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INDICE

CONTROL DE DEFLEXIONES EN VIGAS 2.1. Introducción................................................................................................. 2 2.1.1. Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión.................................2 2.2. Métodos de cálculo de deflexiones..............................................................2 2.2.1. Deflexiones mediante integración de la Ecuación del Momento Flexionante...................................................................................................... 3 2.2.2. Método de las áreas de Momentos........................................................7 2.2.3. Método de superposición.....................................................................12 2.3. Cálculo de deflexiones mediante tablas.....................................................13 2.4. Deflexiones en vigas no prismáticas..........................................................15 2.5. Deflexiones debido a cambio de temperatura...........................................15

2

CONTROL DE DEFLEXIONES EN VIGAS

2.1. Introducción Cuando una viga se carga, el eje longitudinal inicialmente recto se deforma en forma curva, llamada curva de deflexión de la viga. En este capítulo se explican métodos para formar la ecuación de la curva de deflexión y para determinar deflexiones en puntos específicos a lo largo del eje de la viga. El cálculo de deflexiones es esencial para el análisis de vigas estáticamente indeterminadas, según se explica en el próximo capítulo. Además, a menudo deben calcularse la deflexiones a fin de comprobar que no excedan los valores máximos permisibles. Esta situación surge en el diseño de edificaciones donde usualmente existe un límite superior para deflexiones, ya que las grandes deflexiones se asocian con una fachada desagradable y con mucha flexibilidad en la estructura.

2.1.1. Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión -----------------------------------------------PAG. 377 LIBRO --------------------------------------------------------

2.2. Métodos de cálculo de deflexiones

2.2.1. Deflexiones mediante integración de la Ecuación del Momento Flexionante La ecuación de la curva de deflexión en términos del momento flexionante puede integrarse para obtener la deflexión v como una función de x. dado que la ecuación diferencial es de segundo orden, se requiere dos integraciones. El primer paso en la solución es formar ecuación para el momento flexionante, primer paso en la solución es formar el equilibrio estático para obtener las ecuaciones. Si la carga sobre la viga cambia repentinamente según se desplaza a lo largo del eje de la viga, habrá expresiones separadas para el momento en cada región de la viga entre los puntos en que ocurren tales cambios. Para cada… -------------------------------------------PAG LIBRO----------------------------------------------------

382

–

Ejemplo 1 Determinar la ecuación de la curva de deflexión para una viga simple AB que soporta una carga uniforme de intensidad q (figura 1). También, determinar la deflexión máxima δ a la mitad de la viga y los ángulos de rotación θ a y θb en los apoyos. Considerando el origen de las coordenadas en el apoyo izquierdo, la ecuación para el momento flexionante es:

M=

qLx q x − 2 2

2

En este capítulo únicamente se consideran vigas estáticamente determinadas. El análisis de vigas estáticamente indeterminadas se presentara en los próximos capítulos. Solución: Por lo que la ecuación diferencial de segundo orden (Ecuación 7-10a) resulta

Elv ´ ´ =

−qLx q x2 + 2 2

Multiplicando ambos lados de la ecuación por dx e integrando, se obtiene

Elv ´ =

−qL x 2 q x 2 + +C 1 (a) 4 6

Donde C1 es una constante de integración. Para evaluar esta constante, se observa que, por simetría, la pendiente v´ de la curva de deflexión a la mitad del claro es cero. Luego, tenemos la condición

v ´ =0 cuando x=

L 2

Que puede abreviarse como

v´

( L2 )=0

Aplicando la condición a la Ecuación (a) se obtiene

C1 =

qL3 24

Entonces la Ecuación (a) resulta

Elv ´ =

−qL x 2 q x 2 + +C 1 4 6

Elv ´ =

−qL x 2 q x 2 qL3 + + (7−12) 4 6 24

Nuevamente, multiplicando ambos lados de la ecuación por dx e integrando, obtenemos

Elv=

−qL x 3 q x 3 qL3 x + + +C 2 (b) 12 24 24

La constante de integración C2 puede evaluarse a partir de la condición que v = 0 cuando x = 0, o sea

v ( 0 ) =0 Aplicando esta condición a la Ecuación (b) resulta C2 = 0 por lo que la ecuación para la curva de deflexión es

v=

qx ( L3−2 LLx 2+ x 3 ) (7−13) 24 EI

Esta ecuación proporciona la deflexión en cualquier punto a lo largo de la viga.

