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Matem´atica Aplicada al Dise˜no y la Simulaci´on Superficies Diferenciables Ignacio Varela Andr´es Patricia Fern´andez Garc´ıa 16 de diciembre de 2010

´Indice general 1. Introducci´ on: Geometr´ıa Diferencial 1.1. Cronolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Geometr´ıa diferencial de Superficies . . . . . . . . . . . . . .

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2. Representaci´ on param´ etrica de superficies 2.1. Superficie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ejemplos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Definiciones de Superficies 3.1. Superficies en el Espacio Eucl´ıdeo 3.2. Superficies orientables . . . . . . 3.3. Superficies no orientables . . . . 3.4. Superficies regladas y minimales 3.4.1. Superficies regladas . . . . 3.4.2. Superficies minimales . . 3.5. Superficies de Revoluci´on . . . .

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4. Proyecci´ on cartogr´ afica

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5. Primera forma fundamental

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6. Segunda forma fundamental

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7. Ejemplo de Arquitectura minimal

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´Indice de figuras 1.1. Historia de las superficies diferenciales. Orden cronol´ogico. . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Paraboloide hiperb´ olico. . . . . Silla del mono. . . . . . . . . . Elipsoide. . . . . . . . . . . . . Toro. . . . . . . . . . . . . . . . Paraboloide. . . . . . . . . . . . Paraguas de Whitney. . . . . . Ejemplo de superficie impl´ıcita.

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3.1. Desarrollo de superficies dependiendo de la orientaci´on. 3.2. Banda de M¨ obius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Botella de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Superficie minimal con tres botellas de klein. . . . . . . 3.5. Ejemplo de superficie reglada y minimal. . . . . . . . . . 3.6. Superficie reglada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Superficie de curvatura simple. . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Superficie de curvatura doble. . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Superficie minimal. Olimpiastadium (Munich). . . . . . 3.10. Superficie minimal. Pompa de jab´on. . . . . . . . . . . .

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4.1. Proyecci´ on cartogr´ afica c´onica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Proyecci´ on cartogr´ afica cil´ındrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Proyecci´ on cartogr´ afica polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.1. Arquitectura minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Casa de las artes de Graz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Interior de la casa de las artes. Superficie minimal. . . . . . .

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on: Geometr´ıa Diferencial La geometr´ıa diferencial es el estudio de la geometr´ıa usando las herramientas del an´ alisis matem´ atico. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (como la topolog´ıa diferencial) y las nociones de conexi´ on y curvatura. Esta geometr´ıa se ha visto sobre tres tipos: Curvas Superficies Variedades Nosotros trataremos en este caso, la Geometr´ıa Diferencial de Superficies.

1.1.

Cronolog´ıa

Figura 1.1: Historia de las superficies diferenciales. Orden cronol´ogico.

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1664 En 1664 se cerr´ o provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a la gran peste (bub´ onica), y Newton volvi´o a Woolsthorpe, donde paso un a˜ no y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos cient´ıficos. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del c´alculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco despu´es dijo que ”hab´ıa encontrado el m´etodo inverso de las fluxiones”, es decir, el c´alculo integral y el m´etodo para calcular las superficies encerradas en curvas como la hip´erbole, y los vol´ umenes y de los s´ olidos. 1696 Esta regla fue incorporada por L’Hˆopital en el primer libro de texto sobre el c´ alculo diferencial: ”Analyse des infiniment petits”, publicado por ´el en Par´ıs en 1696. Escribi´ o sobre muchos aspectos avanzados de an´alisis: la isocrona, s´ olidos de m´ınima resistencia, la catenaria, la tractriz, trayectorias, curvas c´ austicas , problemas isoperim´etricos... Contribuy´o a la geometr´ıa diferencial a trav´es de su trabajo sobre l´ıneas geod´esicas en una superficie. 1827 Gauss hab´ıa profundizado mucho en el estudio de la geometr´ıa diferencial, se˜ nalando como toda superficie tiene una geometr´ıa intr´ınseca, que le es propia, independiente de la geometr´ıa del espacio en que est´a inmerso; es notable su obra de 1827 ”Investigaciones generales sobre superficies curvas”. 1828 Gauss estuvo muy interesado en la geometr´ıa diferencial, su trabajo m´as importante fue, en 1828, Disquisiciones generales acerca de superficies curva. En este trabajo se incluye su famoso teorema egregio. 1854 Bernhard Riemman, que fue disc´ıpulo de Gauss, esbribe la obra sobre ”Las hip´ otesis que sirven de fundamento a la Geometr´ıa”. 1889 En 1889, Bukreyev se convirti´o en profesor de matem´aticas en la Universidad de Kiev. Estudi´ o las funciones fucsia de grado cero. Estaba interesado en la proyecci´ on y la geometr´ıa no euclidiana. Trabaj´o en invariantes diferenciales y par´ ametros de la teor´ıa de superficies, estando interesado en la 4

