∂~r ∂q 3 (λ) ∂~r d~r q 1 (λ) , q 2 (λ) , q 3 (λ) = dλ 1 + dλ 2 + dλ 3 ∂λ ∂q (λ) ∂λ ∂q (λ) ∂λ ∂q (λ) m d˜ r ∂q 1 (λ) ∂~r ∂q 2 (λ) ∂~r ∂q 3 (λ) ∂~r = + + dλ ∂λ ∂q 1 (λ) ∂λ ∂q 2 (λ) ∂λ ∂q 3 (λ) | {z } | {z } | {z } |q 1 i

n  donde q 1 =



∂~ r 2 ∂q 1 (λ) , q

=



∂~ r 3 ∂q 2 (λ) , q

=

∂~ r ∂q 3 (λ) ,

o

|q 2 i

|q 3 i

son la base de vectores.

Por otro lado el m´ odulo del vector kd~r (λ)k representar´a la longitud de arco ds para esa curva. Por consiguiente ds2 = hdr(λ) |dr(λ)i =

=

d hdr(λ)| d |dr(λ)i ∂q i ∂ hdr(λ)| ∂q j ∂ |dr(λ)i (dλ)2 = (dλ)2 dλ dλ ∂λ ∂q i ∂λ ∂q j

∂ hdr(λ)| ∂ |dr(λ)i ∂q i ∂q j ∂ hdr(λ)| ∂ |dr(λ)i i j dλ dλ = dq dq ∂q i ∂q j |∂λ{z }|∂λ{z } ∂q i ∂q j dq i

donde

d~ r (λ) dλ

dq j

es el vector tangente a la curva. Dado que 2

(ds) = gij dxi dxj = g˜ij d˜ xi d˜ xj = g¯ij dq i dq j =

∂ hdr(λ)| ∂ |dr(λ)i i j dq dq ∂q i ∂q j {z } | g ¯ij

identificamos claramente

Hern´ andez & N´ un ˜ez

∂ hdr(λ)| ∂ |dr(λ)i ≡ g¯ij ∂q i ∂q j

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BORRADOR PRELIMINAR

Figura 5.1: Coordenadas Curvil´ıneas en 2D. Cuadrante I, coordenadas cil´ındricas x = ρ cos ϕ; y = ρ sen ϕ; z = z Cuadrante II, coordenadas cil´ındricas el´ıpticas x = a cosh u cos v;
y = a senh u sen v; z = z Cuadrante III coordenadas cil´ındricas parab´olicas x = 12 u − v 2 ; y = uv; z = z Cuadrante IV coordenadas cil´ındricas bipolares x2 + (y − a cot u) a2 y 2 = senh z = z 2v;

5.3.

2

=

a2 csc2 u;

v x − a senh cosh v


2

+

Coordenadas Curvil´ıneas Generalizadas


Como hemos visto siempre se podr´ a definir un sistema de coordenadas generalizadas q 1 , q 2 , q 3 tales que |ri = ˜ r=˜ r q1 , q2 , q3




2

=⇒ d˜ r=

(ds) = gij dxi dxj ≡ d˜ r·d˜ r=

∂˜ r 1 ∂˜ r 2 ∂˜ r 3 dq + dq + dq ∂ q1 ∂ q2 ∂ q3

∂˜ r ∂˜ r dq i dq j ∂ qi ∂ qj

=⇒

  

=⇒

gij = ∂∂ q˜ri ∂∂ q˜rj

  |˜ ej i =

1 ∂ |ri

∂ |ri ∂ q j

∂ qj

genere una tr´ıada de vectors base {|˜ ej i} ortonormales de vectores unitarios tales que 1 ∂ |ri

|˜ e1 i =

∂ |ri ∂ q 1 ;

∂ q1

1 ∂ |ri

|˜ e2 i =

∂ |ri ∂ q 2 ;

∂ q2

1 ∂ |ri

|˜ e3 i =

∂ |ri ∂ q 3 ;

∂ q3

los cuales son vectores tangentes a las curvas que define el radio vector |ri. Claramente si el sistema es ortogonal los factores de escala son importantes para su categorizaci´on





