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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Presentado a: Ramiro Peña Tutor(a) Entregado por: Milton Cabana Garcia Código: 85372100 Naime Francisco Urango Banquez Código: 1065378728 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx Grupo:xxxxxx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA XXX 2019

INTRODUCCIÓN En el siguiente trabajo se dará solución a varios problemas matemáticos que se dan en el razonamiento humano, para esto se utilizará n las series de potencia y la transformada de Laplace, procesos que se nos muestran como una salida más fácil para poder conseguir la ecuación final de los problemas.

OBJETIVOS

  

Usar series de potencia para dar solución a ecuaciones diferenciales y problemas aplicados. Comprender la transformada de Laplace como proceso para solucionar ecuaciones diferenciales. Internar los conocimientos que nos brinda el curso.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Naime Urango

Alerta

Milton Cabana García

Entrega

Marcos Durango Arrieta

Evaluador

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 3Tipo de ejercicios

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

y , , + p ( x ) y , + q ( x ) y=0

se representa primero p ( x ) y q ( x ) por series de potencias en potencias de x (o de ( x−x 0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de x−x 0 ¿. En muchas ocasiones p ( x ) y q ( x )son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

∞

y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ … m=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞

y , = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +… m=1

∞

y , ,= ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +… m=1

Se introduce en la ecuación. A continuación, se agrupan las potencias semejantes de x y la suma de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en y.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Naime Francisco Urango Banques

b.  ( x 2−1 ) y ” + 4 x y ' +2 y=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 ( x 2−1 ) y ” + 4 x y ' +2 y=0 x 2 y } = {y} ^ { +4 x y ' + 2 y =0

y= x2

∑ ∞ cn xn ; y ' = ∑ ∞ ncn x n−1 ; y } = {sum {∞}} over {n=2} n left (n-1 right ) cn {x} ^ {n-2 ¿ n=0

n=1

fórmulas en la ecuación ∑ ∞ n ( n−1 ) cn xn−2− ∑ ∞ n ( n−1 ) cn x n−2+ 4 x ∑ ∞ ncnRemplazamos ∑ ∞ las x n−1 +2 cn x n=0 n=2

n=2

∑ ∞ n ( n−1 ) cn x n−2 n=2

K=N −∑ ∞ n ( n−1 ) cn x n−2 n=2 K=N-2

∑ ∞ ncn x n−1

+4 x

n=1

K=N +2

∑ ∞ cn x n=0 n=0

K= N

❑

∞ ∑ ❑ n=2

n ( n−1 ) cn x n−2

n=1

n=0

K=N ❑

−∑ ∞ ❑

n=2

n ( n−1 ) cn x n−2

K=N −2 ❑

+4 x

∞ ∑ ❑ n=1

ncn x n−1

K=N ❑

+2

∞ ∑ ❑ n=0

cn x n=0

Si n = 2 entonces k= 0

K=N N=Z=K =2 N =K +2 N=1=X=1 N=0 K =0

❑

∞ ∑ ❑ n=2

❑

k ( k −1 ) c x x k −

∞ ∑ ❑ k=0

❑

( k=2 )( k =1 ) c x+2 x x 4

❑

∞ ∑ ❑ k=1

❑

k c x xk+ 2

∞ ∑ ❑ k=o

c x x k =0

❑

❑ ❑ Evaluamos todas las de inicio de k= 0 para ∞ ∞ ∑ ∑ que todas las series ws inicien en k=1 k ( k =1 ) c k x k −( o+2 ) ( 0+1 ) c 0+2 x 0− ( k +2 ) ( k +1 ) c k+2 k k + 4 ❑ k c k +2(o )+ 2 ❑ c k x k =0 n=2 k =1 k =1 k=1

∞ ∑ ❑

∞ ∑ ❑

❑

−3 c 2 x o +2 c (0 )+

∞ ∑ ❑ n=2

❑

k ( k−1 ) c x x k −

∞ ∑ ❑ k=1

❑

( k + 2 )( k +1 ) c k +2 x k + 4

❑

−3 c 2 x o +2 c (0 )+

∞ ∑ ❑ n=2

k=1

❑

❑

k ck x k +2

∞ ∑ ❑ k =1

❑

k ( k−1 ) c x x k −( 1+2 ) ( 1+1 ) c 1+3 x 1−

1

1

−3 c 2 x +2 c 0−6 c 4 + 4 c1 x +2 c 1 x +

∑∞ ❑

n=2

k =1

❑

k =2

( k +2 ) ( k +1 ) c k +2 x + 4

❑ k

k c k x k +2

∞ ∑ ❑

c k x k =0 ❑

Evaluamos lo que inicie en k=1, para que ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ 1 ❑ todas las series inicie ken k=2 ❑ ❑

