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CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS El Centroide es una palabra que pertenece a la familia centro. En la mecánica racional es la coordenada de un punto que pertenece a una figura. Al igual que el centro, el centroide tiene coordenadas de acuerdo a la posición que ocupe en el espacio. Existen centroides de línea, de área y de volumen. En esta parte de la mecánica analizaremos los centroides de área y estudiaremos a las figuras planas. Las figuras son formas que representan la silueta de algo. Los cuerpos que estudiamos mediante la mecánica racional tendrán, en consecuencia, una forma definida para calcularle sus características geométricas. Por lo tanto, a toda figura se le podrá calcular su centroide. Ahora bien, existen dos maneras de hacerlo: A través de la Integración y mediante una Matriz Centroidal. En realidad, ambas técnicas son la misma cosa, sólo que se diferencian por el método que emplean para calcularlo. Son además centroides de áreas, debido a que la integral es el área bajo una curva y la otra técnica calcula el centroide de una forma específica basándose en el área de la figura. Existen diversos conceptos centroidales que son usados en la ingeniería: El centro de masa, el centro de presión y el centro de gravedad, son ejemplos de ellos. Todos se parecen porque tienen coordenadas y, además, son puntos; pero se diferencian por lo que representan. El centro de masa es solo para los cuerpos que tienen masa. El centro de presión es el punto donde actúa la resultante de un sistema de fuerzas y el centro de gravedad es donde actúa la fuerza gravitacional, la cual denominamos peso. Por lo tanto, no podemos llamar centro de masa a lo que es un centro de área; tampoco podemos llamar centro de área al centro de presión o al centro de gravedad. Cada término debe ser coherente con lo que representa. Sin embargo, el centroide es un término más neutro y él puede ser área, volumen, masa, presión o gravitacional. En ocasiones es usado como sinónimo para no repetir constantemente la misma palabra.

Figuras planas Geométricamente, las figuras son representaciones de una forma las cuales han sido definidas en cuanto a su área y a su centroide. Este punto se denomina centro geométrico y se obtienen sus coordenadas mediante un método también geométrico. Estos métodos se realizan trazando líneas imaginarias a través de los vértices de las figuras las cuales terminan en los catetos opuestos de las mismas. Existen figuras geométricas que pudiéramos considerar básicas, a partir de las cuales se pueden construir otras figuras más complejas. Consideraremos como figuras geométricas básicas a los triángulos, rectángulos y círculos. La geometría desde tiempos remotos se ha encargado de estudiarlas y ha definido sus áreas y sus centros geométricos. Estas características de las figuras básicas se muestran en la tabla 1, donde además, se detallan otras figuras que se derivan de esas básicas o fundamentales. Con estas figuras se pueden construir otras muchas más complejas que pueden representar cualquier forma en el universo.

TABLA: CARACTERÍSTICAS DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS BÁSICAS FIGURA

CARACTERÍSTICAS Área = 1/2 b*h Coordenadas centroidales a partir del ángulo 90º X = b/3 Y = h/3

Área = b*h Coordenadas centroidales a partir del ángulo 90º X = b/2 Y = b/2

Área = PI*R2 Coordenadas centroidales

X=R

Y=R

Área = (1/2) * PI*R2 Coordenadas Centroidales

X=R

Y = (4/3)*(R/PI)

Área = (1/4) * PI*R2 Coordenadas Centroidales a partir del ángulo 90º

X = (4/3)*(R/PI)

Y = (4/3)*(R/PI)

El centroide por integración Para calcular el centroide de una figura empleando la técnica de integración, es necesario que la forma de la misma pueda ser representada mediante una función matemática. Es precisamente la mayor desventaja de esta técnica, debido a que no siempre es posible determinar una función para definir la forma de una figura de un cuerpo real. Matemáticamente, las funciones son arreglos de coordenadas que están relacionadas mediante una expresión, la cual es denominada función matemática. Para la mayoría de las figuras que se muestran en la tabla 1, estas funciones son polinomios. Aun cuando, pueden definirse otro tipo de funciones tales como las trigonométricas, sin embargo, estas son muy escasas encontrarlas en cuerpos naturales. Las funciones más empleadas son aquellas que definen líneas rectas de pendiente cero, pendiente positiva, pendiente negativa, parábolas cuadráticas, cúbicas, etc. Generalmente, estas funciones son de tipo geométricas. Esto facilita los cálculos, debido a que las integrales que resultan de su análisis son integrales sencillas y directas. Ahora bien, recordando los conocimientos relativos a las funciones matemáticas y la técnica empleada para obtener la integral de la misma, tenemos que a toda función es posible definirle un diferencial, que este caso será un diferencial de área.

Figura 1: Función Matemática En la figura 1, se representa una función matemática cualquiera con una relación de dependencia hacia la variable x, el área bajo la curva, delimitada por la función f(x) y las líneas verticales Aa y Bb definen la integral de la función. En este caso, se ha seleccionado un diferencial de área dA = ydx. Los límites de la integral quedan definidos por el diferencial, así como el éste es dx los límites de la integral son también en x. Por lo tanto, el límite inferior es "a" y el superior "b". Como el diferencial es un rectángulo, el centro geométrico estará en la mitad de la base y en la mitad de la altura. Las coordenadas del centro geométrico se denominan Xe y Ye. Dado que el diferencial dx es un valor que tiende a cero, la mitad de él es un número bien pequeño que podemos considerar sea el mismo valor dx. Así las ecuaciones que definen al centro geométrico del diferencial de área son: Xe = x Ye = y/2

Las ecuaciones que permiten calcular el centroide de la figura representada por f(x) son:

Primera Integral

Segunda Integral

Tercera Integral

Los límites de todas las integrales son a y b. Los valores Xc y Yc son las coordenadas x, y del punto que denominamos centroide de la figura. Por lo tanto, el centroide queda expresado de la siguiente manera: C (Xc, Yc) unidades

EJERCICIOS: Ejercicio 1 : Calcular la ubicación del Centroide de la siguiente figura geométrica.

Solución: Como primer paso se fija el sistema de coordenadas rectangulares que nos servirá de referencia: Los ejes centroidales de una figura plana vienen dados por las siguientes formulas:

Donde “Ai” es el área de la figura simple estudiada, “Xi” es la abscisa del centroide de dicha figura simple y “Yi” la ordenada del centroide de la misma figura simple. Es bueno recordar que el centroide de un triángulo rectángulo está ubicado a un tercio de su base y a un tercio de su altura.

El centroide de un rectángulo está ubicado a un medio de su base y a un medio de su altura.

Luego, resulta más cómodo determinar los valores de “X” y “Y” del centroide de cada una de las figuras simples para incluirlas en la fórmula respectiva, tomando en cuenta el sistema de coordenadas de referencia. Con toda esta información el problema se limita a introducir estos valores en las dos fórmulas:

Ejercicio 2 : Calcular la ubicación del Centroide de la región acotada por “Y = X2 ” y “Y = X” Solución: El primer paso consiste en graficar las dos funciones para determinar cuál queda ubicada arriba y cuál debajo. Igualmente se deben calcular los puntos de intersección de las dos funciones para conocer los índices superior e inferior de la integral definida.

Una vez hecha la gráfica podemos decir que: f(x) = “Y = X” g(x) = “Y = X2” a = 0 b = 1

Calculando el área de la región acotada :