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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Unidad 9 INTEGRALES CURVILINEAS, DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN. FORMULAS INTEGRALES. Definición de integral curvilínea . Camino de integración. Interpretación gráfica. Extensión a funciones de tres variables. Circulación. Campos conservativos. Integrales de superficie y de volumen. Lema de Green. Teorema de la divergencia. Formula de Gauss-Ostrogradsky. Formula de Green. Teorema del rotor. Teorema de Stokes. Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos conozcan: • La definición e interpretación geométrica y física de la Integral de Línea y de Superficie. • Algunas de las Fórmulas Integrales más importantes del Cálculo Vectorial.

𝑳 = lim 𝑺(𝒇, 𝒂, 𝒃) ,

Definición. Si existe

a este número

𝑃 →0

 lo llamamos integral definida de f en [a,b] b

 lo indicamos como b

O sea

a

a

f ( x )  dx n

f ( x )  dx

lim

=

P 0

 f ( c i )  x i

i 1

Integral Función integrando

Dominio de integración

Función escalar

I- intervalo

Función vectorial

II- región de R² (o R³)

Campo escalar

III- curva C de R² (o R³)

Campo vectorial

II. Múltiples Integrales

IV-superficie

r ( t )  ( x( t ); y( t ))

III. de Líneas o Curvilíneas, C IV. de Superficie

f:R²→R , definido y acotado sobre la curva C: integral de línea con respecto a la longitud de arco



f .ds (ds, diferencial de arco)

C

F : R²→R², definido y acotado sobre la curva C: integral de línea o integral curvilínea

 C

F .d r

(• producto escalar )

LA INTEGRAL DE LÍNEA Se definirá una integral que es similar a una integral simple excepto que, en lugar de integrar en un intervalo [a, b], se integra sobre una curva C y el integrando puede ser un campo escalar o vectorial. Estas integrales se denominan integrales de línea, aunque “integrales de curva o curvilíneas” es un mejor término. Fueron obtenidas a principios del siglo XIX para resolver problemas donde intervienen corrientes de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismos.

Sea f:AR2R un campo escalar, la integral sobre una curva C (llamada integral de línea, de curvilínea o de trayectoria), donde la curva C es parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j, con t[a,b], se define como:



C

si este limite existe.

n

f ( x, y) ds  lim  f ( xi* , yi* )  si n 

i 1

................

(1)

Teniendo en cuenta que si f es continua, entonces el limite en la definición anterior siempre existe y la siguiente formula puede ser usado para evaluar la integral de línea



C

f ( x, y ) ds  

b

a

2

2

 dx   dy  f ( x(t ), y (t ))      dt  dt   dt 

.............. ( 2)

Sea f:AR3R un campo escalar, la integral sobre una curva C (llamada integral de línea, de curvilínea o de trayectoria), donde la curva C es parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, con t[a,b], se define como:



C

n

f ( x, y, z ) ds  lim  f ( xi , yi , zi )  si

si este limite existe.

n 

i 1

................

(3)

Teniendo en cuenta que si f es continua, entonces el limite en la definición anterior siempre existe y la siguiente formula puede ser usado para evaluar la integral de línea 

C

f ( x, y, z ) ds  

b

a

2

2

2

 dx   dy   dz  f ( x(t ), y (t ), z (t ))         dt  dt   dt   dt  .............. (4)

Supongamos ahora que C es una curva suave por partes, es decir, C es una unión de un número finito de curvas suaves como se ilustra en la figura C1, C2, …, Cn. Entonces se define la integral de f a lo largo de C como una suma de integrales de f a lo largo de cada una de las curvas suaves de C



C

f ( x, y ) ds   f ( x, y ) ds   f ( x, y ) ds  C1

C2

  f ( x, y ) ds Cn

Forma Diferencial de la Integral de Línea. También llamadas la integral de línea de f con respecto a x e y. Estas integrales frecuentemente se describen en la forma siguiente