❑ 0

∞ ∑ ❑

k ( k −1 ) ck x −

∑∞ ❑

k=2

k=1

k c 1 x +4

❑ k

( k + 2 )( k + 1 ) c k +2 x +4

∑∞ ❑

k =2

k =2

k ck xk +

❑ k

k c k x +2

∞ ∑ ❑ k =2

c x x k =0

❑

−3 c 2 +2 c0 −6 c 4 +6 c1 +

∞ ∑ ❑

k ( k −1 ) c x −(k +2) ¿ k +1 ¿ c k +2+ 4 k ck +2 c k ] x x [ k=2

−3 c 2 +2 c0 3 c 2=2 c 0 2 c 2= c0 3

−6 c 4 + 6 c 1 6 c 4 =6 c 1 c 4 =c 1

( k + 2 )( k +1 ) c k +2=k ( k −1 ) c k + 4 k c k +2 c k c k +2=

k ( k −1 ) ck 4 kck 2ck + + (k +2)(k +1) ( k +2)(k +1) (k +2)(k +1)

3 3 para k =2c 4= + 6+ =9 2 2 para k =3 c5 =

respuesta

24 48 8 + + =16 5 5 5

para k =4 c6 =10+

40 5 + =25 3 3

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Milton Cabana García.

d.3 xy ' ' + y '− y =0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 3 xy ' ' + y '− y =0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecu 1

∞

Ensayamos una solución de la forma:

y=∑ Cn X n +r n=0

∞

y '=∑ ( n+r ) Cn X n +r−1

Primera Derivada

n=0

∞

y ' '=∑ ( n+r ) ( n+r −1 ) C n X n+r −2

Segunda Derivada

n=0

∞

∞

∞

n=0

n=0

n=0

3 x ∑ ( n+r ) ( n+r−1 ) C n X n+r−2 + ∑ ( n+ r ) C n X n+ r−1−∑ C n X n+r =0 ∞

3 X ∑ ( n+r )( n+ r−1 ) Cn X n +r−2 n=0

∞

3 ∑ ( n+r )( n+ r−1 ) Cn X n +r−2 X 1 n=0

Reemplazando en Obtenemos la Ecu 2.

la

Ecu

1

Analizando el primer término por separado tenemos. Ordeno X exponentes

y

simplifico

sus

∞

∑ 3 ( n+ r )( n+r−1 ) C n X n+r−1 n=0 ∞

∞

Para dejar la serie con la misma potencia, aplicamos la propiedad de las sumatorias.

∑ f ( n )=¿ ∑ f ( n+ k ) ¿ n=k

n=0

{

3 ( 0+r ) ( 0+r−1 ) C 0 X

0+r −1

∞

+ ∑ 3 ( n+ r )( n+ r−1 ) Cn X n +r−1 n=1

Se sustituye n=0 y se lleva la sumatoria a n=1 para el primer y segundo término.

}

∞

3 r ( r−1 ) C0 X r −1+ ∑ 3 ( n+r ) ( n+r−1 ) C n X n+r −1

Ecu 3

n=1 ∞

{

( 0+r ) C0 X 0 +r−1 + ∑ ( n+ r ) C n X n+r −1 n=1

Hacemos el mismo procedimiento para el segundo término.

