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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CONTROL NO LINEAL PRACTICA 11 MODELADO DE UN PENDULO

DOCENTE:

ALUMNO:

AREQUIPA 2017

2 Descripción Física del Sistema

El sistema se compone de una bola de masa m situada en el extremo de una barra de masa despreciable con una longitud l. Además, se sabe que el momento de inercia del péndulo respecto a su punto de giro es J, el coeficiente de fricción viscosa es B y el par aplicado es T. El ángulo girado θ, que será la variable de salida y, se toma según indica la figura 1.

1.1 Modelado Matemático 1.1.1 Ecuación Física del Sistema

El ángulo θ queda determinado por la ecuación (1). El par T aplicado sobre el péndulo se invierte en incrementar la aceleración angular, en vencer la fricción viscosa y en compensar el par generado por el peso del sistema.

Esta ecuación diferencial no lineal de segundo orden describe el comportamiento dinámico del péndulo. 1.1.2

Ecuaciones del espacio de estados

Una representación alternativa a la ecuación diferencial (1) es la representación interna o de espacio de estados. En muchos sistemas físicos una elección adecuada consiste en tomar como variables de estado la salida y sus derivadas. En este caso tomaremos el ángulo girado θ y la velocidad angular, según:

Las ecuaciones del espacio de estados serán:

1.1.3

Diagrama de bloques del sistema

A partir de las ecuaciones anteriores se puede obtener fácilmente el diagrama de bloques de la figura 2 que define la variable de salida θ ante una entrada de par T.

1.2 Simulación del Modelo

DESARROLLO: 1. Determinar mediante Script de matlab y Simulink la evolución del sistema cuando se introduce durante 1 segundos un par de T = 15 Nm2. Obtener una representación gráfica de la evolución a lo largo del tiempo del Angulo girado θ.

figure(1); for k=1:length(t.signals.values); plot([0,l*exp(1j*(teta.signals.values(k)-(pi/2)))],'o-'); axis equal; axis(1.2*[-1 1 -1 1]); grid on; drawnow; end

2. Simular la evolución del péndulo cuando se deja en movimiento libre (T = 0), partiendo las condiciones iniciales:

l = 1; B = 2; g = 9.8; m = 3; J = m*l^2; figure(1); t = 0:0.1:1; T = 0*t+1; teta = pi/4; for k=1:length(T); plot([0,l*exp(j*(teta(k)-(pi/2)))],'o-'); axis equal; axis(1.2*[-1 1 -1 1]); grid on; drawnow; end

3. Realizar animación grafica del péndulo mediante un script de MATLAB similar al descrito en el enunciado. clear figure(1) theta_graf=[]; %variables theta=[]; w=[];

L = 1; B = 2; g = 9.8; m = 3; h=0.01; theta = 45*(pi/180); x=[L*sin(theta);-L*cos(theta)]; w = 0;

alpha = -(w*B + L*m*g*sin(theta))/(L*L*m); for step=1:1000 hold off plot(x(1),x(2),'o', 'MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10); hold on plot([0;x(1)],[0;x(2)]); title(['step : ' num2str(step)]); axis([-L L -L L]); set(gca,'dataAspectRatio',[1 1 1]) pause(0.001); theta_a = theta; wa = w; wpm = wa + (h/2)*alpha; theta_pm = theta_a + (h/2)*wa; alpha_pm = -(wpm*B + L*m*g*sin(theta_pm))/(L*L*m); w = wa + h*alpha_pm; theta = theta_a + h*wpm; x=[L*sin(theta);-L*cos(theta)]; alpha = -(w*B +L*m*g*sin(theta))/(L*L*m); theta_graf = [theta_graf theta]; end figure(2) plot(theta_graf,'b');

4. Variar los parámetros m, l, g y B. Obsérvese su influencia en la frecuencia de oscilación y en la respuesta. Longitud Grande: Al aumentar la longitud del péndulo este tiende a oscilar más demorara también más tiempo en estabilizarse como se puede ver en la figura 1s no es suficiente para estabilizarse. L B g m

= = = =

10; %longitud del péndulo 2; %constante de fricción viscosa 9.8; %gravedad 3; %masa

Le aumentamos masa esto le dará más peso al objeto por lo cual hará que oscile más por eso 1s no es suficiente para notar la estabilización. L B g m

= = = =

1; %longitud del péndulo 2; %constante de fricción viscosa 9.8;%gravedad 20;%masa

5. Obtener mediante el procedimiento de linealización por Taylor, modelos lineales en torno a los puntos de equilibrio definidos por θ(0) = 0 y θ(0) = π/2 e introducirlos en Simulink como funciones de transferencia. Comparar la simulación de los modelos linealizados con la del modelo original para zonas de trabajo próximas y para zonas alejadas de los respectivos puntos de equilibrio.

CONCLUSIONES   

El período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales). Debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período.

REFERENCIAS: • John S. Bay. Fundamentals of Linear State Space Systems. WCB/McGraw-Hill, 1999. • Chi-Tsong Chen. Linear System Theory and Design. Oxford University Press, 3rd edition,1999. • John C. Doyle, Bruce A. Francis, and Allen Tannenbaum. Feedback control theory. Macmillan Pub. Co., 1992. • B. Friedland. Control System Design. McGraw-Hill, 1986. • G.C. Goodwin, S.F. Graebe, and M.E. Salgado. Control System Design. Prentice Hall, 2000. • G.C. Goodwin and K.S. Sin. Adaptive Filtering Prediction and Control. Prentice-Hall, New Jersey, 1984.