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ÍNDICE Introducción…………………………………………………………………………. Objetivos……………………………………………………………………………… I. Conceptos básicos………………………………………………………………… II. Métodos para calcular el centroide……………………………………………. III. Centroide en fuerzas distribuidas………………………………………………. A. Fuerzas distribuidas Lineales………………………………………………… A.1. Figuras simples………………………………………………………… A.2. Figuras compuestas……………………………………………………… B. Fuerzas distribuidas de superficie……………………………………………. C. Fuerzas distribuidas de volumen…………………………………………… IV. Aplicaciones en la ingeniería civil……………………………………………… Conclusiones………………………………………………………………………… Referencias bibliográficas………………………………………………………….

INTRODUCIÓN En el contexto de la Ingeniería civil, son muchos los temas teóricos que pueden ser aplicados en el campo de la construcción de manera práctica. En esta ocasión nos centraremos en temas concernientes a la Estática, entre ellos tenemos el Centros de Gravedad y Centroides. Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza llamada W, denominada fuerza de gravedad y aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. En este tema se aprenderá como determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas.

OBJETIVOS

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Entender el concepto de centro de gravedad, centro de masas y centroide.

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Determinar la localización del centroide para sistemas de fuerzas distribuidas.

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Mencionar los métodos comunes para calcular el centroide de fuerzas.

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Establecer las aplicaciones del centroide de fuerzas en el plano y en el espacio.

I. CONCEPTOS BÁSICOS

A. Centro de gravedad A.1. Centro de gravedad para un sistema de partículas. Es el punto donde se ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Las partículas solo tendrán peso bajo la influencia de una atracción gravitatoria.

A.2. Centro de gravedad El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistemas de partículas. La ubicación del centro de gravedad coincide con la del centro de masa. B. Centro de masas B.1 Centro de masas para un sistema de partículas. Es una medida que depende de la masa individual y de las posiciones de las partículas que lo componen. El centro de masas no tiene porque coincidir con ninguna de las partículas del sistema. El centro de masas para un sistema discreto se va a considerar como un punto geométrico.

B.2. Centro de masas.

La densidad , o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la ecuación y =  g, Donde: g es la aceleración debida a la gravedad. Sustituyendo esta relación en las ecuaciones del centro de gravedad y cancelando g en los numeradores y denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con p reemplazando a y) que se pueden usar para determinar el centro de masa del cuerpo. • Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación. • Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad. C. Centroide El centroide es un punto que define el centro geométrico j de un objeto. Si el material que compone un cuerpo es uniforme y homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo. Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. D. Puntos importantes a tomar en cuenta - En nuestros estudios de Ingeniería Civil se asume que el cuerpo se encuentra en “condición ideal”, es decir, el campo gravitatorio es uniforme y el objeto motivo de estudio es homogéneo; luego el centro de gravedad, el centro de masa y el centroide coinciden en un mismo punto. - Si una figura geométrica posee un eje de simetría, el centroide de la figura coincide con este eje. - en algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo, además este punto se encontrara sobre cualquier eje de simetría del cuerpo.

II. MÉTODOS PARA CALCULAR EL CENTROIDE

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del CENTROIDE de una figura geométrica plana son el Método de las áreas y el Método de integración directa. 1. Método de integración directa. 1.1. Centroide área

1.2. Centroide de volumen

1.3. Centroide de línea

2. Método de áreas Procedimiento de análisis.    -

Partes componentes: Dividir el cuerpo en un número finito de partes que tengan una forma más simple. Los huecos se tratan como una parte con peso o tamaño negativo. Momento respecto a los ejes coordenados: Establecer los ejes de coordenadas y determinar las coordenadas del centro de gravedad o centroide de cada parte. Sumas: Determinar las coordenadas del centro de gravedad aplicando las ecuaciones del centro de gravedad. Si un objeto es simétrico respecto a un eje. El centroide está localizado en ese eje.