La deflexión máxima δ ocurre a la mitad del claro y se obtiene haciendo x igual a L/2 en la Ecuación (7-13). El resultado es 4

δ=v max=

5q L (7−14) 384 EI

Los ángulos de rotación máximos ocurren en los apoyos de la viga. En el extremo izquierdo, el ángulo θa es igual a la pendiente v´; luego, sustituyendo x = 0 en la Ecuación (7-12), se obtiene

θa=v ´ ( 0 )=

q L3 (7−15) 24 EI

En forma similar, se obtiene el ángulo θb en el otro extremo

θb=−v ´ ( L )=

q L3 (7−16) 24 EI

Dado que la viga y la carga son simétricas respecto al punto medio, los ángulos de rotación en los extremos son iguales. Obsérvese que los ángulos de rotación se consideran positivos cuando los extremos de la viga giran como se muestra

en la Figura, Por supuesto el sentido positivo de la pendiente v´ está determinado por las direcciones de los ejes coordenados. Para este ejemplo, v´ es positiva en el apoyo A, negativa en B, y cero en el punto medio.

Ejemplo 2 Determinar la ecuación de la curva de deflexión para una viga en voladizo AB sometida a una carga uniforme de intensidad (figura 2). También, determinar la deflexión máxima δb y el ángulo de rotación θb en el extremo libre

Nuevamente consideramos el origen de las coordenadas en el apoyo izquierdo. Entonces, la expresión para el momento flexionante es 2

−q(L−x ) M= 2

Y la ecuación diferencial (Ecuación 7-10a) resulta

Elv ´ ´ =

q(L−x)2 2

La primera integración de esta ecuación resulta

Elv ´ =

−q ( L−x )3 +C 1 6

La constante de integración C1 puede determinarse a partir de la condición de que la pendiente de la viga es cero en el empotramiento; luego, tenemos v´(0) = 0, lo cual resulta C1 = qL2/6.

v ´=

qx ( 3 L2−3 Lx+ x 2 ) (7−17) 6 EI

La integración de esta ecuación resulta

v=

q x2 ( 2 6 L −4 Lx + x 2) +C 2 24 EI

La condición de frontera sobre la deflexión en el empotramiento es v(0) = 0, lo que muestra que C2 = 0. Luego, la ecuación de la curva de deflexión es

q x2 ( 2 v= 6 L −4 Lx + x 2) ( 7−18 ) 24 EI El ángulo de rotación θb y la deflexión δb en el extremo libre de la viga se encuentra fácilmente sustituyendo x = L en las Ecuaciones (7-17) y (7-18), como sigue: 3

θb=v ´ ( L )=

δ b=v ( L )=

qL (7−18 a) 6 EI

q L4 (7−18 b) 8 EI

2.2.2. Método de las áreas de Momentos En esta sección se considera otro método para determinar deflexiones de vigas. Este método, conocido como método del área de momentos, utiliza las propiedades del área del diagrama de momentos flexionantes. El método es especialmente adecuado cuando únicamente se requiere la deflexión o el

ángulo de rotación en un punto de la viga, porque es posible determinar tales cantidades sin encontrar primero la ecuación completa de la curva de deflexión. Para explicar el método, consideramos un segmento AB de la curva de deflexión de una viga en una región donde la curvatura es positiva (figura). En el punto A la tangente AB´ a la curva de deflexión tiene un ángulo de rotación positivo θa a partir del eje x, y en el punto B la tangente C´ tiene un ángulo θ b. El ángulo entre las tangentes, denotado por θ ba es igual a la diferencia entre θ b y θa

θba=θ b−θa (7−35) Luego, θba representa el ángulo de rotación de la tangente en B con respecto a la tangente en A. el ángulo relativo θ ba es positivo cuando θb es mayor que θa como se muestra en la figura. Enseguida, considérese dos puntos m 1 y m2 sobre el eje de la viga separados por una distancia ds. Las tangentes a la curva de deflexión es tales puntos se muestran en la figura como las líneas m1p1 y m2p2. Las normales a esas se intersectan en el centro de curvatura con un ángulo dθ, que es igual a ds/p, donde p es el radio de curvatura. Por lo cual el ángulo entre las dos tangentes también es igual a dθ. El ángulo dθ puede obtenerse a partir de la ecuación:

dθ=

−Mdx (a) EI

---------------------------------------------------PAG. 392 – LIBRO------------------------------------------------------

