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• Alex Raul Huaman Paucar

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C P ANGULO TRIGONOMÉTRICO

BALOTARIO – I

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO: Definición, Sentido, Magnitud. Definición:Un ángulo trigonométrico se determina por la rotación de un rayo OA que gira alrededor de su origen (O), hasta una posición final OA' , tal como se puede apreciar en la figura. A'

OA : Ladoinicial OA': Lado final  : medida del ángulo trigonométrico

 A

O

Sentido: Puede tomar dos sentidos:  Antihorario: Genera ángulos positivos A'

 A

O

 Horario: Genera ángulos negativos O

A



A'

1

SISTEMA SEXAGESIMAL También denominado sistema inglés. La unidad en este sistema se denomina grado sexagesimal y representa la medida de la trescientos sesenta parte del ángulo de una vuelta. Resumiendo: Unidad:

grado sexagesimal

Nomenclatura: 1 grado sexagesimal

= 1º

1 minuto sexagesimal

= 1'

1 segundo sexagesimal

= 1"

Equivalencia:

1º = 60' 1' = 60" 1º = 3600" m

1 vuelta  360º

SISTEMA CENTESIMAL También denominado sistema francés. La unidad en este sistema se denomina grado centesimal y representa la medida de la cuatrocientosava parte del ángulo de una vuelta. Resumiendo: Unidad:

grado centesimal

Nomenclatura: 1 grado centesimal

= 1g

1 minuto centesimal

= 1m

1 segundo centesimal

= 1s

Equivalencia:

1g = 100m 1m = 100s 1g = 10 000s m

1 vuelta  400

g

SISTEMA CENTESIMAL Es el sistema preferido en la medición de ángulos por el Sistema Internacional de Unidades. Su unidad es el radián y representa la medida de un ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco de igual longitud al radio. Unidad:

1 radián R

R 1rad R

2

m

1 vuelta  2 rad

1.3 Conversión de Sistemas: Fórmulas de Conversión. A continuación tomaremos el ángulo recto y sus medidas en ambos sistemas: 90º 1  360º 4

90º

100

100g

g

g



1 4

400  rad 1 2  2 rad 4

 rad 2

Se observa que el cociente de su medida con la medida del ángulo de una vuelta es una constante.Aprovechando esta característica, ahora tomaremos un ángulo cualquiera: g

Rrad Sº C   180º 200 g 2 rad

Sº C

S C R   180 200 

R rad

S : Número de grados sexagesimales

g



C : Número de grados centesimales R : Número de radianes

Ejemplos: 1) Convierta 20º al sistema radial 20º  S  20

S R 20 R      R 180  180  9

En la fórmula: 20º 

 rad 9

Luego: 2) Convierta 60g al sistema sexagesimal En la fórmula: S C S 60     S  54 180 200 180 200

g

Luego: 60  54º 3) Halle el equivalente de 1radián en el sistema sexagesimal 1 radián  R  1 En la fórmula: S R S 1 180     S  57, 2958 180  180  

Luego 1 radián = 57,2958º = 57º + 0,2958º = 57º + (0,295860)' = 57º + 17,748' = 57º17' + 0,748' = 57º17' + (0,74860)" 1 radián = 57º 17' 44,88" 1 radián  57º 17' 44,8"

3

Nota: Para transformar la medida de un ángulo en radianes a grados sexagesimales y grados centesimales o viceversa también podemos emplear la siguiente igualdad: g

180º  200   rad

Ejemplos: 

Convierta: 3

1)

2)      3)     4)

    

5)

6)

          

rad

a grados sexagesimales

  rad  180º   rad   3 3 3  rad  60º 3

Convierta a radianes los siguientes grados sexagesimales: 36º 48º 23º 30' 35º 18' 54º 36' 45" Convierte a grados sexagesimales:  rad 6 2 rad 5 3 rad 10 7 rad 15 11 rad 4

Convierte a grados centesimales: 11 rad 4 3 rad 8 13 rad 25 41 rad 40 11 rad 75

Convierte a radianes los siguientes grados centesimales: 25 g

24 g 70 g

120 g

50g 40m

Convierte a grados sexagesimales: 50 g 80 g

130 g

150 g 75 g

4

1.4 Longitud de Arco en un sector circular Un sector circular es una parte de un círculo donde un vértice es el centro del círculo y los otros dos son puntos de la circunferencia. Entre sus tres elementos se cumple las siguientes relaciones: L  R

R

 rad

R

L

L 



L R

 : nro. de radianes L : longitud de arco

R

R : radio del sec tor

1.5 Superficie de un sector circular El área de la región formada por un sector circular se puede calcular del siguiente modo:

R

A

 rad

A

L

A R

  R2 2

LR 2

A

L2 2

A : superficie del trapecio circular

Nota: Si interceptamos dos sectores circulares, se forma una figura que por su semejanza con el trapecio recibe en nombre de "Trapecio Circular". La superficie de esta figura se puede calcular del siguiente modo: h

A

b

Bb A  h  2 

B

A : superficie del trapecio circular h

1.6 a)

Poleas, Engranajes y ruedas Poleas en contacto LONGITUDES RECORRIDAS IGUALES L

R R  r

L 

 R

r

r

5

b)

Poleas unidas por una faja transportadora LONGITUDES RECORRIDAS IGUALES

NR  n r

R

r

N : nro. de vueltas de la polea mayor n : nro. de vueltas de la polea menor

c)

Poleas unidas a través de un eje ÁNGULOS GIRADOS IGUALES 

d) Rueda en un plano horizontal

r

 de vueltas 

L 2r L

1.7

Aplicaciones  rad 11

a)Convierta 180º   11

rad 

al sistema sexagesima

11

Efectuando la división ordenadamente: 180º

11

240'

11

540" 11

70

16º

20

21'

100

4º

9'

4º   4  60'  240'

49"

1" 9'   9  60  "  540"

Finalmente:  rad  16º21'49" 11

6

b) Un péndulo oscila, describiendo un ángulo de 7º y un arco de 11cm. Hallar la longitud del péndulo

22      7 . 

Se forma un sector circular donde:   7º Rx L  11cm

7º x

x

Luego:

7 R 7 7   R   rad 180  180 180

Pero:

R

11 cm

11   180  L 11  x  7 22    7     180  7 

R  90cm

7