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• Llirthander Milla

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UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO FACULTAD: CIENCIAS AGRARIAS

RESUMEN Habitualmente el concepto de centro de gravedad se introduce de una forma teórica en las clases de física 1 y se demuestran diversas relaciones matemáticas para determinar el centro de gravedad de sistemas o cuerpos con formas geométricas sencillas. Sin embargo, en una clase de física aplicada a la Ing. Agrícola será muy instructivo, en cuyo caso los cálculos teóricos son demasiado complejos para un curso básico. Describimos aquí un sencillo trabajo monográfico.

CURSO: FISICA I

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a.

OBJETIVOS: 1.1.

Objetivo General:

1.1.1. Es conocer bastante de este tema para poder aplicarlo en la cotidiana. 1.2.

Objetivos Específicos:

1.2.1. Estudiar el concepto de gravedad, centro de masa y centroides. 1.2.2. Determinar la ubicación del centro de gravedad y centroide para un sistema de partículas discretas y un cuerpo de forma arbitraria. 1.2.3. Determinar centroides para áreas planas simples y para áreas planas compuestas. 1.2.4. Usar los teoremas de Pappus Guldinus para encontrar el área de una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo en revolución.

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INTRODUCCION: El centro de gravedad de un objeto es el punto ubicado en la posición promedio del peso del objeto. En el caso de un objeto simétrico, este punto se encuentra en el centro geométrico. Pero un objeto irregular, como un bate de béisbol, tiene más peso en uno de sus extremos y el centro de gravedad está cargado hacia dicho extremo. El centro de gravedad se llama también centro de masa, que es la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el objeto. Estos términos son equivalentes para casi todos los objetos que están sobre la superficie terrestre o sus cercanías. Se denomina "posición de peso ponderado" o centroide a la posición promedio de cualquier conjunto de cantidades a las que podamos asociar posiciones. En este tema llegaremos aprender como determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas. A su vez se incluyen un concepto que está muy relacionado con la determinación del centro de gravedad de una placa o alambre como lo es el centroide de un área o de una línea, y se utilizara el teorema de Pappus Guldinus para determinar el área o volumen de un cuerpo en revolución.

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b.

MARCO TEORICO:

2. CENTRO DE GRAVEDAD Es el punto donde se considera aplicado el peso. Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.

m2 m1

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En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Un objeto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. Cuando éste es el caso, siempre habrá un torque de restauración. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio. Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. También la posición del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades físicas. Por ejemplo, las mujeres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de sus manos, con más facilidad que los varones, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo; en general, Los varones tienen centros de gravedad más altos (hombros más anchos) que las mujeres (pelvis grande), de modo que es más fácil que el centro de gravedad de un varón quede fuera de su base de apoyo cuando se flexiona hacia el frente.

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El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector que cumple que:

Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio

es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a

una equivalente a la definición del centro de masas.

Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo másico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:

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2.1. Centro de gravedad para un sistema de partículas: 

Es el punto donde se ubica el peso resultante de un sistema de partículas.

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Las partículas solo tendrán peso bajo la influencia de una atracción gravitatoria. 

El peso resultante de un sistema será igual al peso total de la suma de las partículas.

Formula general si la gravedad (g) es constante.

Donde: CURSO: FISICA I

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m: masa de la partícula. = coordenadas de cada particula. ∑W= es la suma resulatante de los pesos de todas las particulas presentes en el sistema (Wi=mi*g).

Mediante este llegamos a una conclusion que los pesos no produciran momentos respecto al eje Y, si se hace coinsidir la direccion de los pesos con el eje Y.

2.1.Centro de gravedad: Un cuerpo rigido esta compuesto de un numero infinito de particulas, y si los prinsipios usados para determinar las ecuaciones del centro de graedad para un sistema de particulas discretas son aplicados al sistema de particulas que componen un cuerpo rigido, resulta necesario usar integracion en vez de una suma discreta de terminos. Conciderando la particula arbitraria ubicada en (x,y,z) y con un peso diferencial dW, las ecuaciones resultantes son:

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Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW debe ser expresado en terminos de su volumen asociado dV. Si ɤ representa el peso especifico del cuerpo, medido como un pesopor volumen unitario, entonces dW= ɤdV, y por tanto.

Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.

3. CENTRO DE MASAS: El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. CURSO: FISICA I

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En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas. En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, o coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. 3.1. Centro de masas para un sistema de partículas. Es una medida que depende de la masa individual y de las posiciones de las partículas que lo componen. El centro de masas no tiene porque coincidir con ninguna de las partículas del sistema. También para un sistema discreto se va a considerar como un punto geométrico. Coordenadas del centro de masa.

