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• atamari pucucha

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PROBLEMA: 1 Sea el conjunto

A= { a, b, c, d }. Si

P(A) denota

el conjunto potencia de A; los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

I) II) III) IV) V)

A ∈ P(A) ϕ ⊂ P(A) ϕ ∈ P(A) A ⊂ P(A) P(A) ⊂ P(A)

Son: a) VFVFV d) FVVFV

b) VVFFV e) VFVVV

c) VVVFV

PROBLEMA: 2 Determinar el número de elementos de A ∆ B sabiendo que tiene 128 A ∩ B subconjuntos, A - B tiene 63 subconjuntos propios y A × B tiene 130 elementos. a) 9 b) 6 c) 10 d) 8 e) 5 PROBLEMA: 3 Simplificar:

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[ ( Ac A ∪B

a)

A

c

∪ B ) ∩ ( Bc ∪ A) ] ∪ b)

A∩B

c)

c

d)

Bc

e)

ϕ

PROBLEMA: 4 Si el conjunto “A” tiene 128 subconjuntos y “B” tiene 15 subconjuntos propios, hallar el valor de:

5 × n(A) – 3 × n(B) a) 35 d) 21

b) 12 e) 23

c) 20

PROBLEMA: 5 Dadas las siguientes proposiciones: I) Si: A ⊂ B ⟹ A ∪ B II)

Si:

III)

Si:

IV)

=B B ⊂ A ⟹ A ∩ B =B

B ⊂ A ⟹ A ∆B = A - B

Si: “A” y “B” son conjuntos disjuntos

A∆ B = A∪ B

Las verdaderas son: a) Sólo II y III b) Sólo I y II d) Sólo II e) Todas PROBLEMA: 6 Decir. ¿Cuántas verdaderas?

de

las

A = { 3, 7, {5, 7 } , {8 } ,  ϕ ∈ A  { {5, 7 } , { 8 } } ∈ A  { {5, 7 } } ⊂ A  { {5, 7 } , { 8 } } ⊂ A  { 1, 3, 8 } ⊂ A a) 4 d) 2

SOBRE LA FIDELIDAD

b) 5 e) 3

c) I, II y III

proposiciones

son

{ 1, 3, 8 } , 8, ϕ }  { 5, 7 } ∈ A  {ϕ } ∈ A ϕ ⊂A  { 3, 7 } ⊂ A A ∈ A 

c) 6

[ Ac

PROBLEMA: 7 Dado el conjunto cuáles de falsas?

I) II) III) IV)

las

     

proposiciones

son

ϕ ∈ P(A) ϕ ⊂A El cardinal del conjunto A es 6.

{ ϕ , A } ⊂ P(A)

a) Sólo III d) Todas PROBLEMA: 8 Si:

A= { a, b, c, d, e, a } siguientes

, ¿Cuál o

b) II y IV e) Sólo IV

c) I y II

A = { ϕ , { ϕ } , 1, 5, { 1 } } A⊂ A ϕ ∈A  ϕ ⊂ P(A) {ϕ } ⊂ A { ϕ } ∈ P(A) {ϕ } ∈ A  { {1,5 }} ⊂ P( A) ϕ ⊂A  { 1, { 1 } } ∈ P(A) ϕ ∈ P(A)  { 1,5 } ⊂ P(A) ϕ ⊂ P(A)

¿Cuántas proposiciones son falsas? a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 PROBLEMA: 9 ¿Qué representa el gráfico?

a) b) c) d) e)

(A  B)  C (C  B) - (B - A) (B  C) - (A - B) (A  C) - (A  B) (A  C) - (B - A)

PROBLEMA: 10 En una urbanización se realizó una encuesta a 140 familias sobre el uso de algunos de los siguientes artefactos: TV, radio y VHS. Se obtuvo la siguiente información: 85 familias tienen por lo menos 2 artefactos y 10 familias no disponen de ningún artefacto. ¿Cuántas familias tienen exactamente un solo artefacto? a) 43 b) 29 c) 49 d) 45 e) 50

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

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PROBLEMA: 11 A una fiesta de promoción asisten 30 alumnos, de los cuales 12 son varones y de éstos 5 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando? a) 10 b) 11 c) 13 d) 12 e) 9 PROBLEMA: 12 Un conjunto posee 255 subconjuntos propios ¿Cuántos subconjuntos ternarios tendrá dicho conjunto? a) 50 b) 55 c) 56 d) 57 e) 60 PROBLEMA: 13 Si “A” es un conjunto de 8n elementos, “B” un conjunto de 5n elementos, y tiene (2n - 1), elementos comunes. Si n(A - B) - n(B - A)=12. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A ∩ B? a) 15 b) 31 c) 63 d) 127 e) 511 PROBLEMA: 14 Dados los conjuntos “A” y “B”, entonces a) b)