∂ |ri

∂ |ri

∂ |ri



; h1 = ; h2 = ; y h3 = ∂ q1 ∂ q2 ∂ q3 Hern´ andez & N´ un ˜ez

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BORRADOR PRELIMINAR

con lo cual podemos definir el elemento de l´ınea como ds2 = h1 dq 1


2

+ h2 dq 2


2

+ h3 dq 3


2

=

∂ hdr(λ)| ∂ |dr(λ)i i j dq dq = gij dq i dq j ∂q i ∂q j

Es decir que identificamos la m´etrica como h1 =

∂x ∂x1 √ = = g11 ; ∂q 1 ∂q 1

h2 =

∂x2 ∂y √ = = g22 ; ∂q 2 ∂q 2

h3 =

∂x3 ∂z √ = = g33 . ∂q 3 ∂q 3

De tal forma que los casos particulares se recuperan f´acilmente.

5.3.1.

Coordenadas generalizadas, vectores y formas

Recordando como construimos el desplazamiento para una base gen´erica ortogonal, {|˜ ej i} de un espacio vectorial con producto interno, el desplazamiento infinitesimal puede expresarse como

k


k ds2 ≡ hdr |dri = d x ˜k ˜ e (d x ˜m |˜ em i) = ˜ e |˜ em i d x ˜k d x ˜m = d x ˜m d x ˜m = g˜km d x ˜k d x ˜m Donde hemos utilizado el hecho que la m´etrica nos permite asociar componentes contravariantes a covariantes y viceversa, es decir establece una relaci´ on entre formas y vectores.



Si las bases de formas y vectores son ortogonales la m´etrica ser´a diagonal y como en general ∂|dr(λ)i

6= 1, ∂q j entoces surgen los llamados factores de escala hi = gii Entonces, una vez m´ as, una forma hb| o, un vector |ai cualquiera puede expresarse como una combinaci´ on lineal de formas o vectores base



j |ai = aj |ej i = a ˜j |˜ ej i ↔ hb| = bj ej = ˜bj ˜ e con

aj = ej |ai ;

j a ˜j = ˜ e |ai ;

bj = hb |ej i ;

y ˜bj = hb |˜ ej i

De esta manera las componentes covariantes y contravariantes estar´an relacionadas como aj = gjk ak

⇒ ai = h[i] a[i]

donde h[i] a[i] NO indica suma. En otras palabras, en aquellos sistemas de coordenadas en los cuales la m´etrica es diagonal pero no viene representada por la matriz unidad, subir y bajar indices puede incluir los camibos de escala.

5.3.2.

Velocidades y Aceleraciones

Antes de pasar a analizar los casos particulares haremos un alto para expresar las expresiones de las velocidades y las aceleraciones en coordenadas generalizadas. Para ello recordamos que los vectores velocidad y aceleraci´ on se representan como |V i = V j |ej i = x˙ j |ej i = V˜ j |˜ ej i = x ˜˙ j |˜ ej i

y

¨˜j |˜ |ai = aj |ej i = x ¨j |ej i = a ˜j |˜ ej i = x ej i

respectivamente. Para determinar las expresiones de estos vectores en cualquier sistema de coordenadas, es suficiente con encontrar las expresiones de sus componentes contravariantes o contravariantes. Como sabemos, podremos encontrar una a partir de las otras con la ayuda de la m´etrica del sistema de coordenadas.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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BORRADOR PRELIMINAR

Entonces, el vector velocidad en la base cartesiana se puede expresar como E E |V i = Vx |ˆıi+Vy |ˆi+Vz kˆ = x˙ |ˆıi+y˙ |ˆi+z˙ kˆ = x˙ j |ej i = q˙j |˜ ej i con |e1 i = |ˆıi ;

|e2 i = |ˆi ;

y

E |e3 i = kˆ ,

claramente las componentes contravariantes del vector velocidad en un sistema de coordenadas generalizado son V j = q˙j Para encontrar las componentes covariantes recordamos que para cualquier base generalizada de vectores o formas se expresan en t´ermino de la base cartesiana (de vectores o formas) como ∂xi |ei i ∂q j

|˜ ej i =

y

i ∂q i j ˜ e = e ∂xj

Entoces las componentes covariantes del vector velocidad en una base generalizada ser´a   Vm V m  i  ∂xm ∂ m m 2 ∂x ∂x ∂ x˙ ∂t V˜j = hV |˜ ej i = (x˙ m h˜ em |) |ei i = x˙ m j = x˙ m ∂q = x˙ m j = j ∂q j ∂q ∂ q˙ ∂ q˙j ∂t

Con lo cual resulta f´ acil expresar las componentes covariantes una vez que conocemos el m´odulo del vector expresado en ese sistema de coordenadas. El cual siempre viene expresado a partir del diferencial d |ri ⇒

d |ri dt

Para encontrar la expresi´ on para la aceleraci´on se procede de manera an´aloga.  i    ∂x d ∂xm ∂xm ∂ x˙ m m a ˜j = ha |˜ ej i = (¨ xm h˜ e |) |e i = x ¨ ≡ x ˙ − x ˙ i m m m ∂q j ∂q j dt ∂q j ∂q j y otra vez ∂xm ∂ x˙ m = j ∂q ∂ q˙j

⇒a ˜j =

d dt

       ∂ x˙ m d ∂ ∂ ∂ x˙ m x˙ m x˙ m x˙ m x˙ m x˙ m j − x˙ m j = − ∂ q˙ ∂q dt ∂ q˙j 2 ∂q j 2

y finalmente a ˜j =

5.3.3.

d dt



∂ ∂ q˙j



Vm V m 2

 −

∂ ∂q j



Vm V m 2



Coordenadas Cartesianas

El primer caso, el m´ as trivial, lo constituyen las coordenadas cartesianas. Vale decir
q 1 , q 2 , q 3 ⇐⇒ (x, y, z) ˆ |ri = x |ii + y |ji + z |ki = ˜ r = xˆı + yˆ  + zk  ˜ r=˜ r (x, y, z) =⇒ d˜ r=

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∂˜ r ∂x



 dx +

   ∂˜ r ∂˜ r dy + dz = dx |ii + dy |ji + dz |ki ∂y ∂z

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cosecuentemente

BORRADOR PRELIMINAR



hx = ∂∂ |ri x =1

|˜ ex i =



hy = ∂∂ |ri y =1

y



hz = ∂∂ |ri z =1

|˜ ey i = |˜ ez i =

El elemento de l´ınea viene definido como
2
2
2 2 (ds) = h1 dx1 + h2 dx2 + h3 dx3

1

k ∂∂ |ri x k 1

k ∂∂y|ri k 1

k ∂∂ |ri z k

⇐⇒

∂ |ri ∂ x

= |ii

∂ |ri ∂ x

= |ji ;

∂ |ri ∂ z

= |ki

ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2

y el tensor m´etric´ o ser´ a g11 = gxx = 1;

g22 = gyy = 1;

g22 = gzz = 1.

El hecho que para el caso de las coordenadas cartesianas hx = hy = hz = 1 significar´a que las tomaremos como coordenadas base respecto a las cuales expresaremos las dem´as.

5.3.4.

Coordenadas Cil´ındricas

Las coordenadas cil´ındricas se expresan como
q 1 , q 2 , q 3 ⇐⇒ (ρ, ϕ, z) ˆ |ri = x (ρ, ϕ) |ii + y (ρ, ϕ) |ji + z |ki ⇐⇒ ˜ r = x (ρ, ϕ)ˆı + y (ρ, ϕ) ˆ  + zk  ˜ r=˜ r (ρ, ϕ, z)

=⇒

d˜ r=

     ∂˜ r ∂˜ r ∂˜ r dρ + dϕ + dz ∂ρ ∂ϕ ∂z

y estas cantidades pueden ser identificadas de sianas x = x (ρ, ϕ) = ρ cos ϕ

las leyes de transformaci´on respecto a las  dx = cos ϕdρ − ρ sen ϕdϕ      y = y (ρ, ϕ) = ρ sen ϕ =⇒ dy = sen ϕdρ + ρ cos ϕdϕ      z=z dz = dz con lo cual es f´ acil identificar  ∂ x(ρ,ϕ)   ∂ x(ρ,ϕ)   ∂ x(ρ,ϕ) = cos ϕ = −ρ sen ϕ =0 ∂ ρ ∂ ϕ ∂ z            ∂ y(ρ,ϕ)    ∂ y(ρ,ϕ)  = sen ϕ  ;  ∂ y(ρ,ϕ) = ρ cos ϕ  ; y  =0  ∂ ρ ∂ ϕ ∂ z          ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z =1 ∂ ρ =0 ∂ ϕ =0

coordendas carte-

     

y de all´ı 





ˆ  + zk

∂ x (ρ, ϕ) ∂ y (ρ, ϕ)

∂ |ri ∂ x (ρ, ϕ)ˆı + y (ρ, ϕ) ˆ



hρ = = 

= ∂ ρ ˆı+ ∂ ρ ˆ

∂ρ ∂ρ

hρ = kcos ϕ ˆı+ sen ϕ ˆ k = 1 Hern´ andez & N´ un ˜ez

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BORRADOR PRELIMINAR

y del mismo modo

∂ (z)

ˆ hz = k = 1. ∂z



∂ (x (ρ, ϕ)ˆı + y (ρ, ϕ) ˆ )

= r; hϕ =

∂ϕ mientras que los vectores unitarios ser´ an |˜ eρ i = |˜ eϕ i = |˜ ez i =

1

k ∂∂ |ri ρ k

∂ |ri ∂ ρ

=

∂ x(ρ,ϕ) ı + ∂ y(ρ,ϕ) = ∂ ρ ˆ ∂ ρ ˆ

∂ |ri ∂ ϕ

=

1 ρ



∂ |ri ∂ z

=

∂

(x(ρ,ϕ)ˆı+y(ρ,ϕ)ˆ+zkˆ)

1

k ∂∂ |ri ϕ k 1

k ∂∂ |ri z k

∂ x(ρ,ϕ) ∂ ϕ

ˆı +

cos ϕ ˆı + sen ϕ ˆ 

∂ y(ρ,ϕ) ∂ ϕ

∂ z

El elemento de l´ınea viene definido como
2
2
2 2 (ds) = h1 dx1 + h2 dx2 + h3 dx3

 ˆ  = − sen ϕ ˆı + cos ϕ ˆ  ;

ˆ =k

ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2

⇐⇒

y el tensor m´etric´ o ser´ a g11 = gρρ = 1;

5.3.5.

g22 = gϕϕ = ρ2 ;

g33 = gzz = 1.

Coordenadas Esf´ ericas

Para construir el sistema de coordenadas esf´ericas
q 1 , q 2 , q 3 ⇐⇒ (r, ϕ, θ) ˆ |ri = x (r, ϕ, θ) |ii + y (r, ϕ, θ) |ji + z (r, ϕ, θ) |ki = x (r, ϕ, θ)ˆı + y (r, ϕ, θ) ˆ  + z (r, ϕ, θ) k  ~r = ~r (r, ϕ, θ)

=⇒

d~r=

∂ ~r ∂r



 dr +

∂ ~r ∂ϕ



 dϕ +

∂ ~r ∂θ

 dθ

y estas cantidades pueden ser identificadas de las leyes de transformaci´on respecto a las coordendas cartesianas  x = x (r, ϕ, θ) = r cos ϕ sen θ  dx = cos ϕ sen θdr − r sen ϕ sen θdϕ + r cos ϕ cos θdθ     y = y (r, ϕ, θ) = r sen ϕ sen θ =⇒ dy = sen ϕ sen θdr + r cos ϕ sen θdϕ + r sen ϕ cos θdθ      z (r, ϕ, θ) = r cos θ dz = cos θdr − r sen θdθ con lo cual es f´ acil identificar  ∂ x(r,ϕ,θ) = cos ϕ sen θ ∂ r    ∂ y(r,ϕ,θ)  = sen ϕ sen θ ∂ r   ∂ z(r,ϕ,θ) = cos θ ∂ r Hern´ andez & N´ un ˜ez





∂ x(r,ϕ,θ) ∂ ϕ

   ;  

     

= −r sen ϕ sen θ





∂ y(r,ϕ,θ) ∂ ϕ

= r cos ϕ sen θ

∂ z(r,ϕ,θ) ∂ ϕ

   ;  

     

=0

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∂ x(r,ϕ,θ) ∂ θ ∂ y(r,ϕ,θ) ∂ θ ∂ z(r,ϕ,θ) ∂ θ

= r cos ϕ cos θ



   = r sen ϕ cos θ    = −r sen θ 214

M´ etodos de la F´ısica Matem´ atica (Vol 1)

BORRADOR PRELIMINAR

y de all´ı 



ˆ  + z (r, ϕ, θ) k

∂ |ri ∂ x (r, ϕ, θ)ˆı + y (r, ϕ, θ) ˆ

hr =

∂ r =

∂r



∂ x (r, ϕ, θ) ∂ y (r, ϕ, θ) ∂ z (r, ϕ, θ)

ˆ hr = ˆı+ ˆ + k

∂r ∂r ∂r

+ cos θ hr = cos ϕ sen θ ˆı+ sen ϕ sen θ ˆ

p ˆ k

= cos2 ϕ sen2 θ + sen2 ϕ sen2 θ + cos2 θ = 1

y del mismo modo 



∂ x (r, ϕ, θ)ˆı + y (r, ϕ, θ) ˆ

ˆ  + z (r, ϕ, θ) k

∂ x (r, ϕ, θ) ∂ y (r, ϕ, θ)

hϕ = ˆı+ ˆ 

= ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

hϕ = k−r sen ϕ sen θ ˆı+r cos ϕ sen θ ˆ k =

q

2

2

(r sen ϕ sen θ) + (r cos ϕ sen θ) = r sen θ

Finalmente, 



∂ x (r, ϕ, θ)ˆı + y (r, ϕ, θ) ˆ

ˆ  + z (r, ϕ, θ) k



hθ =

∂ θ



∂ x (r, ϕ, θ) ∂ y (r, ϕ, θ) ∂ z (r, ϕ, θ) ˆ

hθ = ˆ ı + ˆ  + k

∂θ ∂θ ∂θ

hθ = r cos ϕ cos θ ˆı+r sen ϕ cos θ ˆ  − sen θ q hθ =

2

ˆ k

2

2

(r cos ϕ cos θ) + (r sen ϕ cos θ) + (r sen θ) = r

mientras que los vectores unitarios ser´ an |˜ er i = |˜ eϕ i = |˜ eθ i =

1

k ∂∂ |ri r k 1

k ∂∂ |ri ϕ k 1

k

∂ |ri ∂ θ

k

∂ |ri ∂ r

ˆ = cos ϕ sen θ ˆı+ sen ϕ sen θ ˆ + cos θ k

∂ |ri ∂ ϕ

=

1 r sen θ

∂ |ri ∂ θ

=

1 r



(−r sen ϕ sen θ ˆı+r cos ϕ sen θ ˆ )

ˆ r cos ϕ cos θ ˆı+r sen ϕ cos θ ˆ  − sen θ k

El elemento de l´ınea viene definido como
2
2
2 2 (ds) = h1 dx1 + h2 dx2 + h3 dx3 Hern´ andez & N´ un ˜ez

⇐⇒

; 

ds2 = dr2 + r2 sen2 θ dϕ2 + r2 dθ2

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215

M´ etodos de la F´ısica Matem´ atica (Vol 1)

BORRADOR PRELIMINAR

El tensor m´etrico ser´ a g11 = grr = 1;

g22 = gϕϕ = r2 sen2 θ ;

g33 = gθθ = r2 .

Por completidud, enumeraremos algunos otros sistemas de coordenadas y dejaremos al lector la labor de calcular los vectores unitarios y la m´etrica del espacio expresada en estas coordenadas.

5.3.6.

Otros Sistemas Coordenados

Coordenadas Toroidales
q 1 , q 2 , q 3 ⇐⇒ (λ, µ, α) ;

ˆ |ri = x (λ, µ, α)ˆı + y (λ, µ, α) ˆ  + z (λ, µ, α) k

con x = x (λ, µ, α) = r cos α;

con r =

senh λ cosh λ + cos µ

y = y (λ, µ, α) = r sen α z = z (λ, µ, α) = r

sen µ cosh λ + cos µ

con lo cual los vectores unitarios ser´ an |˜ eλ i =

|˜ eµ i = |˜ eα i = Hern´ andez & N´ un ˜ez

1

k

∂ |ri ∂ λ

k

1

k ∂∂ |ri µ k 1

k ∂∂ |ri α k

∂ |ri ∂ λ

=

∂ |ri ∂ µ

=

∂ |ri ∂ α

=

∂ 1

∂ (x(λ,µ,α)ˆı+y(λ,µ,α)ˆ ˆ) +z(λ,µ,α)k

∂ λ

(x(λ,µ,α)ˆı+y(λ,µ,α)ˆ+z(λ,µ,α)kˆ) ∂ λ

;

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216

M´ etodos de la F´ısica Matem´ atica (Vol 1)

∂ |ri = ∂λ

∂

∂ |ri = ∂λ





senh λ cosh λ+cos µ



cos α

∂λ



∂



ˆı +

BORRADOR PRELIMINAR

senh λ cosh λ+cos µ



sen α





ˆ +

∂λ

cosh λ cos µ + 1 cosh2 λ + 2 cosh λ cos µ + cos2 µ

∂



sen µ cosh λ+cos µ

∂λ

 ˆ k

sen µ cosh2 λ − cosh λ cos µ − 2

 (cos αˆı+ sen αˆ ) −

senh λ cosh λ+cos µ




cosh3 λ + 3 cosh2 λ cos µ + 3 cosh λ cos2 µ + cos3 µ

la m´etrica queda como 2

ds = r

2



dλ2 + dµ2 senh2 λ



Las superficies λ = const representan toros alrededor del eje z; las superficies µ = const son esferas con centro sobre el eje z;y finalmente las superficies α = const son planos que contiene al eje z Coordenadas Elipsoidales Dados tres n´ umeros a, b y c; con a > b > c > 0, la ecuaci´on y2 z2 x2 + + =1 a2 + α b2 + α c2 + α representa las superficies cu´ adricas1 homofocales (es decir, con el mismo foco u origen en (x = 0, y = 0, z = 0)). Dependiendo del valor del par´ ametro α, estas ecuaciones representar´an superficies Elipsoides Hiperboloides de una hoja Hiperboloides de dos hojas

si α > −c2 2 si −c > α > −b2 si −b2 > α > −c2

Esto quiere decir que por cada punto (x, y, z) del espacio, pasan tres superficies cu´adricas (dependiendo del valor de α). Conocidos a, b y c y el punto, (x = x0 , y = y0 , z = z0 ) , los valores de α vienen dados por las ra´ıces de la ecuaci´ on c´ ubica y2 z2 x2 + + =1 a2 + α b2 + α c2 + α

=⇒

α3 + ∆ α2 + Φ α + Ω = 0

con ∆ = x20 + y02 + z02 − a2 − b2 − c2



Φ = b2 + c2 x20 + a2 + c2 y02 + a2 + b2 z02 − a2 b2 − a2 + b2 c2 Ω = x20 b2 c2 + y02 a2 c2 + z02 a2 b2 − a2 b2 c2 Las ra´ıces de esta ecuaci´ on (α1 = λ; α2 = µ; α3 = ν) definen las coordenadas elipsoidales del punto (x, y, z) = (x (λ, µ, ν) , y (λ, µ, ν) , z (λ, µ, ν))
ˆ q 1 , q 2 , q 3 ⇐⇒ (λ, µ, ν) ; |ri = x (λ, µ, ν)ˆı + y (λ, µ, ν) ˆ  + z (λ, µ, ν) k 1 N´ otese

que la proyecci´ on de estas superficies en el plano (x, y) representan curvas c´ onicas homofocales

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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217

M´ etodos de la F´ısica Matem´ atica (Vol 1)

BORRADOR PRELIMINAR

y la ley de transformaci´ on queda como s

(a2 + λ) (a2 + µ) (a2 + ν) (a2 − b2 ) (a2 − c2 )

s

(b2 + λ) (b2 + µ) (b2 + ν) (b2 − a2 ) (b2 − c2 )

s

(c2 + λ) (c2 + µ) (c2 + ν) (c2 − b2 ) (c2 − a2 )

x = x (λ, µ, ν) =

y = y (λ, µ, ν) =

z = z (λ, µ, ν) = por cual la m´etrica ser´ a ds2 =

5.4.

4 (a2

(λ − µ) (λ − ν) (µ − λ) (µ − ν) dλ2 + dµ2 2 2 2 + λ) (b + λ) (c + λ) 4 (a + µ) (b2 + µ) (c2 + µ) (ν − µ) (ν − λ) + dν 2 4 (a2 + ν) (b2 + ν) (c2 + ν)

Vectores, Tensores, M´ etrica y Transformaciones

Nos toca ahora construir expresiones de vectores y tensores a partir de sus leyes de transformaci´on, hemos dicho que los vectores y los tensores son independiente del sistema de coordenadas (la base) en la cual se exprese.

5.4.1.

Transformando Vectores

As´ı si dada dos bases de vectores coordenados {|e1 i , |e2 i , |e3 i} y {|˜ e1 i , |˜ e2 i , |˜ e3 i} para el espacio vectorial