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• Edwin Brandon Castro Paco

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271

INTERVALOS DE CONFIANZA No se conoce

σ² Se conoce distribución "Z"

distribución "t"

σ σ 𝑥ҧ − 𝑍∝, ∗ ≤ 𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑍∝, ∗ 𝑛 𝑛 2 2 𝑥ҧ − 𝑡∝,𝑛−1 ∗ 2

𝑆 𝑆 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑡∝,𝑛−1 ∗ 𝑛 𝑛 2

MUY IMPORTANTE: σ² Varianza POBLACIONAL μ Media POBLACIONAL S² X̅

Varianza MUESTRAL Media MUESTRAL

α/2

α/2

-Z α/2

0

Z α/2

α/2

α/2

-t α/2,n-1

t α/2,n-1

1. Las medidas de los diámetros de los rodamientos tiene una desviación estándar de 0,042 cm. Se selecciona una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamientos producidas por una máquina en una semana, los diámetros dieron una media de 0,824 cm. Hallar un intervalo de confianza del 95 % y 99 % para el diámetro de todos los rodamientos.

Datos: Antes de hablarme de la muestra me da la desviación estándar, este dato es POBLACIONAL σ = 0,042 cm Luego me habla de una muestra, es decir, los datos que siguen son MUÉSTRALES n= 200 X̅ = 0,824 cm Intervalo de confianza del 95% 1 - α = 95% = 0,95 despejamos α: α= 1 - 0,95 Intervalo de confianza del 99% 1 - α = 99% = 0,99 despejamos α: α= 1 - 0,99

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

=

0,05

=

0,01

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271 PARA EL PRIMERO Entramos al flujograma, se conoce la varianza POBLACIONAL. Se usara la distribución "Z" α/2

α/2

2

Z α/2

=

α/2

0,025

=

-Z α/2

α/2

0,05

=

0,025

=

0,025

Z α/2

0

?

=

0,025

=

Z α/2

0

En la tabla, en la parte de probabilidades buscare 0,025, para encontrar el valor de Z.

Z α/2

𝑥ҧ − 𝑍∝, ∗ 2

0,82

-

=

1,96

𝜎 𝜎 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑍∝, ∗ 𝑛 𝑛 2 1,96

0,042 14,14214

≤

μ

≤

0,8182

≤

μ

≤

(0,8182

:

0,8298)

0,82

+

1,96

0,042 14,14214

0,8298

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271 PARA EL SEGUNDO Entramos al flujograma, se conoce la varianza POBLACIONAL. Se usara la distribución "Z" α/2

α/2

2

Z α/2

=

α/2

0,005

=

-Z α/2

α/2

0,01

=

0,005

=

0,005

Z α/2

0

?

=

0,005

=

-Z α/2

0

En la tabla, en la parte de probabilidades buscare 0,025, para encontrar el valor de Z.

Z α/2

𝑥ҧ − 𝑍∝, ∗ 2

0,82

-

=

2,57

𝜎 𝜎 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑍∝, ∗ 𝑛 𝑛 2 2,57

0,042 14,14214

≤

μ

≤

0,8164

≤

μ

≤

(0,8164

:

0,8316)

0,82

+

2,57

0,042 14,14214

0,8316

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271 2. Se administra un test estándar a una numerosa clase de estudiantes. La puntuación media de una muestra de 100 estudiantes es de 75 puntos. Supóngase que la varianza admitida de las puntuaciones para este test sea de 2.500 puntos. Hallar: Intervalo de confianza del 98 % para . a. b. Límite superior del intervalo de confianza del 95 % para . c. Límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para . Datos: Antes de hablarme de la muestra me da la desviación estándar, este dato es POBLACIONAL σ² = σ= 2500 pts 50 pts Luego me habla de una muestra, es decir, los datos que siguen son MUÉSTRALES n= 100 X̅ = 75 pts a. Intervalo de confianza del 98% 1 - α = 98% = 0,98

despejamos α:

α=

1

-

Entramos al flujograma, se conoce la varianza POBLACIONAL. Se usara la distribución "Z" α/2

α/2

=

0,02 2

α/2

0,010

=

=

-Z α/2

0,01

=

0,010

Z α/2

0

Z α/2 = ? En la tabla, en la parte de probabilidades buscare 0,025, para encontrar el valor de Z.

