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EL CAPITAL ASSET PRICING MODEL - CAPM Historia y Fundamentos Contenido:

Resumen ejecutivo I. La vinculación entre el CAPM y la Teoría del Portafolio II. Origen del CAPM III. El CAPM IV. Los supuestos del CAPM V. La Teoría de la Elección VI. La fortaleza explicativa del CAPM VII. El CAPM: una primera aproximación VIII. Derivación del CAPM IX. Rendimiento en un Mercado en equilibrio X. Rentabilidad y Riesgo en el CAPM XI. Resumen y Conclusiones

Sergio Bravo Orellana Profesor ESAN

Summary Una de las grandes inquietudes en el campo de las finanzas ha sido desarrollar modelos explicativos y predictivos del comportamiento de los activos financieros. Uno de los aportes más importantes a este proceso ha sido el Capital Asset Pricing Model (CAPM). El modelo explica el comportamiento de una acción en función del comportamiento del mercado. Además pretende servir para proyectar el retorno futuro de una acción, en función del comportamiento del mercado; no obstante, como se explicará en el documento se debe tener cuidado en ubicar las posibilidades predictivas del CAPM.. Uno de los aportes del CAPM es la relación que establece entre el riesgo de una acción con su retorno. Se muestra que la varianza de una acción, por si misma, no es importante para determinar el retorno esperado de la acción. Lo que es importante es medir el grado de co-variabilidad que tiene la acción respecto a una medida estándar de riesgo, el que corresponde al mercado. Es el beta de mercado de la acción, el cual mide la covarianza del retorno de la acción respecto al retorno del índice de mercado, redimensionado por la varianza de ese índice.

1. La vinculación entre el CAPM y la Teoría del Portafolio Uno de los grandes aportes al desarrollo de las finanzas ha sido sin duda la formulación la Teoría del Portafolio por Harry Markowitz [1952,1959], fuente de la elaboración posterior de modelos que ha tratado de explicar y predecir el funcionamiento del mercado de capitales. Uno de esos modelos es Capital Asset Pricing Model – CAPM desarrollado, entre otros, por William F. Sharpe [1963]. Por lo anterior, en las Finanzas se consideran a Harry Markowitz y William F. Sharpe como los padres de la Teoría del Portafolio y del CAPM, sin embargo Sharpe no fue el único -y tal vez no el primero- que desarrolló el modelo CAPM. Sin embargo, la estrecha vinculación que existe entre la Teoría del Portafolio y el CAPM, se refleja en vinculación similar entre Sharpe y su más destacado mentor, que se refleja en el siguiente texto escrito por Markowitz: “One day in 1960, having said what I had to say about portfolio theory in my 1959 book, I was sitting in my office at the RAND Corporation in Santa Monica, California, […] when a young man presented himself at my door, introduced himself as Bill Sharpe, and said that he also was employed at RAND and was working toward a Ph.D. degree at UCLA. He was looking for a thesis topic. His professor, Fred Weston, had reminded Sharpe of my 1952 article, which they had covered in class, and suggested that he ask me for suggestions for a thesis topic. We talked about the need for models of covariance. This conversation started Sharpe out on the first

of his (ultimately many) lines of research, which resulted in Sharpe (1963). […] On that day in 1960, there was no talk about the possibility of using portfolio theory to revolutionize the theory of financial markets, as done in Sharpe (1964)” [MARKOWITZ, 1999:14]

El interés de Sharpe en la Teoría del Portafolio quedó plasmado en su trabajo “A Simplified Model for Portfolio Analysis” [Sharpe, 1963]. Este trabajo sentó las bases para el futuro desarrollo del CAPM.

2. Origen del CAPM El CAPM fue desarrollado en forma simultánea por varios autores. Cuando Sharpe culminó la elaboración de su famoso artículo “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk” [Sharpe, 1964], el cual fue publicado en septiembre, Jack L. Treynor había escrito con anterioridad un trabajo que formulaba un modelo bastante similar al de Sharpe. Treynor –hasta ese momento no publicado- su trabajo “Toward a Theory of the Market Value of Risky Assets” [Treynor, 1961], aunque Sharpe tomó conocimiento del trabajo de Treynor al señalar: “After preparing this paper the author learned that Mr. Jack L. Treynor, of Arthur D. Little., had independently developed a model similar in many respects to the one described here. Unfortunately, Mr. Treynor’s excellent work on this subject is, at present, unpublished.” [SHARPE, 1964:427]

En febrero, apenas cinco meses después de publicado el trabajo de Sharpe, Lintner publica “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.”[Lintner, 1965a]. Según manifiesta Lintner, el había culminado su trabajo con anterioridad a la publicación del artículo de Sharpe: “Professor Sharpe’s paper “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk” […] appeared after this paper was in final form and on its way to the printers. My first section, which parallels the first half of his paper (with corresponding conclusions), sets the algebraic framework for sections II, III, and VI, (which have no counterparts on his paper) and for section IV on the equilibrium prices of risk assets, concerning which our results differ significantly for reasons which will be explored elsewhere. Sharpe does not take up the capital budgeting problem developed in this section V below.” [Lintner, 1965a:13]

Lintner complementó el trabajo desarrollado con la publicación de un segundo trabajo “Security Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification.” [Lintner, 1965b]. Finalmente, en octubre del siguiente año, Mossin publica su trabajo “Equilibrium in a Capital Asset Market.” [Mossin, 1966]. La doctrina financiera atribuye a Sharpe, Lintner y Mossin el desarrollo del CAPM. Sin embargo, como todos sabemos, fue Sharpe quien recibió el premio nobel en 1990.