A ∆B

A ⊂ B

es:

ϕ A-B B -A

c) d) A e) B

PROBLEMA: 15 Sean 2 conjuntos comparables, cuyos cardinales difieren en 3. Además la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencia es 112. Hallar el número de elementos de uno de los conjuntos. a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5 PROBLEMA: 16 Si:

U = { Naturales }

A = { 2x /x ∈ N ∧ x < 6 } B =

{x2 + 4 / x ∈ A } 315018

8

2y + 1 C = /y ∈ B 3

{

}

¿Cuántos elementos tiene C? a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 3

PROBLEMA: 17 ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) Si: A ∩ B = ϕ,

A Δ B = A ∪ B. Si: B ⊂ A, A Δ B = A – B Si: A ⊂ B, A Δ B = A – B

entonces II)

III)

IV)

Si:

entonces

entonces

A∩B ≠ ϕ, entonces

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(A ∩ Bc ) ∪ ( Ac ∩ B) = A ∆ a) 0 b) 3 c) 2 d) 4 e) 1 PROBLEMA: 18 El conjunto “A” tiene 2 elementos menos que el conjunto “B”, que por cierto posee 3072 subconjuntos más que “A”. Si tales conjuntos son disjuntos. ¿Cuál es el cardinal de A ∪ B? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24 PROBLEMA: 19 Marque la proposición falsa: a)

A  AC  

b) A  A

C

U

c) A  B  A  B

 A  B d) e)

C

C

 A C  BC

A BB A

PROBLEMA: 20 De un grupo de 41 estudiantes de idiomas que hablan inglés, francés o alemán, son sometidos a un examen de verificación, en el cual se determino que:

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

 22 hablan ingles y 10 solamente ingles.  23 hablan francés y 8 solamente francés.  19 hablan alemán y 5 solamente alemán. ¿Cuántos hablan ingles, francés y alemán? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 PROBLEMA: 21 ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura mostrada?

B

A a) b) c) d) e)

C

(A U B) – C C ∩ (A ∩ B)’ (A ∩ B) – c A∩B∩C (A ∩ B) ∩ C’

PROBLEMA: 22 Dados los conjuntos “A” y “B” comparables, tales que uno de ellos tiene tres elementos más que el otro. Si la diferencia de los cardinales de B conjuntos potencias es 448, el cardinal de sus

A ∪ B es: a) 13 b) 10 d) 11 e) 12 PROBLEMA: 23 Si:

xZ

A 



10  x  20

 (y  5)  Z 

B 

c) 9





y  15  A

¿Cuál es la suma de los elementos de “B”? a) 45 b) 55 c) 60 d) 50 e) 65 PROBLEMA: 24 Si: U = x /x

{

Y:

∈ N ∧ x ≤ 10 }

A ∩ B = { 3, 9 } A ∩ C = { 9, 10 } (C ∪ B)c = {1, 2 }

Además:

( A ∪ B ∪ C )c = ϕ

Hallar el conjunto A. a) 3, 9, 10

{

}

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7

b)

{ 4, 5, 6, 7 }

\{3, 6, 2, 9\} d) { 1, 2, 3, 9, 10 } e) { 9, 3, 10, 1 } c)

PROBLEMA: 25 Si: B ⊂ A; C

⊂ A ¿Cuál es el conjunto B ∩ C; si? A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A - B = { 4, 5, 6 } C = {1, 3, 5 }

{ 1, 2, 4 } b){ 1, 3 } c) {5 } d) { 2, 4, 6 } e) { 1, 2, 3 } a)

PROBLEMA: 26 Si A ⊂ B y A ∩

D = ϕ.

Simplificar:

[ (A ∩ Dc ) ∩ a) d)

A∩ B ϕ

Bc ] ∪ [ B ∪ (A - D) ]

b) A

c) B

e) D

PROBLEMA: 27 A la Carrera Profesional de Farmacia ingresaron 35 alumnos y al final del semestre, se obtuvo la siguiente información:  7 varones aprobaron Matemáticas.  6 varones aprobaron Biología.  5 aprobaron los 2 cursos.  11 aprobaron sólo Matemáticas.  16 son varones.  5 varones y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los cursos. ¿Cuántas mujeres aprobaron sólo Biología? a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 6

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

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PROBLEMA: 28 Decir a que alternativa corresponde al área sombreada:

C A

B

a) b) c) d) e)

(A  C)  B C  (A  B)

