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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA

MATERIA LABORATORIO DE FISICA I PRACTICA 6 CONSERVACION DE ENERGIA DATOS DEL ESTUDIANTE NOMBRE ANDRES ALBERTO NINA CHOQUE CARRERA INGENIERIA ELECTRONICA LA PAZ – BOLIVIA JUEVES, 20 DE MAYO DE 2021

OBJETIVOS 1.1. OBJETIVO GENERAL

-

Determinar la cantidad de movimiento lineal de un cuerpo o sistema.

1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

-

Verificar la conservación de la cantidad de movimiento lineal en una colisión completamente inelástica y en una colisión elástica en una dimensión.

-

Verificar si, en esas colisiones, la energía cinética se conserva.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO La cantidad de movimiento lineal, es un vector 𝑝⃗ que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad y cuyo modulo es el producto de la masa por la velocidad: 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗

(1)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos. ⃗⃗ 𝑑𝒑 𝑑𝑡

⃗⃗ 𝑑𝒗 = 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗ , si la masa es constante.

(2)

Que es otra manera de interpretar la segunda ley de Newton, si la cantidad de movimiento de un cuerpo varía en función del tiempo, entonces existe una fuerza neta actuando sobre ella.

Consideremos dos cuerpos que interaccionan entre sí, pero que están aislados de sus alrededores. Por la tercera ley de Newton las fuerzas que se ejercen mutuamente son iguales y opuestas. Podemos escribirlo como: ⃗⃗ 𝑑𝒑 𝐹⃗21 = 𝑑𝑡𝟏

y

⃗⃗ 𝑑𝒑 𝐹⃗12 = 𝑑𝑡𝟐

Además: 𝐹⃗21 = −𝐹⃗12, que se escribe: 𝐹⃗21 + 𝐹⃗12 = 0, o lo que es lo mismo: ⃗⃗𝟏+𝒑 ⃗⃗𝟐) 𝑑(𝒑 𝑑𝑡

=0

(𝛼)

Si la derivada de una magnitud es nula, eso significa que la magnitud permanece constante, entonces: la cantidad de movimiento total de un sistema aislado permanece constante, o en ausencia de fuerzas externas la cantidad de movimiento de un sistema permanece constante. Los choques, como el que se muestra en la anterior figura, pueden se unidimensionales o bidimensionales. Si no existen fuerzas externas que actúen sobre los objetos en colision, entonces se conserva la cantidad de movimiento: 𝑚1 𝑣10 + 𝑚2 𝑣20 = 𝑚1 𝑣1𝑓 + 𝑚2 𝑣2𝑓

(𝛽)

2.1. Colisión completamente inelástica. Para el estudio experimental de una colisión completamente inelástica se usará el arreglo de la Figura 1, en el que los cuerpos que colisionan son dos deslizadores. El estudio del movimiento se realiza con el sensor de movimiento y el reflector colocado en el deslizador 𝑚1 . El deslizador 𝑚2 inicialmente está en reposo y el deslizador 𝑚1 se dirige hacia él con una velocidad 𝑣0 . En los deslizadores se colocan accesorios que hacen que, después de la colisión, los deslizadores queden unidos y moviéndose con velocidad 𝑣𝑓 (los otros accesorios se usan como contrapesos). La cantidad de movimiento lineal inicial del sistema es: 𝑃𝑖 = 𝑚1 𝑣0

(3)

La cantidad de movimiento lineal inicial del sistema es: 𝑃𝑓 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣𝑓 y estas cantidades deben ser iguales.

(4)

2.2. Colisión elástica. Para el estudio de una colisión elástica se usará el arreglo de la Figura 2.

En este caso se emplean accesorios que hacen que los deslizadores colisionen elásticamente. El deslizador 𝑚2 inicialmente está en reposo y el deslizador 𝑚1 se dirige hacia él con una velocidad 𝑣0 . Después de la colisión, los deslizadores se mueven con velocidades 𝑣1 𝑦 𝑣2 , respectivamente y para estudiar el movimiento del deslizador 𝑚2 se le coloca una rejilla que interactúa con la fotopuerta. La cantidad de movimiento lineal inicial del sistema es: 𝑃𝑖 = 𝑚1 𝑣0

(5)

y la cantidad de movimiento final es: 𝑃𝑓 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 y estas cantidades deben ser iguales.

