• Author / Uploaded
• Ricardo

• Categories
• Teoría
• Objetos matemáticos
• Física y matemáticas
• Matemáticas
• Ciencia

Citation preview

ARITMÉTICA - TEMA 3

MAGNITUDES PROPORCIONALES Se incluyó en los exámenes de admisión de SAN MARCOS 2000, 2002, 2004, 2005 y 2007.

de interés, etcétera; en ello radica su importancia teórica, y que ayuda a comprender conceptos y a relacionarlos, para así inducir muchas propiedades y sus demostraciones.

El análisis de las magnitudes es el inicio de una base sustancial en matemáticas, que relaciona diversos conceptos usados en capítulos, tales como regla de 3, reparto proporcional, regla

I. OBJETIVOS • • • • •

B. Magnitudes directamente proporcionales

Por ejemplo considérese que se tiene un grupo de obreros y que cada uno de ellos puede hacer 8 m 3 de obra por día, y analícese la relación entre las magnitudes "número de obreros" y "cantidad de obra" realizada en un día.

Entender la necesidad de definir magnitud y cantidad. Identificar las magnitudes que nos rodean. Establecer las distintas relaciones entre las magnitudes. Mostrar en la realidad las magnitudes para establecer sus propiedades. Poder resolver situaciones de la vida a partir de esta teoría.

X4 Número de obreros

II. INTRODUCCIÓN

Cantidad de obra m

El hombre, desde su aparición hasta nuestros tiempos, descubre las características y las propiedades de la materia en la naturaleza. Estas aparecen en diversos estados, por lo que se pueden cuantificar a partir de un patrón de medida (módulo), como, por ejemplo, el peso, la temperatura, el tiempo, etcétera, a las que se llamará magnit udes. En es te capítulo se estudiar án las magnitudes y las relaciones que se pueden establecer entre ellas.

Se observa:

1

4

2

6

8

32

16

48

X4

X1/2

X3

1  4  2  6  0,125 8 32 16 48

La relación de los valores correspondientes de las dos magnitudes es constante. Cuando esto se da, a las magn itudes se les llama MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. Luego: (Números de obreros) D. P. (cantidad de obra) Nota: Nota que, para llegar a esta conclusión, se ha considerado que la eficiencia, número de días, etcétera, permanecen constantes. Representación gráfica de esta relación:

III.MAGNITUD

Aquello que puede ser medido a partir de un patrón de medida, cuyo resultado se denomina "cantidad de magnitud". Ejemplo:

Se observa en la gráfica que la relación es un conjunto de puntos que permanecen en una misma línea recta.

A. Relación entre dos magnitudes Para poder relacionar dos magnitudes, es necesario aislarlas de todas las demás magnitudes o números considerar estas constantes. SAN MARCOS REGULAR 2009 - III

3

X3

X1/2

43

ARITMÉTICA

3 TEMA

MAGNITUDES PROPORCIONALES

(Números de obreros) I. P. (números de días)

 Si aumentan o disminuyen ambas magnitudes , serán directamente proporcionales. 1. Definición Dos magnitudes A y B son D. P. si la relación de sus valores correspondientes es constante, lo que se denota:

Se observa que las áreas de los rectángulos son iguales. 1. Definición Dos magnitudes de A y B son inversamente proporcionales si el producto de sus valores correspondientes es constante, lo que se denota: (valor de A) . (valor de B) = K; (K es constante).

La gráfica de dicha relación es un conjunto de puntos que permanecen en una misma línea, que pasa por el origen de las coordenadas.

2. Función de proporcionalidad Analícese 2 magnitudes A y B I. P. como función de proporcionalidad. Se sabe: (valor de A) (valor de B) = (constante). Llámese: "y" al valor de A, "x" al valor de B y "m" a la constante. Luego : ( y x = m)

2. Función de proporcionalidad Analícese dos magnitudes A y B D. P. como función de proporcionalidad. Se sabe que se cumple para A y B lo siguiente:

y

lo que representa la ecuación de una hipérbola equilátera: y = f(x)

Llámese:

"y" al valor de A, "x" al valor de B y "m" a la constante. y  m, Se tiene entonces: x lo que representa la ecuación de una recta, que pasa por el origen de coordenadas. Además: y = xm y = f(x)  f(x) = xm En donde a f(x) se le llama fun ción de proporcionalidad directa.

f(x) 

IV. PROPIEDADES

Sean las magnitudes A, B, C, D y E: A ) A D. P. B  B D. P. A A I. P. B  B I. P. A

