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2DO. EXAMEN CEPRU 2011-I ARITMETICA

Euclides

de

los

x  x  4 x

numerales

a32(b1)5  c(3b  1)c , y  x  4  yz fueron 1,1,1 y 3; el valor el valor de a  b  c es: de x  y  z : 1. Dada la igualdad A) 11 D) 5 2. Si

B) 9 E) 2

C) 8

A) 13 D) 21

XYYX 6  11234( n ) , hallar X  Y .

A) 10 D) 9

B) 3 E) 7

C) 12

ALGEBRA 1. El conjunto solución de la inecuación

A)

, 12

B)

D)

, 0

E)

2. En

A  3 5 tiene 3 divisores más que el número B  2x53 en 2 2 consecuencia el valor de y  x , es: y x

4. El numero

A) 18 D) 12

B) 15 E) 14

C) 17

5. El máximo común divisor de los números

A  555....5556 y B  555....5556 , es: 180 cifras

120 cifras

6 1 65 D) 6  1 A)

6 1 60 E) 6  1 B)

C) 19

4  2 x  6 x , es:

3. Si el numeral 4bb8 es divisible por 7, la suma de todos los valores de “ b ” es: A) 19 B) 15 C) 11 D) 10 E) 7

4

B) 17 E) 15

26

C)

675  1

6. Si los cocientes sucesivos al calcular el máximo común divisor por el algoritmo de

la



C)

, 1

ecuación

ax  bx  c  0 , 2

V  y falso  F 

,  14

al

de

segundo

indicar

grado

verdadero

en la proposiciones :

I. Si b  4ac  0 la ecuación tiene raíces reales e iguales. II. Si a  0 , b  0 y c  0 la ecuación es incompatible. III. Si b  0 , la ecuación tiene raíces reciprocas. La secuencia correcta, es: A) VFF B) FVV C) VVF D) FFV E) VFV 2

3. En

las

verdadero

proposiciones

V  y falso  F  ,

,al

indicar

I. La traza de toda matriz nula es cero.

Academia Antonio Raimondi II. La

traza

de

A   aij 

nn

tal

que

aij  0, i  j , es triangular inferior. III. La matriz

A   aij 

nn

tal que:

aij  0, i  j y aii  k , k  , es una matriz escalar. La secuencia correcta, es: A) VVF B) FVF D) VFV E) VVV

Siempre los primeros GEOMETRIA

-2-

 0

C) VFF

1. En

un

cuadrilátero

m  BAD   90º ,

convexo

ABCD,

m  ABC   60º

y

m  ADC   75º . La medida del ángulo obtuso formado por la intersección de las bisectrices exteriores trazadas de los vértices C y D . es: A) 100º B) 105º C) 115º D) 110º E) 120º

4. Dados

4 2  A  8 1 y 1 3  32

2. En la figura que se muestra, AD // BC y  2 1 0  B  , la distancia del punto B a AD es  1 2 1  23 3  1 cm. La medida del segmento,



el producto de los elementos de la tercera columna de la matriz AB, es: A) 5 D) 6

C) 6

B) 1 E) 5

5. La

traza

3  A 0 0 

1

de

la

B) 6

1 D) 6

E) 4

matriz

inversa

valor de A) 1

de

C)

 z  1 1 B) 8

C) 0

45º

30º

A

D

2

3. Se tiene un triángulo ABC circunscrito a una circunferencia, tal que P, Q y R son

AB , BC y AB  7 cm ,

puntos de tangencia en los lados ,el

AC respectivamente. Si BC  6 cm y AC  5 cm , entonces la medida del segmento

es:

27 D) 8

3 2

D) E) 1

1 5

C

B

3

B) C)

 3x  4 y  z  1  6. En el sistema 3 x  2 y  2 z  0  x  y  3z  3  3

cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales del trapecio ABCD, en cm , es: A) 2

0 0  21 0  es : 0 1 

A) 5



E) 8

A) 3 D) 2

B) 4 E) 7

PB en cm. , es: C) 5

Academia Antonio Raimondi

Siempre los primeros

-3-

m(ABC )  60º y región triangular MED es 25 m2 , el área de la región cuadrangular AMEB en m( BD)  40º ,entonces la m( BEC ) ,es m 2 ,es: A) 160 B 4. En

la

figura.

