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“UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE” EXTENSIÓN - LATACUNGA

ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

SISTEMAS DE CONTROL CAPITULO 2 LIBRO DE NORMAN NISSE.

NOMBRES: Caicedo Jhonathan Zambrano Xavier

NIVEL: SEXTO

Índice TEMA ................................................................................................................................................................. 3 PREGUNTAS DE REPASO CAPÍTULO 2 (MODELADO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA). 3 OBJETIVO GENERAL...................................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................................................. 3 RESUMEN ......................................................................................................................................................... 3 ABSTRACT ........................................................................................................................................................ 3 DESARROLLO .................................................................................................................................................. 4 PREGUNTAS DE REPASO .............................................................................................................................. 4 PROBLEMAS ....................................................................................................................................................... 5 ANALISIS DE RESULTADOS ...................................................................................................................... 25 CONCLUSIONES ............................................................................................................................................ 25 RECOMENDACIONES .................................................................................................................................. 26 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................................. 26

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TEMA Preguntas de repaso Capítulo 2 (Modelado en el dominio de la frecuencia). OBJETIVO GENERAL 

Realizar las preguntas y ejercicios planteados en el repaso del Capítulo 2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Examinar todo el capítulo 2 del libro de Norman Nise, para un mejor desarrollo de las preguntas y ejercicios propuestos.



Entender los diferentes temas del capítulo, para un exitoso desarrollo de las preguntas y ejercicios propuestos.



Investigar distintas fuentes de información relacionadas con el tema de Modelado en el dominio de la frecuencia, para reforzar el conocimiento y su comprensión.



Dar respuesta, de manera concreta y efectiva a cada una de las preguntas y ejercicios del capítulo ya mencionado.



Utilizar el software MATLAB para realizar, los ejercicios planteados.

RESUMEN La función de transferencia es un modelo matemático se usan para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. En los circuitos resistivos, siempre será un número real o una expresión que se puede reducir a un número real. Estos circuitos se representan por un sistema algebraico de ecuaciones. Los Sistemas mecánicos son redes electicas en paralelo, a tal punto que hay analogías entre componentes eléctricas mecánicas. Los ejercicios en sistemas mecánicos son muy parecidos a los eléctricos ya que lo primordial es ubicar los elementos a trabajar con orden y así de esta manera empezar a plantear la matriz del sistema.

ABSTRACT The transfer function is a mathematical model used to characterize the input and output relationships of components or systems described by linear time-invariant differential equations in time. In resistive circuits will always be a real number or an expression that can be reduced to a real number. These circuits are represented by an algebraic system of equations. The mechanical systems are Scattered networks in parallel, to the point that there are analogies between mechanical electrical components. The exercises in mechanical systems are very similar to electric because the bottom line is to locate the elements to work with order and so in this way begin to raise the system matrix.

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DESARROLLO PREGUNTAS DE REPASO  ¿Qué modelo matemático permite una fácil interconexión de los sistemas físicos? La Función de transferencia. 

¿A qué clasificación de sistemas se puede aplicar mejor la función de transferencia? Tiempo Lineal-invariante



¿Qué transformación convierte la solución de ecuaciones diferenciales en manipulaciones algebraicas? La transformada de Laplace



Defina la función de transferencia. 𝐺(𝑠) =



𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)

Donde C(t) es la salida y R(t) es la entrada.

¿Qué suposición se hace respecto a condiciones iniciales cuando se trabaja con función de transferencia? Las condiciones iniciales son Cero.



¿Qué nombre se da a las ecuaciones mecánicas escritas para evaluar la función de transferencia? Ecuaciones de movimiento



Si entendemos la forma que toman las ecuaciones mecánicas, ¿Qué paso evitamos al evaluar la función de transferencia? Diagrama del cuerpo libre



¿Por qué razón las funciones de transferencia para redes mecánicos parecen idénticas a las funciones de transferencia para las redes eléctricas? Hay analogías directas entre las variables y componentes eléctricos y las variables mecánicas y componentes.