La ubicación del centro de masa coincide con la del centro de gravedad pero no hay que olvidar que las partículas tienen peso solo baja la influencia de una atracción gravitatoria, mientras que el centro de masa es independiente de la gravedad. CURSO: FISICA I

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3.2.Centro de masas.

La densidad, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la ecuación ɤ=g Donde: g=es la aceleración debido a la gravedad. Sustituyendo esta relación en las ecuaciones del centro de gravedad y cancelando g en los numeradores y denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con  reemplazando a ɤ) que se pueden usar para determinar el centro de masa del cuerpo. 



Distribución e masa homogénea: Si la masa esta distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación. Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad. 4. CENTROIDE:

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 



El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelara a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones. Las formulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen solo de la geometría de este. 4.1. Centroide del volumen: Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV, ubicación del centroide C(x,y,z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los “momentos” de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados.

Las formulas siguientes son:

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4.2. Centroide del área: Es la superficial de un objeto, tal como una placa o un disco, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los “momentos de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados.

4.3. Centroide de una línea: CURSO: FISICA I

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Si la simetría del del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales dL, con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta.

4.4. Simetría: En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrara a lo largo de ese eje. Ejemplo:

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En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de eso ejes. Ejemplo:

5. CENTROIDE PARA AREAS PLANAS COMPUESTAS: Consisten en una serie de cuerpos “más simple” que pueden ser rectangulares, triangulares o semicirculares y que están conectados entre si. Dichos cuerpos pueden ser seccionados en sus partes componentes. Para un número finito de pesos tenemos.

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Ejemplo:

Su fórmula:

6. TEOREMA DE PAPPUS-GULDINOS:

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Los 2 teoremas de Pappus-Guldinos se usan para encontrar el área superficial y el volumen de cualquier objeto de revolución. Una área superficial de revolución es generada al girar una curva plana alrededor de un eje fijo, en cambio el volumen de revolución es generado al girar una área plana alrededor de un eje fijo. Se proporciona las pruebas e los teoremas y estas requieren que las curvas y áreas generatrices no crucen el eje alrededor del cual gira. 6.1. Teorema I: área de una superficie de revolución. El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva el momento de generar la superficie. Deduciendo de la formula. Espesamos por dL que es un trozo mínimo de longitud de la superficie, a ese trozo le damos una vuelta de longitud 2ᴫr la cual podemos tomar como un anillo, la vuelta que dio esa longitud genero un área= dA, dA=dL (2ᴫr). Esta fórmula es solo una parte del área de la superficie y necesitamos el área total de la superficie, para esto tenemos que sumar todos los trozos de la superficie o anillos que tiene la superficie, lo cual viene siendo la integral. A=2ᴫᶋ rdL Y por la ecuación del centroide esto se transforma quedando: ∫rdL=ṝL Llegando a la formula siguiente: A=2ᴫṝL

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De forma general para cualquier angulo de rotación, expresado en radianes, el área de una superficie en revolución es: A=ѳṝL

A=superficie de revolución. Ѳ=ángulo de revolución. ṝ=centroide de la curva generatriz. L=longitud de la curva generatriz. 6.2. Teorema II: el volumen.

.

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V=volumen de revolución. Ѳ=ángulo de revolución. ṝ=centroide. A=área generatriz. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al producto del área generatriz (A) por la distancia recorrida por el centroide del área (L= ѳr). V= 2ᴫᶋrdA Donde el centroide esta dado por la ecuación. ᶋrdA=ṝA Sustituyendo se obtiene que el volumen: V=2ᴫṝA dV=2ᴫrdA Por lo tanto la formula general será. V=ѳṝA VOLUMEN DE FORMAS COMPUESTAS: También podemos aplicar los 2 teoremas anteriores a líneas o áreas que pueden estar compuestas por una serie de partes componentes.

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En este caso, el área superficial o volumen generado total es la suma de las áreas superficiales o volúmenes generados por cada una de las partes. A=ѳ∑ (ṝL) V=ѳ∑ (ṝA)

C. CONCLUSION.

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Llegamos concluir este presente trabajo monográfico mediante el cual para poder aplicar más adelante, es un tema que es muy importante que tenemos que dominar.

D.BIBLIOGRAFÍA.

 http://www.ing.ula.ve/~rubio/centroide01.htm Información recuperada el día 08

de octubre del 2016  http://www.monografias.com/trabajos71/centro-de-gravedad/centro-de-

gravedad.shtml Información recuperada el día 08 de octubre del 2016  http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad Información recuperada el día

08 de octubre del 2016  http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masas Información recuperada el día 08 de octubre del 2016  http://www.scribd.com/doc/7016198/Centro-de-Gravedad

Información

recuperada el día 08 de octubre del 2016  http//www.monografias.com Información recuperada el día 10 de octubre del 2016.  http//www.altavista.com Información recuperada el día 10 de octubre del 2016.

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