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• Jair Nina

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REGRESION NO LINEAL/LINEAL LIBRO: 05 MANUEL CORDOVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA INFERENCIAL ALUMNO: VALDIVIA VARGAS DIEGO (SOLO) CURSO: INFERENCIA ESTADISTICA

Ejercicios: N1) Libro 5 Pagina 127 del PDF (111 del libro) – PREGUNTA 18 RPTA:

18) Una compañía de alimentos maneja una cadena de tiendas al menudeo. Para medir la eficiencia de las tiendas se estudió la relación del número de empleados (X) y el promedio del volumen de ventas mensuales (J7) expresado en cientos de dólares para todas las tiendas durante el año pasado. La gráfica de los datos sugiere una relación lineal entre las variables. Se tiene la siguiente información:

n=100 , ∑ x=600 , ∑ y =1600 , ∑ xy =13600 , ∑ x

2

=5200 , ∑

2

y =37700

a) Hallar la recta de mínimos cuadrados para estimar las ventas partir del número de empleados. ¿En cuánto se estiman las ventas para una tienda de 8 empleados? b) ¿Qué porcentaje de la varianza de las ventas es explicada por la variabilidad del número de empleados? c) ¿Cuántos empleados tiene la tienda cuya venta promedio se estima en $1,100?

SOLUCIÓN a) Hallar la recta de mínimos cuadrados para estimar las ventas partir del número de empleados. ¿En cuánto se estiman las ventas para una tienda de 8 empleados? La ecuación de regresión lineal es ¿ b=

n ∑ xy−∑ x ∑ y n∑

2

y

x −( ∑ x )

¿ a= y−b x

Reemplazando

( 100 )(13600 )−( 600)( 1600 ) b= 2

(600)

( 100 )(5200 )− b=2. 5

y=a+bx

Luego hallamos a

a= y−b x 1600 600 a= −2 . 5× 100 100 a=1

( )

Reemplazando los valores de a y b tenemos:

y=1+2.5 x Entonces la estimación de ventas de 8 empleados será

y=1+2.5 x y=1+2.5(8) y=21 Respuesta: y = 1 + 2.5x y para 8 empleados 21$

b) ¿Qué porcentaje de la varianza de las ventas es explicada por la variabilidad del número de empleados? Necesitamos el coeficiente de correlación

r=

√

∑ xy−n x y ∑ x ∑ y 2 −2 2 −2 ∑ x − nx × ∑ y −ny

√

Reemplazando (13600 )−(100 )( 6 )(16 )

r=

√

(6 ) × √( 37700)−100 ( 16 ) 2

( 5200 )−100

Tenemos

r=0. 909 2

⇒

r =0. 826

Respuesta: El porcentaje de varianza es de 82.6%

2

c) ¿Cuántos empleados tiene la tienda cuya venta promedio se estima en $1,100?

y=1+2 .5 x 11=1+2.5x x=4 Respuesta: El número de empleados será de 4

N2) Libro 5 Pagina 126 del PDF (110 del libro) – PREGUNTA 12 RPTA:

12) En un estudio de la relación entre ingresos mensuales y gastos de educación de las familias, una muestra proporciona un coeficiente de determinación del 90.25%, medias respectivas de $420 y $120, y desviaciones estándar respectivas de $10 y 7$. Según este estudio a) ¿En cuánto se estima los gastos por educación de una familia cuyo ingreso mensual es de $300? b) Si una familia estima su gasto por educación en $370, ¿cuánto debería ser su ingreso mensual? c) Si una familia tiene un aumento de $50, ¿en cuánto se incrementaría la estimación de sus gastos en educación? SOLUCIÓN: a) ¿En cuánto se estima los gastos por educación de una familia cuyo ingreso mensual es de $300? Tenemos:

X =420 Y =120

S =10 S =7 x

Y

Calculando r 2

r =90 . 25÷100 r =0 . 9025 r =0 . 95 2 2

b=r×

S S

y x

b=0 .95×

7 =0 .665 10

a=Y −bXa a=120−0 . 665×420 a a=−159. 30 Entonces tenemos la recta de regresión:

Y =−159 . 30+0 . 665 X Aplicando el gasto mensual del enunciado:

Y=−159.30+0.665 X ;Y Y=−159.30+0.665(300) Y=40.2 Respuesta: 40.2$

b) Si una familia estima su gasto por educación en $370, ¿cuánto debería ser su ingreso mensual?

Y=−159.30+0.665 X ; X Y=−159.30+0.665(370) Y=795.93 Respuesta: 795.93$

b) Si una familia tiene un aumento de $50, ¿en cuánto se incrementaría la estimación de sus gastos en educación?