¿Qué función realizan los engranes? La ventaja mecánica para los sistemas rotativos



¿Cuáles son las partes componentes de las constantes mecánicas de la función de transferencia de un motor? Inercia de la armadura, armadura de amortiguación, la inercia de la carga, la amortiguación de carga.

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PROBLEMAS 1. Deduzca la transformada de Laplace para las siguientes funciones de tiempo. a) u(t) ∞

𝟏

𝑭(𝒔) = ∫𝟎 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 = − 𝒔 𝒆−𝒔𝒕

∞ 𝟏 = 𝟎 𝒔

b) tu(t) ∞

𝑭(𝒔) = ∫ 𝒕𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 = 𝟎

𝒆−𝒔𝒕 ∞ −(𝒔𝒕 + 𝟏) ∞ 𝟏 (−𝒔𝒕 − 𝟏) = = 𝟎 𝒔 𝒔𝟐 𝒆𝒔𝒕 𝟎 𝒔𝟐

c) sen 𝝎𝒕 𝒖(𝒕) ∞

𝑭(𝒔) = ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 = 𝟎

𝒆−𝒔𝒕 𝝎 ∞ (−𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 − 𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕) = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝒔 + 𝝎𝟐 𝒔 +𝝎

d) 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒖(𝒕) ∞

𝑭(𝒔) = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 = 𝟎

𝒆−𝒔𝒕 𝒔 ∞ (−𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕) = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝒔 +𝝎 𝒔 + 𝝎𝟐

2. Usando las pares de transformada de Laplace de la tabla 2.1, y los teoremas de transformada de Laplace de la tabla 2.2 deduzca las transformadas de Laplace para las siguientes funciones de tiempo: a) 𝒆−𝒂𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕 𝒖(𝒕) 𝑭(𝒔) =

𝒘 (𝒔 + 𝒂)𝟐 + 𝒘𝟐

𝑭(𝒔) =

𝒔+𝒂 (𝒔 + 𝒂)𝟐 + 𝒘𝟐

b) 𝒆−𝒂𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 𝒖(𝒕)

c) 𝒕𝟑 𝒖(𝒕) ∫ 𝒅𝒕 = 𝒕

∫ 𝒕 𝒅𝒕 =

∫

𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟔

𝑭(𝒔) = SEXTO ELECTRONICA

𝒕𝟐 𝟐

𝟔 𝒔𝟐 5

5.- Utilice el MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones de tiempo. Programa: a) syms t f=5*t^2*cos(3*t+45); pretty(f) F=laplace(f); F=simple(F); pretty(F) b) f=5*t*exp(-2*t)*sin(4*t+60); pretty(f) F=laplace(f); F=simple(F); pretty(F)

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12.- Utilice el MATLAB para generar función de transferencia 𝐺(𝑠) =

𝑠 4 + 25𝑠 3 + 20𝑠 2 + 15𝑠 + 42 𝑠 5 + 13𝑠 4 + 9𝑠 3 + 37𝑠 2 + 35𝑠 + 50

En las siguientes formas: a) El cociente de factores b) El cociente de polinomios

Programa: 'Factored' Gtf=tf([1 25 20 15 42], [1 13 9 37 35 50]) Gzpk=zpk(Gtf) 'Polynomial' Gp=tf(Gzpk) Literal a)

Literal b)

14.- Utilice el MATLAB para generar la expansion en fracciones parciales de la siguiente función: 𝐹(𝑠) =

104 (𝑠 + 10)(𝑠 + 60) 𝑠(𝑠 + 40)(𝑠 + 50)(𝑠 2 + 7𝑠 + 100)(𝑠 2 + 6𝑠 + 90)

Programa: Numg=[-10 -60]; Deng=[0 -40 -30 (roots([1 7 100])) '] (roots([1 6 90])) '];

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Gtf=tf(numg,deng) G=zpk(Gtf) [r, p, k]=residue(numg,deng)

15.- Utilice el MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para entrar y formar objetos lineales e invariantes con el tiempo (LTI) en forma de polinomio y factorizada, para las siguientes funciones de frecuencia. PROGRAMA syms s '(a)' Ga=45*[(s^2+37*s+74)*(s^3+28*s^2+32*s+16)]... /[(s+39)*(s+47)*(s^2+2*s+100)*(s^3+27*s^2+18*s+15)]; SEXTO ELECTRONICA