Si

B) 140 C) 150 D) 180 E) 170

D

A

A) 72 D) 65

E

B) 45 E) 55

C) 81

9. En la figura que se muestra, ABCD es un cuadrado, el triángulo AED es equilátero y el área de la región triangular

C

CDE es 9 cm2 . El área de la región 5. Si los radios de los circunferencias limitada por el cuadrado ABCD en cm 2 , coplanares miden 5 cm y 3 cm , y la es: C B E distancia de los centros es 12 cm , entonces A) 25 B) 49 C) 42 D) 64 E) 36

las circunferencia son: A) tangentes exteriores B) secantes C) tangentes interiores D) disjuntos interiores E) disyuntos exteriores

A

10. En la figura,

6. En un polígono convexo, el número total de diagonales es 8 veces el número de vértices. El número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos es: A) 85 B) 80 C) 72 D) 74 E) 90 7. Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es 18 3 cm , entonces el perímetro del hexágono regular circunferencia a la misma circunferencia en cm , es: A) 36 B) 24 C) 30 D) 28 E) 42 8. En un trapecio ABCD , las bases

AD y

D

ABCD es un rectángulo,

AB es diámetro de la semicircunferencia de centro E , F es punto de tangencia y AB  16 m . Si X y Z representan las áreas de las regiones sombreadas correspondientes, entonces el valor de X  Z en m 2 , es: A) 8 D B) 6 C) 4 X D) 12 E) 10 A

F Z

E

ACADEMIA RAIMONDI

BC , M es punto medio de la base mayor Siempre los primeros… dejando huella AD y E es el punto de intersección de DEPARTAMENTO DE TUTORIA BD y MC . Si el área de la región www.tutoria-rai.jimdo.com 2 triangular BEC es 16 m y el área de la

C

B

Academia Antonio Raimondi SOLUCIONARIO

Siempre los primeros

-4-

ARITMETICA

a32(b1)5  c(3b  1)c Tenemos que la cifra 3b  1  10  b  3 Posibles valores b : 0,1, 2

1 1 2 3 5  5 30 160

4 815

1 6 32 163

819

1. Del enunciado:

Luego, convirtiendo 819 a base 6

No puede ser ni cero ni la unidad pues no

819

6

(b  1)5 , entonces

21

136

6

39

16

22 6

3

4

tenía sentido el numeral

b  2 . Luego se escribe:

a32(15)  c7c

Por descomposición polinómica:

(15) a  15(3)  2  101c  70  225 a  45  2  101c  70 2

 225 a  101c  23

Identificando:

(I )

c0 c  23  5  c  3  5  Si c  7 en

 Si

730  225

o

b2

pues:

5(2)  4  7

b9

pues:

5(9)  4  7

o

Se pide: 9  2  4. Como A  3 Del enunciado:

2.

XYYX 6  11234( n )

()

11234( n )  4  n

XYYX  11234  n  6  n5 Entonces: 4  n  6 Luego, la expresión () es: Como:

XYYX 6  11234(5) Por Ruffini, convirtiendo

5b  4  7

Tanteando los valores, los únicos valores que cumplen son

(I )

a  b  c  1  2  2  5 Rpta.

De la igualdad:

o

 4  2b  3b  8  7 

225 a  202  23  a  1

Del número

4bb8  7 , tenemos por el criterio de restos potenciales: 4 b b 8 3. Para que

o

c2

Se pide:

7 Rpta.

o

1 2 3 1

c : 2, 7

225 a  707  23  a 

X 3 e Y 4

Se pide: X  Y  3  4 

o

Los posibles valores para

3

XYYX (6)  3443(6)

101c  23  5

De la expresión anterior:

4

11 Rpta. y x

5

ndiv( A)  ndiv( B)  3 ( y  1)( x  1)  ( x  1)(3  1)  3  ( y  1)( x  1)  4( x  1)  3  ( x  1)( y  3)  3 ( x  1)( y  3)  1 3

De la identificación:

11234(5) a base 10

B  2x53

Se pide:

x2 e y4

y 2  x2  42  22  12 Rpta.

Academia Antonio Raimondi 5. Como:

A  555....5556

Siempre los primeros

-5-

6x  4  2x  8x  4  1 x  2

 A  6120  1

120 cifras

 B  6180  1

B  555....5556

4  2 x  6 x 4 x  4 x  1

180 cifras

Donde:

MCD( A, B)  6MCD (120,180)  1 1

MCD( A, B)  660  1 Rpta.

1

1

1

3

7d 4d

4d 3d

3d d

d 0

o

o

 6x  5  7  x  5 Luego el número es: 595  7d 595  d  85 d 7  En el número mayor :

 x  4 yz  11d  9 yz  11(85) y 3 ; z 5

x  y  z  5  3  5  13 Rpta.

1. Del enunciado:

4  2 x  6 x

6 x  0  x  0 b) además: 6 x  4  2 x  6 x a) Condición:

2.

ax 2  bx  c  0

II. Si a  0 , b  0 y c  0 la ecuación es incompatible. (FALSO) , pues, la ecuación será COMPATIBLE INDETERMINADA.

2 x  3( x  4)  x  7  6 x  12  7

ALGEBRA

Rpta.

