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Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile

Cálculo en Varias Variables Capítulo 1: Curvas y Superficies 1.2 Superficies. Superficies Cuádricas 1

Instituto de Matemática Universidad Austral de

1.2 Superficies. Superficies Cuádricas

Chile

Superficies: -Una superficie es un conjunto de puntos del espacio determinado por una ecuación F ( x, y , z ) = 0 O sea:

{

}

S = ( x, y, z ) ∈ IR 3 / F ( x , y, z ) = 0

-Los puntos de la superficie son los que satisfacen la ecuación y viceversa.

Plano: Un plano tiene ecuación:

Ax + By + Cz + D = 0

Esfera:

Con A, B, C no todos nulos.

La ecuación de una esfera de centro C ( x0 , y0 , z0 ) y radio r es:

( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = r 2

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Cilindro: (Cilindro recto) Es la superficie formada por una recta que se mueve manteniéndose perpendicular a un plano dado y que intersecta a una curva dada contenida en dicho plano. La curva se llama Directriz y la recta se llama Generatriz. -Si la curva es una circunferencia se llama Cilindro Circular. Análogamente tenemos Cilindro Elíptico, Cilindro Parabólico y Cilindro Hiperbólico. - Si la curva está en el plano XY , por ejemplo:

F ( x, y ) = 0   z=0 

La ecuación del cilindro es F ( x, y ) = 0 . Análogamente, en el plano YZ, la ecuación es F ( y , z ) = 0 y en el plano XZ, la ecuación es F ( x, z ) = 0

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Superficie de Revolución: Es la superficie que se obtiene al hacer girar la curva plana alrededor de una recta en el plano de la curva. La curva se llama Generatriz.

Por ejemplo: Consideremos que la curva en el plano

XY

F ( x, y ) = 0  se gira alrededor del eje Y.  z = 0

Sea P ( x, y , z ) un punto cualquiera en la superficie de revolución ( S ) .

Existe una circunferencia de centro O′(0, y ,0) en el eje Y y que pasa por P e intercepta a la curva C en el punto

P′( x′, y′, z′).

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Se tiene que:

d (O′, P′) = d (O′, P ) ⇒ x′2 + ( y − y′) 2 + z′2 = x 2 + z 2 / ( , pues y = y ′ ⇒ x′2 + z′2 = x 2 + z 2 Pero P′ ∈ C así:

F ( x′, y′) = 0   z′ = 0 

)

2

∴ x′2 = x 2 + z 2 ⇒ x′ = ± x 2 + z 2

∴ F ( ± x 2 + z 2 , y ) = 0 es la ecuación de la superficie de revolución.

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En General:

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Ejemplos: 1) - Hallar ecuación de la superficie de revolución obtenida al girar alrededor 2 2 de los ejes Y , Z la curva: z − y = 9   x=0  Solución: Eje Y:

(±

x+z

)

2

− y2 = 9

x2 − y 2 + z 2 = 9 Eje Z:

(

z − ± x+z 2

)

2

=9

z 2 − x2 − y2 = 9 x2 + y 2 − z 2 + 9 = 0

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2)- Mostrar que x 2 + y 2 − z 3 = 0 es una superficie de revolución. Determine generatriz y eje de rotación. Solución:

(

± x +y 2

Puede ser:

ó

2

)

2

= z3

x 2 = z 3 que rota alrededor del eje Z .  y =0  y 2 = z 3 que rota alrededor del eje Z .  x =0 

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Trazas: Las trazas de una superficie son las curvas de intersección de ella con planos paralelos a los planos coordenados. Es útil hallar las trazas para determinar la grafica de la superficie. Ejemplo:

x2 y2 z2 + + =1 9 25 9

-Trazas con planos paralelos a plano XY : 2 2 2 x y k z=k ; + + =1 9 25 9 •

•

•

x2 y2 k2 ⇒ + = 1− 9 25 9

2 2 k k Son elipses si: 1 − ⇒ k 2 < 9 ∴ −3 < k < 3 > 0 ⇔1< 92 9 Es un punto si: 1 − k = 0 ⇔ k = ±3 9 2 k No hay traza (Vacío) si: 1 − < 0 ⇔ k > 3 ∨ k < −3 9

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-Trazas con planos paralelos a plano XZ: 2 2 2 2 2 2 x k z x z k ; , y=k + + =1 ⇒ + = 1− 9 25 9 9 9 25

•

2 2 Son circunferencias si: 1 − k > 0 ⇔ 1 < k 25 25

•

2 k Es un punto si: 1 − = 0 ⇔ k = ±5 25

•

2 No hay traza (Vacío) si: 1 − k < 0 ⇔ k > 5 ∨ k < −5

→ k 2 < 25 ∴−5 < k < 5

25

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-Trazas con planos paralelos a plano YZ:

x=k ;

k2 y2 z2 + + =1 , 9 25 9

y2 z2 k2 ⇒ + = 1− 25 9 9

•

2 2 k k Son elipses si: 1 − > 0 ⇔1< 9 9

•

2 k Es un punto si: 1 − = 0 ⇔ k = ±3 9

•

No hay traza (Vacío) si:

→ k 2 < 9 ∴ −3 < k < 3

k2 1− < 0 ⇔ k > 3 ∨ k < −3 9

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Superficies Cuádricas:

Una superficie de ecuación de la forma:

Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 se llama Superficie Cuádrica. (Al menos uno de los coeficientes de A hasta F es no nulo). Elipsoide:

x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c

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Hiperboloide de una hoja:

x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 a b c

Hiperboloide de dos hojas:

x2 y2 z2 − 2 − 2 + 2 =1 a b c

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Cono elíptico:

x2 y2 z2 + 2 − 2 =0 2 a b c

Paraboloide elíptico:

x2 y2 + 2 =z 2 a b

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Paraboloide hiperbólico :

x2 y2 − 2 + 2 =z a b Ejemplos: 1) Escriba la ecuación del cono doble recto circular de eje Z ,y el ángulo de medio vértice es π / 6.

tan 30 = x 1 =x 3

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La ecuación es de la forma: x 2 + y 2 = kz 2 pero para

z = 1 el radio de la traza es: 1 x2 + y 2 = k

k=

1 3

3

z2 x +y = 3 2

2

En general:

(x

2

+ y 2 ) = ( tan 2 α ) z 2

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2) a) Elabore las graficas de z = x 2 + y 2 , z = x 2 + ( y − 1) 2 sobre los mismos ejes.

b) Demuestre que su intersección se encuentra en un plano paralelo al plano XZ :

z=x +y 2

2

z = x 2 + ( y − 1) 2

y 2 = ( y − 1) 2 y2 = y2 − 2 y + 1 y=

1 2

c) ¿Qué clase de curva es la intersección? Es una parábola, pues 1  2 z = x + , reemplazando queda: 4   1  y=  2  17

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2 2 2 x y z 3) ¿Para cuales valores de a, b, c, es la gráfica de + 2 + 2 =1 2 a b c una superficie de revolución alrededor del eje Z ? Explique

Solución: Para a = b, ya que así resulta:

x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a a c

⇒

(

x +y 2

2

)

2

a2 2 2 = 2 (c − z ) c

Así la superficie se forma al rotar alrededor del eje Z, la curva

y

2

a2 2 2  = 2 (c − z )  c   x=0  18