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'Ga symbolic' pretty(Ga) [numga,denga]=numden(Ga); numga=sym2poly(numga); denga=sym2poly(denga); 'Ga polynimial' Ga=tf(numga,denga) 'Ga factored' Ga=zpk(Ga) '(b)' Ga=56*[(s+14)*(s^3+49*s^2+62*s+53)]... /[(s^2+88*s+33)*(s^2+56*s+77)*(s^3+81*s^2+76*s+65)]; 'Ga symbolic' pretty(Ga) [numga,denga]=numden(Ga); numga=sym2poly(numga); denga=sym2poly(denga); 'Ga polynimial' Ga=tf(numga,denga) 'Ga factored' Ga=zpk(Ga) SOLUCION

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17.- Encuentre las funciones de transferencia G(s)=VL(s)/V(s), para cada red que se muestra en la figura.

(s+1)I1(s) – I2(s) = Vi(s) → (1) -I1(s) + (s+2)I2(s) = 0 →(2)

VL(s) = sI2(s).

De (2) I1(s) = (s+2)I2(s).

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de (3)

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En (1) 3s + 1)

VL(s)/Vi(s) = s/(s2 +

(s+1)(s+2)I2(s) – I2(s) = Vi(s) I2(s)/Vi(s) = 1/(s2 + 3s + 1) → (3)

2 𝑠

1 𝑠

(2 + ) 𝐼1 (𝑠) − (1 + ) 𝐼2 (𝑠) = 𝑉(𝑠) 1 1 − (1 + ) 𝐼1 (𝑠) + (2 + + 2𝑠) 𝐼2 (𝑠) = 0 𝑠 𝑠

2(𝑠 + 1) 𝑉(𝑠) 𝑠 | | (𝑠 + 1) − 𝑠 0 𝑉(𝑠)𝑠 𝐼2 (𝑠) = = 2 2(𝑠 + 1) (𝑠 + 1) 4𝑠 + 3𝑠 + 1 − 𝑠 𝑠 | | (𝑠 + 1) 2𝑠 2 + 2𝑠 + 1 − 𝑠 𝑠 Entonces: VL(s)=2s I2(s) 𝑉𝐿 (𝑠) 𝐼2 (𝑠) = 2𝑠 𝑉(𝑠) 𝑉(𝑠) 𝑉𝐿 (𝑠) 2𝑠 𝑉(𝑠)𝑠 = ∗ 2 𝑉(𝑠) 𝑉(𝑠) 4𝑠 + 3𝑠 + 1 𝑉𝐿 (𝑠) 2𝑠 2 = 2 𝑉(𝑠) 4𝑠 + 3𝑠 + 1 18. Encuentre las funciones de transferencia, 𝑮(𝒔) =

𝑽𝑳 (𝒔) ⁄𝑽(𝒔) , para cada red que se

muestra en las figuras. a)

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𝟐 + 𝒔 𝑽𝒊 (𝒔) | | −𝟏 𝟎 𝑰𝟐 (𝒔) = 𝟐𝒔 + 𝟏 −𝟏 𝟐 | 𝟑𝒔 + 𝒔 + 𝟐| −𝟏 𝒔 𝐼2 (𝑠) 𝑠 = 𝑽𝒊 (𝒔) 6𝑠 3 + 5𝑠 2 + 4𝑠 + 2 b)

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19. Repita el problema 18, usando ecuaciones de nodos. Para el problema a)

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Para el problema b)

21.-Encuentre 𝐆(𝐬) = 𝑽𝟎 (𝒔)/𝑽𝒊 (𝒔) para cada uno de los circuitos amplificadores operacionales que ilustra en la figura