(6)

3. METÓDICA EXPERIMENTAL 3.1. Colisión completamente inelástica.

Materiales y Equipos:

-

Sensor de movimiento.

-

Carril.

-

Reflector.

-

Accesorios para colisión completamente inelástica (aguja y receptáculo).

-

Deslizadores.

-

Pesas para los deslizadores.

-

Programa Logger Pro instalado en una PC.

El arreglo de la Figura 1 durante el experimento:

4. DATOS, CÁLCULOS Y RESULTADOS 4.1. Colisión completamente inelástica.

DATOS:

Antes de la colisión

Después de la colisión

TABLA 1 t[s] 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

TABLA 2 t[s] 0,850 0,900 0,950 1,000 1,050 1,100 1,150 1,200

𝑚1 = 219,3 g 𝑚2 = 301,8 g

x[m] 0,083 0,096 0,109 0,122 0,135 0,148 0,161 0,175

x[m] 0,210 0,216 0,221 0,227 0,232 0,237 0,243 0,248

1. A partir de las Tablas 1 y 2 de la Hoja de Datos, mediante un análisis de regresión lineal con intersección no nula, determinar las velocidades 𝒗𝟎 y 𝒗𝒇 (sus valores medios) tomando tres cifras como significativas. Para la Tabla 1: Si 𝑡 → 𝑋 y 𝑥 → 𝑌, se obtendrá la siguiente tabla para la realización de la regresión lineal por el método de mínimos cuadrados:

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

N= 8

Datos para calculo de los coeficientes a0 y a1 y X Y X^2 0,083 0,30 0,083 0,09 0,096 0,35 0,096 0,12 0,109 0,40 0,109 0,16 0,122 0,45 0,122 0,20 0,135 0,50 0,135 0,25 0,148 0,55 0,148 0,30 0,161 0,60 0,161 0,36 0,175 0,65 0,175 0,42

Sumatoria=

3,8 Ymedio=

1,029

1,91

0,129

Donde:

𝑁𝑎0 + (∑ 𝑥𝑖 ) 𝑎1 = ∑ 𝑦𝑖

(∑ 𝑥𝑖 ) 𝑎0 + (∑ 𝑥𝑖 2 ) 𝑎1 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖

X*Y 0,025 0,034 0,044 0,055 0,068 0,081 0,097 0,114

0,51625

En su representación matricial:

∑ 𝑥𝑖

∑ 𝑦𝑖 𝑎0 ] [𝑎 ] = [ ] 1 2 ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑁 [ ∑ 𝑥𝑖

Y=a0 + a1*X Sistema de ecuaciones generada 8 3,8

3,8 1,91

a0 a1

=

1,03 0,52

a0 a1

=

2,27 -4,52

-4,52 9,52

1,03 0,52

a0 = a1 =

0,00433 0,262

𝑆

𝑆

𝑟 Si se tiene: 𝑆𝑡 = (𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 ; 𝑆𝑟 = (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥𝑖 )2 ; 𝑆𝑦⁄ = √𝑛−2 y 𝑟 = √1 − 𝑆𝑟

𝑥

Datos para calculo de Coef. Correlacion (YiYi' (Yi-Yi')^2 Ymed)^2 0,08 2,8E-08 0,002082 0,10 6,9E-09 0,001064 0,11 9,4E-33 0,000385 0,12 6,9E-09 0,000044 0,14 2,8E-08 0,000041 0,15 6,3E-08 0,000375 0,16 1,1E-07 0,001048 0,17 3,4E-07 0,002151

𝑡

Sumatoria=

5,8E-07

0,0072

r= 0,99995943 Sy/x= 0,0003118 Para hallar el valor de 𝑟 se realiza la siguiente tabla: De los anteriores cálculos se obtiene que: 𝑥 = 0.262𝑡 + 0.00433 [𝑚]

con

𝑟 = 0.99995943

Donde se obtiene: 𝒗𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟔𝟐 [𝒎/𝒔] Para la Tabla 2:

De la misma forma que en el anterior caso, para hallar los valores de 𝒂𝟎 𝑦 𝒂𝟏: N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 0,850 0,900 0,950 1,000 1,050 1,100 1,150 1,200

