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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSION MATURIN.

Centro de Gravedad

Autor: C.I Eukaris Carmona 25581852 Materia: Mecánica Aplicada Tutor(a): ING. César Narváez

Maturín, marzo, de 2015

Introducción

Existe una gran variedad de formas o figuras geométricas a las que se les puede ubicar sus centroides, centro de gravedad o centro de masa. Para realizar estos procedimientos es necesario aplicar ciertas ecuaciones respetando los principios geométricos para obtener resultados confiables. En algunos casos el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está, en el centro del anillo. Además, este punto se encontrara sobre cualquier eje de simetría del cuerpo. Las formulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre las sumas de momentos en todas las partes del sistema y del momento de la resultante para el sistema.

INDICE

Pág. INTRODUCCION INDICE Centro de gravedad…………………………………………………………………...…..3 Centroide………………………………………………………………………………...…4 Centroide del Volumen……………………………………………………………….…..4 Centroide del Área…………………………………………………………..........………5 Centroide de una línea……………………………………………………………...……5 Criterios o pasos para desarrollar un centro de gravedad……………...…………….6 Tamaño y brazos de momentos…………………………………………………………6 Área y centro de gravedad de todas las figuras que existen…………………………7 Ejercicios 1-3…………………………………………………………………………........8 CONCLUSION BIBLIOGRAFIA

CENTRO DE GRAVEDAD

Es el punto en el cual se considera que actúa toda la masa del cuerpo. Con frecuencia se denomina centro de gravedad, aunque hablando estrictamente, no es lo mismo si no cuando el cuerpo se haya en un campo gravitacional constante. El centro de gravedad es el punto sobre el cual actúa el peso, coincide con el centro de simetría, si el cuerpo simetrico tiene densidad uniforme en todas partes Los pesos de las partículas comprenden un sistema de fuerzas paralelas que pueden ser remplazados por un solo peso resultante o equivalente que tanga un punto “G” de aplicación definido Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de partículas y se aplican los principios de balance entre las sumas de os momentos de los pesos de cada partículas del sistema y el momento del peso resultante para el sistema, resulta necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos. Para aplicar la ecuación apropiadamente, el peso diferencial ser expresado en términos de su volumen asociado

dω

debe

dv . Si representa el peso

específico del cuerpo, medido como un peso por un volumen unitario, entonces dω= y dv , por lo tanto, la ecuación planteada quedaría de la siguiente manera.

y

∫ y dv x=

v

y dv

z

∫ y dv

x

y=

v

∫ y dv v

∫ y dv z=

v

∫ y dv v

CENTROIDE.

Es el punto que define el centro geométrico de un objeto. Se puede determinar su ubicación con la aplicación de las fórmulas utilizadas y para encontrar el centro de gravedad o centro de masa. Si el material que compone un cuerpo es uniforme v homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, por lo tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelaran a partir de los números y denominadores de la ecuación anterior. Las formulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y solo depende de la geometría de este.

CENTROIDE DEL VOLUMEN.

Cuando un objeto es subdividido en elementos de volumen

dv , la

C ( x , y, z) para el volumen del objeto puede ser

ubicación del centroide

determinado calculando los momentos de los elementos con respecto a cada uno de los ejes cordenadas, quedando la ecuacion de la siguiente forma.

∫ x dv x=

∫ y dv

v

y=

∫ dv

∫ z dv

v

z=

∫ dv

v

v

∫ dv

v

v

CENTROIDES DEL AREA.

El centroide del area superficial de un objeto, como en el caso de una palanca, se puede encontrar subdividiendo el area en elementos dα , calculando los momentos de esos elementos de area con respecto a cadda uno de los ejes cordenadas, de manera que:

∫ x da x=

a

∫ y da y=

∫ da a

a

∫ z da z=

∫ da a

a

∫ da a

CENTROIDE DE UNA LINEA.

Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o de un alambre, tiene forma de una línea el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales dl con respecto a cada uno de los ejes coordenadas, son:

x

y

∫ x dl x=

l

∫ y dl y=

∫ dl l

z

l

∫ z dl z=

∫ dl l

l

∫ dl l

Simétricamente los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o completamente encontrados usando condiciones de simetría. En el caso de que la figura, tenga un eje de simetría, el centroide de esta se ubicara a lo largo de dicho eje.