106 𝑍1 (𝑠) = 5 × 10 + 𝑠 5

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𝑍2 (𝑠) = 105 + 𝑍2 = 𝑍1

106 𝑠

106 𝑠 106 5 × 105 + 𝑠 105 +

𝑍2 1 𝑆 + 10 =− 𝑍1 5 𝑆+2

𝑍1 (𝑠) = 100000 + 𝑍2 (𝑠) = 100000 +

1 𝑠 + 10 = 100000 6 1 × 10 𝑠 𝑠 1

1 1 × 106 𝑠 + 100000

= 100000

𝑠 + 20 𝑠 + 10

𝑠 + 20 𝑍2 100000 𝑠 + 10 = 𝑍1 100000 𝑠 + 10 𝑠 −

(𝑠 + 20)𝑠 𝑍2 =− 𝑍1 (𝑠 + 10)2

22.- Encuentre la función de transferencia G(s)=Vo(s)/Vi(s) para cada uno de los circuitos amplificadores operacionales que se ilustra en los gráficos.

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𝑍1(𝑠) = 2000 +

1 1 ∗ 10−6 𝑠

𝑍1(𝑠) = 1000 +

1 1 ∗ 10−6 𝑠

0 − 𝑉𝑖(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) − 𝑉𝑜(𝑠) = 𝑍𝐼(𝑠) 𝑍2(𝑠) 1 1 𝑉𝑜(𝑠) 2000 + 1 ∗ 10−6 𝑠 + 1000 + 1 ∗ 10−6 𝑠 = 1 𝑉𝑖(𝑠) 2000 + 1 ∗ 10−6 𝑠 𝑉𝑜(𝑠) 3(𝑠 + 20/3) = 𝑉𝑖(𝑠) 2(𝑠 + 5)

𝑍1(𝑠) = 2 ∗ 105 +

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(5 ∗ 1011 )/𝑠 5 ∗ 105 + 106 /𝑠 17

𝑍2(𝑠) = 5 ∗ 105 +

(1011 )/𝑠 105 + 106 /𝑠

5 ∗ 1011 (1011 )/𝑠 𝑠 5 2 ∗ 105 + + 5 ∗ 10 + 106 105 + 106 /𝑠 5 ∗ 105 + 𝑠 𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠) = (5 ∗ 1011 )/𝑠 𝑍𝐼(𝑠) 2 ∗ 105 + 5 ∗ 105 + 106 /𝑠 𝑉𝑜(𝑠) 7(𝑠 + 3.18)(𝑠 + 11.68) = 𝑉𝑖(𝑠) 2(𝑠 + 7)(𝑠 + 10) 23. Encuentre la función de transferencia, G(s) = X1(s)/F(s), para el sistema mecánico de la traslación que se ilustra en la figura.

(s2+s+1)X1(s) = F(s)

∴

𝑋1 (𝑠) 𝐹(𝑠)

1

= 𝑠2+𝑠+1

24. Encuentre la función de transferencia G(s) = X2(s)/F(s), para la red mecánica traslacional que se encuentra en la figura.

(s 2 + s + 1)X1 (s) − (s + 1)X2 (s) = F(s) −(s + 1)X1(s) + (s2 + s + 1)X2(s) = 0 𝑆 2 + 𝑆 + 1 𝐹(𝑠) ] (𝑆 + 1)𝐹(𝑠) −(𝑆 + 1) 0 𝑋2(𝑠) = 2 = 2 2 𝑆 + 𝑆 + 1 −(𝑆 + 1) 𝑆 (𝑆 + 2𝑆 + 2) [ ] 2 −(𝑆 + 1) 𝑆 + 𝑆 + 1 [

∴

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(𝑆 + 1) 𝑋2 (𝑠) = 2 2 𝐹(𝑠) 𝑆 (𝑆 + 2𝑆 + 2)

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25. Encuentre la función de transferencia, G(s) = X2(s)/F(s), para el sistema mecánico de la traslación que se ilustra en la figura. (Sugerencia: ponga una masa cero en X2(t).