3. El CAPM En equilibrio, el precio de los activos financieros se ajustará de manera tal que el inversionista, si aplica la Teoría del Portafolio para obtener los beneficios de la diversificación, será capaz de ubicarse en cualquier punto a lo largo de la Línea de Mercado de Capitales.

18.00% 16.00% 14.00% 12.00% 10.00%

ales apit C e do d erca M a de Líne

8.00%

Tasa Libre de Riesgo

Acción X

Acción Y

6.00% 4.00% 2.00% 0.00% 0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00%

El inversionista podrá obtener un mayor retorno esperado sólo si se expone a un riesgo adicional. El mercado le impone dos precios: el precio del tiempo y el precio del riesgo. El primero es el interés que se obtiene por inmovilizar los fondos, el segundo es el mayor rendimiento que se obtiene por exponer nuestros al riesgo [Sharpe, 1964:425]. El precio del tiempo sería, en este gráfico, el intercepto entre la Línea de Mercado de Capitales y el eje vertical: la Tasa Libre de Riesgo. El precio del riesgo sería el retorno adicional que se obtiene en la medida que el inversionista se desplaza hacia la derecha, incurriendo cada vez, en un mayor grado de exposición al riesgo. El Riesgo puede ser representado por la variabilidad (varianza o desviación estándar) de los rendimientos obtenidos.

4. Los supuestos del CAPM Para la construcción del modelo CAPM se asumen los siguientes supuestos: 1. Los inversionistas son personas adversas al riesgo. 2. Los inversionistas cuidan el balance entre retorno esperado y su varianza asociada para conformar sus portafolios.

3. No existen fricciones en el mercado. 4. Existe una Tasa Libre de Riesgo a la cual los inversionistas pueden endeudarse o colocar sus fondos. 5. No existe asimetría de información y los inversionistas son racionales, lo cual implica que todos los inversionistas tienen las mismas conclusiones acerca de los retornos esperados y las desviaciones estándar de todos los portafolios factibles. Los supuestos del CAPM estaban presentes desde que el modelo fue desarrollado en la década de los sesenta. Sharpe [1964] y Lintner [1965] hicieron referencia a los supuestos del CAPM en sus respectivos trabajos: “In order to derive conditions for equilibrium in the capital market we invoke two assumptions. First, we assume a common pure rate of interest, with all investors able to borrow or lend funds on equal terms. Second, we assume homogeneity of investor expe ctations: investors are assumed to agree on the prospects of various investments –the expected values, standard deviations and correlation coefficients described in Part II.” [Sharpe, 1964:433-434] “In choosing between any two different possible investment positions, we assume that this investor will prefer the one which gives him the largest expected return if the risk is involved in the two investment positions are the same and we also assume that if expected returns are the same, he will choose the inves tment position which involves less “risk” as measured by the standard deviation of the return of his total investment holdings. In other words, our investor is a “risk-averter”, like most investor in common stocks. […] For simplicity, we will also assume that our investor’s probability judgments […] can be represented by the “normal” distribution of statistical theory.” [Lintner, 1965b:590-591]

Si bien no todos los supuestos del CAPM se aplican estrictamente en la realidad, esto no ha invalidado el aporte del modelo, que sigue siendo el más popular entre los administradores de portafolio. “Needles to say, these are highly restrictive and undoubtedly unrealistic assumptions. However, since the proper test of a theory is not the realism of its assumptions but the acceptability of its implications, and since these assumptions imply equilibrium conditions which form a major part of classical financial doctrine, it is far from clear that this formulation should be rejected –especially in view of the dearth of alternative models leading to similar results.” [Sharpe, 1964:434]

A lo largo del presente trabajo se irá desarrollando cada uno de estos supuestos como condiciones necesarias para la construcción del modelo.

5. La Teoría de la Elección Tomaremos prestado de la microeconomía algunos conceptos necesarios para elaborar una explicación lógica del desarrollo del CAPM. Conceptos como el de restricción presupuestaria o conjunto de oportunidades , curvas de indiferencia y la función de utilidad, son necesarios para continuar con nuestra explicación. A continuación veremos sucintamente cada uno de estos conceptos.

5.1 La restricción presupuestaria Supongamos que tan sólo existen dos bienes: cervezas y hamburguesas. Supongamos también que una persona “Bill” tiene un ingreso total de S/. 100.00, las hamburguesas están S/. 2.00 cada una y las cervezas S/. 3.00. Esta persona podrá elegir entre consumir diferentes combinaciones: mayor cantidad de cervezas o de hamburguesas, dependiendo de sus gustos. En el extremo podrá consumir hasta 50 hamburguesas ó 33.3 cervezas. Pues bien, la restricción presupuestaria o conjunto de oportunidades es el conjunto de todas las combinaciones posibles bajo un ingreso y unos precios determinados. A estas combinaciones usualmente se les denomina “canastas” o “cestas”. En el siguiente gráfico se aprecia la restricción presupuestaria de Bill: 30 cervezas y 5 hamburguesas

40 35 33

30 30

27

20 20

17 13

15

10 10

7 3

5

0 50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0 0

Cervezas

16.7 cervezas y 25 hamburguesas

23

25

Hamburguesas

Bill puede elegir entre consumir 33.3 cervezas y ninguna hamburguesa, consumir 30 cervezas y 5 hamburguesas, 16.7 cervezas y 25 hamburguesas y en el extremo, 50 hamburguesas y ninguna cerveza.