}

∞

r C0 X r −1+ ∑ ( n+r ) Cn X n +r−1

Ecu 4

n=1

∞

∞

∞

3 r ( r−1 ) C0 X r −1+ ∑ 3 ( n+r ) ( n+r−1 ) C n X n+r −1 +r C 0 X r−1+ ∑ ( n+r ) Ahora C n X n+r−1la−∑ Cn X n +r=0 ecuación 3 y 4 se n=1 n=1 n=0 reemplaza en la ecuación 2. Ecu 5

∞ ∞ ∞ Ordenando y aplicando n +r−1+1la propiedadn +r 3 r ( r−1 ) C0 X r −1+ r C 0 X r−1 + ∑ 3 ( n+r +1 ) ( n+r −1+1 ) C n+1 X n +r−1+1 +de r +1 ) C n+1 Xpara −¿ Cn en X =0¿ ∑ la( n+sumatoria ∑ dejar n=0 todo n=0 n=0 términos de X n+r ∞

∞

∞

n=0

n=0

n=0

3 r ( r−1 ) C0 X r −1+ r C 0 X r−1 + ∑ 3 ( n+r +1 ) ( n+r ) C n+1 X n+ r +∑ ( n+r +1 ) C n+1 X n+r −∑ C n X n+r =0 3 r ( r−1 ) C0 +rC 0 =0

Escribimos las ecuaciones igualando los coeficientes a cero. Ecu 6

3 ( n+r +1 ) ( n+r ) C n+1 + ( n+r +1 ) C n+1−C n=0

Ecu 7

[ 3 r ( r−1 ) +r ] C0 =0

Factorizando la Ecu 6. Se obtiene dos resultados para r, correspondiente a una ED de segundo orden.

3 r ( r−1 ) +r =0 C0 ≠ 0 3 r 2−3 r +r =0 3 r 2−2 r=0 r ( 3 r−2 ) =0

r =0 , r=

2 3

[ 3 ( n+r ) +1 ] [ ( n+r +1 ) C n+1 ]−C n=0 Factorizando la Ecu 7 el ( n+r +1 ) C n+1 .Tenemos una relación de recurrencia.

[ 3 n+3 r +1 ] [ ( n+r +1 ) C n+1 ]=Cn C n+1= C n+1= C n+1=

Cn ( 3 n+3 r +1 ) ( n+r +1 ) Cn

[ 3 n+3 ( 0 ) +1 ] [ n+ ( 0 ) +1 ]

Para r =0

Cn ( 3 n+1 ) ( n+1 )

Sin=0 ⟹C 1=

C0 ⟹ C 1=C0 ( 1 )( 1 )

Sin=1⟹ C 2=

C1 1 ⟹ C2 = C ( 4) ( 2) 8 0

1 ∗1 C2 1 21 1 Sin=2⟹ C 3= = C 2= C0 ⟹C 3= C 21 8 168 (7 )( 3 ) 0 1 ∗1 C3 1 40 1 Sin=3 ⟹C 4 = = C 3= C 0 ⟹ C 4= C 168 6720 0 ( 10 ) ( 4 ) 40 1 1 1 y=C 0 +C 0 X + C0 X 2 + C 0 X 3+ C0 X 4 + ... 8 168 6720 1 1 1 y=C 1 1+ X + X 2 + X3+ X 4 +... 8 168 6720

(

C n+1=

C n+1=

Cn

[

3 n+3

( 23 )+1](n+( 23 )+1) Cn

( 3 n+2+1 )

( 3 n+2+3 ) 3

)

Los primeros valores de la serie serán. Primera solución de la ecuación diferencial.

2 , sustituyendo en la 3 ecuación de recurrencia. Para r =

Cn

C n+1=

( 3 n+3 )

( 3 n+5 3 )

Cn 1 3 ( n+1 ) ( 3 n+5 ) 3

C n+1=

Cn ( n+1 ) ( 3 n+5 )

C n+1=

Sin=0 ⟹C 1=

C0 1 1 = C ⟹ C 1= C 0 ( 1 )( 5 ) 5 0 5

1 ∗1 C1 1 16 1 Sin=1⟹ C 2= = C 1= C 0 ⟹ C 2= C 0 5 80 ( 2 ) ( 8 ) 16

Entonces los primeros valores de la serie serán:

1 ∗1 C2 1 33 1 Sin=2⟹ C 3= = C 2= C 0 ⟹ C3 = C 80 2640 0 ( 3 )( 11 ) 33 1 ∗1 C3 1 56 1 Sin=3 ⟹C 4 = = C 3= C 0 ⟹ C 4= C 2640 147840 0 ( 4 ) ( 14 ) 56 ∞

y=∑ Cn X

n+

2 3

n=0

y= X

Segunda solución de la ecuación diferencial, conocida como serie de Frobenius por tener X exponentes fraccionarios.

