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• Jim Manriquez Garrido

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Definici´ on de lugar geom´ etrico Ecuaci´ on de la circunferencia Ecaci´ on de la Elipse Trabajo Colaborativo

´ Algebra y Geometr´ıa MAT-060 Clase 11

Departamento de Matem´atica Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa

Coordinaci´ on 1◦ sem. 2019

´ Algebra y Geometr´ıa

MAT-060

´ Algebra y Geometr´ıa

MAT-060

Definici´ on de lugar geom´ etrico Ecuaci´ on de la circunferencia Ecaci´ on de la Elipse Trabajo Colaborativo

Tabla de Contenidos

1

Definici´on de lugar geom´etrico

2

Ecuaci´on de la circunferencia

3

Ecaci´on de la Elipse

4

Trabajo Colaborativo

Coordinaci´ on 1◦ sem. 2019

Definici´ on de lugar geom´ etrico Ecuaci´ on de la circunferencia Ecaci´ on de la Elipse Trabajo Colaborativo

Definici´on Un lugar geom´etrico (L.G.) es el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen una condici´on dada en t´erminos geom´etricos. Generalmente, aunque no siempre, ´este queda descrito por una ecuaci´ on que describe una curva

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Definici´ on de lugar geom´ etrico Ecuaci´ on de la circunferencia Ecaci´ on de la Elipse Trabajo Colaborativo

La circunferencia Definici´on La circunferencia es el lugar geom´etrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto, llamado centro. Usualmente, las coordenadas del centro C se denotan por C(h, k). La distancia com´ un al centro se llama radio, y se denota por r. Para encontrar la ecuaci´on de la circunferencia de centro C(h, k) y radio r, sea P (x, y) un punto gen´erico en la circunferencia. Luego:

p

d(P, C)

= r

(x − h)2 + (y − k)2

= r

Luego, la ecuaci´on de la circunferencia de centro (h, k) y radio r es (x − h)2 + (y − k)2 = r2 Coordinaci´ on 1◦ sem. 2019

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Ejemplos 1

Hallar la ecuaci´on de la circunferencia cuyo centro es el punto (−1, 2) y pasa por el punto (2, 6).

2

Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 1), (1, −1) y (2, 0).

3

Graficar en un mismo plano, las siguientes circunferencias, considerando a > 0: (x − a)2 + y 2

=

a2

x2 + (y − a)2 (x + a)2 + y 2

= =

a2 a2

x2 + (y + a)2

=

a2

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La elipse Definici´on Sean F1 y F2 puntos del plano R2 . La elipse es el lugar geom´etrico de todos los puntos P (x, y) ∈ R2 de modo que la suma de las distancias de P a F1 y P a F2 es constante. Los puntos F1 y F2 reciben el nombre de focos. Para encontrar la ecuaci´on de una elipse, procedemos del siguiente modo: sean a, c ∈ R+ , con a > c, y supongamos que F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0), y que la constante es 2a. Sea P = (x, y) un punto de la elipse.

Coordinaci´ on 1◦ sem. 2019 Luego, se tendr´a que:

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d(F1 , P ) + d(F2 , P ) = 2a d((−c, 0), (x, y)) + d((c, 0), (x, y)) p p (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 p (x − c)2 + y 2

=

2a

=

2a

=

2a −

(x − c)2 + y 2 p a (x + c)2 + y 2

=

p (x + c)2 + y 2 p 4a2 − 4a (x + c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2

=

a2 + cx

a2 (x + c)2 + a2 y 2

=

(a2 + cx)2

x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2

=

a4 − a2 c2

x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2

=

a2 (a2 − c2 )

Notemos que a2 − c2 > 0. Sea b2 = a2 − c2 , entonces la ecuaci´on de la elipse es x2 b2 + a2 y 2 = a2 b2 o equivalentemente x2 y2 + =1 a2 b2 Coordinaci´ on 1◦ sem. 2019

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Luego, la ecuaci´on de la elipse con Centro Focos Semieje mayor Semieje menor V´ertices en el semieje mayor V´ertices en el semieje menor

(0, 0) (−c, 0) y (c, 0) a b (−a, 0) y (a, 0) (0, −b) y (0, b)

viene dada por x2 y2 + =1 a2 b2

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Para que el centro de la elipse est´e en el punto (h, k) basta hacer el cambio de coordenadas x → x − h e y → y − k. Entonces se tendr´a que la ecuaci´on de la elipse con: Centro Focos Semieje mayor Semieje menor V´ertices en el semieje mayor V´ertices en el semieje menor

(h, k) (−c + h, k) y (c + h, k) a b (−a + h, k) y (a + h, k) (h, −b + k) y (h, b + k)

viene dada por (x − h)2 (y − k)2 + =1 a2 b2

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En caso que los focos est´e sobre el eje Y tenemos que la ecuaci´on de la elipse con Centro Focos Semieje mayor Semieje menor V´ertices en el semieje mayor V´ertices en el semieje menor

(0, 0) (0, −c) y (0, c) a b (0, −a) y (0, a) (−b, 0) y (b, 0)

viene dada por x2 y2 + =1 b2 a2

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Definici´ on de lugar geom´ etrico Ecuaci´ on de la circunferencia Ecaci´ on de la Elipse Trabajo Colaborativo

Nuevamente para que el centro de la elipse est´e en el punto (h, k) basta hacer el cambio de coordenadas x → x − h e y → y − k. Entonces se tendr´a que la ecuaci´on de la elipse con: Centro Focos Semieje mayor Semieje menor V´ertices en el semieje mayor V´ertices en el semieje menor

(h, k) (h, −c + k) y (h, c + k) a b (h, −a + k) y (h, a + k) (−b + h, k) y (b + h, k)

viene dada por (y − k)2 (x − h)2 + =1 b2 a2

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Ejemplos 1

Encuentre la ecuaci´on en forma sim´etrica de la elipse 9x2 + 4y 2 − 90x − 24y + 225 = 0

2

Determine la ecuaci´on de la elipse que pasa por los puntos (−6, 4), (−8, 1), (2, −4) y (8, −3).

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Trabajo Colaborativo 1

Encuentre la intersecci´on de la circunferencia cuya ecuaci´on es: (x − 6)2 + (y − 3)2 = 20

2

con la recta de ecuaci´on 2x − y + 1 = 0. Encuentre la ecuaci´on de la(s) circunferencia(s) tangente(s) a la recta L : 4x + 3y − 70 = 0 en el punto (10, 10) y de radio es 10.

3

Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x + y = 0 y es tangente a las rectas de ecuaciones: 4x − 3y + 1 = 0 , 4x − 3y − 30 = 0.

4

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuaci´on: x2 y2 + = 1, 30 24 paralelas a la recta de ecuaci´on 4x − 2y + 23 = 0 y calcular la distancia entre ellas. Coordinaci´ on 1◦ sem. 2019

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