5.2 La curva de indiferencia Dada su restricción presupuestaria Bill tendrá que elegir alguna de las combinaciones posibles entre cervezas y hamburguesas. Aunque es imposible predecir cual de las “canastas” elegirá cada persona, intuitivamente deducimos que la gran mayoría de personas elegirá algún tipo de combinación entre hamburguesas y cervezas. Vamos a asumir por el momento que Bill decide la canasta conformada por 16.7 cervezas y 25 hamburguesas. Llamémosle a esta canasta “X”. Nótese que el valor monetario es exactamente igual que el de las otras canastas, pero que esta canasta es la preferida por Bill, la que produce mayor satisfacción. Ahora bien, si le ofreciéramos a Bill una canasta conformada por 20 cervezas y 28 hamburguesas ¿Cómo reaccionaría él? Obviamente elegiría esta canasta, debido a que contiene más de cada producto. Pero si le ofreciéramos una canasta conformada por 13 cervezas y 30 hamburguesas, Bill rechazaría esta canasta debido a que la canasta de 16. 7 cervezas y 25 hamburguesas le produce mayor satisfacción. Tenemos dos canastas: la canasta “A” conformada por 20 cervezas y 28 hamburguesas y la canasta “B” conformada por 13 cervezas y 30 hamburguesas. Se sabe que la canasta “A” se prefiere a la canasta “X” y que la canasta “X” se prefiere a la canasta “B”. Pues bien, en algún punto entre las canastas “A” y “B” debe existir alguna canasta que sea equivalente a “X”. Dicho en otras palabras, si partimos de la canasta “B” pero le ofrecemos a Bill más de 30 hamburguesas, digamos 31, 32, 33, etc. y así sucesivamente, llegará un momento en que Bill será indiferente entre “X” y esa nueva canasta.

35 33

A, 28, 32

30 28

16.7 cervezas y 25 hamburguesas

25

Cervezas

23 20 18

X, 25, 16.7

15

B, 30, 13

13 10 8 5 3 0 15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

Hamburguesas

Hamburguesas 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Cervezas 98.0 60.0 40.0 29.0 22.0 16.7 15.0 14.0 13.5 13.1 13.0

siguiente figura:

La unión de estos puntos nos daría como resultado la curva de indiferencia de Bill. La curva de indiferencia es aquella en la cual se sitúan todas las combinaciones que producen el mismo grado de satisfacción. Si olvidamos la restricción presupuestaria, podríamos pedirle a Bill que nos diga cuales serían las canastas que le producirían el mismo grado de satisfacción que la canasta “X”. Supongamos que Bill hace el siguiente listado: Si unimos en un gráfico la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia de Bill obtendremos la

70

Curva de Indiferencia

60

40

30

X

20

Y

10

Restricción presupuestaria 65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0 0

Cervezas

50

Hamburguesas

Sabemos que a Bill le da lo mismo obtener 16.7 cervezas y 25 hamburguesas (canasta “X”) que 29 cervezas y 15 hamburguesas (llamémosle a ésta canasta “Y”). Sin embargo, debido a que los ingresos de Bill no le permiten adquirir la canasta “Y” pero sí la canasta “X”, ¿cuál canasta será elegida por Bill? La respuesta es obvia: la canasta “X”. El lector debe recordar que esta curva de indiferencia esta construida en base a las canastas que otorgan el mismo grado de satisfacción que “X”. Bill tendrá infinitas curvas de indiferencia. Cada canasta otorga un grado de satisfacción y sobre la base de esa satisfacción se puede elaborar una curva de indiferencia. “La curva de indiferencia es el conjunto de cestas entre las cuales el consumidor es indiferente” [Frank, 2001:71]

70

60

Mayor satisfacción

Cervezas

50

40

30

20

Menor satisfacción

10

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

0

Hamburguesas

Bill tendrá que seleccionar la canasta en donde se unen la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria. Si la curva de indiferencia está por encima y no toca en ningún punto a la restricción presupuestaria, Bill tendrá que trazar una nueva curva de indiferencia, con un menor grado de satisfacc ión, hasta que finalmente llegue a “tocar” la recta de la restricción presupuestaria.

5.3 El modelo de la Utilidad Esperada Bill es una persona promedio que disfruta de una buena hamburguesa. Para él será agradable consumir una hamburguesa. Tratemos de asignarle un número a este grado de satisfacción, por ejemplo “10”. Consumir una segunda hamburguesa será también agradable, pero tal vez no tanto como la primera. A la satisfacción provocada por el consumo de la segunda hamburguesa asignémosle un “8”. En este punto muchas personas estarían satisfechas, pero supongamos que Bill tiene muy buen apetito y que está dispuesto a consumir una tercera hamburguesa. A la satisfacción proveniente por el consumo de una tercera hamburguesa asignémosle un valor de “2”. Después de haber consumido tres hamburguesas, Bill ya no desea ninguna más. Como no desea consumir otra hamburguesa podríamos asignarle un valor de “0” a una cuarta hamburguesa. (En el extremo podríamos asignarle un valor negativo a la cuarta hamburguesa por el malestar que causaría tener que consumirla).