2 ∞ 3

∑ Cn Xn n=0 2

1 1 1 1 y=C 2 X 3 1+ X + X 2+ X3+ X 4 ... 5 80 2640 147840

(

)

La solución general 2 1 1 1 1 1 1 1 y=C 1 1+ X + X 2 + X3+ X 4 +... +C 2 X 3 1+ X + X 2+ X3+ X 4 ... 8 168 6720 5 80 2640 147840

(

)

(

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Marcos Durango Arrieta

)

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

y , + 2 xy =0 ∞

n −1

∑ nC n x n=0

∞

Sustituimos con una solución propuesta.

+2 x ∑ C n x n =0 n=0

∞

∞

n=0

n=0

Se multiplican las X del segundo monomio

∑ nC n xn −1 +∑ 2 C n x n+1=0 ∞

∞

Para juntar las ecuaciones procedemso a igualar las potencias de X con la propiedad mostrada, y como notamos, necesitamos un 2 para igualar el -1 con +1 de los exponentes de X.

∑ f ( n )=∑ f ( n+ k ) n=k

n=0

∞ ∞ Desarrollamos los primeros términos de la 0 C 0 x 0−1 +1C 1 x 1−1+ ∑ n Cn x n−1+ ¿ ∑ 2C n xn +1=0 ¿ sumatoria hasta llegar a 2. n=2 n=0

C

∞ ∞

1+¿ ∑ ( n +2) C n+ 2 x n=0

C

n+1

¿

+∑ 2C n x

n+ 1

=0

Simplificamos y utilizamos la ecuación.

n=0

∞

1+¿ ∑ [ ( n+2) C n+ 2+2 C n ] x

n+1

Juntamos las ecuaciones. =0 ¿

n=0

 C 1=0

( n+2 ) C n+2 +2C n=0 C n+2=

−2 Cn n+2

Si n=0 , C 2=

−2 C 0 2

C 2=−C 0 C 0=

Debido a que C1 es un término independiente decimos que vale 0, y hallamos una ecuación de n.

C2 −1

Si n=1 ,

Sustituyendo valores de n obtenemos el valor de los coeficientes.

C 3=

Se sabe que C1 es igual a 0.

−2C 1 3

C 3=0 Si n=2 , C 4=

−2 C 2 4

C 4=

−1 1 C2= C 0 2 2

Si n=3 , C 5=

−2C 3 5

C 5=0 Si n es impar C n=0

Encontramos una regla general coeficientes con índices impares.

Si n=2 k +1 ,C n=0

para

C 2 k +1=0

Si n=4 , C 6=

−2C 4 6

C 6=

−1 −1 1 C 4= ( C ) 3 3 2 0

C 6=

−1 C 2.3 0

Encontramos una regla para índices pares

Si n=6 , C 8=

−1 C 2.3.4 0

Si n es par

C n=

−1 n 2.3 … 2

C0

los

Si C2k¿− C2k¿−

1 C 2.3 … k 0

1 C k! 0

∞

Procedemos a escribir la solución y, sabiendo que los valores impares dan 0 nos queda.

y=∑ Cn x n n=0

y=C 0 +C 1 x +C2 x 2+C 3 x 3 +C 4 x 4 … y=C 0 + (−C0 x2 ) +

( −12 C ) x +¿ 4

0

  y=C 0 x2 ( 0) +¿

Expresamos en sumatoria

∞

Expresamos lo anterior

y=∑ ¿ ¿ k=0

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa m sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

m

d2 x dx + β + kx=f (t) 2 dt dt

L

d2 q dq + β + kq=E (t) 2 dt dt

Es una función que representa una fuerza externa f (t) o un voltaje E ( t ) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones f (t) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso, pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función y (t) está definida para t ≥ 0 y la integral impropia converge para s> s0 . Entonces la transformada de Laplace y (t) existe s> s0 y está dada por:

∞

L { y ( t ) }=∫ e−st y ( t ) dt 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. Escriba aquí la ecuación .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Naime Francisco Urango Banques

b. L {e−2 t sen 5 t }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

  ∞

∞

L { e−2 t sen 5 t }=∫ e− st e−2 t sen 5 t dt =¿ ∫ e(−s−2)t sen 5 t dt ¿ 0

0

a

b

Para una integral como la anterior se aplica la siguiente fórmula:

∫ eat senbt dt = a2 +b 2 e at senbt− a2 +b 2 e at cosbt a=−s−2∧b=5

5

−s−2

∫ e(−s−2)t sen 5 t dt = (−s−2)2 +52 e(−s−2)t sen 5 t− (−s−2)2+ 52 e(− s−2)t cos 5 t ¿

−s−2 −(s+2)t 5 Reemplazando e sen 5 t− e−(s +2)t cos 5 t ∞ 2 2 0 ( s+2) + 25 (s +2) +25

|

[

¿ lim t →∞

−s−2 −(s +2) t 5 −s−2 −(s +2) (0 ) 5 e sen 5 t−lim e−(s +2) t cos 5 t − e sen 5(0)− e−( s+2 )( 0) c 2 2 2 2 t →∞ ( s+ 2 ) +25 ( s+2 ) +25 ( s+2 ) +25 ( s +2 ) + 25

¿ 0−0−0+

][

5 5 = 2 2 ( s+ 2 ) +25 s + 4 s +29

L { e−2 t sen 5 t }=

5 s +4 s+ 29 2

Por tanto, la transformada de Laplace queda:

Por tanto, la transformada de Laplace queda

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Milton Cabana García.

d. L {e−3 t ( t−2 ) }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

∞

L {e−3 t ( t −2 ) }=∫ e−st [ e−3 t (t−2 ) ] dt 0

Por definición.

∞

¿ ∫ e−st [ te−3 t −2 e−3 t ] dt

Distribución de e−3 t

0

b

¿ lim ∫ e−st [ te−3 t −2 e−3t ] dt

Cambio de límites.

b→∞ 0

¿ lim

b→∞

[

b

∫ te

¿ lim

b→∞

¿ lim

b→∞

¿ lim

b→∞

[

[(

b −st −3 t

0

[

e

dt−2∫ e

− st −3 t

e

dt

0

b

b

∫ te−t (s +3) dt−2∫ e−t (s +3) dt 0

0

]

Distribución de e−st integrales.

]

y separación de

Aplicación de la propiedad potenciación y factorización de t.

| ) ( | )]

−e−t (s +3) ( st +3 t+1 ) b −2 t e−t ( s+3 ) b 2 0 0 ( s+3 )

Desarrollando la integral.

−e−b ( s+3 ) ( sb +3 b+1 ) −e−0 (s +3) s ( 0 )+3 ( 0 )+ 1 b e−b ( s+3 ) 0 e−0( s+ 3) − −2 lim + los limites tenemos: Analizando ( s+3) ( s+3) b→∞ ( s+3 )2 ( s +3 )2

)]

(

¿ 0+

1 1 −2 0+ 2 (s+3) ( s +3 )

[

¿

[

]

1 2 − 2 ( s+ 3 ) (s +3)

L {e−3 t ( t−2 ) }=

1 2 − 2 ( s+3 ) (s+3)

solución

]

de

la

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Marcos Durango Arieta

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 L {e 3 t (tcost ) }

L(tcost )s → s−3

Al tener una exponencial por una función utilizamos el primer teorema de traslación

L [ e at f ( t ) =L [ f (t )] ] s→ s−a −d L(cos) ds

Se calcula la transformada de Laplace de (tcost)

−d s ds s 2+ 1 s → s−3

Remplazamos la transformada del coseno

−d s−3 ds (s−3)2+1

Remplazamos s

−d s−3 2 ds s −6 s+10

Realizamos las operaciones

1 ( s2 −65+10 ) −( s−3)(2 s−6) ¿¿

Calculamos la derivada del anterior valor.

−s 2+ 6 s−8 ¿¿

Simplificamos

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

y , −3 y=e 2 t y ( 0 )=1

}

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial L { y , −3 y }=¿❑ L { e 2t } ¿ L { y , } −3 L { y }=

1 s−2

sY ( s )− y ( 0 )−3 Y ( s )= sY ( s )−1−3 Y ( s )=

1 s−2

Y ( s )=

s−1 ( s−2 ) (s−3)

Y ( s )=

−1 2 + s−2 (s−3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: y ( t )

L−1 { Y ( s) }=−L−1 y ( t ) =−e 2t +e 3t

1 ( s−2 )+2 L ( s−31 ) −1

1 s−2

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Naime Francisco Urango Banques

b. y ' −2 y=1−t ; y ( 0 )=1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Aplicando transformada

