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• javier

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´ lica de Chile Pontificia Universidad Cato ´ Facultad de Matematicas ´ tica Departamento de Matema Segundo Semestre de 2013

C´ alculo I - MAT 1116 23 de septiembre de 2013

1.

Series

2.

Continuidad

2.5.

Funci´ on exponencial y continuidad uniforme

Referencias: [CJ71, §1.S.2, p. 123], [Kit68, §5.5, pp. 192–194]. Definici´ on. Decimos que f (x) es uniformemente continua en un conjunto E ⊂ R si para todo ε > 0 existe un δ = δ(ε) > 0 independiente de x e y tal que |f (x) − f (y)| < ε siempre que |x − y| < δ. Ejemplo. x1 no es uniformemente continua en (0, 1). Tomando  = 21 , si x1 fuera uniformemente continua en (0, 1) deber´ıa existir un δ > 0 tal que |x − y| < δ ⇒ | x1 − y1 | < 12 . Lo anterior 1 1 deber´ıa cumplirse, en particular, para x = n1 e y = n+1 . Vemos que |x − y| = n(n+1) , de modo que si n es lo suficientemente grande tendremos que |x − y| < δ. Sin embargo, no se cumple que | x1 − y1 | < 12 porque | 11 − 11 | = 1. n+1

n

Si la definici´on de continuidad uniforme es tan parecida a la definici´on de continuidad, y si ya hab´ıamos demostrado que x1 es continua en (0, ∞), ¿por qu´e no podemos demostrar que es uniformemente continua? ¿Cu´al es la diferencia entre las dos definiciones? Recordemos la demostraci´on de la continuidad de x1 alrededor de un x0 > 0 cualquiera: 1 1 − = |x − x0 | ≈ |x − x0 | (si x → x0 ) (1) x x0 |x||x0 | |x0 |2 luego si δ = x20 · ε y |x − x0 | < δ, esperamos que | x1 − x10 | < ε. La raz´on por la que la continuidad de x1 es que el δ depende de x0 (es cada vez m´as peque˜ no a medida que x0 → 0). Continuidad de la exponencial n Sea a > 1. Si x = m , n, m ∈ N, definimos √ √ √ ax := ( m a) · ( m a) · · · ( m a) . | {z } n veces

1

(2)

n Si x = 0, definimos ax := 1. Si x = − m , n, m ∈ N, definimos ax := hemos definido ax para todo x ∈ Q. ¿C´omo definir ax si x ∈ R \ Q? Lo definimos como

1 . an/m

De esta manera

ax := l´ım axk , k→∞

(3)

donde {xk }k∈N es cualquier sucesi´on de n´ umeros racionales que converge a x. Para que ´esta sea una buena definici´on, debemos demostrar 1. si {xk } es una sucesi´on de racionales que converge a x entonces la sucesi´on {axk }k∈N tiene un l´ımite cuando k → ∞. 2. que si dos sucesiones {xk } e {yk } de n´ umeros racionales convergen a x entonces las yk xk sucesiones {a } y {a } convergen al mismo l´ımite. Demostraremos las dos cosas a partir de la siguiente propiedad: Sea b ∈ Q un n´ umero ab (a−1) fijo. Dado ε > 0, sea N ∈ N cualquier entero positivo mayor que y llamemos δ a ε 1 δ = N . Si x, y ∈ Q, x < y ≤ b y |x − y| < δ se tiene que 1

|ax − ay | = ax (ay−x − 1) ≤ ab (a N − 1) a−1 = ab 1 1 1 1 (a N )N −1 + (a N )N −2 + · · · + (a N )2 + (a N ) + 1 ab (a − 1) ab (a − 1) = < ε. ≤ 1 + 1 + ··· + 1 + 1 N

(4) (5) (6)

Hemos demostrado que ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : (x, y ∈ Q ∩ (−∞, b] ∧ |x − y| < δ) ⇒ |ax − ay | < ε,

(7)

i.e. que ax es uniformemente continua en Q ∩ (−∞, b]. Es esta continuidad uniforme la que nos permitir´a extender ax a todos los reales. Demostremos las dos propiedades mencionadas anteriormente. 1. Sea ε > 0. Sea δ el valor N1 obtenido en (7). Si xk → x entonces existe k0 ∈ N tal que k, j > k0 ⇒ |xk − xj | < δ. Por lo tanto, k, j > k0 ⇒ |axk − axj | < ε, gracias a (7). Se concluye que {axk }k∈N es una sucesi´on de Cauchy, lo cual implica que ella converge. 2. Sean {xk } e {yk } dos sucesiones que convergen a un mismo valor x < b. Dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal que |xk − x| < 2δ e |yk − x| < 2δ para todo k > k0 . Esto implica que |xk − yk | < δ ∀ k > k0 . En virtud de (7) tenemos entonces que |axk − ayk | < ε para todo k > k0 . Pasando al l´ımite obtenemos que | l´ım axk − l´ım ayk | ≤ ε. Como esto debe cumplirse para todo ε > 0 se concluye que l´ım axk = l´ım ayk . Ahora que hemos definido ax para todo x ∈ R, demostremos que es una funci´on continua. Sea ε > 0 arbitrario. Sea δ el valor de (7). Si x < y < b, |x − y| < δ, xk → x e yk → y, existe 2

k0 ∈ N tal que |xk −yk | < δ para todo k > k0 . A partir de (7) se sigue que |axk −ayk | < ε para todo k > k0 . Tomando el l´ımite cuando k → ∞ obtenemos que |ax − ay | ≤ ε. Se concluye que |x − y| < δ ⇒ |ax − ay | < ε, i.e. ax es continua. Como corolario se obtiene tambi´en que log x es continua por ser la inversa de una funci´on continua creciente. La noci´on de continuidad uniforme ser´a importante en los siguientes cursos de C´alculo a la hora de definir integrales y sumas de Riemann inferiores y superiores. En esos cursos invocar´an el siguiente teorema: Teorema 2.5.1 ([CJ71], §1.S.2, pp. 123-124). Toda funci´on continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b] es uniformemente continua en ese intervalo. Demostraci´on. Si f no fuese uniformemente continua en [a, b] existir´ıa ε > 0 fijo y puntos x, ξ ∈ [a, b], arbitrariamente cercanos uno del otro, para los cuales |f (x)−f (ξ)| ≥ ε. Entonces ser´ıa posible para cualquier n elegir puntos xn , ξn en [a, b] para los cuales |f (xn )−f (ξn )| ≥ ε y umeros, podr´ıa encontrarse |xn −ξn | < n1 . Puesto que los xn forman una sucesi´on acotada de n´ una subsucesi´on convergente a un punto η del intervalo (Heine-Borel). Los correspondientes valores ξn converger´ıan tambi´en a η: puesto que f es continua en η se encontrar´ıa que η = l´ım f (xn ) = l´ım f (ξn ) para n tendiendo a infinito en la subsucesi´on, lo cual es imposible si |f (xn ) − f (ξn )| ≥ ε para todo n.

Referencias [CJ71] Richard Courant y Fritz John. Introducci´on al C´alculo y al An´alisis Matem´ atico, volumen 1. Limusa, M´exico, 1971. [Kit68] Joseph Kitchen. Calculus of one variable. Addison-Wesley, 1968.

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