Podemos percibir que cada unidad adicional de hamburguesa produce un grado de satisfacción menor, hasta que llegado un punto la satisfacción adicional es igual a cero. Nótese que el grado de satisfacción no es igual al valor numérico o monetario. En el mercado cualquier hamburguesa vale S/. 2.00, sea ésta la primera, la segunda o la tercera hamburguesa, pero la satisfacción que otorga su consumo (algo que realmente es difícil de medir) será totalmente diferente si es que se trata de la primera, la segunda o la tercera. Lo mismo sucede con el dinero. Supongamos que Bill está desempleado, ¿cuánta satisfacción le produciría obtener S/ 1,000.00? Imaginamos que bastante. Pero si es que Bill es poseedor de una fortuna de varios millones, ¿cuánta satisfacción le produciría obtener S/ 1,000.00 adicionales? Intuitivamente sabemos que no le produciría tanta satisfacción como al Bill desempleado. A la misma conclusión podemos llegar si hablamos de las pérdidas. Supongamos que Bill está desempleado, efectúa una apuesta en un juego de fútbol por S/ 100.00. Luego, al observar los resultados, nota que su equipo fue derrotado y que por lo tanto ha perdido S/. 100.00 ¿cuánta insatisfacción le producirá haber perdido S/. 100.00? Si ahora suponemos que Bill es millonario y que pierde S/. 100.00 ¿no es lógico pensar que el grado de insatisfacción será menor? En consecuencia, podemos afirmar que el valor numérico o monetario no es igual a la utilidad obtenida, dado que la utilidad depende del grado de satisfacción del consumidor. ¿Cuál sería el valor esperado de efectuar una apuesta en la que tenemos el 60% de probabilidades de ganar 100 y 40% de perder 30? En términos probabilísticos el valor esperado sería de 72 (100x60% + 30x40%). Ahora supongamos que existen 3 juegos: 1. Ganar 10,000 con 65% de probabilidades y perder 5,000 con 35% de probabilidades 2. Ganar 100 con 55% de probabilidades y perder 30 con 45% de probabilidades 3. Ganar 10 con 20% de probabilidades y perder 2 con 80% de probabilidades El valor esperado se cada juego sería: Juego 1: Juego 2: Juego 3:

8,250.00 68.00 3.60

¿Cuál de los tres juegos elegiríamos? La respuesta es: depende de la función de utilidad del consumidor. No se elige en base al valor esperado sino de la utilidad esperada. La utilidad esperada es el promedio ponderado de las utilidades de los resultados posibles multiplicados por su porcentaje de probabilidad [Frank, 2001:176].

Precisamente, el Modelo de la Utilidad Esperada [Von Neumann-Morgenstern, 1944] parte de la premisa de que los individuos no eligen la opción que tiene el máximo valor esperado sino la máxima utilidad esperada. El problema es entonces determinar cual es la función de utilidad de cada individuo. Normalmente, se dice que la función de utilidad tiene una forma cóncava [Frank, 2001:177]. Por ejemplo, si una persona gana S/. 2,000.00 obtendrá una utilidad de 30. Si la persona obtiene S/. 4,000.00 obtendrá una utilidad de 58. Es decir que por los S/. 2,000.00 adicionales habrá obtenido una utilidad de tan sólo 28, menor que los 30 de utilidad por los primeros S/. 2,000.00. En el siguiente gráfico se puede observar la típica forma cóncava que adopta una función de utilidad:

100.0

50.0

25.0

$100

$95

$90

$85

$80

$75

$70

$65

$60

$55

$50

$45

$40

$35

$30

$25

$20

$15

$10

$5

0.0 $-

Utilidad

75.0

Riqueza

A esta forma característica de la función de utilidad se le reconoce como un Utilidad Marginal Decreciente. Quiere decir que la utilidad producida por el aumento de la riqueza es cada vez menor. Esta es la forma característica de la función de utilidad de una persona con aversión al riesgo. Debido a que la riqueza adicional genera menor utilidad, la persona con aversión al riesgo podría arriesgar esta riqueza adicional, pero a medida que se va a acercando a su riqueza inicial, estará cada vez menos dispuesta a arriesgarla. Esta es la conducta común de los seres humanos : si tenemos un ingreso “extra” podríamos jugarlo en los caballos o en una partida de póker. Arriesgaremos el dinero a sabiendas que podemos perderlo. Sin embargo, a medida que vamos perdiendo más y que nos vamos quedando con el dinero necesario para cubrir

nuestras necesidades básicas (y las de nuestra familia) estaremos menos dispuestos a arriesgarlo. ¿Y que sucede con aquellas personas que, como todos hemos tenido oportunidad de conocer, siguen apostando incluso el dinero necesario para la comida de sus hijos? Pues bien, esas personas existen, es innegable, pero son, felizmente, una minoría y se los conoce como “amantes del riesgo”, los típicos apostadores compulsivos.

6. La fortaleza explicativa del CAPM La Teoría del Portafolio ha establecido los beneficios de la diversificación y, por tanto, de la construcción de portafolios de activos, así como la existencia de una Línea de Mercado de Capitales a partir de un punto denominado el Retorno del Mercado. Está claro que bajo estas premisas ningún inversionista podrá obtener una mejor combinación de riesgo y rendimiento que a lo largo de la Línea de Mercado de Capitales, y que sólo será posible obtener un retorno superior mediante una exposición mayor al riesgo. “In equilibrium, capital asset prices have adjuste d so that the investor, if he follow rational procedures (primarily diversification), is able to attain any desired point along a capital market line. He may obtain a higher expected rate of return on his holdings only by incurring additional risk”. [Sharpe, 1964:425]