2x1(s) − 2x2 (s) = F(s) −2X1(s) + (5s + 2)X2(s) − 5sX3(s) = 0 −5sX2 (s) + (10s2 + 7s)X3(s) = 0 2

[5𝑆 + 10 𝐹(𝑠)] 10𝐹(𝑠) −10 0 𝑋2(𝑠) = = 5𝑆 2 + 10 −10 𝑆(𝑆 2 + 50𝑆 + 2) [ ] 1 −10 𝑆 + 10 5

Entonces: 𝑋2 (𝑠) 1 (10𝑆 + 7) = ∗ 𝐹(𝑠) 10 𝑆(5𝑆 + 1) 26.- Para el sistema de la figura 2.12, encuentre la función de transferencia G(s)=X1(s)/F(s)

0 𝑠2 + 3 𝑠 + 2 [𝐹 ] = [ −[𝑠 + 1] 𝑠 2 (𝑠)

𝑥1 −[𝑠 + 1] ] [𝑥 ] 𝑠 +2𝑠+1 2 2

0 −(𝑠 + 1) ] 2 𝐹𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑋1 = 2 𝑠 +3𝑠+2 −(𝑠 + 1) [ ] −(𝑠 + 1)𝑠 2 𝑠 2 + 2 𝑠 + 1 [

𝑋1 = 𝑋1 =

𝑠4

+

2𝑠 3

+

−𝐹(𝑠) (𝑠 + 1) (𝑠 2 + 3 𝑠 + 2)(𝑠 2 + 2 𝑠 + 1) − (𝑠 + 1)2 𝑠2

+ 3𝑠 3

−𝐹(𝑠) (𝑠 + 1) + 6𝑠 2 + 3𝑠 + 2𝑠 2 + 4𝑠 + 2 − 𝑠 2 − 2𝑠 − 1

𝑋1 = SEXTO ELECTRONICA

𝑠3

𝐹 (𝑠) + 4 𝑠2 + 4 𝑠 + 1 19

𝑋1 1 = 3 2 𝐹 (𝑠) 𝑠 + 4 𝑠 + 4 𝑠 + 1 27. Encuentre la función de transferencia G(s) = X3(s)/F(s), para el sistema mecánico traslacional que se muestra en la figura.

𝑥1 0 0 𝑠 2 + 𝑠 + 1 −𝑠 2 𝑥 [ [𝐹(𝑠) ] = [ ] 𝑠 + 2 𝑠 + 1 − 1 −𝑠 2] 2 𝑥 3 0 −1 𝑠 +𝑠+1 0

−𝑠 0 𝑠2 + 𝑠 + 1 2 | 𝑠 +2𝑠+1 𝐹(𝑠)| −𝑠 𝐹(𝑠) 0 − 1 0 𝑋3 (𝑠) = = 2 3 0 𝑠 + 𝑠 + 1 −𝑠 𝑠(𝑠 + 3𝑠 2 + 3𝑠 + 3) 2 | 𝑠 +2𝑠+1 −1 | −𝑠 0 −1 𝑠2 + 𝑠 + 1

𝑋3 (𝑠) 𝟏 = 3 2 𝐹(𝑠) 𝑠(𝑠 + 3𝑠 + 3𝑠 + 3)

30.-Para cada uno de los siguientes sistemas mecánicos rotacionales que se muestran en la figura, escriba pero no resuelva, las ecuaciones de movimientos.

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a) (𝑠 2 + 9𝑠 + 8)𝜽𝟏 (𝒔) − (𝟐𝒔 + 𝟖)𝜽𝟐 (𝒔) = 𝟎 −(𝟐𝒔 + 𝟖)𝜽𝟏 (𝒔) + (𝑠 2 + 2𝑠 + 11)𝜽𝟐 (𝒔) = 𝑻(𝒔) b)

(𝑱𝟏 𝑠 2 + 𝐾1 )𝜽𝟏 (𝒔) − 𝑲𝟏 𝜽𝟐 (𝒔) = 𝟎 −𝑲𝟏 𝜽𝟏 (𝒔) + (𝑫𝟏 𝑠 + 𝐾1 )𝜽𝟐 (𝒔) − 𝑫𝟏 𝒔𝜽𝟑 (𝒔) = 𝟎 −𝑫𝟏 𝒔𝜽𝟐 (𝒔) + (𝑱𝟏 𝑠 2 + 𝐷1 + 𝐾2 )𝜽𝟑 (𝒔) − 𝑲𝟐 𝜽𝟒 (𝒔) = 𝟎 −𝑲𝟐 𝜽𝟑 (𝒔) + (𝑫𝟐 𝑠 + (𝐾2 + 𝐾3 ))𝜽𝟒 (𝒔) = 𝟎 31.-Para el sistema mecanico rotacional que se muestra en la figura, encuentre la función de transferencia 𝑮(𝒔) = 𝞱𝟐 (𝒔)/𝑻(𝒔)