N= 8

Datos para cálculo de los coeficientes a0 y a1 y X Y X^2 0,210 0,85 0,21 0,72 0,216 0,90 0,216 0,81 0,221 0,95 0,221 0,90 0,227 1,00 0,227 1,00 0,232 1,05 0,232 1,10 0,237 1,10 0,237 1,21 0,243 1,15 0,243 1,32 0,248 1,20 0,248 1,44

Sumatoria=

8,2 Ymedio=

1,834 0,229

8,51

X*Y 0,179 0,194 0,210 0,227 0,244 0,261 0,279 0,298

1,8912

Y=a0 + a1*X Sistema de ecuaciones generada 8 8,2

8,2 8,51

a0 a1

=

1,83 1,89

a0 a1

=

10,13 -9,76

-9,76 9,52

1,83 1,89

a0 = a1 =

0,118 0,108

Para hallar el valor de 𝒓: Datos para calculo de Coef. Correlacion (YiYi' (Yi-Yi')^2 Ymed)^2 0,21 1,1E-07 0,000371 0,22 6,9E-08 0,000176 0,22 2,0E-08 0,000068 0,23 2,0E-07 0,000005 0,23 2,3E-09 0,000008 0,24 1,3E-07 0,000060 0,24 5,7E-08 0,000189 0,25 2,8E-08 0,000352

Sumatoria=

6,2E-07

0,0012

r= 0,99974781 Sy/x= 0,00032121 De los anteriores cálculos se obtiene que: 𝑥 = 0.108𝑡 + 0.118 [𝑚]

con

Donde se obtiene: 𝒗𝒇 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟖 [𝒎/𝒔]

𝑟 = 0.99974781

2. Calcular 𝑷𝒊 y 𝑷𝒇 con los resultados del punto anterior y la ecuaciones (3) y (4). Calcular la diferencia porcentual de 𝑷𝒇 respecto de 𝑷𝒊 . Reemplazando la ecuación (3) y (4) con los valores de 𝑚1 y 𝑚2 :

𝑃𝑖 = 𝑚1 𝑣0 = (0.2193)(0.262) = 57.5 ∗ 10−3 [𝑘𝑔 ∗

𝑚 ] 𝑠

𝑃𝑓 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣𝑓 = (0.2193 + 0.3018)(0.108) = 56.3 ∗ 10−3 [𝑘𝑔 ∗

𝑚 ] 𝑠

La diferencia porcentual es: |57.5 ∗ 10−3 − 56.3 ∗ 10−3 | 𝐷𝑖𝑓% = ∗ 100 56.3 ∗ 10−3 𝑫𝒊𝒇% = 𝟐. 𝟏𝟑 [%] 3. Calcular la energía cinética del sistema antes de la colisión, 𝑲𝒊 , y la energía cinética del sistema después de la colisión, 𝑲𝒇. Calcular la diferencia porcentual de 𝑲𝒇 respecto de 𝑲𝒊 . Se tiene: 1 1 𝐾𝑖 = 𝑚1 𝑣0 2 = (0.2193)(0.262)2 = 7.53 ∗ 10−3 [𝐽] 2 2 1 1 𝐾𝑓 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣𝑓 2 = (0.2193 + 0.3018)(0.108)2 = 3.04 ∗ 10−3 [𝐽] 2 2

La diferencia porcentual es:

𝐷𝑖𝑓% =

|7.53 ∗ 10−3 − 3.04 ∗ 10−3 | ∗ 100 3.04 ∗ 10−3 𝑫𝒊𝒇% = 𝟏𝟒𝟖 [%]

4.2. Colisión elástica.

1. A partir de las Tablas 3, 4 y 5 de la Hoja de Datos, mediante un análisis de regresión lineal con intersección no nula, determinar las velocidades 𝒗𝟎 , 𝒗𝟏 𝒚 𝒗𝟐 (sus valores medios) tomando tres cifras como significativas. TABLA 3 N° t(s) X(m) 1 0,35 0,088 2 0,4 0,099 3 0,45 0,11 4 0,5 0,122 5 0,55 0,133 6 0,6 0,145 7 0,65 0,156 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1

y = 0,2279x + 0,0079 R² = 0,9999

0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

𝑅 2 = 0,9999

𝑦 = 0,2279𝑥 + 0,0079 La velocidad 𝑣0 = 0,2279 TABLA 4 N° t(s) X(m) 1 0,85 2 0,9 3 0,95 4 1 5 1,05 6 1,1 7 1,15 8 1,2 9 1,25 10 1,3 11 1,35 12 1,4