También se ha establecido la existencia de una relación lineal entre el retorno de un activo financiero y su grado de exposición al riesgo. Es importante destacar que el modelo CAPM se basa en la existencia de una relación lineal entre el riesgo y el rendimiento; pero que este tema no está exento de discusiones en la doctrina financiera. Se había establecido también que el punto de origen de la Línea de Mercado de Capitales era el de la Tasa Libre de Riesgo (el intercepto), y que a partir de ese punto, que presentaba un riesgo cero, se podía obtener una rentabilidad cada vez mayor a cambio de una mayor exposición al riesgo. “In effect, the market presents him with two prices: the price of time, or the pure interest rate (shown by the intersection of the line with the horizontal axis) and the price of risk, the additional expected return per unit of risk borne (the reciprocal of the slope line).” [Sharpe, 1964:425]

En consecuencia, se puede afirmar que el precio para obtener cualquier rendimiento superior a la Tasa Libre de Riesgo era exponerse a un grado determinado de riesgo. En otras palabras, podemos aproximarnos a una definición del precio del riesgo. Típicamente, el punto donde se ubican el riesgo y rendimiento de un activo individual cualquiera yace por debajo de la Línea de Mercado de Capitales, como una demostración de la ineficiencia de invertir en un solo activo.

18.00% 16.00% 14.00% 12.00% 10.00%

Acción Y Acción X

8.00% 6.00% 4.00% 2.00%

0.00% 0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00%

Mediante la diversificación el riesgo se podía reducir pero no se podía eliminar. En consecuencia se puede afirmar que el riesgo asociado de un activo “A” esta conformado por dos bloques: el riesgo diversificable y el riesgo no diversificable. Al riesgo diversificable se le denomina riesgo no sistemático y en contrapartida al riesgo no diversificable se le conoce como ries go sistemático. Se entiende que éste último es un riesgo sistemático porque es el riesgo propio del mercado, del cual un activo financiero no puede desprenderse. “Through diversification, some of the risk inherent in an asset can be avoided so that its total risk is obviously not the relevant influence of its price; unfortunately little has been said concerning the particular risk component which is relevant.” [Sharpe, 1964:426]

Ahora bien, resulta sencillo entender la noción de la utilidad del consumidor cuando nos referimos a cifras concretas: la utilidad de recibir S/. 100.00 o la utilidad de recibir S/. 200.00. Sin embargo, no todo en la vida son cifras ciertas y concretas sino que en muchas ocasiones tendremos que lidiar con las probabilidades. Este es exactamente el dilema de todo inversionista, cuando invierte sus fondos en un activo riesgoso ¿cómo podría medir la utilidad de esa inversión? El modelo CAPM se basa en el supuesto de que la utilidad del inversionista depende solamente de dos términos: el valor esperado y la desviación estándar:

U = f (E w , σ w ) Donde: U = Ew =

Utilidad Valor esperado de la riqueza futura

σw =

Desviación estándar de la riqueza futura respecto de su valor esperado

Ahora bien, dependiendo de la riqueza futura que logre el inversionista se podrá encontrar la rentabilidad de su inversión o viceversa1. Gracias a esta relación entre la riqueza futura y la rentabilidad es posible expresar la función de utilidad del inversionista en relación con la rentabilidad [Sharpe, 1964:428]:

(

U = f ER ,σ R

)

Así como se pueden elaborar curvas de indiferencia en base a una elección entre hamburguesas y cervezas, también se puede elaborar una curva de indiferencia entre consumo actual y consumo futuro o entre riesgo (expresado en términos de desviación estándar) y rendimiento (expresado en términos de valor esperado). Es necesario aclarar al lector que el valor esperado del rendimiento ( R ) se representa ~ con el término ( R ). Usualmente, en el desarrollo del modelo CAPM el valor esperado ~ es igual a la media ( R ). Por tanto, para el presente trabajo se asumirá que R = R . De manera similar a como se unieron las curvas de indiferencia y la restricción presupuestal, podríamos unir las curvas de indiferencia entre riesgo y rendimiento y la Línea de Mercado de Capitales que, tal como lo demuestra la Teoría del Portafolio, es aquella línea en donde se obtienen las mejores combinaciones posibles de riesgo y rendimiento. En el ejemplo de la restricción presupuestaria, la única manera de maximizar la utilidad del consumidor es invirtiendo todos sus fondos disponibles, pues el análisis contempla un solo período. Para un inversionista, la Línea de Mercado de Capitales sería el equivalente a la restricción presupuestaria, pues en ella se contienen las mejores combinaciones posibles de riesgo y rendimiento.

1

R=

Wt − W1 W1

Donde: R = Rentabilidad

W1 = Wt =

Riqueza inicial Riqueza final

B3 B2

18.00% 16.00%

Rendimiento

E w 14.00% 12.00% 10.00% 8.00% 6.00%

B1

A3 A2 A1 ales apit C e od rcad e M a de Líne

4.00% 2.00% 0.00% 0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00%

Riesgo

σw

Por ejemplo, el inversionista “A” con las curvas de indiferencia A1 , A2 y A3 se ubicará en un punto de la Línea de Mercado de Capitales en donde se “toca” con su curva de indiferencia A1 . De manera similar, el inversionista “B” con las curvas de indiferencia B1 , B2 y B3 se ubicará en el punto en donde se tocan su curva de indiferencia B1 y la Línea de Mercado de Capitales. En suma, bajos los supuestos ya citados, todos los inversionistas verán sus alternativas de inversión bajo una misma óptica, sin importar cual sea la función de utilidad y las curvas de indiferencia particulares de cada uno de ellos. Los inversionistas A y B son diferentes, poseen diferentes curvas de indiferencia, pero finalmente ambos se situarán sobre la Línea de Mercado de Capitales. Ahora bien, el desinterés de los inversionistas en poseer acciones que se encuentran fuera de la Línea de Mercado de Capitales, como por ejemplo las acciones de IBM y AT&T que se observan en el gráfico XXX, hará que se modifique el precio de estas acciones.

