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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOMAS DE ZAMORA Facultad de Ingeniería Ingeniería Mecánica con orientación en mecatronica

Robótica 2° Cuatrimestre 2017 TRABAJO PRÁCTICO Control no lineal de los manipuladores Alumnos: Cruz Fernando, Silberstein Facundo Profesor: Daniel Zambrano Observaciones:

18 de Noviembre de 2017

Universidad Nacional de Lomas de Zamora

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TRABAJO PRÁCTICO - ROBOTICA ALUMNOS: SILBERSTEIN Facundo, CRUZ Fernando TEMA : Control no lineal de los manipuladores

Docentes Ing. Daniel Zambrano 2° CUATRIMESTE 2017

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INDICE: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Resumen:................................................................................................................................................................. 2 Introducción: ............................................................................................................................................................ 2 Sistemas no lineales y variantes en el tiempo: ......................................................................................................... 2 Sistemas de control multientradas, multisalidas: ...................................................................................................... 4 El problema del control para los manipuladores: ...................................................................................................... 5 Consideraciones prácticas: ...................................................................................................................................... 6 6.1. Tiempo requerido para calcular el modelo:........................................................................................................ 6 6.2. Control no lineal de alimentación anticipada ..................................................................................................... 7 6.3. Implementación de momento de torsión calculado con doble velocidad. ........................................................... 7 6.4. Desconocimiento de los parámetros ................................................................................................................. 8 7. Sistemas actuales de control de robots industriales ............................................................................................... 10 7.1. Control PID de una articulación ....................................................................................................................... 10 7.2. Adición de compensación de gravedad ........................................................................................................... 11 7.3. Varias aproximaciones del control de desacoplamiento .................................................................................. 11 8. Análisis de estabilidad de Lyapunov ....................................................................................................................... 11 9. Sistemas de control de base cartesiana ................................................................................................................. 13 9.1. Comparación con los esquemas basados en articulaciones ............................................................................ 13 9.2. Esquemas intuitivos de control cartesiano....................................................................................................... 14 9.2. Esquema de desacoplamiento cartesiano ....................................................................................................... 14 10. Control Adaptativo. ............................................................................................................................................. 16 11. Bibliografía ......................................................................................................................................................... 17

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1. Resumen: El campo de la teoría para el control no lineal es extenso, razón por la cual se abordará en el presente informe únicamente dos métodos específicos, los cuales son: método de momento de torsión calculado, y un método de análisis de estabilidad de sistemas no lineales conocido como método de Lynapunov.

2. Introducción: A la hora de realizar un análisis lineal del control de manipuladores, se deben hacer diversas suposiciones, una de las más importantes es que cada articulación podría considerarse independiente y que la inercia “vista” por cada actuador de articulación era constante, teniendo esto como consecuencia un amortiguamiento no deseable a lo largo del espacio de trabajo, además de otros efectos indeseables. Por otra parte, el manipulador se modelaba mediante n ecuaciones diferenciales independientes de segundo orden, sin embargo, para el estudio del control no lineal de manipuladores, el diseño estará basado en la ecuación diferencial del vector no lineal n x 1 del movimiento, y la suposición antes mencionada no será necesaria.

3. Sistemas no lineales y variantes en el tiempo:

Para un sistema de fricción tipo masa-resorte con un solo grado de libertad, del cual las no linealidades no son severas, se podrá utilizar la linealización local para derivar modelos lineales que son aproximaciones de las ecuaciones no lineales en ubicaciones adyacentes a un punto de operación, sin embargo, debido a que los manipuladores se mueven constantemente en su espacio de trabajo de forma separadas, no es posible encontrar una linealización válida para todas las regiones. Una alternativa es la de utilizar la linealización móvil, la cual consiste en desplazar el punto de operación con el manipulador a medida que se vaya moviendo, siempre linealizando sobre la posición deseada del manipulador, teniendo como resultado un sistema lineal, pero que es variante en el tiempo. Si el resorte de la figura 1 tuviera un elemento no lineal, podríamos considerar el sistema como casi estático y, en cada instante, averiguar en donde se ubican los polos del sistema, como consecuencia descubriríamos que los polos se “mueven” alrededor del plano real - imaginario como una función de la posición del bloque, por lo tanto, no se podría seleccionar ganancias fijas que mantuvieran a los polos en una ubicación deseada como en el caso de un amortiguamiento crítico. La ley de control de linealización consiste en calcular Kp de manera que la combinación del efecto no lineal del resorte se cancelara por un término no lineal, para que la rigidez general se mantenga constante en todo momento. En resumen, se utiliza un término de control no lineal para cancelar uno no lineal en el sistema controlado, de forma que el sistema de lazo cerrado en general sea lineal, es importante mencionar, que en esta ley las ganancias serán variantes en el tiempo de forma tal que el sistema siempre esté críticamente amortiguado a pesar de que en realidad, las ganancias varían como una función de la posición del bloque.

