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• nicolas dionisio ordonez barrueta

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Clase

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Magnitudes proporcionales En un centro comercial se desea comprar bufandas del mismo tipo a 40 soles cada uno. Observemos como var´ıa el costo total cuando el n´umero de bufandas varie. Costo total

40

80

200

400

800

Cant. de Bufandas

1

2

5

10

20

De la tabla podemos deducir que 40 80 200 400 800 = = = = = 40 constante. 1 2 5 10 20 Costo total Es decir, debe ocurrir que es constante. cantidad total Por otro lado, para construir un edificio se desea contratar obreros del mismo rendimiento. Observemos como var´ıa el tiempo de construcci´on si variamos el n´umero de obreros N´umero de dias

30

15

90

18

9

N´umero de obreros

3

6

1

5

10

De la tabla deducimos 30 × 3 = 15 × 6 = 90 × 1 = 18 × 5 = 9 × 10 = 90 constante Es decir, ocurre que (#dias)(#obreros) es constante. Definici´on 32. Una magnitud es todo aquello que puede ser medido.

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Ejemplo 35. Toda magnitud se mide usando un patr´on, por ejemplo: 1. La longitud, puede ser medido en centimetros, metros, kilometros, etc. 2. El tiempo, puede ser medido en segundos, minutos, horas, d´ıas, etc. 3. La masa, puede ser medida en gramos, kilogramos, toneladas, etc. Como hemos visto en los casos anteriores, existen magnitudes que se relacionan de alguna forma. Nosotros estudiaremos los casos m´as conocidos. Definici´on 33. Dos magnitudes A y B se dice que son directamente proporcionales si existe una constante k ∈ R+ tal que cantidad de A = k. cantidad de B En este caso se denota por A D.P. B, para indicar que A y B son directamente proporcionales.

Ejemplo 36. Sharon pint´o las caras de un cubo en 20 minutos. Si ahora debe pintar otro cubo cuya arista es el doble de la del anterior, ¿en cu´anto tiempo terminar´a de pintar este cubo? En este caso, observemos que el tiempo es directamente proporcional al a´ rea pintada. Es decir tiempo = constante. a´ rea Ahora, si el primer cubo tiene arista “a” entonces cada cara tiene un a´ rea de a2 y como un cubo tiene 6 caras entonces el a´ rea total del primer cubo es 6a2 . Luego, el otro cubo tiene arista “2a” entonces el a´ rea total es 24a2 . Luego t 20 = 2 6a 24a2 por lo cual el tiempo t = 80 minutos o 1hora con 20 minutos. Definici´on 34. Dos magnitudes A y B se dice que son inversamente proporcionales si existe una constante k ∈ R+ tal que (cantidad de A) × (cantidad de B) = k. En este caso se denota por A I.P. B, para indicar que A y B son inversamente proporcionales.

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Ejemplo 37. Camila y Diego realizan juntos un trabajo para el curso de Econom´ıa de la Universidad del Pac´ıfico que se deber´a entregar en 10 d´ıas. Si lo hiciera Camila sola, tardar´ıa 20 d´ıas y si lo hiciera Diego solo, tardar´ıa 30 d´ıas. ¿Llegar´an a entregar el trabajo a tiempo? Remarquemos que en este caso ambos tienen diferente eficiencia y que a mayor eficiencia implica acabar en menor tiempo. En resumen, eficiencia I.P. tiempo. Ahora, denotemos por eC la eficiencia de Camila y por eD la de Diego, se cumple eC × 20 = eD × 30. De donde eC = 3k y eD = 2k. Luego la eficiencia de los dos juntos, eJ , es 5k. Finalmente, si denotamos por t al tiempo que demorar´an en realizar el trabajo juntos, se debe cumplir que 5k × t = 3k × 20. De donde t = 12 d´ıas. Por lo tanto podemos decir que entregar´an el trabajo con 2 d´ıas de retraso.