B3 B2

18.00% 16.00%

Rendimiento

E w 14.00% 12.00%

B1

A3 A2 A1

10.00%

AT&T

8.00% 6.00% 4.00%

IBM

Conjunto de Oportunidades

2.00%

0.00% 0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00%

Riesgo

σw

Al no haber mayor demanda por estas acciones, su precio descenderá. Cuando el precio de la acción desciende su rentabilidad aumentará. Cuando esto ocurra el atractivo de estas acciones aumentará. Este será un proceso iterativo que conducirá a que el conjunto de oportunidades adopte una forma cada vez más linear (más recta) [Sharpe, 1964:435].

7. El CAPM: una primera aproximación Bajo la premisa de que existe una relación lineal entre el riesgo y el rendimiento, sólo basta entonces encontrar la relación entre un activo en particular y el retorno del portafolio óptimo de mercado para predecir como reaccionará este activo en adelante. “We have argued that in equilibrium there will be a simple linear relationship between the expected return and standard deviation of return for efficient of risky assets. […] However, there will be a consistent relationship between their expected returns and what might best be called systematic risk, as we will now show.” [Sharpe, 1964:436]

Es posible construir un portafolio óptimo de mercado y es posible determinar el porcentaje exacto de inversión en cada activo. Para encontrar la relación entre el retorno de un activo A y del portafolio óptimo del mercado tan solo hace falta encontrar una relación lineal entre los retornos de la acción A y los retornos que se habrían obtenido si se hubiese invertido en el Portafolio óptimo de mercado.

“The requirements that curves such as igg’ be tangent to the capital market line can be shown to lead to a relatively simple formula which relates the expected rate of return to various elements of risk for all assets which are included in combination g. Its economic meaning can best be seen if the relationship between the return of asset i and that of combination is viewed in manner similar to that used in regression analysis.” [Sharpe, 1964:438]

Parte de las variaciones del retorno de la acción A respecto a su media (en otras palabras del riesgo asociado al activo A) se explican como respuesta a las variaciones en el retorno del portafolio de mercado (PM). La pendiente de la regresión indica en que medida los retornos de la acción A responden a los retornos del Portafolio de Mercado y en consecuencia son una medida apropiada del riesgo sistemático de la acción A. Denominemos a esta pendiente como “Beta” y representémosla con el signo β. Queda claro entonces que lo que le interesa al inversionista es el riesgo sistemático de una acción. Si es que se encuentra la forma de calcular el riesgo sistemático de cada acción, y no su riesgo total, el inversionista podrá determinar cual es el rendimiento que debe exigir para esa acción. Por ejemplo, si se sabe que el Retorno del Mercado es de 12% y su riego equivale a 1, si una acción tiene un riesgo de 1.2 el inversionista exigirá un rendimiento mayor al 12% y si es que el riesgo de la acción es de 0.7, el inversionista se conformará con un rendimiento menor al 12%. Los rendimientos de la acción A (R A ) y del portafolio óptimo del mercado muestran en el siguiente cuadro: RA RPM

17.5% 10.38%

21.1% 9.44%

14.1% 9.94%

-4.2% 8.14%

-2.9% 7.32%

20.5% 8.39%

18.2% 13.89%

-1.3% 11.19%

19.8% 10.87%

(RPM ) se 18.4% 7.88%

En base a estos rendimientos un análisis de regresión lineal efectuado con una hoja de cálculo común arroja como resultado una pendiente de 1,58074: SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.296267 R Square 0.087774 Adjusted R Square -0.026254 Standard Error 0.106311 Observations 10 ANOVA df Regression Residual Total

SS MS 1 0.0087 0.0087 8 0.090416 0.011302 9 0.099116

F Significance F 0.76976 0.405867

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept -0.032812 0.17873 -0.183582 0.858909 -0.444964 0.379341 X Variable 1 1.580737 1.801697 0.87736 0.405867 -2.573985 5.735458

Damodaran [2002] también señala que el Beta es la pendiente de una regresión lineal entre los retornos de una acción y del mercado: “The textbook description of beta estimation is simple. The beta for an asset can be estimated by regressing the returns on any asset against returns on an index representing the market portfolio, over a reasonable time period .

where the returns on the asset represent the Y variable, and the returns on the market index represent the X variable. Note that the regression equation that we obtain is as follows: Rj = a + b RM Where Rj is the return on investment j, and RM is the return on the market index. The slope of the regression 'b" is the beta, because it measures the risk added on by that investment to the index used to capture the market portfolio. In addition, it also fulfils the requirement that it be standardized, since the weighted average of the slope coefficients estimated for all of the securities in the index will be one.” [Damodaran, 2002:185]

Similar resultado se podía obtener aplicando una fórmula directa para obtener la pendiente de una regresión lineal: Cov ( A, M ) ρ AM σ Aσ M = Var ( M ) σ M2

Donde:

Cov( A, M ) Var (M ) =

= Covarianza entre los retornos de la acción A y del Mercado Varianza de los retornos del Mercado