Ejemplo 1 Determinar le ángulo de rotación θb y la deflexión δb en el extremo libre B de una viga en voladizo AB que soporta una carga concentrada P (Figura)

El diagrama de momento flexionante para esta viga tiene forma triangular, como se muestra en la porción de la figura. Ya que la rigidez a flexión EI es constante, el diagrama M/EI tiene la misma forma que el diagrama de momento flexionante. A partir del primer teorema del área de momentos, sabemos que el ángulo relativo de rotación θba entre las tangentes en B y A es igual al negativo del área del diagrama M/EI. El área del diagrama es

1( )( 1 −P L2 ) A 1= L −PL = 2 EI 2 EI

( )

Y, por lo tanto,

θba=θ b−θa =−A 1=

P L2 2 EI

La tangente a la curva de deflexión en A es horizontal (θ a = 0); por lo que,

P L2 θb= (7−38) 2 EI El extremo de la viga gira en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura. La deflexión δb en el extremo libre puede obtenerse a partir del segundo teorema. La desviación ∆bc del punto B desde la tangente en A es la misma que la deflexión δb en este caso. El primer momento del área del diagrama M/EI, tomando con respecto al punto B, es

2 L −2 L2 2 L −P L3 Q 1= A1 = = 3 2 EI 3 3 EI

( )

( )

Del segundo teorema del área de momentos, obtenemos δ b = -Q1 o sea

δ b=

P L3 (7−39) 3 EI

Un valor positivo significa que tanto la desviación como la deflexión son hacia abajo.

Ejemplo 2 Determinar le ángulo de rotación θ b y la deflexión δb en el extremo libre B de una viga en voladizo AB que soporta una carga uniforme de intensidad q que actúa sobre parte de la longitud (Figura)

El diagrama de momentos flexionante consiste en un arco parabólico de segundo grado (véase Caso 19, apéndice D – Libro “Resistencia de Materiales, James Gere – Timoshenko”). El diagrama M/EI tiene el mismo perfil, siempre y cuando EI sea constante. Obsérvese que el eje deformado de la viga es curvo en la región bajo la carga uniforme y recto en la posición sin carga. El ángulo de rotación θb es igual al ángulo relativo θba puesto que la tangente en A es horizontal. El área del diagrama M/EI es

1 −q a2 A 1= ( a ) 3 2

(

1 −q a3 = EI 6 EI

)( )

Por lo que, a partir del primer teorema del área de momentos, obtenemos θ b = -A1 o sea 3

qa θb= (7−40) 6 EI Este ángulo es igual a la pendiente de la viga a lo largo de la región sin carga La deflexión δb es igual a la desviación ∆bc en este caso. En consecuencia, δb es igual al negativo del primer momento del área del diagrama M/EI, tomando con respecto a B. El centroide C del diagrama está a una distancia 3a/4 a partir de la orilla de la carga, o a una distancia b + 3a/4 desde B. luego, el primer momento es

(

Q1= A1 b+

)(

3

3a −q a = 4 6 EI

)(

b+

3

3 a −q a = ( 4 L−a ) 4 24 EI

)

Ya que b = L – a. la deflexión en el extremo es δb = -Q1 o sea

δ b=

q a3 ( 4 L−a ) 24 EI

Si a = L, esta ecuación resulta para una viga en voladizo cargada totalmente 4

δ b=

qL (7−41) 8 EI

Ejemplo 3 Determinar le ángulo de rotación θ b y la deflexión δb en el extremo libre B de una viga en voladizo AB, con una carga uniforme de intensidad q actuando sobre la mitad derecha de la viga (Figura)

