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• RobertoCollantesSaenz

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CONTROL NO LINEAL DE TANQUES INTERCONECTADOS

OBJETIVOS 

Obtener el modelo no lineal en espacio de estados para el sistema de tanques interconectados.



Diseñar en Simulink un controlador no lineal por realimentación en lazo cerrado.

SISTEMA DE TANQUES INTERCONECTADOS Se tiene dos tanques idénticos colocados en cascada. Con sección transversal A=1m2, constante para cada tanque. El objetivo es controlar la altura H2 del tanque inferior.

Fig1. Sistema de tanques interconectados

Donde P1, P2 y Po son las presiones en el fondo de los tanques y en el exterior respectivamente, y  = 1 es una constante que depende de la geometría del orificio. Considere Si

  1.23 kg

m3

(la densidad del líquido),

A  9 m 2 y g=9.81 m

Las ecuaciones del sistema pueden ser dadas por:

Q1   P1  Po ; Q2   P 2  Po P1- P0 = gH 1 ; P2- Po= gH 2 El flujo acumulado en cada tanque viene dado por: 𝑄0 − 𝑄1 = 𝐴

𝑑𝐻1 𝑑𝑡

;

𝑄1 − 𝑄2 = 𝐴

𝑑𝐻2 𝑑𝑡

s2

.

PROCEDIMIENTO DE LABORATORIO 1. Obtener el modelo no lineal en espacio de estados para el sistema de nivel de tanques interconectados.

De 𝑄0 − 𝑄1 = 𝐴

𝑑𝐻1 𝑑𝑡

Para H1 𝑑𝐻1 𝑄0 − 𝑄1 −𝑄1 𝑄0 = 𝐻1̇ = = + 𝑑𝑡 𝐴 𝐴 𝐴 −𝛾√𝜌𝑔𝐻1 𝑄0 𝑑𝐻1 = 𝐻1̇ = + 𝑑𝑡 𝐴 𝐴 Para H2 𝑑𝐻2 𝑄1 − 𝑄2 𝑄1 𝑄2 = 𝐻2̇ = = − 𝑑𝑡 𝐴 𝐴 𝐴

𝛾√𝜌𝑔𝐻1 𝛾√𝜌𝑔𝐻2 𝑑𝐻2 = 𝐻2̇ = − 𝑑𝑡 𝐴 𝐴 Reemplazamos con nuestros datos del problema, obtenemos: 𝐻1̇ = −0.386√𝐻1 + 0.111𝑄0 𝐻2̇ = 0.386√𝐻1 − 0.386√𝐻2 2. Obtener una transformación de estados (z=z(x)), y luego obtener la nueva representación en espacio de estados. Considerar 𝑋1 = 𝐻1 𝑋2 = 𝐻2 Transformamos 𝑍1 = 𝑋2 𝑍2 = 0.386√𝑋1 − 0.386√𝑋2 Entonces √𝑋1 =

𝑍2 + 0.386√𝑋2 0.386

√𝑋1 =

𝑍2 + √𝑍1 0.386

𝑋1 = 0.111𝑄0 − (𝑍2 + 0.386√𝑋2 ) 𝑋1 = 0.111𝑄0 − (𝑍2 + 0.386√𝑍1 ) Operamos en Z2 𝑍2 =