2

Luego por el criterio de divisibilidad:

Se pide:

, 1

I. Si b  4ac  0 la ecuación tiene raíces reales e iguales (VERDADERO).

x  x  4  x  7d o

CS 

Como la ecuación es:

 El número menor:

 9 yz  935 

1/2

El conjunto solución:

6. Graficando el Algoritmo de Euclides:

11d

0

III. Si b  0 , la ecuación tiene raíces reciprocas. (FALSO) Si las raíces son recíprocas, se debe cumplir que a  c .

VFF Rpta. 3. I. La traza de toda matriz nula es cero. (FALSO) Pues las matrices nulas rectangulares no tienen diagonal principal, en consecuencia no se puede afirmar que la traza es nula. II. La

traza

de

A   aij 

nn

tal

que

aij  0, i  j es triangular inferior. (FALSO) El enunciado describe la matriz Triangular Superior. III. La matriz

A   aij 

nn

tal que:

aij  0, i  j y aii  k , k 

 0 ,

es una matriz escalar (VERDADERO).

Academia Antonio Raimondi 4.

4 2   2 1 0  AB  8 1  1 2 1  1 3   Mostramos la forma como se puede obtener las columnas de la matriz producto. 3ra. Columna de la multiplicación.

Se pide:

Siempre los primeros

-6-

4  2   2  0 8   1  1   1 1   3   3  2(1)(3)   6 Rpta.

3   1  A   2   1 Se pide, la suma: 3  2  1  6 Rpta. 6.

 3x  4 y  z  1  Siendo: 3 x  2 y  2 z  0  x  y  3z  3  Resolviendo por Cramer: El determinante:

5. Para calcula la matriz inversa, si se utiliza la fórmula:

1 A  Adj ( A) A 1

3  Como la matriz es: A   0 0 

1



3 4 1 Donde:

0 0  21 0  0 1  A 

1 6

Calculando la matriz de cofactores de la diagonal:

 21    1 Cofact( A)   3   Adj( A)  1  6   Luego:

 21  1   A1  31   1 1   6    6

z (I )  3 4 1

 z  3 2 0   3 2

2

1 1 3 1 1 3 Calculando , () , tenemos: 2 2 3 2 3 2 3  (4)  (1) 1 3 1 3 1 1   3(4)  (4)(7)  (1)(1)

Calculando el determinante:

A  31  21 1

z

  12  28  1    17 Calculando , ( z ) , tenemos:

2 0 3 0 3 2  (4)  (1) 1 3 1 3 1 1  z  3(6)  (4)(9)  (1)(1) z  3

 z  18  36  1   z  17 17 1 17 3 3 Se pide:  z  1  (1  1)  8 Rpta. De

( I ) , hallando: z 

Academia Antonio Raimondi GEOMETRIA 1.

Siempre los primeros

-7-

(7  x)  (6  x)  5  13  2 x  5

 x  8 Rpta.

 2x  8

60º x

40º

4.   x

2

20º

37º



x/2

Por propiedad:

90º 60º  x  180º 75º 2  x  105º Rpta. x  180º 

5. Como:

a

45º 3 1

30º

a

Para hallar la longitud de los puntos medios de las diagonales, se calcula dicho valor con la semidiferencia de las bases.

 3( 3  1)  a  3  1  a  x  2 3  3  a  3  1  a   x  2  x  1 Rpta. x

  (   20º )  x  160º

x 2 Rpta.

r1  r2  3  5  8  12

 n  19

6

7x

6 x

6 x

6. Sea " n " el número de lados del polígono. Del enunciado: (nTotalDiag )  8(Vertices) Aplicando las fórmulas:

x

7

7x

    60º

Entonces, las circunferencias son disyuntos exteriores Rpta.

3 1

3.

Se tiene:



2. De la figura y los datos:

3( 3  1)

De los ángulos:

5 Por propiedad de las tangentes exteriores:

n(n  3)  8(n) 2 (n  3) diagonales

Analizando, cuantas diagonales se traza (n  3) diagonales por cada vértice. Del análisis se deduce que (n  4) diagonales por 5 vértices consecutivos se trazan un (n  5) diagonales número de diagonales (n  6) diagonales responde a la fórmula:

2(n  3)  (n  4)  (n  5)  (n  6) 5n  21  5(19)  21  74 Rpta.

Academia Antonio Raimondi 7.

18 3 , cada lado del

Si el perímetro es

Siempre los primeros

-8-

18 3 hexágono mide  3 3 es: 6

9. Hacemos

un

perpendicular a

trazo

CF

auxiliar,

ED . B

Del dato: El área de la región triangular

6

30º 3 3

2

8

D

perímetro del Hexágono a la circunferencia es:

6(6)  36 Rpta.

8

b

b  25 m2 A Propiedad:

2

b E 25m2

E

L 30º

D

8

F

X

C

8

8

C

B 16m

L

L

Z

A

8.

L /2

F

CDE es 9 cm L( L / 2)  9 A 2 L 2  L  36  L  6 Rpta. 10.

Luego, el circunscrito

C

E

E

B

8

82  82 El área de X   4 2 2 8 82  82 82  4  Z  Z 2 8 2

M

b2  25 16  b  20 m2

AMEB : b  b  25  20  20  25  65 Rpta.

Se pide, el área del cuadrilátero

Sumando las áreas:

 82  82   82 82   X Z      2 2 8   4 X  Z  8 Rpta.

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