historia de las matem´ aticas. 1898 Se tard´ o en adoptar los m´etodos matem´aticos de Grassmann pero in´ Cartan. La primera monograf´ıa fluyeron directamente en Felix Klein y Elie de AN Whitehead inclu´ıa la primera exposici´on sistem´atica en ingl´es de la teor´ıa de la extensi´ on y del ´algebra exterior. La teor´ıa de la extensi´on se aplic´ o al estudio de las formas diferenciales y en las aplicaciones de dichas formas, al an´ alisis y a la geometr´ıa. 1915 As´ı, en 1915, guiado por el llamado principio de equivalencia (que en su forma d´ebil corresponde al hecho, ya conocido por Galileo y Newton, de que la aceleraci´ on producida por el campo gravitacional en un punto del espacio sobre cualquier cuerpo colocado all´ı, no depende de las caracter´ısticas de ´este) y el formalismo de la geometr´ıa diferencial, Einstein obtuvo una teor´ıa para el campo gravitacional que lleva pr´acticamente a los mismos resultados que la teor´ıa de Newton. 2010 La linarense Isabel Fern´ andez Delgado es la primera mujer espa˜ nola que ha sido invitada al Congreso Internacional de Matem´aticos (ICM), que celebrar´ a su pr´ oxima edici´ on en agosto de 2010 en Hyderabad, India, por sus aportaciones a la Geometr´ıa diferencial.

1.2.

Geometr´ıa diferencial de Superficies

La geometr´ıa diferencial de superficies propone definiciones y m´etodos para analizar la geometr´ıa de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el Espacio Eucl´ıdeo. El espacio eucl´ıdeo es tipo de espacio geom´etrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometr´ıa. La recta real, el plano eucl´ıdeo, al espacio tridimensional de la geometr´ıa euclidiana... El termino eucl´ıdeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios curvos de la geometr´ıa no euclidiana y la teor´ıa de la relatividad de Einstein.

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Los espacios eucl´ıdeos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de conceptos matem´aticos relacionados con la geometr´ıa, la topolog´ıa, el ´ algebra y el c´alculo.

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Cap´ıtulo 2

Representaci´ on param´ etrica de superficies Estudiaremos subconjuntos de R3 que pueden ponerse en correspondencia biyectiva con un conjunto del plano, es decir, que a cada punto de aquel le podemos asignar dos par´ ametros. Si un mismo subconjunto de R3 lo podemos parametrizar de diversas maneras, exigiremos que la relaci´on entre cualquiera de estas parametrizaciones sea diferenciable.

2.1.

Superficie simple

Se llama superficie simple a un conjunto M R3 que es imagen continua e inyectiva de un abierto del plano. Es decir, una superficie simple es el conjunto de puntos M R3 , cuyo vector posici´ on viene dado por una funci´on continua e inyectiva definida en un abierto A del plano: ~x : A ⊂ R2 → R3 (u1 , u2 ) → ~x(u1 , u2 ) ~x(A) = M A la aplicaci´ on ~x : A ⊂ R2 → R3 se le denomina representaci´on param´etrica de la superficie simple. Dada una representaci´ on param´etrica ~x = ~x(u1 , u2 ), los valores de los par´ ametros u1 y u2 determinan la posici´on del punto en la superficie. A estos par´ ametros se les llama coordenadas curvil´ıneas en la superficie. Si el valor de una de las coordenadas, sea u2 , es fijo y el otro, u1 , var´ıa, los correspondientes puntos en la superficie quedan en una curva de ecuaci´on u2 = u20 = cte., esto es, α ~ : I → R3 u1 → α ~ (u1 ) = ~x(u1 , u20 ). Esta curva se llama l´ınea de coordenada u1 . 7

La l´ınea u1 = cte con u2 variable se denomina l´ınea de coordenada u2 . Ambas familias de curvas juntas forman una red de l´ıneas coordenadas o curvas param´etricas en la superficie.