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𝑇(𝑠) 𝑠2 + 2 𝑠 + 1 [ ]=[ −[𝑠 + 1] 0

−[𝑠 + 1] 𝜃1 (𝑠) ][ ] 2 𝑠 + 1 𝜃2 (𝑠)

𝑠2 + 2 𝑠 + 1 𝑇(𝑠) ] −[𝑠 + 1] 0 𝜃2 (𝑠) = 2 𝑠 +2𝑠+1 −[𝑠 + 1] [ ] −[𝑠 + 1] 2𝑠+1 [

𝜃2 (𝑠) =

𝑇(𝑠) 2𝑠(𝑠 + 1)

𝜃2 (𝑠) 1 = 𝑇 (𝑠) 2𝑠(𝑠 + 1)

34. Encuentre la función de transferencia, 𝑮(𝒔) = 𝞱𝟐 (𝒔)/𝑻(𝒔) para el sistema mecánico rotacional que se muestra en la figura.

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35.-Encuentre la función de transferencia 𝑮(𝒔) = 𝞱𝟒 (𝒔)/𝑻(𝒔), para el sistema rotacional que se muestra en la figura.

𝜃2 (𝑠) − 𝜃3 (𝑠) = 4𝑇(𝑠)

−𝜃2 (𝑠) + (𝑠 + 1)𝜃3 (𝑠) = 0

1 4𝑇(𝑠) [ ] 4𝑇(𝑠) −1 0 𝜃3 (𝑠) = = 1 −1 𝑠 [ ] −1 𝑠 + 1 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝜃3 (𝑠) 4 = 𝑇(𝑠) 𝑠

1 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝜃4 (𝑠) = 𝜃3 (𝑠) 5 𝜃4 (𝑠) 4 = 𝑇(𝑠) 5𝑠 36.-Para el sistema rotacional que se muestre en la figura P2.22, encuentre la función de transferencia, G(s)=∅L(s)/T(s)

(𝒔𝟐 + 𝒔)𝜽𝟐 (𝒔) − 𝒔𝜽𝟑 (𝒔) = 𝟏𝟎𝑻(𝒔) SEXTO ELECTRONICA

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−𝒔𝜽𝟐 (𝒔) + (𝒔 + 𝟏)𝜽𝟑 (𝒔) − 𝜽𝟒 (𝒔) = 𝟎 −𝜽𝟑 (𝒔) + (𝒔 + 𝟏)𝜽𝟒 (𝒔) = 𝟎 𝒔(𝒔 + 𝟏) −𝒔 𝟏𝟎𝑻(𝒔) (𝒔 + 𝟏) −𝒔 𝟎 ] 𝟎 −𝟏 𝟎 𝜽𝟒 (𝒔) = 𝒔(𝒔 + 𝟏) −𝒔 𝟎 [ −𝒔 (𝒔 + 𝟏) −𝟏 ] 𝟎 −𝟏 𝒔+𝟏 [

𝜽𝟒 (𝒔) =

𝒔(𝒔 +

𝟏)𝟑

𝒔𝟏𝟎𝑻(𝒔) − 𝒔(𝒔 + 𝟏) − 𝒔𝟐 (𝒔 + 𝟏)

𝜽𝟒 (𝒔) 𝟏𝟎 = 𝑻(𝒔) 𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟐 𝜽𝑳 (𝒔) = 𝟓𝜽𝟒 (𝒔) 𝜽𝑳 (𝒔) 𝟓𝟎 = 𝑻(𝒔) 𝒔(𝒔 + 𝟏)𝟐