CRITERIOS O PASOS PARA DESARROLLAR UN CENTRO DE GRAVEDAD.

ELEMENTO DIFERENCIAL:

-

Seleccionar un sistema coordenado apropiado, especificar los ejes coordenados, elegir un elemento diferencial para la integración. En el caso de líneas, el elemento dl representa un segmento diferencial de la línea.

dα

-

Cuando se trata de áreas, el elemento

-

rectángulo de longitud finita y ancho diferencial. Para volúmenes, el elemento dv es un disco circular con radio

-

generalmente es un

finito y espesor diferencial, o bien, un cascaron con longitud y radio finito y espesor diferencial. Localizar el elemento en un punto arbitrario (x,y,z) sobre la curva que define la formula.

TAMAÑO Y BRAZOS DE MOMENTOS.

-

-

Sustituir las formulaciones para x, y, z y

dl ,

dα

o

dv

en las

ecuaciones apropiadas y efectuar las integraciones. Para efectuar la integración, expresar la función en el integrando en términos de la misma variable aplicada al espesor diferencial del elemento. Los límites de la integral son definidos a partir de las ubicaciones extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los elementos son sumados o la integración es efectuada, la región completa queda cubierta.

ÁREAS Y CENTRO DE GRAVEDAD DE TODAS LAS FIGURAS QUE EXISTEN.

EJERCICIO 1#

Determine el centroide (x, y) de la figura de área compuesta dada a continuación.

Elemento 1

A1= b.h = (6m)(4m)=24m2 b 6m = =3 m X1= 2 2 h 4m = =2 m Y1= 2 2

Elemento 2

A2 ¿−π . r

2

¿−π ( 2 m )

¿−12.57 m

2

2

X2 ¿ 2 m+r =2 m+2 m=4 m 4 r 4 (2 m) Y2 ¿ 3 π = 3 π =0.85 m

Elemento 3

A3=

b .h ( 3 m )( 4 m ) = =6 m 2 2

2

X3

1 1 ¿ 6 m+ b=6 m+ ( 3 m )=6 m+1 m=7 m Y3= 3 3

1 1 h= ( 4 m )=1.33 m 3 3 Tabla de Valores Elementos Rectángulo Semicírculo Triangulo Total