(A  B)  C (A  C)  B (A  B)  (B  C)

PROBLEMA: 29 De un grupo de 95 deportistas se observó que: 15 son atletas, que practican el fútbol y la natación.  52 son atletas.  55 son nadadores.  Todos los futbolistas son atletas y 12 son deportistas que sólo practican el atletismo.  15 deportistas no practican los deportes mencionados. ¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores, pero no futbolistas? a) 10 b) 12 c) 22 d) 32 e) 42 

PROBLEMA: 30 Si: A = {x/x  IN; 2  x  17}

B = {3x+1 / x  IN; 2  x  7} C = {2x+3 / x  IN; 2  x  7}

Indique la cantidad de elementos del conjunto: a) 2 d) 5

(A  B)  (A  C) b) 3 e) 6

c) 4

PROBLEMA: 31 En una urbanización se realizó una encuesta a 140 familias sobre el uso de algunos de los

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8

siguientes artefactos: TV, radio y VHS. Se obtuvo la siguiente información: 85 familias tienen por lo menos 2 artefactos y 10 familias no disponen de ningún artefacto. ¿Cuántas familias tienen exactamente un solo artefacto? a) 43 b) 29 c) 49 d) 45 e) 50 PROBLEMA: 32 Si los conjuntos “A” y “B” son iguales y unitarios:

A = {a + 3; 3b + 1} B = {6c + 1; 8c - 1} Calcular: a) 6 d) 11

“a + b + c” b) 7 e) 13

c) 9

PROBLEMA: 33 Se consulto a 420 persona sobre las preferencias de los canales W, A, C y se pudo notar que 240 no ven el canal W, 180 no ven el canal A y 150 no ven el canal C. Los que ven por lo menos dos canales son 230 personas. ¿Cuántos ven 3 canales? a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 48 PROBLEMA: 34 Indicar (V) si es verdadero y (F) si es falso: I)

El conjunto A = {x /x + 8 = 8} es vacío.

II)

Si: B = {1; 2; 3; 4} entonces 3  B

III) Si: C = {{a; b}; {c; d; e}} entonces {a; b}  C IV) Si: D = {n2 – 1 / 2  n  9} entonces D posee 7 elementos. a) VFFF b) FVVF c) VVFF d) FFVF e) FFVV PROBLEMA: 35 ¿Cuántos subconjuntos binarios tiene el conjunto?

A = { a; r; i; t; m; e; t; i; c; a } a) 42 d) 15

b) 21 e) 46

c) 30

PROBLEMA: 36 Calcular el cardinal del conjunto A  B  C si:

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

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n(U)  93,

n(C)  46

n (B  C)  A   7,

n (A  B  C)C   0

n(A)  n(B)  41,

n (A  B)  C   9 y

n  A  (B  C)   18 a) 9 d) 8

b) 7 e) 6

c) 5

PROBLEMA: 37 De 120 estudiantes, 60 aprobaron matemáticas, 80 aprobaron física, 90 aprobaron historia y 40 aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos aprobaron al menos 2 cursos, si todos aprobaron por lo menos un curso? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 PROBLEMA: 38 En un colegio hay 58 profesores, de los cuales 38 enseñan matemáticas, 15 historia y 20 ciencias naturales, si hay 3 profesores que enseñan los 3 cursos. ¿Cuántos de ellos enseñan por lo menos, 2 de los 3 cursos? a) 7 b) 6 c) 14 d) 9 e) 8 PROBLEMA: 39 De 95 alumnos de un instituto en el que enseñan 3 idiomas; los que estudian solamente 1 idioma son 37 más de los que estudian solamente 2 idiomas. Además 4 personas estudian los 3 idiomas. ¿Cuántos estudian un solo idiomas? a) 64 b) 27 c) 66 d) 29 e) 43 PROBLEMA: 40 Dados los conjuntos “A” y “B” contenidos en un universo a que es igual:

((( A c ∪ B)¿¿ c )¿¿ c)c ∪ ((B−A )¿ ¿ c)c ∪( A c ∪ A ∪B A∆ B d) A c ∪ B a)

b)

A ∩ B

e)

Bc ∪ A

PROBLEMA: 41 A una fiesta de promoción asisten 30 alumnos, de los cuales 12 son varones y de éstos 5 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando? a) 10 b) 11 c) 13 d) 12 e) 9

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7

c)