2.2.

Ejemplos de superficies

La idea intuitiva de superficie se corresponde con la de un conjunto de puntos que tiene dimensi´ on 2. De manera general, una superficie puede ser muy compleja y no parecerse en absoluto a un plano, en cambio un trozo suficientemente peque˜ no de ella siempre se puede ver como un trozo del plano que ha sido deformado.

El grafo de una funci´ on de dos variables. El paraboloide hiperb´ olico.

Figura 2.1: Paraboloide hiperb´olico. La silla del mono.

Figura 2.2: Silla del mono.

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Figura 2.3: Elipsoide. El elipsoide. El elipsoide estereogr´ afico. Los toros.

Figura 2.4: Toro. El paraboloide.

Figura 2.5: Paraboloide. Las caracolas marinas. Las superficies parametrizadas con singularidades. 9

• La superficie en ocho. • El paraguas de Whitney.

Figura 2.6: Paraguas de Whitney. La representaci´ on gr´ afica de superficies dadas en forma impl´ıcita.

Figura 2.7: Ejemplo de superficie impl´ıcita.

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Cap´ıtulo 3

Definiciones de Superficies 3.1.

Superficies en el Espacio Eucl´ıdeo

El espacio eucl´ıdeo es un tipo de espacio geom´etrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometr´ıa. La recta real, el plano eucl´ıdeo, al espacio tridimensional de la geometr´ıa euclidiana son casos especiales de espacio eucl´ıdeo de dimensiones 1, 2 y 3. El concepto abstracto de espacio eucl´ıdeo generaliza esas construcciones a m´ as dimensiones.

3.2.

Superficies orientables

Estas superficies pueden definirse simplemente como una variedad orientable de dimensi´ on dos, donde toda curva cerrada simple contenida, tiene una vecindad regular homeomorfa a un cilindro abierto. Si identificamos los lados superior e inferior de un cuadrado, obtenemos un cilindro. Representando esto con una flecha en el lado superior y otra en el inferior, ambas en el mismo sentido.

Figura 3.1: Desarrollo de superficies dependiendo de la orientaci´on. 11

3.3.

Superficies no orientables

Es posible realizar descripciones topol´ogicas de algunas superficies elementales que son muy u ´tiles; dichas descripciones se obtienen a trav´es de identificadores entre los lados de un cuadrado. - Si identificamos los lados superior e inferior de un cuadrado, obtenemos un cilindro. Representando esto con una flecha en el lado superior y otra en el inferior, ambas en el mismo sentido. - Pero si identificamos estos mismos lados, con flechas superior e inferior pero de direcciones contrarias, obtenemos la superficie llamada, banda de M¨ obius. La banda de M¨ obius consiste en considerarla como la superficie que resulta al hacer girar un segmento de recta alrededor de un eje, al tiempo que dicho segmento gira en torno a su punto medio mientras describe el primer giro en torno al eje.

Figura 3.2: Banda de M¨obius. Otro ejemplo de superficie no orientable es la botella de Klein que a diferencia de la banda de M¨ obius es una superficie compacta. Esta superficie resulta de la rotaci´on de la curva figura del ocho alrededor de un eje, al tiempo que dicha curva realiza un giro sobre su punto medio mientras describe la rotaci´ on anterior. En resumen, rotaci´on y giro (como en la banda de M¨ obius) pero en la curva figura del ocho.

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Figura 3.3: Botella de Klein.

Figura 3.4: Superficie minimal con tres botellas de klein.

3.4.

Superficies regladas y minimales

Podr´ıamos decir que la Geometr´ıa, y m´as generalmente, las Matem´aticas, han estado presentes en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesidad de construir edificios y todo tipo de construcciones. El dise˜ no y construcci´ on de una obra arquitect´onica es un complejo proceso en el que el arquitecto ha de beber de diferentes fuentes, entre ellas indudablemente se encuentran las Matem´aticas. Los avances en ramas de las matem´ aticas como la Geometr´ıa y la Topolog´ıa y la llegada de nuevos materiales m´ as flexibles, m´ as f´ aciles de manipular y menos pesados (hormig´on, fibra de vidrio, nylon, terylene,. . . ), as´ı como la existencia de movimientos Arquitect´ onicos m´ as abiertos (por ejemplo, la Arquitectura Org´anica) hace que la presencia de nuevas y sugerentes formas sea habitual en la Arquitectura del siglo XX. 13

Figura 3.5: Ejemplo de superficie reglada y minimal. Muchas de las impresionantes construcciones con la que la arquitectura nos sorprende son superficies regladas y minimales.