0,176 0,174 0,172 0,17 0,168 0,165 0,164 0,162 0,159 0,157 0,155 0,153

0,18

0,175 y = -0,0422x + 0,212 R² = 0,9981

0,17 0,165 0,16 0,155 0,15 0

0,2

0,4

0,6

𝑦 = −0,0422𝑥 + 0,212 La velocidad 𝑣1 = 0,042

0,8

1

1,2

1,4

𝑅 2 = 0,9981

1,6

TABLA 5 N°

t(s) 1 2 3 4 5

X(m) 1,589 1,697 1,805 1,914 2,023

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

0,12 0,1 y = 0,1843x - 0,2728 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

𝑦 = 0,1843𝑥 + 0,2728 La velocidad 𝑣2 = 0,1843 2. Calcular 𝑷𝒊 𝒚 𝑷𝒇 con los resultados del punto anterior y las ecuaciones (5) y (6), Calcular la diferencia porcentual de 𝑷𝒇 con respecto de 𝑷𝒊 . 𝑃𝑖 = 0,2193 ∗ 0,2279 = 0,050 𝑃𝑓 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 𝑃𝑓 = 9,25446 ∗ 10−3 + 58,45996 ∗ 10−3 = 0,0677 Remplazando datos: %𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =

|0,050 − 0,0677| ∗ 100 = 35,4% 0,050

3. Calcular la energía cinética del sistema antes de la colisión, 𝑲𝒊 , y la energía cinética del sistema después de la colisión, 𝑲𝒇. Calcular la diferencia porcentual de 𝑲𝒇 respecto de 𝑲𝒊 . 1 ∗ 0,2193 ∗ 0,22792 = 0,005695[𝐽] 2 1 1 𝐾𝑖 = ∗ 0,2193 ∗ 0,04222 + ∗ 0,3172 ∗ 0,18432 = 0,005582[𝐽] 2 2 |0,005695 − 0,005582| %𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = ∗ 100 = 1,98% 0,005695 𝐾𝑖 =

5. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS Del resultado obtenido en la diferencia porcentual para el análisis de las cantidades de movimiento inicial y final, el cual tiene un valor 2.13% que es menor a 10% en el punto 4.1 se puede llegar a establecer la validez de las ecuaciones (3) y (4). Del resultado obtenido en la diferencia porcentual para el análisis de las energías cinéticas inicial y final, el cual tiene un valor 148 % que es mucho mayor a 10% en el punto 4.1 se puede llegar a comprobar una de las características fundamentales de este tipo de colisión, el cual es que la energía no se conserva, debido a que una parte de la energía cinética inicial se disipa por la deformación producida en los accesorios (aguja y receptáculo). 6. CUESTIONARIO

-

En el punto 1 del TRATAMIENTO DE DATOS, ¿por qué se hace un análisis de regresión lineal con intersección no nula? En ese caso, ¿qué representa físicamente la intersección?

-

Porque la línea cambia repentinamente en la pendiente, este punto representa el momento del choque.

-

En la colisión completamente inelástica, ¿se verificó que la cantidad de movimiento lineal se conserva? Explicar.

-

No, porque la cantidad de movimiento inicial es diferente a la final.

-

En la colisión completamente inelástica, ¿se verificó que la energía cinética no se conserva? Explicar. ¿Qué ocurre con la energía cinética “faltante”?

-

Si se verifico que la energía cinética no se conservó, el faltante teóricamente se transformó en calor. En la colisión elástica, ¿se verificó que la cantidad de movimiento lineal se conserva? Explicar. No se verifico ya que tenemos una diferencia notable en las medidas.

-

En la colisión elástica, ¿se verificó que la energía cinética se conserva? Explicar. Casi ya que no hay una diferencia notable entre las medidas.

7. BIBLIOGRAFÍA Soria Manuel. Manual para el Tratamiento de Datos en Física Experimental. 3ra Edición. 2014. Alvarez, Huayta. Medidas y Errores. La Paz. 2008. Alvarez, Huayta. Prácticas de Física I. La Paz. 2014. Soria Manuel. Física Experimental. 7ma Edición. 2019. Chapra, Raymond. Métodos Numéricos Para Ingenieros. 2006 Hibbeler, R. C. Ingeniería Mecánica – Dinámica. 2010