18

36

9

45

Número de días

20

10

40

8

X1/2

X4

3

ARITMÉTICA

1

B  A I. P. B C) A D. P. B  B D. P. C  A D. P. C D) A I.P. B  B D. P. C  A I. P.. C  An I. P. Bn E) A D. P. B ; A I. P. B n  A I. P. n B F) Si

A D. A D. entonces, G) Si A D. P. B A I. P. C A D. P. D A I. P. E Entonces:

X1/5

Se observa lo siguiente: 18 x 20 = 36 x 10 = 9 x 40 = 45 x 8 = 360. El producto de sus valores correspondientes es constante. Cuando dos magnitudes cumplen esta condición, se les llama "Magnitudes inversamente proporcionales".

TEMA

B  A D. P. B

A D. P.

X5

Número de obreros

1

B) A I. P.

Por ejemplo, se considera que 18 obreros pueden hacer una obra en 20 días, y se analizan los valores correspondientes que pueden asumir las magnitudes "número de obreros" y "números de días" para realizar la obra. X1/4

m x

En donde a f(x) se le llama fun ción de proporcionalidad inversa.

C. Magnitudes inversamente proporcionales

X2

m , x

P. B cuando C es constante y P. C cuando B es constante, A D. P. (B x C). (C, (B, (B, (B,

D y E D yE C y E C yD

son son son son

constantes). constantes). constantes). constantes).

AxCxE  constante. BxD

 Si una magnitud aumenta y la otra disminuye, será "inversamente proporcional". 44

SAN MARCOS REGULAR 2009 - III

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Problema 1 La magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y, a la vez, inversamente proporcional a la magnitud C. Cuando A es 15, B es 18 y C es 8. Determina el valor de C cuando A es 10 y B es 9. Nivel fácil

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

Problema 2 El precio de un libro varía en forma proporcional al número de hojas que posee e inversamente proporcional al número de ejemplares editados. Si un libro de 480 páginas, del cual se han editado 1500 ejemplares, cuesta S/.32, ¿cuánto costará un libro de 300 hojas si se editan 500 ejemplares más? Nivel difícil

Resolución: A D.P. B   Valor de A   valor de C   Constante  Valor de B A I.P. C 

158 10 x Entonces:       x  6 18 9

A ) 10 C) 30 E) 50

B) 20 D) 40

Respuesta: C) 6.

NIVEL I

Resolución:

1. A es con B2 e I. P. a C . Cuando A = 4, B = 8, C = 16. Hallar A cuando B = 12 y C = 36. A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 8 2. La distancia que recorre un objeto al caer durante un minuto es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido desde que fue soltado, expresado en minutos. Si en el tercer minuto recorre 108 m, ¿cuánto recorrerá en el octavo minuto? A ) 709 m B) 768 m C) 687 m D) 678 m E) 876 m 3. El gasto de una persona es DP a su sueldo y el resto es ahorrado. Un señor cuyo sueldo es S/.900 ahorra S/.90. ¿Cuál será el sueldo cuando su gasto sea de S/.1260? SAN MARCOS REGULAR 2009 - III

 Nº. de    Precio   Ejemplares   Constante  Nº. Hojas Precio(I. P.)  Nº. Ejemplares Nº. Hojas

A ) 1400 D) 1600

B) 1134 E) 1300

Respuesta: C) 30. Problema 3 Una rueda "A" de 81 dientes engrana con otra rueda "B" de 45 dientes. Si la rueda "A" gira a razón de 10 RPM, ¿cuántas vueltas dará la rueda "B" en 8 minutos? Nivel intermedio

A ) 125 D) 132

Precio(D. P.)

 el valor de C es 6.

Entonces: 321500 x  2000   x  30 240 300

Si de las 2 pizzas que compran sus pesos están en la relación de 2 a 3 y sus radios están en relación de 4 a 3, ¿en qué relación se encuentran los grosores de dichas pizzas? A) 1 : 1 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D) 3 : 8 E) 4 : 3 6. El siguiente cuadro muestra los valores que asumen las magnitudes A y B, que guardan cierta relación de proporcionalidad. Calcula: m + n.

A B

NIVEL II 5. Verónica y Mónica van a comer pizzas y en pleno banquete Verónica se dio cuenta de que el peso de las pizzas es D. P. al cuadrado de su radio (cuando el grosor es constante), pero Mónica afirmó que el peso es D. P. al grosor (cuando el radio es constante). 45

C) 165

Resolución: (Nº. dientes) I. P. (Nº. vueltas)  (Nº. dientes)(Nº. vueltas) = Constante Entonces: (81)(10)=(45)(x)  x = 18  La rueda "B" da 18 vueltas por minuto, en consecuencia, dará 8(18) = 144 vueltas en 8 minutos. Respuesta: E) 144.