L { y ' }−2 L { y }=L {1 }−L{t } L { y }=L∧L { y ' }=sL− y 0=sL−1

1 1 sL−1−2 L= − 2 s s ( s−2) L−1=

s−1 s2

Reemplazando

L=

s 2 +s−1 s2 ( s−2)

Aplicando fracciones parciales: s + s−1 A B C As ( s−2 ) + B ( s−2 ) +C s A s 2−2 As+ Bs−2 B+C s 2 = + + = = s 2 (s−2) s s 2 s−2 s 2( s−2) s 2(s−2) 2

2

s2 + s−1=( A +C ) s2 + (−2 A+ B ) s−2 B 1 −1 5 B= ; A= ; C= 2 4 4 L=

−1 1 1 1 5 1 + + 4 s 2 s 2 4 s−2

y=

−1 −1 1 1 −1 1 5 −1 1 L + L + L 4 s 2 s−2 s2 4

() ( ) ( )

{}

{}

{ } Aplicando transformada inversa

5 2t 1 1 : y= e + t − 4 2 4

La solución particular de la ecuación diferencial es

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Milton Cabana García

d. y ' ' +9 y =t con y ( 0 )=0 y ' ( 0 ) =0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

L [ y ' ' ] +9 L [ y ] =L [ t ]

Aplicando la transformada en cada termino Ecu 1

L [ y ' ' ] =S 2 L [ y ] − y 0 S− y 0

Aplicamos el teorema de la derivada y las condiciones iniciales.

S2 L [ y ] +9 L [ y ] =L [ t ]

S2 L [ y ] +9 L [ y ] =

L [ y ] ( S 2 +9 ) =

1 S2

1 S2

n Aplicando L [ t ]=

L [t ]=

n! como n=1 sn +1

1 s2

Factorizando L [ y ]

L [ y ]=

1 S ( S 2 +9 )

Despejando L [ y ]

[

1 S ( S 2+ 9 )

Ecu 3. Para encontrar a y, se propone hallar la transformada inversa de La place L−1

y=L−1

2

2

]

1 A B C = + 2+ 2 2 S ( S + 9 ) S S ( S +9 ) 2

La ecuación 1 nos queda Ecu 2

Ecu 4. El termino entre corchetes, se propone trabajarlo separándolo en fracciones parciales.

Se despeja a 1. Ecu 5

1= AS ( S2 +9 ) + B ( S2 +9 ) +C S 2

Ahora vamos a encontrar los valores de A, B y C.

1= A ( 0 ) ( 0 2+ 9 ) + B ( 02 +9 ) +C ( 0 ) 1=9 B ⟹ B=

2

Para S¿ 0 en la Ecu 5.

1 9

1= A ( 1 ) ( 12+ 9 ) + B ( 12+ 9 ) +C ( 1 )

2

Ecu 6. Para S¿ 1 en la Ecu 5

1=10 A+10 B+C 1= A (−1 ) (−12 +9 ) + B (−12 +9 ) + C (−1 ) 1=−10 A+10 B+C

2

Ecu 7. Para S¿−1 en la Ecu 5

1=10 A +10 B+ C 1=−10 A+10 B+C 2=0 20 B+2 C 2−20 B =C 2 1−10

Restando las Ecu 6 y Ecu 7

( 19 )=C

−1 =C 9 1=10 A+10 B+C 1−10 B−C =A 10 1−10

( 19 )−( −19 ) = A 10

1−

Con los valores de B y C, hallamos A en la Ecu 6

10 1 + 9 9 =A 10 A=0

1 1 1 0 9 9 1 1 = + 2− 2 = 2− 2 2 S ( S + 9 ) S S ( S + 9 ) 9 S 9 ( S2 +9 )

Sustituimos los valores encontrados en la Ecu 4

y=L−1

[

1 1 − 2 9 S 9 ( S 2+ 9 )

]

1 −1 1 1 1 y= L − L−1 2 2 9 9 S ( S +9 )

[ ]