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Ejemplo de la ley de control particionado:

La relación del resorte no lineal en la figura 2 no se describe como sino que será f=qx^3. Si este resorte es parte del sistema físico de la figura 1 tendremos que la ecuación de lazo abierto es:

La porción del control basada en el modelo es f=f' + , en donde:

La porción de servo es:

En donde los valores de las ganancias se calculan a partir de cierta especificación del rendimiento deseado. En la figura 3 se podrá observar un diagrama de bloques de este sistema de control. El sistema resultante de lazo cerrado mantiene los polos en ubicaciones fijas.

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Podemos ver que en nuestro esquema de la ley de control particionado, la ley del servo permanece igual, pero la porción basada en el modelo, contendrá un modelo de la no linealidad. Por lo tanto, la porción basada en el modelo del control realiza una función de linealización. En síntesis, los pasos para diseñar un controlador no lineal es el siguiente: 1. Calcular una ley de control no lineal basada en el modelo que cancele las no linealidades del sistema a controlar. 2. Reducir el sistema a uno lineal que pueda controlarse con la ley de servo lineal simple desarrollada para la masa unitaria. La ley de control de linealización implementa un modelo inverso del sistema que se está controlando. Las no linealidades del sistema cancelan las del modelo las del modelo inverso; lo cual, en conjunto con la ley de servo, produce un sistema lineal de lazo cerrado, siempre y cuanto sepamos los parámetros y la estructura del sistema no lineal.

4. Sistemas de control multientradas, multisalidas: Controlar un manipulador es un problema de multientradas y multisalidas (MIMO) ya que tenemos un vector de posiciones, velocidades y aceleraciones de la articulación deseada, y la ley de control debe calcular un vector de señales de articulación-actuador. La ley de control toma la forma de F=F' + en donde para un sistema de n grados de libertad,  F, F’ y : vectores de n x 1  : matriz de n x n, que no es necesariamente diagonal, pero se la elige de esa forma para desacoplar las n ecuaciones de movimiento. Si y se seleccionan correctamente, desde la entrada F’, el sistema parece como si fueran masas unitarias independientes. Debido a esto, en el caso multidimensional la porción basada en el modelo de la ley de control se llama ley de control de linealización y desacoplamiento. La ley de servo para un sistema multidimensional se convierte en en donde:  Kv , Kp : matrices de n x n, para que sean diagonales con ganancia constante en la diagonal.  e y la derivada de e: vectores n x 1 de los errores en posición y velocidad respectivamente.

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5. El problema del control para los manipuladores: En el caso del control de manipuladores, la dinámica de cuerpo rígido tiene la forma:   

M: Matriz de inercia de n x n del manipulador V: Vector de n x 1 de términos centrífugos y de Coriolis G: Vector de n x 1 de términos de gravedad.

Cada elemento de M y de G es una compleja función que depende de , la posición de todas las articulaciones del manipulador, de forma análoga, cada elemento de V es una compleja función que también dependerá de la posición de todas las articulaciones y de su derivada. Si queremos incorporar un modelo de fricción, debemos agregar a la ecuación recién mostrada el término F, que será una función de las posiciones y las velocidades de las articulaciones.

Mediante el esquema del controlador particionado visto en el apartado 3, tenemos que: en donde Tau es el vector de n x 1 de momentos de torsión de las articulaciones, por otra parte, tenemos que:

Utilizando las ecuaciones de Tau y la derivada de Tau, tendremos un sistema de lazo cerrado, característico por la ecuación de error.

Sin embargo, dicha ecuación vectorial está desacoplada y que las matrices Kv y Kp son diagonales, de manera que la ecuación podría escribirse también con base en cada articulación de la siguiente forma:

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No obstante, la ecuación de error no puede obtenerse en la práctica debido a dos principales razones: 1. La naturaleza discreta de una implementación en computadora digital, a diferencia de la ley de control ideal de tiempo continuo implicada por las ecuaciones de la derivada de Tau y Beta. 2. Imprecisión en el modelo del manipulador, la cual es necesaria para evaluar la ecuación de Beta.