3.4.1.

Superficies regladas

Las superficies regladas son, como indica su nombre, superficies que contienen rectas, o mejor dicho, que se pueden generar mediante el movimiento de una recta que sigue un recorrido determinado. Por ejemplo, si una recta se mueve siguiendo una circunferencia situada en un plano perpendicular, genera la superficie de un cilindro, que es una superficie reglada. Las superficies regladas tienen muchas ventajas desde el punto de vista de la construcci´ on y por ello son usadas entre otras lugares en la construcci´on de barcos (para el dise˜ no del casco) y edificios. Pero las superficies regladas m´as interesantes son las alabeadas, es decir, las superficies que tienen doble curvatura, o dicho de otro modo, las superficies en las que un plano tangente tambi´en es secante y la intersecci´on entre el plano y la superficie es justamente la recta o las rectas generatrices de la misma superficie. Con el uso de estas superficies regladas alabeadas (hiperboloides, paraboloides, helicoides y conoides), adem´as de crear una arquitectura rica y una pl´ astica caracter´ıstica y expresiva, gracias a su doble curvatura se consigue una eficacia estructural nada despreciable, ya que precisamente la doble curvatura, a menudo inversa, proporciona una elevada rigidez y una gran

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capacidad de transmisi´ on de las acciones mec´anicas hacia los bordes o los puntos de apoyo.

Figura 3.6: Superficie reglada. Muchos arquitectos son los que se han atrevido a utilizar las superficies regladas como Antonio Gaud´ı, el dan´es Jorn Utzon quien construyo la casa de ´ opera en Sidney, Bernard Laffaille, entre otros.

Superficie de curvatura simple Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz son coplanares (son paralelas o se cortan). Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son: Superficie cil´ındrica: dentro de ella tenemos otros dos tipos la superficie cil´ındrica de revoluci´ on y la superficie cil´ındrica de no revoluci´on. Superficie c´ onica: dentro de este tipo tenemos otros dos que son la superficie c´ onica de revoluci´on y la superficie c´onica de no revoluci´on.

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Figura 3.7: Superficie de curvatura simple. Superficie de curvatura doble Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz curva. Estas superficies no contienen l´ıneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cu´adricas, las cuales son superficies generadas por la rotaci´ on de una curva c´onica alrededor de uno de sus ejes.

Las cu´ adricas son: • Esfera • Elipsoide • Paraboloide • Hiperboloide

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Figura 3.8: Superficie de curvatura doble.

3.4.2.

Superficies minimales

Una superficie en el espacio que en peque˜ nas piezas sigue la forma de una pel´ıcula de jab´ on es llamada una superficie minimal. El nombre es debido al hecho de que superficies minimales localmente minimizan el ´area. ´ Estas ocurren con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo en las celdas membranosas y pueden ser producidas no s´olo como pel´ıculas de jab´on sino tambi´en m´ as permanentemente como fascinantes membranas de pegamento. El estudio de las superficies minimales tiene sus ra´ıces, en Euler, Lagrange, Meusnier entre otros y, constituye un ´area de investigaci´on en matem´aticas activa actualmente. Las helicoidales son las u ´nicas superficies en el espacio tridimensional que son al mismo tiempo minimales y regladas.

Figura 3.9: Superficie minimal. Olimpiastadium (Munich). 17

Otro ejemplo de superficies minimales son los experimentos hechos con pompas de jab´ on. Desde principios del siglo XIX se viene estudiando el problema de qu´e pompa de jab´ on tiene por borde una curva dada. A este problema se le conoce hoy en d´ıa como ”Problema de Plateau” en honor al famoso f´ısico belga Joseph-Antoine Ferdinand Plateau. Los resultados de Plateau fueron puramente experimentales, y hasta m´as de un siglo y medio despu´es, no se consiguieron probar sus conjeturas.

Algunos de los resultados m´as importantes son: Una pompa de jab´ on tiene ´area menor que cualquier otra superficie ”cercana” a ella (de ah´ı el nombre superficie minimal). Si varias pel´ıculas de jab´on se cortan, lo har´an siempre de tres en tres, formando ´ angulos de 120o .

Figura 3.10: Superficie minimal. Pompa de jab´on.