El diagrama de momento flexionante consiste en una curva parabólica desde B hasta C y una línea recta desde C hasta A. el diagrama M/EI tiene el mismo perfil, ya que EI es constante. Para la evaluación del área y el primer momento del diagrama M/EI, es conveniente dividir este diagrama en tres partes cuyas áreas son A1, A2 y A3. Estas partes son un arco parabólico, un rectángulo y un triángulo, respectivamente, con las áreas siguientes:

2

( )(

3

)

A 1=

1 L −q L qL = 3 2 8 EI 48 EI

A 1=

L −q L2 −q L3 = 2 8 EI 16 EI

A 1=

1 L −q L2 −q L3 = 2 2 4 EI 16 EI

(

)

( )(

)

El ángulo de rotación θb es igual al negativo del área del diagrama M/EI:

7 q L3 θb=−( A 1+ A 2+ A 3 )= (7−42) 48 EI La deflexión δb es igual al negativo del primer momento del diagrama M/EI tomando con respecto a B.

δ b=−( A1 ´x1 + A2 ´x 2+ A 3 ´x 2 ) Donde x1, x2, x3 son las distintas horizontales desde B hasta los centroides de las áreas respectivas. Luego, 3

δ b=

3

3

4

qL 3L qL 3L q L 5 L 41 q L + + = (7−43) 48 EI 8 16 EI 4 16 EI 6 384 EI

( )

( )

( )

Este ejemplo representa como el área y el primer momento de un diagrama M/EI complicado puede determinarse fácilmente dividiendo el diagrama en porciones de propiedades conocidas.

2.2.3. Método de superposición Las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión de una viga (Ecuación 710) son ecuaciones diferenciales lineales; esto es, todos los términos que contienen la deflexión v y sus derivadas están elevados a la primera potencia únicamente. Por lo tanto, las soluciones de las ecuaciones para varias condiciones de carga pueden superponerse. Luego, la deflexión de la viga causada por varias cargas diferentes que actúan simultáneamente puede

determinarse mediante la superposición de las deflexiones ocasionadas por cada carga actuando en forma separada. Para el cálculo de deflexiones mediante el método de superposición se recomienda el uso de tabla. Este método será explicado de mejor forma en “Calculo de deflexiones mediante tablas”.

2.3. Cálculo de deflexiones mediante tablas -----------------------------------METODO DE SUPERPOSICION-PAG. 404-------------------------------------------

Ejemplo 1 Una viga en voladizo AB está sometida a momentos concentrados M 0 y 2M0 en sus extremos. Obtener expresiones para los ángulos de rotación θ a y θb en los extremos de la viga y la deflexión δ en su punto medio.

Mediante el Caso 7 de la Tabla G-2, obtenemos por superposición

θa=

M 0 L (2 M 0) L 2 M 0 L + = 3 EI 6 EI 3 EI

θb=

M 0 L (2 M 0) L 5 M 0 L + + 6 EI 3 EI 6 EI 2

M L 2 ( 2 M 0 ) L 3 M 0 L2 δ= 0 + = 16 EI 16 EI 16 EI De esta manera se han determinado las cantidades requeridas.

Ejemplo 2 Una viga en voladizo AB soporta una carga uniforme de intensidad q sobre la mitad derecha de su longitud, como se muestra en la Figura. Determinar la deflexión δb y el ángulo de rotación θb en el extremo libre.

Empezamos por considerar un elemento q dx de la carga situada a una distancia x del apoyo. Este elemento de carga produce una deflexión dδ y un ángulo dθ en el extremo libre iguales a: 2

dδ =

(qdx )(x )(3 L−x) 6 EI 2

(qdx)(x ) dθ= 2 EI

Según se determina del Grupo 5 de la Tabla G-1. Por lo que, por integración, obtenemos

δ b=

θb=

q 6 EI q 2 EI

L

∫ x 2 ( 3 L−x ) dx= L/2

L

∫ x 2 dx= L/ 2

4

41q L 384 EI

3

7q L 48 EI

Estos mismos resultados pueden obtenerse en forma más simple mediante las formulas del Caso 3 de la Tabla G-1 y sustituyendo a = b = L/2

2.4. Deflexiones en vigas no prismáticas --------------------------------------------------PAG 409 – LIBRO----------------------------------------------------------

2.5. Deflexiones debido a cambio de temperatura ------------------------------------------------PAG. 436 – LIBRO------------------------------------------------------------