PROBLEMA: 42 La cepru ha organizado un concurso de Aritmética, Algebra y Geometría de los alumnos inscritos 400 participan en Aritmética; 390 en Algebra; 480 en Geometría, 130 participan en Aritmética y Algebra pero no Geometría y 290 en solo Geometría. ¿Cuántos alumnos participan al menos en dos cursos? a) 380 b) 360 c) 340 d) 320 e) 300 PROBLEMA: 43 Sean “A”, “B”, y “C” incluidos en “S” tal que:

n(A)  44, n(S)  100, n(B)  41, n(C)  45 n  A  (B  C)  20, n  A  B  C  5,

n  B  (A  C)  15 n  C  (A  B)  20

n  (A  B)  C   n  (A  C)  B   1 Hallar: a) 9 d) 13

n  (B  C)  A  b) 12 e) 15

c) 11

PROBLEMA: 44 De 500 postulantes a las universidades “A”, “B” y “C”, 320 no se presentaron a “A”, 220 no se presentaron a “C”, 260 no se presentaron a “B”. Si los que se presentan a una sola universidad son 320. ¿Cuántos postulan a las 3 universidades? a) 20 b) 25 c) 30 d) 18 e) 15 PROBLEMA: 45 De 90 personas se sabe que 61 son solteros y 55 varones. Si son 12 mujeres casadas. ¿Cuántos son los hombres solteros? a) 17 b) 20 c) 18 d) 21 e) 38

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

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PROBLEMA: 1 Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas, en el sistema de los números enteros. I) II)

El elemento neutro multiplicativo es único. La operación de la división está totalmente definida. III) La suma de cualquier número entero y su inverso aditivo es diferente de cero. IV) La operación de la multiplicación cumple con la propiedad de clausura o cerradura. a) 1 d) 3

b) 2 e) 4

c) 0

PROBLEMA: 2 En el sistema de los números naturales. ¿Cuál de las proposiciones es falsa? a) La operación de la multiplicación cumple con la propiedad de la clausura. b) El elemento neutro aditivo es único. c) La operación de la sustracción cumple con la propiedad de clausura. d) El elemento neutro en la multiplicación es la unidad. e) La división no cumple la propiedad de cerradura. PROBLEMA: 3 De las proposiciones: I) Entre los números naturales “a” y “a + 1”, existe otro número natural. II) El número cero es un número irracional. III) La operación de la sustracción esta totalmente definida en el sistema de los números enteros.

 a  IN,  ! IV)

1  IN a

a

1 1 a

¿Cuántas proposiciones son falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 PROBLEMA: 4 En el sistema de los números naturales, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) La operación de sustracción goza de la propiedad de clausura.

315018

8

a  c  b  c, c  IN

II) Si a  b , entonces III) Entre los números “2n + 1” y “2n + 2”, no existe otro número natural. IV) El elemento neutro aditivo no es único. a) FVFV b) VVFF c) FFVF d) FFFF e) FVVF PROBLEMA: 5 De las siguientes proposiciones: I) El número cero es un número irracional. II) La suma cumple con la propiedad de la clausura en IN. III) La sustracción no cumple la propiedad de la cerradura, esta parcialmente definida en IN. ¿Cuál o cuales proposiciones son verdaderas? a) Solo I b) Sólo II c) II y III d) Solo III e) Todas PROBLEMA: 6 De las siguientes proposiciones: I) Entre los números enteros “p”, “p + 1” existe otro número entero. II) El conjunto de los números naturales es denso. III) La operación de la sustracción esta totalmente definida en los números enteros. V)

 a  Z,  !  a  Z a  ( a)  ( a)  a  0 verdaderas: a) I y II d) III y IV PROBLEMA: 7

b) II y III e) Todas

Son

c) II y IV

IN   0, 1, 2, 3,. . . .

Para que el conjunto , sea un sistema de números naturales debe estar provisto de: I) Dos operaciones adición y multiplicación con sus propiedades. II) Dos operaciones adición y sustracción con sus propiedades. III) Una relación de igualdad con sus propiedades. IV) Una relación de orden menor que con sus propiedades. V) Una relación de igualdad y una relación de orden menor y mayor que, con sus propiedades. a) II y III b) I y III c) I yV d) I y IV e) II y V

PROBLEMA: 8 En el sistema de los Números Naturales, ¿cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas?

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

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I) II)

Entre dos números naturales consecutivos existe otro número natural. Para todo número natural “a”, existe un único número b ∈ IN tal que

a × b=1. III) Si el producto de dos números naturales diferentes de cero, es igual a uno de los factores, entonces el otro factor es la unidad. IV) La operación sustracción está totalmente definida. a) I y II b) Sólo I c) II y IV d) Sólo III e) Todas PROBLEMA: 9 ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) La propiedad de la tricotomía se enuncia de la siguiente forma: Dados dos números naturales a y b, se cumple al menos una de las siguientes relaciones: a < b; a = b ó b