III. CENTROIDE EN FUERZAS DISTRIBUIDAS

A. Fuerzas distribuidas Lineales A.1. Figuras simples Ejemplo 1 (integración directa)

A.2. Figuras compuestas Ejemplo 2 (método e áreas)

B. Fuerzas distribuidas de superficie Ejemplo 3 (integración directa)

Ejemplo 4 (integración directa)

C. Fuerzas distribuidas de volumen

Ejemplo 5 (integración directa)

Centroides de algunas figuras conocidas

IV. APLICACIONES EN LA INGENIERÍA CIVIL Diseños Sismo resistentes para Edificios Una de las principales aplicaciones que tienen los centros de gravedad, está en la construcción de edificios, estos elementos son de mucha importancia ya que nos permiten conocer el comportamiento que tendrá la estructura al estar sometida a distintos factores como lo son presión, vientos, choques, etc. Es importante recalcar también que a medida que el centro de gravedad este cercano a la superficie del suelo, mayor será su estabilidad; proporcionándole así la mayor seguridad para la estructura

Construcción de Compuertas, Diques y Presas Otro tema muy importante es la construcción de compuertas, diques y presas; el centro de gravedad ocupa un lugar fundamental en este tema, ya que a partir de la determinación de él se podrá analizar la forma de la presa a construir e implementar los refuerzos necesarios para que soporte la carga del agua. Las presas y muros de contención están sometidos a cargas principales, secundarias y excepcionales; las cuales ejercen una presión o empuje sobre la presa, dique o compuerta; he aquí la aplicación del centro de gravedad ya que a partir de el, se puede determinar el análisis correcto para los aspectos de diseño estructural, manteniendo así las propiedades necesarias para que la obra se mantenga estable.

Operaciones con Grúas Las operaciones con grúas son una parte fundamental en los procesos de construcción, es por tal motivo que se incluyen dentro de las aplicaciones inherentes al tema. En todo trabajo de construcción hay cargas pesadas que transportarse, para realizar este proceso se necesita de una grúa, consecuentemente para el manejo de la misma se necesitan ciertos conceptos básicos; es aquí donde el centro de gravedad juega un papel fundamental. Al levantarse una carga, aquella estará sometida a torsión, es por lo tanto que para su transporte es necesario conocer un punto de equilibrio y garantizar que la carga este lo más nivelada posible, ese punto necesario es el centro de gravedad del cuerpo, logrando así que el balanceo sea mínimo. Concentración de Pesos en Elementos Como aplicación general tenemos que para cualquier elemento utilizado en la construcción, podemos deducir la concentración de peso en objetos con distintos tamaños y formas. Cabe recalcar que el punto de concentración del elemento será el centro de gravedad.

El conocer las distintas propiedades de los cuerpos, nos dará una mejor idea para diseñar el concepto estructural de lo que ˜ estemos construyendo y ver las alternativas estructurales más viables para el proyecto u obra implementado.

Momento Resistente en Columnas Los centroides son utilizados muy a menudo en la resistencia o mecánica de los materiales. Para esta ocasión su aplicación específica será el momento resistente en vigas verticales o columnas. Las columnas son elementos estructurales que transmiten cargas a compresión, la reciben mediante la placa

de entrepiso o losa y estas la transmiten hacia la cimentación. Prácticamente todas las columnas que estén en una estructura ´ u obra civil, están sometidas a flexo-compresión, el centroide es de gran utilidad en este ámbito ya que nos permitir a calcular este momento y así evitar que la compresión ejercida provoque un fracturamiento en dicha columna.

Determinación del centro de presión Pared rectangular vertical

Pared rectangular vertical

Pared rectangular sumergida inclinada Pared rectangular sumergida vertical

Pared plana rectangular con líquidos en ambos lados

CONCLUSIONES -

Los centroides y centros de gravedad aunque son parecidos no son lo mismo, es importante saber reconocer su diferenciación, de esta manera se podrá realizar la aplicación de los mismos en diferentes aspectos de la construcción; mientras que el centro de gravedad está ligado estrechamente al campo gravitatorio dependiendo del mismo, el centroide se basa específicamente en la forma geométrica del cuerpo. Coincidir an si y solo sı el cuerpo es homogéneo y uniforme.

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Los centroides forman un papel muy importante en el ámbito de la ingeniera civil.

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La determinación de centroides de los diferentes tipos de fuerzas nos permiten saber las distancias adecuadas en donde aplicar cargas para anular el momento que se genera en las estructuras.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS -

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS , Estática Décima Edición R. c. Hibbeler, libro y solucionario

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Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias Aplicadas y Humanísticas. Mecánica Racional 10. TEMA II CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDES, Apuntes de clases, de la profesora Nayive Jaramillo S.

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Catedra de Ingeniería Rural, Escuela universitaria de ingeniería técnica agrícola de Ciudad Real. Tema 2, Hidrostáticas.