Y=0+0.665 X ;Y Y=0+0.665(50);Y Y=33.25 Respuesta: 33.25%

N3) Libro 5 Pagina 128 del PDF (112 del libro) –PREGUNTA 20 RPTA:

20) Un editor tomó una muestra de 7 libros anotando el precio y el número de páginas respectivo, obteniendo los siguientes datos: Paginas

630 55 0 10 8

400 250 370 32 0 7 4 6 6

610

Precio($ 9 ) a) Determine una función lineal entre el precio y el número de páginas con el fin de predecir precios. ¿Qué porcentaje de la varianza total de precios se explica por esta función? b) Estimar el precio de un libro de 300 páginas. Si a este libro se le incrementa 2 0 páginas en una segunda edición, ¿en cuánto se incrementaría su precio? c) ¿Cuántas páginas debería tener un libro cuyo precio se estima en $12.27? SOLUCION Determine una función lineal entre el precio y el número de páginas con el fin de predecir precios. ¿Qué porcentaje de la varianza total de precios se explica por esta función? Por la tabla deducimos:

n=7 , ∑ X=3130 , ∑ Y =50 , ∑ XY =24130 , ∑ X 2 =1533300 , ∑ Y 2=382 (Lo calcule con Excel) Paginas(X) 630 550 400 250 370 320 610 3130

Precio(Y) 10 8 7 4 6 6 9 50

XY 6300 4400 2800 1000 2220 1920 5490 24130

X^2 396900 302500 160000 62500 136900 102400 372100 1533300

Y^2 100 64 49 16 36 36 81 382

a) La ecuación de la recta de regresión para predecir los precios usaremos y = a + bx ¿ b=

n ∑ xy−∑ x ∑ y n∑

2

x −( ∑ x ) y

¿ a= y−b x

Reemplazando:

(7 )(24130)−(3130)(50 ) b= (7 )(1533300)−(9796900) b=0 .0133 Teniendo eso hallamos a

a= y−b x 50 3130 a= −0. 0133× 7 7 a=1. 2

( )

Reemplazándolos ahora en la ecuación

y=1.2+0.0133 x Ahora el coeficiente de correlación (algebraico)

r=

√

r=

∑ xy−n x y ∑ x ∑ y 2 −2 2 −2 ∑ x − nx × ∑ y −ny

√

(24130)−(7 )(44 . 74 )(7. 14 )

√(1533300 )−7 (44 . 71)2×√(382)−7(7 .14 )2

r=0. 945

r 2 =94 . 5 % Respuesta: 94.5%

b) Estimar el precio de un libro de 300 páginas.

y=1.22+0.013 x y=1.22+0.013(300 ) y=5.12 Si a este libro se le incrementa 20 páginas en una segunda edición, ¿en cuánto se incrementaría su precio? b = cambio en (y) por cada unidad de cambio en (x)

0 . 013∗20=0 .26

Respuesta: El incremento será de 0.26$ c) ¿Cuántas páginas debería tener un libro cuyo precio se estima en $12.27?

y=1.22+0.013 x 12.27=1.22+0.013( X ) 12.27−1.22=0.013( X ) 11.05=0.013( X ) 11.05 =X 0.013 X =850 Respuesta = 850 paginas

N4) Libro 5 Pagina 127 del PDF (112 del libro) –PREGUNTA 19 RPTA:

19) Un estudio de mercado trata de averiguar si es efectiva la propaganda televisada de un producto que salió a la venta con relación al tiempo de publicidad (en horas/semana). Se recopilaron datos a partir de la segunda semana de iniciada la publicidad resultando el cuadro que sigue. No se pudo recopilar datos de la cuarta semana. Semana Tiempo de propaganda Venta del producto($)

2 20 300

3 25 310

4 22  

5 28 320

6 36 350

a) ¿Es efectiva la publicidad del producto? b) ¿En cuánto estimaría las ventas para la semana 4?

SOLUCION ¿Es efectiva la publicidad del producto? Calculando (use Excel) Tiempo de propaganda (x) Venta del producto($) (y) 20 300 25 310 28 320 36 350 40 420 149 1700

(x)(y) 6000 7750 8960 12600 16800 52110

x^2 400 625 784 1296 1600 4705

y^2 90000 96100 102400 122500 176400 587400

7 40 420

Calculando (use todo mediante métodos algebraicos, no cuento con minitab y tengo problemas al instalarlo) Media:

x=∑ x= n

149 =29 .8 5

Media:

y=∑ y = n

1700 =340 5

Varianza:

S 2x=

4705 −(29. 8 )2 =52. 96 5

Desviación estándar

S x=7 . 2774

Varianza:

S 2y =

587400 −( 340 )2=1880 5

Desviación estándar

Sy=43.359

Además:

cov xy =S xy =

∑ x i yi −x( y )=52110 −29 . 8×( 340)=290 n

5

Ecuación:

y=a+bx donde S 290 b= xy2 = =5 .476 a= y−b x=340−5 . 476(29 . 8 )=176 . 82 S x 52 .96 y=176 . 82+5 . 476 x Respuesta: La ecuación es Y = 176.82+5.476X Determinando el coeficiente de correlación, para encontrar lo que el enunciado nos pide, (efectividad de las propagandas)

r=

S xy 290 = =0. 92≃92 S 2x ( 7 .2774 )( 43. 359)

Respuesta: Esto quiere decir que las ventas si están siendo efectivas [ 0 .7≤r≤1 ]

b) ¿En cuánto estimaría las ventas para la semana 4? Hallando Y para cuando X=22 En la ecuación, entonces tenemos:

Y =176. 82+5 . 476 X Y =176. 82+5 . 476(22) Y =297. 29 Respuesta: Esto quiere decir que las ventas estimarían en la semana 4 en 297$