Reparto proporcional Beremiz y su amigo camino a una peque˜na aldea denominada Sippar se encontraron con un pobre viajero, con las ropas desgarradas y al parecer gravemente herido. Al cual decidieron ayudar. El viajero se llamaba Salem Nasair, y era uno de los m´as ricos mercaderes de Bagdad. Luego de contar sus desventuras, pregunt´o con voz ansiosa: ¿Tra´eis quiz´a algo de comer? Beremiz respondio diciendo que tenia 5 panes y su amigo respondio que le quedaban 3. A lo que Salem, sugiri´o juntar todos los panes y repartirlos equitativamente. A condici´on de que cuando llegasen a Bagdad les pagaria con ocho monedas de oro por el pan que comiera. ¿Cu´antas monedas le corresponden a Beremiz y cu´antas a su amigo? Definici´on 35. El reparto proporcional es una operaci´on cuya finalidad consiste en repartir una cantidad en forma directamente proporcional a determinadas cantidades.

Dado que Beremiz tenia cinco panes y su amigo tres, como en el gr´afico al lado, estamos tentados a dar como respuesta a la interrogantes anterior, que a Beremiz le corresponde cinco monedas de oro y tres a su amigo.

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su amigo Beremiz

La en pan co,

respuesta anterior no esta bien, pues realidad lo que sucede es que cada se parte en tres, como en el gr´afipara poder repartirlo equitativamente.

su amigo

De donde deducimos que Salem consumio siete pedazos de pan de la parte de Beremiz y uno de la parte de su amigo, por tanto la repartici´on correcta es siete monedas de oro para Beremiz y una moneda de oro para su amigo.

su amigo

Beremiz

Beremiz

˜ Regla de compania Tres amigas, Diana, Francesca y Maria formaron una empresa de Galletas. Diana aport´o 6 000 soles durante 6 meses, luego Francesca 3 000 soles durante 8 meses y finalmente Maria 9 000 soles durante 12 meses. Si obtuvieron una ganancia total de 7 000 soles, ¿cu´anto le correspond´o a cada una? Remarquemos que las magnitudes que intervienen son: Ganancia, capital y tiempo. Es claro que la ganancia debe ser directamente proporcional al tiempo pero tambi´en la ganancia debe ser directamente proporcional. Entonces ganancia = constante. (capital) × (tiempo) Si denotamos por GD a la ganancia de Diana, GF a la de Francesca y GM a la de Maria. Debe ocurrir que GF GM GD = = 6 × 6000 8 × 3000 12 × 9000 lo cual luego de simplificar obtenemos GD GD GD = = 3 2 9 pero sabemos que

aunque GD + GF + GM

GD GD GD GD + GF + GM = = = 3 2 9 3+2+9 = 7000, entonces

GD GD GD GD + GF + GM 7000 = = = = = 500. 3 2 9 3+2+9 14 por tanto deducimos que GD = 1500, GF = 3000 y GM = 4500. En resumen se cumple la siguiente propiedad 37

Propiedades. Sean A , B, C y D magnitudes. Si A D.P.B manteniendo constante C y D, A I.P. C cuando B y D son constante y A D.P. D mientras B y C son constantes entonces (cantidad de A) × (cantidad de C) =k (cantidad de B) × (cantidad de D) donde k es constante.