37.- Resuelva el siguiente ejercicio:

𝑁1 2 𝑁1 𝑁3 2 𝐽𝑒 = ( 𝐽𝑎 + 𝐽1 ) + (𝐽2 + 𝐽3 ) ( ) + ( 𝐽4 + 𝐽𝐿 ) ( ) 𝑁2 𝑁2 𝑁4 𝑁1 2 𝑁1 𝑁3 2 𝐷𝑒 = 𝐷 ( ) + 𝐷𝐿 ( ) 𝑁2 𝑁2 𝑁4 𝑁1 2 𝐾𝑒 = 𝐾 ( ) 𝑁2

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𝑇(𝑠) = [ 𝐽𝑒 (𝑠 2 ) + 𝐷𝑒 (𝑠) + 𝐾𝑒 ]𝜃1 (𝑠) 𝜃1 (𝑠) 1 = 2 𝑇(𝑠) 𝐽𝑒 (𝑠 ) + 𝐷𝑒 (𝑠) + 𝐾𝑒 𝜃1 (𝑠) = 𝑇(𝑠) 1 𝑁1 𝑁𝑁 2 𝑁1 2 𝑁𝑁 2 𝑁1 2 [( 𝐽𝑎 + 𝐽1 ) + (𝐽2 + 𝐽3 ) (𝑁2 ) + ( 𝐽4 + 𝐽𝐿 ) (𝑁1 𝑁3 ) ] (𝑠 2 ) + [𝐷 (𝑁2 ) + 𝐷𝐿 (𝑁1 𝑁3 ) ] (𝑠) + 𝐾 (𝑁2 ) 2

2 4

2 4

ANALISIS DE RESULTADOS

En la resolución de estos diferentes ejercicios logramos encontrar la forma de hallar un modelo matemático, llamado función de transferencia, para sistemas lineales, eléctricos invariantes con el tiempo, mecánica y electromecánica. Un modelo matemático es un conjunto como un conjunto de ecuaciones que representamos dentro del sistema con precisión o tratando de que sea en una aproximación cercana, a esto lo conocemos como función de transferencia. Conociendo ya la transformada de Laplace y su inversa, estamos en la capacidad de formular la representación de cualquier sistema al establecer una definición factible para una función que algebraicamente relaciona la salida con la entrada del sistema. CONCLUSIONES   





 

Al implementar la lectura del capítulo 2 se obtuvo información importante, y además se realizó diferentes búsquedas para reforzar la información del capítulo. Conseguimos resolver exitosamente las preguntas y ejercicios planteados, basándonos en diferentes fuentes bibliográficas. Conseguimos estudiar la forma de hallar un modelo matemático, llamado función de transferencia, para sistemas lineales, eléctricos invariantes con el tiempo, mecánica y electromecánica. La función de transferencia nos permite algebraicamente combinar representaciones matemáticas de los subsistemas para obtener una representación total del sistema. Podríamos aplicar modelos de función de transferencia a sistemas hidráulicos, neumáticos, térmicos y hasta económicos, suponiendo que estos sistemas son lineales. La función de transferencia nos facilita los diversos cálculos, pero se tiene la desventaja de que perdemos información. Un sistema físico que puede ser representado por una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se puede modelar como una función de transferencia.

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

MATLAB es una herramienta muy poderosa con la cual podemos realizar una infinidad de aplicaciones, en este caso para obtener funciones de transferencia, para resolver de una manera rápida los diferentes ejercicios planteados.

RECOMENDACIONES    

Tener siempre en cuenta las fórmulas de las transformadas de Laplace y de la transformada inversa de Laplace. Practicar con varios ejercicios para realizar de una manera rápida, y en pocos pasos los diferentes ejercicios propuestos. Utilizar artificios matemáticos para mayor efectividad en la resolución de los diversos ejercicios del capítulo estudiado. Revisar previo a la realización de los ejercicios temas como son resolución de circuitos eléctricos mediante mallas.

BIBLIOGRAFÍA 

[1]

Sistemas de Control para Ingeniería, Normas S. Nise, Tercera Edición, Pag 114-

117

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