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3.5.

Superficies de Revoluci´ on

Superficie obtenida al hacer girar una curva plana en torno a una recta en R3 . M´ as cercanamente podemos encontrar superficies de revoluci´on en nuestra vida cotidiana como botes, patas de muebles, canicas...

Ejemplos comunes de una superficie de revoluci´on: • Superficie de revoluci´on cil´ındrica. • Superficie de revoluci´on c´onica. • Superficie de revoluci´on esf´erica. • Superficie de revoluci´on toroidal.

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Cap´ıtulo 4

Proyecci´ on cartogr´ afica Se define como proyecci´ on cartogr´afica al sistema que se utiliza para transferir la informaci´ on de la superficie esf´erica de la tierra a un plano o mapa. Este proceso se logra con c´alculos matem´aticos que son relacionados con la geometr´ıa y las coordenadas geogr´aficas de la Tierra. Se elige un tipo de proyecci´on dependiendo de: Extensi´ on y ubicaci´ on de la zona a representar en un mapa. Cu´ al de las caracter´ısticas geom´etricas de cada proyecci´on es m´as apta a conservar y cu´ al no lo es. Cu´ al conserva mejor la precisi´on entre ´angulos, distancias y direcciones, o los aspectos necesarios que se pretende proyectar, dejando que la distorsi´ on se produzca en aspectos restantes no tan importantes. En cuanto a la clasificaci´ on de las proyecciones es compleja, normalmente se establece en una figura geom´etrica capaz de aplanarse para representar la Tierra. Un cono, un cilindro o un plano son capaces de extenderse sobre una superficie plana. Se clasifican en proyecciones c´onicas, cil´ındricas y polares. Proyecci´ on c´ onica Se puede decir o explicar que es un cono que envuelve al globo terr´ aqueo y hace contacto con un solo paralelo (llamado base o est´ andar). Sus paralelos son representados con semic´ırculos y los meridianos con radios, representan una parte de los continentes con exactitud.

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Adem´ as utiliza un cono tangente a la superficie terrestre y su eje coincide con el eje de la Tierra.

Figura 4.1: Proyecci´on cartogr´afica c´onica. Proyecci´ on cil´ındrica Es el resultado del desarrollo de la superficie de un cilindro el cual envuelve a una esfera. Los paralelos son representados con l´ıneas horizontales y los meridianos con l´ıneas verticales y equidistantes.

Figura 4.2: Proyecci´on cartogr´afica cil´ındrica.

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Proyecci´ on polar Es la proyecci´on de la superficie del globo terrestre sobre un plano desde un punto definido. Los meridianos son representados con rectas que cruzan por el polo y los paralelos con c´ırculos conc´entricos. Utiliza un plano tangente a los polos. Conc´entrico: D´ıcese de las curvas o superficies que tienen el mismo centro.

Figura 4.3: Proyecci´on cartogr´afica polar.

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Cap´ıtulo 5

Primera forma fundamental Dada x : U → R3 una parametrizaci´on regular, se le llama a la Primera forma fundamental a esta forma matem´atica: I(u, v) = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 = dx · dx Con estas condiciones: E = xu · xu F = xu · xv G = xv · xv A los coeficientes E, F y G se les llama primeros coeficientes fundamentales. La primera forma fundamental es definida positiva: I(u, v) = ||dx||2 = ||xu du + xv dv||2 ≥ 0 Con estas condiciones: E>0 G>0 EG − F 2 > 0 Las primeras aplicaciones de esta forma son el c´alculo de longitudes y el c´alculo de ´ areas.

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Sea γ(t) = x(u(t), v(t)), t ∈ (a, b) una curva regular en la superficie, su longitud es: L(γ) =

Rb

du 2 a (E( dt )

1

dv dv 2 2 + 2F du dt dt + G( dt ) ) dt

Dada una superficie S de R3 dada por la imagen de una parametrizaci´on regular, x(U)=S, tenemos: A(S) =

RR √ U

EG − F 2 dudv

Esta primera forma fundamental tambi´en es u ´til para el c´alculo de ´angulos, pues sean dx = xu du + xv dv + dx = xu du + xv dv dos vectores tangentes, el ´ angulo que forman viene dado por la siguiente expresi´on: cosα =

Edudv+F (dudv+dvdv)+Gdvdv 1

1

(Edu2 +2F dudv+Gdv 2 ) 2 (Edu2 +2F dudv+Gdv 2 ) 2

En el caso concreto de las curvas de par´ametros u y v se tiene algo como esto: cosα =

xu ·xv ||xu ||||xv ||

=

√F EG

Adem´ as tambi´en se pueden tener en cuenta estos dos casos: Dos vectores tangentes son ortogonales si: Edudv + F (dudv + dvdv) + Gdvdv = 0 Las curvas de par´ ametro u y v son ortogonales ⇒ F=0.