6. Consideraciones prácticas: 6.1. Tiempo requerido para calcular el modelo: Hasta ahora, para la ley de control particionado hemos tenido en cuenta que se cumplían dos suposiciones que detallaremos a continuación:  Los cálculos en la ley de control requieren de un tiempo igual a cero: Esto solo es cierto si disponemos de una computadora lo suficientemente grande para poder realizar los cálculos con extrema rapidez, pero en la realidad el esquema de la computadora podría resultar económicamente inviable. Para el control de manipuladores la ecuación dinámica debe calcularse en la ley de control, siendo estos cálculos de gran complejidad. A medida que el poder de computo sea más asequible, las leyes de control que requieran de mucho poder de computo se volverán mas prácticas, sin embargo, actualmente existen diversas implementaciones experimentales de las leyes de control basadas en modelos no lineales en la industria.  Todo el sistema funciona en tiempo continuo: La mayoría de los sistemas de control de manipuladores operan en circuitos digitales, ejecutándose a cierta velocidad de muestreo, por lo que los sensores de posición se leen en puntos discretos en el tiempo. De los valores leídos, se calcula un comando que se envía al actuador, por lo que las operaciones de lectura de los sensores y del envió de comandos al actuador no se hacen continuamente, sino a una velocidad de muestreo finita. Para poder analizar este efecto de retraso , se utiliza la herramienta de control de tiempo discreto, en donde las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones de diferencia, y se ha desarrollado un conjunto completo de herramientas para responder a las preguntas sobre estabilidad y colocación de los polos para estos sistemas. No obstante, el control de tiempo discreto es difícil de implementar en el caso de sistemas no lineales, ya que la ecuación dinámica de un manipulador en tiempo discreto sería imposible de obtener debido a que para un manipulador la única manera de resolver el movimiento para un conjunto dado de condiciones iniciales, una entrada y un intervalo finito, es por medio de la integración numérica. Como consecuencia, normalmente se procede a la simulación para poder juzgar el efecto que cierta velocidad de muestreo tendría sobre el rendimiento. Debido a todo esto, es que suponemos que los cálculos pueden realizarse con suficiente rapidez y con la suficiente frecuencia como para que sea válida la aproximación en tiempo continuo.

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6.2. Control no lineal de alimentación anticipada El control de alimentación anticipada es un método para usar un modelo dinámico no lineal en una ley de control sin realizar cálculos complejos que consuman mucho tiempo a las velocidades de servo

En la figura podemos ver un ejemplo de un esquema de control, en el cual, podemos observar que el control basado en el modelo esta "fuera" del ciclo de servo, por lo tanto, es posible tener un ciclo de servo interno más rápido que consista en multiplicar los errores por las ganancias, agregando los momentos de torsión basados en el modelo a una menor velocidad. Sin embargo, el esquema de la figura no proporciona un desacoplamiento completo, siendo la ecuación de error de este sistema: De donde podemos observar que a medida que cambiemos la configuración del brazo, cambiara la ganancia efectiva de lazo cerrado y los polos casi estáticos de desplazaran en el plano real-imaginario. Debido a esto, la ecuación de error del sistema puede utilizarse como punto de inicio para diseñar un controlador robusto que encuentre un buen conjunto de ganancias constantes de tal forma que se garantice que los polos permanezcan en ubicaciones favorables a pesar de sus "movimientos". Como alternativa, podríamos considerar esquemas en los que se calculen previamente las ganancias variables que cambien con la configuración del robot, de manera que los polos casi estáticos del sistema permanezcan en posiciones fijas. Como ultima observación, podemos apreciar que el modelo dinámico de la figura se calcula solamente como una función de la ruta deseada, lo cual permite que los valores puedan calcularse "fuera de línea" antes de que empiece el movimiento. En tiempo de ejecución, los historiales de momentos de torsión calculados se leerían de la memoria, lo cual ocurrirá de manera análoga con las ganancias variantes, ya que podrían calcularse de antemano y almacenarse. Por lo tanto, un esquema de estas características podría ser económicamente viable en tiempo de ejecución y lograr una velocidad alta de servo. 6.3. Implementación de momento de torsión calculado con doble velocidad. En la siguiente figura se puede apreciar una implementación practica del sistema de control de posición de linealización y desacoplamiento. El modelo dinámico se expresa en su forma de espacio de configuración de manera que los parámetros dinámicos del manipulador aparezcan como funciones de la posición del manipulador. Estas funciones pueden calcularse mediante un proceso en segundo plano o mediante una segunda computadora de control, o bien, mediante una tabla previamente calculada. Los parámetros dinámicos pueden actualizarse a una velocidad menor que la del servo de lazo cerrado. Por ejemplo, el calculo en segundo plano podría llevarse a cabo a 60 HZ, mientras que el servo de lazo cerrado estuviera funcionando a 250 HZ.

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6.4. Desconocimiento de los parámetros La segunda gran dificultad con la que nos podemos encontrar, es que el modelo dinámico del manipulador no se conozca con precisión, lo cual es cierto para algunos componentes de la dinámico como el efecto de la fricción, por no hablar de los valores de los parámetros. Si el manipulador tiene cierta porción de su dinámica que no puede repetirse (por ejemplo, porque cambia a medida que el robot se desgasta), será difícil tener buenos valores para los parámetros del modelo. Cuando un robot sujeta un objeto como una herramienta, la inercia y el peso de la misma cambian la dinámica del manipulador, en el caso de una situación industrial, las propiedades de la masa de las herramientas podrían conocerse y por consiguiente, podrían incluirse en la porción modelada de la ley de control. Así, al sujetar una herramienta, la matriz de inercia, la masa total y el centro de la masa del ultimo vinculo del manipulador pueden actualizarse con nuevos valores que representan el efecto combinado del ultimo vinculo más la herramienta, sin embargo, muchas veces las propiedades de las masas de los objetos que recoge el manipulador no se conocen por lo que mantener un modelo dinámico preciso es una tarea difícil.

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En la figura recién mostrada, podemos ver la situación no ideal más simple, en donde aún suponemos un modelo perfecto implementado en tiempo continuo, pero con un ruido externo que actúa para perturbar el sistema. En donde la ecuación de error del sistema, incluyendo las perturbaciones será:

: Vector de momentos de torsión de perturbación en las articulaciones Podemos observar que le lado izquierdo de la ecuación esta desacoplado, sin embargo, en el lado derecho podemos apreciar que una perturbación en cualquier articulación especifica introducirá errores en las demás articulaciones, ya que no suele ser diagonal. En la siguiente ecuación, podremos apreciar el error de servo de estado estable debido a una perturbación.

Como nuestro modelo del comportamiento dinámico de los manipuladores no es perfecto, tenemos que: : Nuestro modelo de la matriz de inercia del manipulador, : Nuestros modelos de velocidad, gravedad y de fricción del mecanismo actual respectivamente.

A pesar de que la dinámica de manipuladores se obtiene mediante:

Nuestra ley de control calcula:

En resumen, cuando los parámetros no se conocen con exactitud, la diferencia entre los parámetros actuales y los modelados producirá la excitación de los errores del servo, por lo que el desacoplamiento y la linealización no se realizaran perfectamente. Si escribimos la ecuación de lazo cerrado para el sistema, podremos ver que si el modelo fuera exacto, el lado derecho de la siguiente ecuación seria cero y los errores desaparecerían.

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7. Sistemas actuales de control de robots industriales Debido a los problemas para tener un buen conocimiento de los parametros y el costo del poder de computo necesario para calcular una ley complicada de control basada en el modelo para el control de manipuladores, los fabricantes han decidido que no vale la pena tratar de usar un modelo de manipulador completo en el controlador, sino, que dichos manipuladores se controlen mediante leyes de control simples que son controladas por errores y se implementan en arquitecturas como la de un robot industrial con un sistema servo de alto rendimiento.