C



C



C

b

f ( x, y ) dx   f ( x(t ), y (t )) x '(t )dt a

b

f ( x, y ) dy   f ( x(t ), y (t )) y '(t )dt a

P( x, y) dx   Q( x, y) d y   P( x, y) dx  Q( x, y) d y C

C

Integral de línea de un campo vectorial Suponga que una región en el plano o en el espacio está ocupada por un fluido en movimiento, como aire o agua. Imagine que ese fluido está formado por un número muy grande de partículas y que en cualquier instante las partículas llevan una velocidad. Si tomamos una foto de las velocidades de algunas partículas en diferentes posiciones en un mismo instante, es de esperar que estas velocidades varíen de una posición a otra. Podemos pensar que el vector de velocidad esta pegado a cada uno de los puntos del fluido. Tal flujo es un ejemplo de un campo vectorial. En la figura se muestra un campo vectorial de velocidad, obtenido al asociar un vector de velocidad a cada punto del aire que fluye a través de una hélice dentro de un túnel de viento

Otro ejemplo de un campo vectorial de vectores velocidad es el estudio del desplazamiento del agua que se mueve en un canal como se muestra en la figura.

En general, un campo vectorial en un dominio en el plano o en el espacio es una función que asocia con un vector a cada punto del dominio. Un campo de vectores tridimensional podría tener una formula como sigue : F( x, y, z )  M ( x, y, z )i  N ( x, y, z ) j+P ( x, y, z )k

El campo es continuo si las funciones componentes M, N, P son continuas, es diferenciable si M,N y P son diferenciables. Una campo de vectores bidimensionales pueden tener una formula como F ( x , y )  M ( x, y ) i  N ( x, y ) j

Integral de línea de un campo vectorial Sea F un campo vectorial continuo sobre una curva suave C, descrita por una función vectorial r(t), a≤t≤b. Entonces la integral de línea de F a lo largo de C es



C

F.dr   F(r(t)) r '(t)dt b

a

Suponga que el campo vectorial F=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, representa una fuerza a través de una región en el espacio (puede ser la fuerza de gravedad o una fuerza electromagnética), y también que la curva este parametrizada como r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k

,

a  t b

Entonces la integral de F.r’, es el trabajo realizado por F en la dirección del vector unitario T tangente a la curva desde a hasta b r '(t ) T W  F  dr  F(r(t))  r '(t)dt b, es decir con r '(t ) C a

Formas distintas para escribir el trabajo W=  F  dr C

=  F  T ds C



t b

t a

F  r '(t )dt

b dx dy dz   M N P  dt a dt dt dt  

  Mdx  Ndy  Pdz C

Nota. Esta formas de describir al trabajo mediante la integral de línea también se pueden utilizar para campos de 2 variables, es decir F=N(x,y)i+M(x,y)j.

Si r1(t) parametriza C en una dirección con vector tangente T y r2(t) parametriza C en sentido contrario, con vector tangente -T, entonces denotamos la segunda curva como -C y admitimos como válido que:



C

F  d r   F  d r C

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea. Sea C una curva suave definida por la función vectorial r:[a,b]→R2 y f:DR2→R diferenciable en C, entonces

   f .dr  f (r(b))  f (r(a)) C 2b  3  4   1 b   b  f .dr   f (r(t )).r ´(t ).dt   [f (r(t ))]´ . dt  f (r(t ))|a  f (r(b))  f (r(a))

C

a

a

1- Por definición de integral de línea     2- Por regla de la cadena (f o r )´(t )  [f (r(t ))]´  f (r(t )).r ´(t ) 3- Por definición de primitiva 4- Por regla de Barrow

1- Este teorema es una herramienta para evaluar una integral de línea de un campo vectorial conservativo (campo vectorial gradiente de la función potencial f) tan sólo conociendo el valor de f en los puntos extremos de C (del punto inicial Pi y del punto final Pf). Es decir que la integral de línea de un campo de gradiente es independiente de la trayectoria. 2- Al mismo tiempo nos está diciendo que la integral de línea de f es el cambio total de f

   f .dr  f ( Pf )  f ( Pi )

C

   f .dr  0

3- Corolario del teorema: C Es decir que la integral de línea de un campo de gradiente sobre una curva cerrada da 0 (pues Pi = Pf)