Si el retorno de la acción A está en función del retorno del Mercado, teniendo la pendiente de una regresión lineal de un solo factor hace falta una variable para estimar el retorno de A: el intercepto. Pues bien, de acuerdo a la explicación vertida en el capítulo anterior, éste intercepto no sería otro que el rendimiento del activo libre de riesgo. Sabiendo que el retorno del Mercado es superior al rendimiento libre de riesgo, como consecuencia de su exposición al riesgo, se infiere que el retorno de casi todo activo riesgoso deberá ser mayor que el rendimiento libre de riesgo. A este rendimiento extra se le denomina Prima de Riesgo. El Retorno del Mercado será igual a la Tasa Libre de Riesgo más la Prima de Riesgo de Mercado. El Retorno de una acción en particular será igual a la Tasa Libre de Riesgo más una Prima de Riesgo específica para esa acción. La Prima de Riesgo específica para cada acción dependerá de su riesgo sistemático, que como sabemos, se traduce en un Beta. Con ello, se tienen todos los elementos necesarios para estimar el rendimiento de un activo riesgoso: Prima de Riesgo del Mercado

R A = R f + β (RM − R f

)

Prima de Riesgo de la Acción “A”

Donde: RA = Rf =

Rendimiento de la acción A Rendimiento libre de riesgo

RM = β =

Rendimiento del mercado Beta

Si por ejemplo, β = 0 la rentabilidad del título es igual que la de un activo libre de riesgo; si β = 1 entonces la rentabilidad del título es igual a la rentabilidad del mercado ( RM ).

8. Derivación del CAPM Para explicar la derivación del CAPM vamos a partir de un ejemplo en donde se tienen dos activos riesgosos “x” e “y” con los siguientes retornos:

Rendimiento de las acciones "x" e "y" 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Rx

17.5%

21.1%

14.1%

-4.2%

-2.9%

20.5%

18.2%

-1.3%

19.8%

18.4%

Ry

8.1%

5.7%

8.6%

12.1%

10.6%

4.5%

12.5%

15.2%

8.0%

4.5%

El Retorno esperado del Portafolio conformado por los activos “x” e “y” se define en los siguientes términos: E (R p ) = αE (R x ) + (1 − α )E (R y )

Donde: E (R p )

E( Rx ) E (R y )

α =

=

Retorno esperado del Portafolio

=

Retorno esperado del activo “x”

= Retorno esperado del activo “y” Porcentaje de inversión en el activo “x”

En consecuencia, si se invierte el 50% de los fondos en cada activo el Retorno esperado sería de 10.55%: 10.55 % = αE (R x ) + (1 − α )E (R y )

Donde: E( Rx )

E (R y ) α =

=

12.12%

= 50%

8.98%

La Desviación estándar del Portafolio se define en los siguientes términos: σ (R p ) =

[α σ

Donde: σx

=

Desviación estándar de los Retornos del activo “x”

=

Desviación estándar de los Retornos del activo “y”

=

Covarianza entre los Retornos de los activos de “x” e “y”

σy σ xy

2

2 x

+ (1 − α )σ y2 + 2α (1 − α )σ xy

]

La Covarianza entre los retornos de “x” e “y” es igual al producto de la Correlación entre “x” e “y” y las Desviaciones estándar de los retornos de ambos activos:

σ xy = ρ xyσ xσ y

Donde: ρ xy

=

Correlación entre los Retornos de “x” e “y”.

En consecuencia, la Desviación estándar del Portafolio sería de 4.14%:

[

4.14% = α 2σ x2 + (1 − α )σ y2 + 2α (1 − α )σ xy Donde: σx

=

10.49%

σy

=

3.59%

=

-0.27%

σ xy

]

8.1 Línea de Mercado de Capitales Supongamos que tenemos un activo libre de riesgo “f”, con un retorno de 4% y una desviación estándar de cero. Los retornos del activo “x” y “f” serían los siguientes:

Rx

1 17.5%

2 21.1%

3 14.1%

Ry

4.0%

4.0%

4.0%

Rendimiento de las acciones "x" e "y" 4 5 6 7 -4.2% -2.9% 20.5% 18.2%

8 -1.3%

9 19.8%

10 18.4%

4.0%

4.0%

4.0%

4.0%

4.0%

4.0%

4.0%

La fórmula para hallar el Retorno esperado del Portafolio conformado por activos “x” y “f” sería la misma, pero habría una variación en la Desviación estándar del Portafolio, tal como se muestra a continuación: E (R p ) = αE (R f ) + (1 − α )E (R x )

Donde: Rf = Rx =

Retorno esperado del activo libre de riesgo. Retorno esperado del activo “x”.

Y la Desviación estándar del Portafolio sería: σ (R p ) =

[α σ

Pero como

2

2 x

+ (1 − α )σ 2f + 2α (1 − α )σ xf

σ f =0

entonces:

]

σ (Rp ) =

[α σ ] 2

2 x

Dado que la Desviación estándar del activo “f” es de cero, la Desviación estándar de la cartera estaría únicamente en función de la Desviación estándar del activo “x”. Si se invierte el 50% de los fondos en el activo “x” el Retorno esperado y la Desviación estándar del Portafolio serían: E (R p )

σ (R p )

=

8.06%

=

5.25%

Nótese que la Desviación estándar del Portafolio está en relación directa con el porcentaje de inversión en el activo “x”. En el siguiente cuadro se resume el Retorno esperado y la Desviación estándar del Portafolio frente a diferentes porcentajes de inversión en el activo “x”: a

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

E(Rp)

50% 8.06%

4.00%

4.81%

5.62%

6.44%

7.25%

8.06%

8.87%

9.68%

10.50%

11.31%

12.12%

s(Rp)

5.25%

0.00%

1.05%

2.10%

3.15%

4.20%

5.25%

6.30%

7.35%

8.40%

9.44%

10.49%

Donde:

α

=

Porcentaje de inversión en el activo “x”.