7.1. Control PID de una articulación El esquema de control PID es simple y muy empleado en robots industriales ya que cada articulación se controla como un sistema de control separado. Con frecuencia, se utiliza un microprocesador por cada articulación para implementar la siguiente ecuación que representa la posición del servo:

En donde, la notación para el esquema es:

 I: Matriz identidad de n x n  Kv, Kp, Ki: Matrices diagonales constantes En muchas ocasiones el termino no esta disponible y se hace nulo ya que la mayoría de los controladores de robots no utilizan un componente basado en el modelo en ninguna parte de su ley de control. Sin embargo, el rendimiento de un manipulador controlado de esta forma no es fácil de describir ya que no se esta realizando un desacoplamiento, sino que el movimiento de cada articulación afecta a las demás, lo cual produce errores que son suprimidos por la ley de control manejada por errores. Se seleccionan ganancias "promedio" que aproximan el amortiguamiento critico en el centro del espacio de trabajo del robot. En varias configuraciones extremas del brazo, el sistema se vuelve subaortiguado o sobreamortiguado, pero

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dependiendo del diseño del robot, estos efectos podrían ser pequeños, no obstante, en estos sistemas es importante mantener las ganancias altas para suprimir las inevitables perturbaciones. 7.2. Adición de compensación de gravedad Los términos de gravedad tienden a provocar errores de posicionamiento estático, por lo que algunos fabricantes incluyen un modelo de gravedad

,

en la ley de control, dicha ley completa tiene la siguiente forma:

Dicha ecuación o puede implementarse de articulación en articulación, además, la arquitectura del controlador debe permitir la comunicación entre los controladores de las articulaciones o debe hacer uso de un procesador central, en lugar de utilizar un procesador para cada articulación. 7.3. Varias aproximaciones del control de desacoplamiento Existen muchas formas de simplificar las ecuaciones dinámicas de un manipulador especifico. Una simplificación podría ser descartar los componentes del momento de torsión debido a los términos de velocidad, es decir, modelar únicamente los términos de inercia y de gravedad, es importante mencionar que debido a que la fricción es difícil de modelar, el modelo de fricción no se suele incluir en el controlador. Algunas veces la matriz de inercia se simplifica para tomar en cuenta el acoplamiento mayor entre ejes, pero no para los efectos menores de acoplamiento cruzado. Después de la simplificación, puede derivarse una ley de desacoplamiento y linealización aproximada

8. Análisis de estabilidad de Lyapunov El método de análisis de estabilidad de Lyapunov se puede aplicar tanto a sistemas lineales como a sistemas no lineales, siendo una de las pocas técnicas que pueden aplicarse a este último tipo de sistemas. Consideremos un sistema masa-resorte con fricción, cuya ecuación de movimiento es: Además, la energía total del sistema estará representada por la siguiente ecuación, en donde el primer termino proporciona la energía cinética de la masa, y el segundo proporciona la energía potencial almacenada en el resorte.

Ahora si diferenciamos la energía total del sistema respecto del tiempo, obtendremos la tasa de cambio de la energía total Si sustituimos la ecuación de movimiento del sistema en la ecuación de la tasa de cambio, tendremos que: La cual es siempre negativa ya que b>0, por lo que la energía siempre saldrá del sistema a menos que la derivada de x sea nula, por consiguiente, sin importar la perturbación inicial, el sistema perderá energía hasta quedar inactivo. Debido a lo recién expuesto, podemos concluir que la ecuación de movimiento con cualquier condición inicial (energía inicial) con el tiempo quedara inactivo en el punto de equilibrio, siendo las posiciones de reposo cuando x=0 o cuando kx=0 Este método no permite realizar conclusiones sobre la estabilidad sin despejar la solución de la ecuación diferencial del sistema, sin embargo, no proporciona ninguna información sobre la respuesta transitoria o el rendimiento del sistema, es decir, si el sistema esta sobre amortiguado, subamortiguado, o sobre cuanto tiempo le llevaría suprimir una perturbación. Es importante que cuando hablamos de estabilidad y rendimiento, nos estamos refiriendo a dos