Criterio para decidir si un campo vectorial es conservativo

Ec(X) –Ec(A)= -U(X)+U(A)

La integral de superficie es el “equivalente” en dos dimensiones de la integral de línea siendo la región de integración una superficie en lugar de una curva. Representación de una superficie  En forma implícita: una superficie es un conjunto de puntos (x,y,z) tal que F(x,y,z)=0, en el cual “no se puede” despejar ninguna variable.  En forma explícita: Una superficie esta dada en forma explicita, si a partir de la ecuación F(x,y,z)=0, se despeja una de las variables en función de las otras dos. Por ejemplo z=f(x,y).  En forma paramétrica: Representación vectorial, expresada por medio de tres ecuaciones que expresan x, y, z en función de dos parámetros “u” y “v”, x=X(u,v), y=Y(u,v), z=Z(u,v).

La presencia de los dos parámetros u v en la relación anterior permite transmitir dos grados de libertad al punto (x,y,z), como sugiere la figura

Integrales de Superficie de Funciones Escalares Es una extensión del concepto de integral de línea en tres dimensiones. Se inicia el estudio de las integrales de superficie al considerar una región cerrada en el plano xy. Sea S una superficie que se encuentra sobre D y que tiene la ecuación z = f(x,y), donde f y sus primeras derivadas parciales son continuas en D. Entonces, si σ es la medida del área de la superficie S, se tiene:

Integrales de Superficie de Funciones Vectoriales PRODUCTO VECTORIAL FUNDAMENTAL. Sea superficie representada por la ecuación vectorial:

la

Donde (u,v)  T. Si X, Y, Z son derivables en T:

Al producto se le denomina producto vectorial fundamental de la representación r.

Representación paramétrica de superficies elementales

1. Superficies con representación explícita z=f(x,y). la ecuación vectorial es r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k sea la T la proyección de la superficie z=f(x,y) sobre el plano xy. como

2. Superficie con representación implícita. Supongamos que una superficie S esta dada implícitamente por la ecuación F(x,y,z)=0. Si S puede proyectarse en forma “uno a uno” sobre el plano xy, la ecuación define F(x,y,z)=0 define implícitamente entonces z=f(x,y)

Entonces el producto vectorial fundamental de la superficie cuando está dada en forma implícita es:

3.Representación paramétrica de un plano. La ecuación paramétrica o vectorial de un plano es:

de la cual se obtiene el vector normal del plano, que es:

La ecuación cartesiana del plano es:

Sea F un campo vectorial definido en S, imagen de una superficie parametrizada φ. La integral de superficie de F sobre φ, denotada por

Se define por

donde Tu y Tv se definen como

Lema de Green. Sea C una Curva de Jordan suave a pedazos y positivamente orientada y sea R la Región de Jordan que ella encierra. Sean P y Q campos escalares derivables con continuidad en R, entonces

 Q P  C Pdx  Qdy  R  x  y dxdy

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. Si la función vectorial A(x;y;z) y ∇A son continuas sobre la superficie cerrada regular S y en su interior V, y si n es el vector unitario normal a S en cada punto y dirigido hacia el exterior de S entonces ∫∫S A.n ds = ∫∫∫V ∇.A.dv

TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTACIONAL) Sea S una superficie de R3, cerrada por una curva simple C, cuyas proyecciones sobre los planos coordenados son regiones cerradas por curvas simples y supongamos además que dicha superficie S puede ser representada por una función diferenciable de cualquiera de las siguientes formas z=f(x,y), y=g(x,z), o x=h(y,z). Sea además F=F1i+F2j+F3k una función vectorial que posee derivadas parciales de primer orden continuas en una región del espacio que contiene a S. La integral curvilínea de la componente del vector F, en dirección al vector tangente a la curva C, sobre la curva cerrada, en sentido directo, es igual a la integral de superficie de la componente del rotacional de F en dirección normal a S. Ԧ 𝑟Ԧ = ඵ(𝑟𝑜𝑡𝐹)𝑛𝑑𝑆 Ԧ න 𝐹𝑑 𝐶

𝑆