[

Reemplazamos el resultado anterior en la Ecu 3

]

t 1 y= − sen ( 3 t ) 9 27 y=

1 ( 3 t−sen ( 3 t ) ) 27

Respuesta.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Marcos Durango Arrieta

e PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝒚′′ + 𝟔𝒚′ + 𝟖𝒚 = e t ,𝒚(𝟎) = 𝟑,𝒚′(𝟎) = 𝟗 Se aplica transformada de Laplace para cada uno de los términos

L ( y ' ' ) +6 L ( y ' ) +8 L ( y ) =L ( et )

[

s2 y ( s ) −sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) +6 sy ( s )− y ( 0 ) +8 y ( s )=

1 s−1

]

Utilizamos la fórmula de la segunda , primera derivada y de la expresión original. at Usamos L { e }=

s2 y ( s ) −sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) +6 sy ( s )−6 y ( 0 ) +8 y ( s )= s2 y ( s ) −3 s−9+ 6 sy ( s )−18+ 8 y ( s )= y ( s ) ( s 2+ 6 s+ 8 )=

1 +3 s+27 s−1

1 s−1

1 s−1

1 s−a

Multiplicamos Aplicamos valores iniciales Agrupamos simplificamos

términos

y

2

y ( s ) ( s + 6 s+ 8 )= y ( s )=

−1

L

{ {

L−1 y ( s )=

{

−1

Despejamos Y(s)

3 s2 +24 s−26 ( s−1) ( s2 +6 s+8 )

}

3 s 2 +24 s−26 (s−1)( s +4)( s+ 2)

3 s2 +24 s−26 (s−1)( s+ 4)(s +2)

Aplicamos transformada de Laplace inversa Factorizamos

}

Aplicamos fracciones parciales

}

Sumamos las fracciones

{ s−1a + s +4b + s+2c }

y=L−1

{

y=L−1 L−1

Sumamos

3 s2 +24 s−26 (s−1) ( s2 +6 s+8 )

y ( s )=

y=L

3 s 2 +24 s−26 s−1

a ( s+ 4 )( s+2 ) +b ( s−1 )( s+2 ) + c( s−1)( s+ 4) (s−1)(s +4 )(s +2)

}

Igualamos las expresiones por lo que a ( s+ 4 )( s+2 ) +b ( s−1 )( s+2 )+ c( s−1)(s +4 ) 3 s 2 +24 s−26 =L−1 el denominador se elimina. ( s−1)(s+ 4)(s+2) (s−1)(s+ 4)(s +2)

{

} {

3 s 2 +24 s−26=a ( s+ 4 )( s+2 ) +b ( s−1 )( s+2 ) + c ( s−1 ) ( s+ 4 ) S=2 S=1 S=−4

}

Por lo que queda que en a: S=2en b: S=1 y en c: S=−4

lim (3 s 2 +24 s−26=a ( s+ 4 )( s+2 ) +b ( s−1 )( s+2 ) + c ( s−1 )( s+ 4 ) ¿ )¿ Aplicamos límite en a, b y c s→2

−62=c−6 c=−56

Hallamos c

lim (3 s 2 +24 s−26=a ( s+ 4 )( s+2 ) +b ( s−1 )( s+2 ) + c ( s−1 )( s+ 4 ) ¿ )¿ s→1

1=a15 a=

1 15 Hallamos a

lim (3 s 2+ 24 s−26=a ( s+ 4 )( s+2 ) +b ( s−1 )( s+2 ) +c ( s−1 ) ( s +4 ) ¿ )¿

s →−4

−74=b 10 b=

−37 5 Hallamos b

y=L

−1

{

1 −37 15 5 −56 + + s−1 s+ 4 s +2

Con los valores a, b y c regresamos a la ecuación y remplazamos

}

y=

1 −1 1 37 1 1 L − L−1 −56 L−1 15 s−1 5 s+ 4 s +2

Se aplica transformada de Laplace para cada uno de los términos

y=

1 t 37 −4 t e − e −56 e−2 t 15 5

at Aplicamos e =

{ }

{ }

{ }

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

1 s−a

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN

OBSERVACIONES, ANEXOS,

PLANTEADA GUIA

MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados a de todos los tipos de ejercicios.

Enlace video explicativo

Naime Urango

E del punto 3

http://youtu.be/aa1ZVSeBbXM?hd=1

Marcos Durango

E del punto 2

https://youtu.be/hXz8OgTra2M

Ejemplo: Adriana González

https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS