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1. Deduzca la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. Solucion: Sabemos que el laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales generales es:

∇2 f =

[ (

1 ∂ h2 h3 ∂ f ∂ h1 h3 ∂ f ∂ h1 h2 ∂ f + + h1 h2 h3 ∂ u1 h1 ∂ u1 ∂u 2 h2 ∂ u2 ∂u 3 h3 ∂ u3

) (

) (

)]

Entonces hallamos, los factores de escala en las coordenadas esféricas: Coordenadas esféricas: Para

u1=ρ → h1=1

Para

u2=φ→ h2= ρ

Para

u3=θ → h3= ρsin φ

´r =( ρsin φ cos θ ; ρsin φ sin θ ; ρ cos φ )

Reemplazando en la expresión general, obtenemos:

∇2 f =

[ (

1 ∂ 2 ∂f ∂ ρ sin φ ∂ f ∂ ρ ∂f ρ sin φ + + ∂ ρ ∂φ ρ ∂ φ ∂ θ ρ sin φ ∂ θ ρ sin φ ∂ ρ 2

) (

) (

)]

Por lo tanto, la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es: 2

∇ f=

1 ∂ 2 ∂f 1 ∂ ∂f 1 ∂2 f ρ + sin φ + ∂ ρ ρ2 sin φ ∂ φ ∂ φ ρ 2 sin φ 2 ∂θ2 ρ2 ∂ ρ

(

)

(

)

4. halle el flujo del vector dado en las coordenadas esféricas: A = rsen + rsenǿcosƟ eƟ a través del lado exterior de la parte del semicono x2 + y2 limitada de arriba por el plano z=

√3

(0≤z≤

√3

√3

Ɵ 2

eǿ z2 =

).

SOLUCION: 

el flujo del campo vectorial en la región dada, se calcula con el método de la divergencia. ǿ=



∭ ∇ . A dv

ahora hallaremos la divergencia del campo a en coordenadas esféricas

∇. A AƟ) 1 ∂ ( senƟ rsenƟ ∂ǿ

+

=

1 ∂ Aǿ rsenƟ ∂ ǿ

1 ∂ ( r 2 Ar ) . r2 ∂r

+

∇ .A = 

senǿcos2 Ɵ senƟ

el flujo en coordenadas esféricas es: 4

ǿ=

∭ ∇ . A dv

2 π artag( √ 3) √ 3 secǿ

=

∫ ∫ 0

0

∫ 0

senǿcos 2Ɵ 2 r sen ǿ drdǿdƟ senƟ

3 √¿ ¿ senǿcos2 Ɵ ¿ sen senƟ ¿ √ 3 secǿ ¿ artag ¿ 4

ǿ=

¿

∫¿ 0 2π

∫¿ 0

ǿ= 0

Problema5 Se desea calcular la medida del ángulo solido subtendido con respecto al punto P de coordenadas (0,0,h) h>0 por una placa rectangular de vértices (0,0,0), (a,0,0), (a,b,0) y (0,b,0) siendo a y b números positivos. Solución:

´r =( x , y , 0 ) , 0< x 0, y > 0 } El área de A seria la siguiente:

-4

4

Llevamos a coordenadas polares:

∬

|r 2−16| r

19

drdθ

Eliminamos el valor absoluto hallándolo por áreas:

|r 2−16|>0 sir > 4

Luego tenemos: ∞

2

drdθ=0,000860728+0=¿ 0,000860728 ∫ r −16 r 19 4

π 2

4

−∫ 0

∫

2 sinθ+ cosθ

π 2

2

r −16 drdθ+∫ ¿ r 19 0

11)Evalué la siguiente integral de línea

∫ ( 2 xy + z 2 ) dx+ x 2 dy+ 2 xzdz ç

,siendo ç la

poligonal ABCD A(2,-1,0) ;B(1,0,0) ;C(0,1,0) y D(0,0,1) Analizamos el ROT (F)

(

i ROT ( F )= ∂ ∂x P

)(

j δ δy Q

k δ = ∂ R − ∂ Q i− ∂ R − ∂ P j+ ∂Q − ∂ P k ∂ y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂ y δz R

) (

) (

2

)

2

∂(2 xz ) ∂ x 2 ∂(2 xz) ∂(2 xy+ z ) ∂ x 2 ∂(2 xy + z ) = =2 x ; = =2 z ; = =2 x ∂y ∂y ∂x ∂z ∂x ∂y Como el rotacional 0 y la región es simplemente conexa entonces el campo es conservativo y no depende de la trayectoria por lo tanto se une los puntos en AyD La ecuación de la recta AD

X =2−2 t ; Y =−1+t ; Z=t

0 ≤t ≤1

dx=−2 dt ; dy =dt ; dz=dt

(1−t) 1

1

1 2

1 2

2∫ 4 ( 1−t ) ( 1−t ) dt−∫ 2 t dt +∫ (1−t) dt+ 4∫ ¿(t )dt ¿ 0

0

0

0

t3 1 2 t3 1 t3 2 1 t2 t3 1 8 t−t + ¿0 − ¿ +4 t + −t ¿0 +4 − ¿ 0=4 3 3 0 3 2 3

(

2

)

(

) (

)