Z α/2

𝑥ҧ − 𝑍∝, ∗ 2

75

-

=

2,33

𝜎 𝜎 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑍∝, ∗ 𝑛 𝑛 2 2,33

50 10

≤

μ

≤

63,35

≤

μ

≤

75

+

2,33

86,65

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

50 10

0,98

=

0,02

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271

(63,35

86,65)

:

b. Límite superior del intervalo de confianza del 95 % para . Intervalo de confianza del 95% 1 - α = 95% = 0,95 despejamos α: α= 1 Entramos al flujograma, se conoce la varianza POBLACIONAL. Se usara la distribución "Z" α/2

α/2

=

α/2

=

2

=

0,025

α/2

0,025

-Z α/2

Z α/2

0,05

=

=

0,025

Z α/2

0

?

=

0,025

-Z α/2

0

En la tabla, en la parte de probabilidades buscare 0,05, para encontrar el valor de Z.

Z α/2

=

1,96

𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑍∝/2, ∗ μ

≤

μ

≤

75

+

𝜎 𝑛 1,96

50 10

84,80

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

-

0,95

=

0,05

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271

b. Límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para . Intervalo de confianza del 90% 1 - α = 90% = 0,90 despejamos α: α= 1 Entramos al flujograma, se conoce la varianza POBLACIONAL. Se usara la distribución "Z" α/2

α/2

=

0,10

=

α/2

=

0,05

0,050

α/2

-Z α/2

Z α/2

=

2

=

0,050

Z α/2

0

?

=

0,050

-Z α/2

0

En la tabla, en la parte de probabilidades buscare 0,05, para encontrar el valor de Z.

Z α/2

=

1,64

𝑥ҧ − 𝑍∝/2, ∗ 75

-

𝜎 ≤𝜇 𝑛 50 10

1,64

66,80

≤

≤

μ

μ

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

-

0,90

=

0,10

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271 3. Se van a realizar durante un mes pruebas de mercado de un nuevo instrumento, en determinadas tiendas de una ciudad. Los resultados para una muestra de 16 tiendas señalaron ventas promedio de $ 12.000 con una desviación estándar de $ 180. Estime un intervalo de confianza del 99 % de las ventas promedio reales de este nuevo instrumento. Suponga distribución normal Datos: n= 16 X̅ = 12000,0 $ S= 180 $ Intervalo de confianza del 99% 1 - α = 99% = 0,99 despejamos α: α= 1 - 0,99 = 0,01 Entramos al flujograma, no se conoce la varianza POBLACIONAL, n es menor a 30. Se usara la distribución "t" α/2

α/2

=

=

2

0,005

-t α/2,n-1

t α/2,n-1

0,01

=

=

0,005

α/2

=

=

0,005

0,005

t α/2,n-1

?

α/2

t α/2,n-1

0

Para encontrar el valor de t, necesitamos utilizar la tabla para la "t" de student. Y para eso necesitamos conocer los grados de libertad y el valor de α ʋ= n-1 α/2

=

=

16

-

1

=

15

0,005

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271

t α/2,n-1

𝑥ҧ − 𝑡∝,𝑛−1 ∗ 2

12000

-

t 0.005,15

=

2,947

𝑆 𝑆 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑡∝,𝑛−1 ∗ 𝑛 𝑛 2 180 4

≤

μ

≤

11867,385

≤

μ

≤

2,947

(11867,39 4

=

12000

+

2,947

180 4

12132,615

12132,62)

:

Suponga que se hacen 20 mediciones sobre la resistencia de cierto tipo de alambre. La media de la muestra es 10,48 ohms y la desviación estándar 1,36 ohms. Obtener un intervalo de confianza de un 99 % para la resistencia promedio real si ellas se distribuyen normalmente. Datos: n= 20 X̅ = 10,5 omhs S= 1,36 omhs Intervalo de confianza del 99% 1 - α = 99% = 0,99 despejamos α: α= 1 - 0,99 = 0,01

Entramos al flujograma, no se conoce la varianza POBLACIONAL, n es menor a 30. Se usara la distribución "t" α/2

α/2

=

0,01 2

0,005

-t α/2,n-1

t α/2,n-1

=

=

=

0,005

α/2

=

=

0,005

0,005

t α/2,n-1

?

α/2

0

t α/2,n-1

Para encontrar el valor de t, necesitamos utilizar la tabla para la "t" de student. Y para eso necesitamos conocer los grados de libertad y el valor de α

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CIV 271 ʋ= n-1 α/2

=

=

2

10

-

2,861

-

1

=

19

0,005

t α/2,n-1

𝑥ҧ − 𝑡∝,𝑛−1 ∗

20

t 0.005,19

=

=

2,861

𝑆 𝑆 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥ҧ + 𝑡∝,𝑛−1 ∗ 𝑛 𝑛 2 1,36 4,472136 9,610 (9,61

≤

μ

≤

≤

μ

≤

:

11,35)

10,48

+

11,350

ARRATIA ALTAMIRANO PAMELA DEL ROSARIO

2,861

1,36 4,472136