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Cap´ıtulo 6

Segunda forma fundamental Sea x(U ) una carta de clase C m de una superficie. En cada punto de la carta existe el vector normal unitario que es diferenciable en (u, v). Vector normal unitario: N (u, v) =

xu ×xv ||xu ×xv ||

||N (u, v)|| = 1 Diferenciable: dN · N = 0 dN = Nu du + Nv dv Se le llama Segunda forma fundamental a la siguiente forma matem´atica: II(u, v) = −dx · dN = Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 Teniendo en cuenta las siguientes condiciones: L = −xu · Nu N = −xv · Nv M = − 21 (xu · Nv + xv · Nu )

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La curvatura normal se saca de la siguiente forma: kn =

II I

De kn sacamos los valores m´aximos y m´ınimos, es decir, las curvaturas principales: k1 y k2 . (Direcciones principales). Curvatura media: H = 12 (k1 + k2 ) Curvatura de Gauss: K = k1 k2 Casos: Si K > 0 clasificamos los puntos en el´ıpticos Si K < 0 clasificamos los puntos en hiperb´olicos Si K = 0 clasificamos los puntos en parab´olicos Si K ≤ 0 en todos sus puntos podr´ıamos clafisicarlo (con m´as condiciones) que es una superficie reglada Si H = 0 en todos sus puntos podr´ıamos decir que es una superficie minimal

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Cap´ıtulo 7

Ejemplo de Arquitectura minimal En 1961 Peter Cook fue fundador, junto a Warren Chalk, Ron Herron, Dennis Crompton, Michael Webb y David Greene, del grupo y movimiento Archigram, articulado alrededor de la revista hom´onima publicada en Londres entre 1961 y 1974 (diez n´ umeros).

Figura 7.1: Arquitectura minimal. Archigram fue uno de los grupos m´as influyentes de la arquitectura contempor´ anea y desde su primera exhibici´on ”Living City Exhibition” (1963), supuso una revoluci´ on debido a sus innovadores proyectos (Ciudad Enchufable, Ciudad Ambulante, Unidades de vivienda en veh´ıculos m´oviles, etc). 27

Dichos proyectos no consist´ıan en obras construidas, sino en el conjunto de dibujos y textos desarrollados en estos a˜ nos por los miembros del grupo, individual o colectivamente, en su mayor parte condensados en la revista. Archigram (Architecture & Telegram) propon´ıan una arquitectura r´apida, simple, pero directamente relacionada con los avances tecnol´ogicos de la ciencia.

Figura 7.2: Casa de las artes de Graz. La Kunsthaus Graz o Casa de las Artes de Graz (2003), est´a firmada por los arquitectos Colin Fournier y Peter Cook, este u ´ltimo, legendaria figura te´orica y catedr´ atica, fundador del colectivo ingl´es Archigram, que caus´o furor en los sesenta por sus ideas innovadoras como las ciudades ambulantes o las viviendas en veh´ıculos. Peter fue galardonado con el Stirling Prize junto a Colin Fournier por la Kunsthaus de Graz; esta estructura est´a basada en una superficie minimal, que se conforma con una media de curvatura de acero.

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Figura 7.3: Interior de la casa de las artes. Superficie minimal.

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Bibliograf´ıa [1] Luis A. Cordero, Marisa Fern´andez y Alfred Gray: Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. Estados Unidos, 1995. [2] http://www.masquemates.blogspot.com/ [3] http://metexisnoesis.wordpress.com/2008/12/11/ [4] http://urbalis.wordpress.com/ [5] http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/ lafuente-geometria.pdf [6] http://www.ugr.es/~furbano/papers/ProgramaGCS.pdf [7] http://www.cimat.mx/~fdogg/minsurf.pdf [8] http://topologia.wordpress.com/2008/03/25/ cirujia-con-membranas-elasticas/ [9] http://matematicas-ugr.blogspot.com/2009/12/ superficies-minimales-en-la.html

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