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conceptos diferentes, ya que por ejemplo un sistema estable podría exhibir un rendimiento de control insuficiente para su uso planeado. El método de Lyapunov se enfoca en determinar la estabilidad de una ecuación diferencial En donde X es m x 1 y f(.) podría ser no lineal. Ahora bien, para probar que un sistema es estable mediante el análisis de estabilidad de Lyapunov, será necesario proponer una función de energía generalizada v(X), que tenga las siguientes propiedades. 8.1. Que tenga primeras derivadas parciales continuas y que sea mayor a ero para todas las X excepto cuando v(0)=0 8.2. Que la derivada de v(X) sea menor o igual a cero. Aquí la derivada de v(X) representa el cambio de v(X) a lo largo de todas las trayectorias del sistema Estas propiedades podrían ser válidas solamente en cierta región, o podrían ser globales, con sus correspondientes resultados de estabilidad más débiles o más fuertes. Una función de estado positiva definida "tipo energía" siempre disminuye o permanece constante, por lo tanto, el sistema es estable en el sentido en que el tamaño de estado está acotado. Cuando la derivada de v(X) es estrictamente menor que cero, la convergencia asintótica del estado al vector cero puede concluirse. Podemos tratar con el caso en que la derivada de v(X) sea cero realizando un análisis de estado estable para saber si la estabilidad es asintótica o si el sistema puede "atorarse" en algún lugar además de v(X)=0. Se dice que un sistema es autónomo si la f(.) no es explicita en el tiempo, caso contrario, si el tiempo es un argumento de la función no lineal estaremos ante un sistema no autónomo. EJEMPLO:

Dado el sistema lineal, en donde A es de m x m y positiva. Proponemos la función candidata de Lyapunov, la cual es continua y positiva en todas partes.

La diferenciación produce que en todas partes es no positiva, ya que A es una matriz positiva definida. Por lo tanto, la función candidata mostrada con anterioridad, es evidentemente una función para el sistema lineal. El sistema es asintóticamente estable ya que la derivada de v(X) puede ser cero solo cuando X=0, en cualquier otra parte, X debe disminuir

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9. Sistemas de control de base cartesiana Actualmente, los métodos de control de base cartesiana no se utilizan en los robots industriales, sin embargo, se siguen realizando investigaciones en diversas instituciones. 9.1. Comparación con los esquemas basados en articulaciones Los esquemas de control basado en articulaciones, son esquemas en los que evaluamos errores en la trayectoria al encontrar la diferencia entre las cantidades deseada y la real, expresas en el espacio de articulación. Muy frecuentemente deseamos que el efecto final del manipulador siga líneas rectas u otras formas de ruta descritas en coordenadas cartesianas. En la siguiente figura se puede apreciar este método para el control de trayectorias de manipuladores. Una característica básica es el proceso de conversión de trayectorias, el cual se utiliza para calcular las trayectorias de las articulaciones, lo cual va seguido por algún tipo de esquema de servo basado en la articulación.

El proceso de conversión de trayectorias es muy difícil, en lo que a costos computacionales se refiere. Los cálculos necesarios son:

Por lo general, solo se lleva a cabo la solución para usando la cinemática inversa, y luego se calculan las velocidades y las aceleraciones de las articulaciones numéricamente mediante la primera y la segunda diferencias. La diferenciación numérica introduce un retraso a menos que pueda basarse en valores pasados, presentes y futuros. Cuando se plantea previamente toda la ruta completa, puede hacerse este tipo de diferenciación numérica no causal. Sin embargo, existe un método alternativa que puede aplicarse en el siguiente esquema, en el cual, la posición detectada del manipulador se transforma inmediatamente por medio de las ecuaciones cinemáticas, en una descripción cartesiana de posición, dicha descripción se compara con la posición cartesiana deseada para poder formar errores en espacio cartesiano. Dichos esquemas de control basados en la formación de errores en espacio cartesiano se conocen como esquemas de control de base cartesiana.

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El proceso de conversión de trayectorias se sustituye por cierto tipo de conversión de coordenadas dentro del lazo del servo. Los controladores de base cartesiana deben realizar muchos cálculos en el lazo; la cinemática y otras transformaciones se encontraran ahora "dentro del lazo". Como desventaja tenemos que el sistema resultante podría operar a una frecuencia de muestreo menor en comparación con los sistemas basados en articulaciones, lo que degradaría la estabilidad y las capacidades del sistema para eliminar perturbaciones. 9.2. Esquemas intuitivos de control cartesiano