Área A(m2) 24 -12.57 6 17.43

X (m) 3 4 7 14

Y (m) 2 0.85 1.33 4.18

A.X (m3) 72 -50.28 42 63.72

A.Y (m3) 48 -10.68 7.98 45.30

∑ A.X ∑A

X=

Y

¿

=

63.72m 2 =3.66 m 17.43 m 3

∑ A . Y 45.30 m2 = =2.60 m ∑A 17.43 m2

C= (3.66; 2.60) m

EJERCICIO 2#

Determine el centro de gravedad G del muro de concreto mostrada a continuación

ELEMENTO 1

A1 ¿ b . h=( 74 mm )( 10 mm )=740 m

X1

b 74 mm ¿ = =37 mm 2 2

Y1

h 10 mm ¿ = =5 mm 2 2

2

ELEMENTO 2

b . h ( 36 mm)( 30 mm) =540 mm A2 ¿ 2 = 2

2

X2=

2 2 18 mm+ b=18+ ( 36 mm ) =18 mm+24 mm=42 mm 3 3

Y2

1 1 ¿ 10 mm h=10 mm+ ( 30 mm )=10 mm+10 mm=20 mm 3 3

ELEMENTO 3

b . h ( 20 mm)(30 mm) =300 m A3 ¿ 2 = 2

2

X3

1 1 ¿ 54 mm+ b=54 mm+ ( 20 mm )=54 mm+ 6.67 mm=60.67 mm 3 3

Y3

2 2 ¿ 10 mm+ h=10 mm+ ( 30 mm )=10 mm+20 mm=30 mm 3 3

Tabla de Valores Elementos Rectángulo Triangulo 1 Triangulo 2 Total

X (m) 37 42 60.67 139.67

Y (m) 5 20 30 55

A.X (m3) 27380 22680 18201 68261

A.Y (m3) 3700 10800 9000 23500

∑ A . X 68261 mm 3 = =43.20 mm ∑A 1580 mm 2

X=

Y

Área A(m2) 740 540 300 1580

¿

∑ A . Y 23500 mm3 = =14.87 mm ∑A 1580 mm2

C= (43,20; 14.87) mm EJERCICIO 3#

Determina el centroide del área mostrada, definida por dos ecuaciones.

Solución: sea dA un diferencial de área vertical, la altura es x-x 2, por lo tanto dA=(x-x2) dx.

La coordenada x del centroide es:

∫ x dA

x= A

∫ dA A

1

∫ x ( x−x 2 ) dx x=

0

1

∫ ( x−x 2 ) dx 0

1

∫ ( x 3−x 2 ) dx x=

0

1

1

∫ xdx −∫ x 2 dx 0

0

1

1

∫ x 2 dx−∫ x 3 dx x=

0

0

[

x2 x 3 − ] 2 3

x2 x3 − ] 2 3 x= ( 1 ) 2−( 0 ) 2 ( 1 ) 3−( 0 ) 3 − 2 3 [

( 1 ) 3−( 0 ) 3 ( 1 ) 4−( 0 ) 4 − 3 4 x= 1 1 − 2 3 1 1 1 − 3 4 12 x= = 1 1 6 6 x=

1 2

La coordenada “y” del punto medio del diferencial es: 1 1 1 1 1 1 y=x 2+ ( x−x 2 ) Y =x 2+ x− x 2Y = x 2+ x Y = (X 2+ X ) 2 2 2 2 2 2

1

Y=

∫ ydA ∫ [ 12 ( x 2+ x ) ](x −x 2)dx A

=0

1 6

∫ dA A

1

1 ∫ ( x 2−x 4 ) dx 20 Y= 1 6 1

1

1 ∫ ( x 2 ) dx− 12 ∫ ( x 4 ) dx 20 0 Y= 1 6 1 x3 1 x5 [ . − . ] 2 3 2 5 y= 1 6 1 1 ( 1 ) 3−( 0 ) 3 ] − [( 1 ) 5− ( 0 ) 5 ] [ 6 10 y= 1 6 1 1 − 6 10 y= 1 6

1 15 y= 1 6 y=

2 5 BIBLIOGRAFIA

Matemática Moderna. Pedro Alfonso Espitia. Editorial Pedro EspetiaBogota-colombia. Pág. 36-41 y 43-44. Enciclopedia Educativa “GENIOS”- Grupos Edicol-Santiago de Cali- Colombia pag115. Mecánica vectorial para ingenieros Russel C. Hibbeler. Editorial Pearson Educación, México 2004. Pág. 437-442. Mecánica para ingeniera estática quinta edición BEDFORD FOWLER http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Moura/writeup4/Image22.gif http://html.rincondelvago.com/0002491413.png

CONCLUSION

Cualquier partícula que se encuentra ubicada dentro de una campo gravitatorio por pequeña que esta sea es afectada por la fuerza de gravedad. Todo cuerpo de materia está compuesto a su vez por partículas las cuales son afectadas por dichas fuerza. La sumatoria de todas estas pequeñas fuerzas da como resultado la fuerza a la que es sometida el cuerpo. Como la distancia entre las particular del cuerpo y el centro de la tierra es tan grande, podemos considerar que las fuerzas son paralelas entre si, la sumatoria estas fuerzas constituirá el peso y el punto de aplicación que se conoce como centro de gravedad. El punto de aplicación o centró de gravedad dependerá de la distribución de la materia en el cuerpo. Todos los cuerpos que poseen, una distribución homogénea dependerán de su centro de simetría, poseen uno de este coinciden con su centro de gravedad.

Te Amooo oooo Mi Gordita Bella Eres Mi Todo Mi Cosita Precio sa Dios Te Bendig a Y Te De

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