COORDENADAS CURVILINEAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL COORDENADAS
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
COORDENADAS CURVILINEAS 1.- En cualquier instante 𝑥 = 8𝑡 pies, donde t está en segundos, define la posición horizontal del globo atmosférico de la figura adjunta. Si la ecuación de la trayectoria es 𝑦 = 𝑥 2 /10, determina la magnitud y dirección de la velocidad y la aceleración cuando t = 2 s.
3.En un tiempo determinado, las coordenadas polares de un punto P que se mueve en el plano X – Y son 𝑟 = 4 pie, 0.5 rad, y sus derivadas respecto al tiempo son 2.- En la figura adjunta el brazo del robot está programado de manera que el punto P describa la trayectoria: 𝑟 = 1 − 0.5 cos(2𝜋𝑡) m 𝜃 = 0.5 − 0.2 sin(2𝜋𝑡) rad En t = 0.8 s, determine: a) la velocidad de P en términos de las componentes radial y transversal. b) Las componentes cartesianas de la velocidad en P.
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𝑑𝑟 𝑑𝑡
= 8 𝑝𝑖𝑒/𝑠 y
𝑑𝜃 𝑑𝑡
= −2 𝑟𝑎𝑑/𝑠. A) Cuál es
la magnitud de la velocidad en P B) Cuáles son las componentes cartesianas de esa velocidad?
4.- Las coordenadas polares de un punto P que se mueve en el plano X – Y son 𝑟 = 𝑡 3 − 4𝑡 m , 𝜃 = 𝑡 2 − 𝑡 rad. a) Determine la velocidad de P en términos de las componentes radial y transversal en t = 1 s. b) Determine la aceleración en P en términos de las componentes radial y transversal en t = 1 s.
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5.- En la figura adjunta la línea radial gira con velocidad angular constante de 2 rad/s. El punto P se mueve a lo largo de la línea con rapidez constante de 4 m/s. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de P cuando r = 2 m.
6.- La barra gira en el plano X – Y de la figura con velocidad angular constante 𝜔0 . La constante radial de la aceleración del collarín C es 𝑎𝑟 = −𝐾 𝑟 , donde K es una constante. Cuando 𝑟 = 𝑟0 , la componente radial de C es 𝑣0 . Determine las componentes radial y transversal de la velocidad de C en función de r.
rad/s con 𝜃̈ = 2(10^-3) rad/s^2. Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del avión en este instante.
8.- El bote navega a lo largo de una trayectoria definida por 𝑟 2 = [10(103 ) cos 2𝜃 ] pies^2, donde θ está en radianes. Si 𝜃 = (0.4𝑡 2 ) rad, donde t está en segundos, determine las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleración del bote en el instante t = 1 s.
7.- Durante un corto tiempo el avión a reacción vuela en una trayectoria en forma de lemniscata, 𝑟 2 = 2500 cos(2𝜃) km^2. En el instante θ = 30°, el dispositivo rastreador del radar gira a 𝜃̇ = 5(10^-3) DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA
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9.- La superficie parcial de la leva es la de una espiral logarítmica 𝑟 = 40 𝑒 0.05 𝜃 mm, donde θ está en radianes. Si la leva gira a una velocidad angular constante de 𝜃̇ = 4 rad/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del punto en la leva que está en contacto con el seguidor en el instante θ = 30°.
12.- La caja desciende por una rampa helicoidal a una rapidez constante de v = 2 m/s. Determine la magnitud de su aceleración. La rampa desciende una distancia vertical de 1 m por cada revolución completa. El radio medio de la rampa es r = 0.5 m.
13. – La caja desciende por una rampa helicoidal definida por 𝑟 = 0.5 m, 𝜃 = 0.5𝑡 3 rad, y 𝑧 = (2 − 0.2 𝑡 2 ) m, donde t está en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la caja en el instante 𝜃 = 2𝜋 rad. 10.- Resuelva el problema 9, se la aceleración angular de la leva es 𝜃̈ = 2 rad/s^2 cuando su velocidad angular es 𝜃̇ = 4 rad/s con θ = 30°
11.- El automóvil desciende de un estacionamiento por una rampa espiral cilíndrica a una rapidez constante de 𝑣 = 1.5 m/s. Si la rampa desciende a una distante de 12 m por cada revolución completa, θ = 2π rad, determine la magnitud de la aceleración del automóvil a medida que desciende por la rampa, r = 10 m.