C) 1500

4. A es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a la raíz cúbica de C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A? A ) Se multiplica por 12. B) Disminuye en 1/11 de su valor. C) Aumenta en 1/11 de su valor. D) Se duplica. E) Se triplica.

B) 185 E) 144

18 225

A ) 948 D) 956 7.

m 25 B) 950 E) 954

9 n

45 36 C) 952

Para valores de B  8, las magnitudes A y B son D. P.; para valores de 8  B  15, las magnitudes A y B son I. P.; y para valores de B  15 . A I. P.. B2, si cuando B = 4 y A = 15, calcula el valor de A cuando B = 30. ARITMÉTICA

3 TEMA

MAGNITUDES PROPORCIONALES

A) 4 D) 7

B) 8 E) 5

C) 2

8. Una cantidad es repartida en forma proporcional a 3 números y se obtiene 96, 32 y 24. ¿Cuál habría sido la mayor de las partes si el reparto se hubiera hecho en forma inversamente proporcional a los mismos números? A ) 76 B) 42 C) 48 D) 72 E) 60 9. Se reparten 100 caramelos en forma proporcional a m 2, 2m y 1. Si m es un entero mayor que 2, hallar este valor si la mayor parte obtenida es 64. A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 10. Se reparte N invers amente proporcional a 2, 6, 12, 20, ..., 600. Además, la diferencia entre la menor y la mayor de las partes es 2990. Determina N. A ) 5000 B) 5200 C) 5250 D) 5720 E) 5760 11. Jaime y José forman una compañía. Cada uno aparta S/.500 y S/.300,

respectivamente. Luego de 3 meses, Jaime decide aumentar su capital en S/.300, y, un mes más tarde, José aumenta también su capital en S/.400. Si al cabo de 1 año se decide liquidar la empresa con S/.1550 de utilidad total, calcula cuánto ganó Jaime. A ) 830 B) 840 C) 850 D) 860 E) 870 12. Dos socios forman una empresa; el primero de ellos al cabo de 5 meses retiró S/.1000; el segundo al cabo de 6 mes es ret ir ó S / .2 0 0 0 y de s p u é s de 4 meses más retiró S/.1000 más. Si el negocio duró 1 año y quebró c o n u n a p é r d i d a d e S/.222, calcular cuánto perdió cada socio si empezaron aportando S/.4000 y S/.7000. Da como respuesta la diferencia. A ) S/.42 B) S/.45 C) S/.52 D) S/.58 E) S/.60

tienen 40, 30 y 60 dientes, respectivamente, y, además, al cabo de 1 hora han dado 900 vueltas en total, ¿cuántas vueltas ha dado B en 2 horas y 30 minutos? A ) 700

B) 750

D) 900

E) 1000

C) 800

14. De la gráfica, calcula el valor de "a".

A) 2

B) 2,5

D) 3,5

E) 4

C) 3

15. Repartir 15 555 en tres partes, que sean D. P a 5n, 5n+1 y 5n+3 e

NIVEL III

I. P. a 2 n–2, 2n+3 y 2n. Da como

13. Se tienen 3 ruedas (A, B y C) que se encuentran engranadas: la rueda A engrana con B, y B engrana con C. Si estas ruedas

respuesta la parte mayor. A ) 1 875

B) 7 500

C) 13 200

D) 14 800

E) 15 000

1. En el caso de 2 magnitudes D. P. se nota que, al

6. Si el cociente entre los valores de 2 magnitudes es

aumentar los valores de una de ellas, la otra

constante, entonces guardan una relación ________.

_____________________. 7.

Si el producto entre los valores de 2 magnitudes es

2. La gráfica de 2 magnitudes D. P es _______________

constante, entonces guardan una relación ________.

3. La gráfica de 2 magnitudes I. P. es ______________

8. La gráfica de 2 magnitudes I. P. es ______________.

4. Los elementos en una regla de ___________ son

9. Si A es D. P. con B  A I. P. ___________________.

________________.

10. Si A D. P. con B (C constante) y A D. P. con C (B constante),

5. La ganancia es ________________ con respecto al

entonces _________________________________.

capital.

3 TEMA

ARITMÉTICA

46

SAN MARCOS REGULAR 2009 - III