Ejercicios para la clase 1. Si se necesitan 8 litros de pintura para pintar dos habitaciones, ¿cu´antos litros se necesitan para pintar 5 habitaciones? 2. Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cu´antas horas tardar´an 5 trabajadores en levantar el mismo muro? 3. Si el precio de un diamante var´ıa proporcionalmente con el cuadrado de su peso. Si un diamante se divide en 2 partes tales que sus pesos son entre si como 2 es a 3, se ocasiona un p´erdida de 1176 soles. ¿Qu´e p´erdida se ocasiona si dicho diamante se divide en 2 partes cuyos pesos son entre si como 3 es a 4? 4. Dieciocho obreros se comprometen a realizar una obra en 20 d´ıas trabajando 8h/d, al cabo del quinto d´ıa se les pidi´o que entreguen la obra 3 dias antes de lo pactado, raz´on por la cual se decide trabajar 9h/d y contratar m´as obreros. ¿Cu´antos obreros se contrataron? 5. Cuatro socios re´unen 2000 soles de los cuales el primero aporta 400 soles, el segundo 3/4 de lo que puso el primero, el tercero los 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria durante 4 a˜nos. Si hay que repartir una ganacia de 200 000 soles, ¿cu´anto le corresponde al segundo? 6. Un padre encarga a su esposa repartir una cantidad de N soles entre sus tres hijos de manera que sea D.P. a sus edades que son 12, 13 y 16 a˜nos, tambi´en que sea D.P. a sus notas del colegio que son 15, 14 y 10 respectivamente e I.P. al n´umero de faltas al colegio que son 3, 7 y 5 respectivamente. Pero al momento de repartirlo, la madre considera adem´as hacerlo en forma inversamente proporcional al n´umero de orden de nacimiento de sus 3 hijos. Si la mayor diferencia de lo que reciben dos de ellos es 9500 soles, calcule el valor de N .

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Ejercicios adicionales 1. Sean A y B dos magnitudes y n ∈ N. Pruebe a) A D.P. B ↔ A I.P.

1 . B

b) A D.P. B An D.P. B n .

↔

c) A I.P. B ↔ An I.P. B n .

2. Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales. Pruebe A2 + B 2 es directamente proporcional a A2 − B 2 . 3. En un cuartel se calcul´o que los alimentos almacenados alcanzar´ıan para 65 d´ıas a raz´on de 3 raciones diarias, al termino de 20 d´ıas llegaron al cuartel 85 soldados m´as y por esta raz´on ahora a cada soldado le corresponder´a s´olo 2 raciones diarias. ¿Cu´antos soldados hab´ıan inicialmente, sabiendo que los v´ıveres duraron para 3 d´ıas menos? 4. Nicole y Nicol´as inician un negocio imponiendo capitales que est´an en la relaci´on de 43 a 56. Si luego de cierto tiempo cierran el negocio distribuy´endose las utilidades siendo la diferencia de estos 390 soles. Calcule la ganancia total. 5. Malena, Diania y Francesca juntas poseen un campo siendo sus partes proporcionales a los n´umeros 4, 5/2 y 3/2. Malena vende la mitad de su parte a Francesca y ella vende 100 m2 a Diana y as´ı las partes de Diana y Francesca son iguales. ¿Cu´antos m2 pose´ıa Malena al principio? 6. Las edades de siete hermanos son n´umeros consecutivos. Si se reparte una suma de dinero proporcionalmente a sus edades, el menor recibe la mitad del mayor y el tercero recibe 800 soles. ¿Cu´anto recibe el quinto? 7. Si el precio de un diamante es proporcional al cubo de su peso. Si un diamante de 810 soles se parti´o en dos pedazos, siendo el peso de uno de ellos una vez m´as que el peso del otro. ¿Cu´anto se perdi´o respecto a su valor inicial? 8. Se reparte x + 2 en partes proporcionales a “y” e “y + 4” resultando 5 y 7 respectivamente. Halle una de las partes al repartir 108 en n´umeros proporcionales a y/2 y y/2 + 2. Dar como respuesta la mayor de las partes. 9. Cuatro personas invirtieron en un negocio y obtuvieron una utilidad de 2400 soles. El primero recibi´o 800 soles, el segundo 600 soles, el tercero 590 soles y el cuarto que hab´ıa aportado 1640 soles recibi´o el resto de la ganacia. ¿Cu´anto fue lo que aport´o el tercer socio?

Lecturas recomendadas 1. El hombre que calculaba.

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