14.- la barra OA gira en sentido antihorario con una velocidad angular de 𝜃̇ = 2𝑡 2 rad/s. Mediante conexiones mecánicas el collarín B se mueve a lo largo de la barra con una rapidez de 𝑟̇ = 4𝑡 2 m/s. Si θ = 0 y r = 0, determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del collarín cuando θ = 60°.
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leva tiene la forma de limacon definida por 𝑟 = (200 + 100 cos θ) mm.
15.- El brazo ranurado AB se mueve el pasador C a través de la ranura espiral descrita por la ecuación 𝑟 = 1.5 𝜃 pies, donde θ está en radianes. Si el brazo comienza a moverse cuando θ = 60° y es propulsado a una velocidad angular de 𝜃̇ = 4𝑡 rad/s, donde t está en segundos, determine las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleración del pasador C cuando t = 1 s.
17.- En el instante θ = 30°, la leva gira en sentido de las manecillas del reloj con una velocidad angular constante de 𝜃̈ = 6 rad/s. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del seguidor AB en este instante. La superficie de la leva tiene la forma de un limacon, definida por = (200 + 100 cos θ) mm.
16.- Si la leva gira en sentido horario a una velocidad angular constante de 𝜃̇ = 5 rad/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del
18.-La clavija se mueve en la ranura curva definida por la lemniscata y a través de la ranura en el brazo. Cuando θ = 30°, la velocidad angular es 𝜃̇ = 2 rad/se y la aceleración angular 𝜃̈ = 1.5 rad/s. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración de la clavija en P en este instante.
seguidor AB en el instante θ = 30°. La superficie de la
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20.- El radar de la figura adjunta está siguiendo a un avión. En el instante representado, la posición de éste viene dada por R = 19500 m, θ = 110° y ϕ = 60°. Comparando ésta con posiciones anteriores se estiman las derivadas 𝑟̇ = −85.5 m/s, 𝑟̈ = 4.5 m/s^2, 𝜃̇ = 9.0 x10^{-3} rad/s, 𝜃̈ = 20x10^{-6} rad/s^2, 𝜙̇ = 2.5 x 10^{-3} rad/s, 𝜙̈ = 80x10^{-6} rad/s^2. Para este instante, determinar: a) La velocidad y aceleración del avión en coordenadas esféricas (r, ϕ, θ). b) La velocidad y aceleración del avión en coordenadas rectangulares tales que el eje z corresponda al eje ϕ = 0° y el eje x corresponde a l eje ϕ = 90° y θ = 0°. c) Los módulos de la velocidad y la aceleración del avión. 19.- El movimiento tridimensional de un punto situado en la superficie de un cono de revolución está descrito por las relaciones: 𝑟 = 𝑧 tan 𝛽 m 𝜃 = 2𝜋𝑡 rad ℎ𝜃 𝑧= m 2𝜋
Donde β = 30° es el ángulo del vértice del cono y h = 0.25 m es la distancia que sube el punto al dar una vuelta alrededor del cono. Calcular la velocidad y aceleración del punto para: a) T = 0 s. b) Z = 1 m.
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21.- El aguilón AB de la grúa representada en la figura adjunta tiene una longitud de 22.5 m. Cuando ϕ = 30°, la grúa está girando en torno al eje CD con 𝜃̇ = 3 rad/min, 𝜃̈ = −1 rad/min^2, 𝜙̇ = −5 rad/min y 𝜙̈ = 2 rad/ min^2. Calcular la aceleración del punto B.
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22.- Un avión vuela hacia el oeste con una celeridad constante de 100/s a una altitud constante de 1500 m. La proyección sobre el suelo de la trayectoria del avión pasa 2 km al norte de una estación de radar. Determinar las celeridades y aceleraciones 𝜃̇ , 𝜃̈ , 𝜙̇, 𝜙̈ que hay que dar a la antena para seguir al avión cuando éste esté en el mismo meridiano que la estación del radar.
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