En el esquema controlador de jacobiano inverso, la posición cartesiana se compara con la posición deseada para formar un error , en espacio cartesiano. Este error puede considerarse pequeño y puede asignarse a un pequeño desplazamiento en espacio de articulación mediante el jacobiano inverso. Los errores resultantes en espacio de articulación, representados por se multiplican por las ganancias para calcular momentos de torsión que tienden a reducir estos errores. En el esquema controlador de jacobiano transpuesto, el vector de error cartesiano se multiplica por una ganancia para calcular un vector de fuerza cartesiano (Esto puede pensarse como una fuerza cartesiana que si se aplica al efecto final del robot, empujaría al efecto final en una dirección que tendería a reducir el error cartesiano). Este vector de fuerza cartesiana (vector de fuerza-momento) se asigna a través de la transpuesta del jacobiano para poder calcular los momentos de torsión de articulación equivalentes que tiendan a reducir los errores observados. Ambos esquemas son muy similares, con la excepción que uno contiene la inversa del jacobiano, mientras que el otro su traspuesta. Es importante destacar que solo en el caso de un manipulador estrictamente cartesiano se aplica que la transpuesta es igual a la inversa. En cuanto al rendimiento dinámico exacto de estos sistemas, no es bueno sobre todo el espacio de trabajo. Ambos pueden hacerse estables mediante la selección apropiada de ganancias, incluyendo cierta forma de retroalimentación de velocidad, sin embargo, no podremos seleccionar ganancias fijas que produzcan polos de lazo cerrado fijos. La respuesta dinámica de dichos controladores variara con la configuración del brazo. 9.2. Esquema de desacoplamiento cartesiano Los controladores de base cartesiana como los basados en articulación, tienen un buen rendimiento que esta caracterizado por una dinámica de error constante sobre todas las configuraciones del manipulador. Los errores se expresan en espacio cartesiano en esquemas de base cartesiana, por lo cual, es conveniente diseñar un sistema que suprimiera los errores cartesianos de una manera críticamente amortiguada en todas las configuraciones posibles. De esta forma, logramos un buen control con un controlador basado en articulación, pudiendo lograr lo mismo en el caso cartesiano Debemos escribir las ecuaciones dinámicas de movimiento del manipulador en términos de variables cartesianas, la dinámica de cuerpo rígido será muy análoga a la versión en espacio de articulación

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: Vector ficticio de fuerza-momento que actúa sobre el efector final del robot : Vector cartesiano apropiado que representa la posición y orientación del efector final : Matriz de masas en espacio cartesiano. : Vector con términos de velocidad en espacio cartesiano : Vector con términos de gravedad en el espacio cartesiano Podemos usar las ecuaciones dinámicas en un controlador de desacoplamiento y linealizacion, tendremos que usar la transpuesta del jacobiano para poder implementar el control: una vez que se calcule el vector ficticio de fuerzamomento F, calculamos los momentos de torsión de articulación requeridos para balancear efectivamente el sistema si fuéramos a aplicar esta fuerza: La siguiente figura muestra un sistema de control de brazo cartesiano que utiliza un desacoplamiento dinámico completo, el brazo va precedido por la transpuesta del jacobiano. Este controlador permite describir rutas cartesianas directamente sin necesidad de conversión de trayectorias

El esquema que se muestra a continuación, es un diagrama de bloques de un controlador de desacoplamiento y linealizacion de base cartesiana, en el que los parámetros dinámicos se escriben como funciones de la posición del manipulador. Estos parámetros dinámicos se actualizan a una velocidad menor que la del servo, mediante un proceso en segundo plano o una segunda computadora de control(500 HZ o más) para maximizar el rechazo de perturbaciones y la estabilidad. Los Parámetros dinámicos son solo funciones de la posición del manipulador y necesitan actualizarse a una proporción que se relaciona solo con la rapidez con la que el manipulador cambia de configuración.

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10. Control Adaptativo. Con frecuencia, los parámetros del manipulador no se conocen con exactitud. Cuando dichos parámetro en el modelo no concuerdan con los parámetros del dispositivo real se producen errores de servo. Estos errores de servo podrían usarse para controlar cierto esquema de adaptación que intente actualizar los valores de los parámetros del modelo hasta que los errores desaparezcan. En el siguiente esquema ideal adaptativo, usamos una ley de control basada en el modelo, hay un proceso de adaptación que, dadas las observaciones del estado del manipulador y los errores de servo, reajusta los parámetros en el modelo no lineal hasta que desaparezcan los errores.

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TRABAJO PRÁCTICO - ROBOTICA ALUMNOS: SILBERSTEIN Facundo, CRUZ Fernando TEMA : Control no lineal de los manipuladores

11. Bibliografía  Craig, J. J. (2006). Robótica. Mexico: PEARSON EDUCACIÓN.  Santibáñez, R. K. (2003). Control de Movimiento de Robots Manipuladores.

Docentes Ing. Daniel Zambrano 2° CUATRIMESTE 2017

HOJA

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