𝑍2 = 0.193 (

𝑍2 =

2.59𝑍2 + √𝑍1

𝑍2 = −

√𝑋1

−

0.193𝑋2 √𝑋2

0.111𝑄0 − (𝑍2 + 0.386√𝑍1 ) 0.193𝑍2 )− 2.59𝑍2 + √𝑍1 √𝑍1

0.021𝑄0

𝑍2 =

0.193𝑋1

− 0.193

𝑍2 + 0.386√𝑍1

−

2.59𝑍2 + √𝑍1

0.00827𝑄0 2.59𝑍2 + 0.386√𝑍1

− 0.074 −

0.193(𝑍2 + 0.386√𝑍1 ) √𝑍1

+

0.193𝑍2 √𝑍1

0.193𝑍2 √𝑍1

0.00827𝑄0 2.59𝑍2 + 0.386√𝑍1

Sea 𝑄0 = 𝑢 𝑓(𝑍) = −

𝑏(𝑍) =

0.193(𝑍2 + 0.386√𝑍1 ) √𝑍1 0.00827𝑄0 2.59𝑍2 + 0.386√𝑍1

Obtenemos 𝑍1 = 𝑍2 𝑍2 = 𝑓(𝑍) + 𝑏(𝑍). 𝑢

3. Escoger una ley de control no lineal 𝑢(𝑡) que permita linealizar el sistema. Sea u la ley de control no lineal: 𝑢=

𝑢=

1 [𝑉 − 𝑓(𝑍)] 𝑏(𝑍)

1 0.193(𝑍2 + 0.386√𝑍1 ) [𝑉 − (− )] 0.00827𝑄0 √𝑍1 2.59𝑍2 + 0.386√𝑍1

𝑢 = 120.92(𝑍2 + 0.386√𝑍1 )[𝑉 −

0.193(𝑍2 + 0.386√𝑍1 ) √𝑍1

]

4. Seleccionar una ley de control lineal v(t) por localización de polos, y diseñe el controlador de tal manera que la salida siga a una referencia. Considerando los polos deseados de lazo cerrado: 𝜇1,2 = −2 ± 𝑗2. Para nuestra ley de control dado por V, donde K está dado por: 𝐾 = [𝑘1

𝑘2 ]

Se tiene 𝑉 = −𝐾𝑍 De lo obtenido 𝑍1̇ = 𝑍2 𝑍2̇ = 𝑉 Entonces para 𝑍̇ 𝑍̇ = 𝐴𝑍 + 𝐵𝑉 0 𝑍̇ = ( 0

1 𝑍1 0 )( ) + ( )𝑉 0 𝑍2 1

Controlabilidad 𝑀 = [𝐵

𝐴𝐵 ] = (

0 1

1 ) 0

El rango será M = n = 2. El sistema es completamente controlable. Ecuación característica deseada de segundo orden, considerando los polos deseados de lazo cerrado: 𝜇1,2 = −2 ± 𝑗2. (𝑠 − 𝑢1 )(𝑠 − 𝑢2 ) = 0 (𝑠 + 2 − 𝑗2)(𝑠 + 2 + 𝑗2) = 0 𝑠 2 + 4𝑠 + 8 = 0 Ecuación característica de lazo cerrado considerando 𝐾 = [𝑘1

𝑘2 ]

|𝑠𝐼 − (𝐴 − 𝐵𝐾)| = 0 0 𝐴 − 𝐵𝐾 = ( 0

1 0 ) − ( ) (𝐾1 0 1

𝐾2 ) = (0 0

0 𝐴 − 𝐵𝐾 = ( −𝐾1 |𝑠𝐼 − (𝐴 − 𝐵𝐾)| = |(

𝑠 0

0 0 )−( −𝐾1 𝑠

0 1 )−( 𝐾1 0

0 ) 𝐾2

1 ) −𝐾2 1 𝑠 )| = |( −𝐾2 𝐾1

|𝑠𝐼 − (𝐴 − 𝐵𝐾)| = 𝑠(𝑠 + 𝐾2 ) + 𝐾1 = 0 𝑠 2 + 𝐾2 𝑠 + 𝐾1 = 0 Igualamos ambas ecuaciones obtennos los valores de 𝐾1 y 𝐾2

−1 )| = 0 𝑠 + 𝐾2

𝐾1 = 8 𝐾2 = 4 𝐾 = [8

4]

5. Ejecutar en Simulink un programa que permita obtener la respuesta deseada.

6.Comente sus resultados     

Se tuvo que obtener un modelo no lineal a partir de las ecuaciones de los tanques interconectados, después tuvimos que reemplazar los valores. Se escogió una ley de control no lineal u(t) el cual hizo que podamos linealizar nuestro sistema. Una vez linealizada, obtuvimos la matriz de estados por medio de cambio de variables, en este caso z. Por localización de polos obtenemos la ecuación características requerida, y así igualamos a nuestra matriz de estado obteniendo los valores de K. Por medio de Simulink observamos el comportamiento de nuestro sistema.