14.00% 12.00% 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00%

Desviación estándar del Portafolio

10.49%

9.44%

8.40%

7.35%

6.30%

5.25%

4.20%

3.15%

2.10%

1.05%

0.00% 0.00%

Retorno esperado del Portafolio

Si graficamos la relación entre la rentabilidad y el riesgo del Portafolio conformado por el activo “x” y “f” obtendremos la siguiente figura:

Cómo el lector puede notar a simple vista, la rentabilidad del Portafolio está en función lineal del riesgo, entendiendo al riesgo como la Desviación estándar. Markowitz [1952,1959] desarrolló la Teoría del Portafolio y demostró matemáticamente que se puede encontrar como construir un Portafolio de activos riesgosos que proporcione la mejor combinación de riesgo y rendimiento. A este Portafolio se le denomina Portafolio de Mercado. La finalidad del presente trabajo es explicar al lector como se ha desarrollado el modelo CAPM y no la Teoría del Portafolio. La última es base para el desarrollo de la primera. Hecha esta aclaración, es posible replicar el ejemplo anterior reemplazando el activo “x” por el Portafolio óptimo de Mercado, que tiene su propio Retorno esperado y Desviación estándar2 : E ( Rm )

σ (Rm )

=

9.74%

=

1.97%

La pendiente de la Línea de Mercado de Capitales sería: E (R m ) − R f σm

Es importante que el le ctor recuerde esta fórmula porque será útil para la derivación del CAPM.

9. Rendimiento en un Mercado en Equilibrio Si construimos un Portafolio entre los activos “x” y el Portafolio de Mercado “m”, tenemos que el cambio del Retorno del Portafolio en relación al cambio en el porcentaje de inversión en el activo “x” sería: ∂E (R p ) ∂α

= E (R x ) − E ( Rm )

Y la relación entre la variación de la Desviación estándar sería: ∂σ (R p ) ∂α 2

[

2 = 1 α 2 σ x2 + (1 − α ) σ m2 + 2α (1 − α )σ xm 2

]

− 12

[

× 2ασ m2 − 2σ m2 + 2ασ m2 + 2σ xm − 4ασ xm

En un mundo en el que existieran sólo los activos “x” e “y”, el Portafolio óptimo de Mercado estaría conformado por una inversión del 75.7% de los fondos en al activo “x” y 24.3% en el activo “y”. Este ejemplo ha sido desarrollado en Bravo [2001]

]

Recuérdese que el Portafolio óptimo de Mercado ya contiene una porción del activo “x”. Ahora bien, como α representa el porcentaje de inversión en el activo “x” pero el Portafolio óptimo de Mercado ya contiene el activo “x”, entonces, en el presente caso, α representa la demanda adicional por el activo “x”, la “demanda en exceso” [Copeland, 1992:196]. El lector debe considerar que el modelo desarrollado por Sharpe [1964] parte del supuesto de un mercado que está en equilibrio. Y dentro de un mercado en equilibrio no podría haber una demanda en exceso del activo “x”. En consecuencia, α sería igual a cero. Si α igual a cero tenemos: ∂ σ (R p ) ∂α ∂σ (R p ) ∂α

∂σ (R p ) ∂α

[X

2 = 1 α 2σ x2 + (1 − α ) σ m2 + 2α (1 − α )σ xm 2

( )

= 1 σ m2 2

− 12

X

(

× − 2σ m2 + 2σ xm

]

− 12

[X

× 2ασ m2 − 2σ m2 + 2ασ m2 + 2σ xm − 4ασ xm

X

X

)

σ xm − σ m2 = σm

La Línea de Mercado de Capitales también es una relación de equilibrio. Dada la eficiencia del Mercado, la tangente entre la Línea de Mercado de Capitales y el Portafolio debe ser el Portafolio de Mercado, donde todos los activos son mantenidos de acuerdo a sus valores de mercado ponderados [Copeland, 1992:197]. “[…] the capital market line is also an equilibrium relationship. Given the market efficiency, the tangency portfolio, M, must be the market portfolio where all assets are held according to their market value weights.” [Copeland, 1992:197].

En consecue ncia, la pendiente de la Línea de Mercado de Capitales debería ser igual a la pendiente del Portafolio conformado por el activo “x” y el Portafolio de Mercado: E (R m ) − R f σm

=

E ( R x ) − E (R m ) σ xm − σ m2 σm

Despejando, el Retorno esperado del activo “x” sería: E (R m ) − R f σm

×

σ xm − σ m2 + E (R m ) = E ( R x ) σm

]

Multiplicando y dividiendo E (R m ) por σ m2 :

E (Rm ) − R f σm

σ xm − σ m2 E(Rm )σ m2 × + = E (Rx ) σm σ m2

E (Rm )σ xm − E( Rm )σ m2 − R f σ xm + R f σ m2 + E( Rm )σ m2 σ m2

= E( Rx )

2 R f σ m2 E(Rm )σ xm R f σ xm E (Rm )σ xm R f σ xm R f σ m − + = E( Rx ) ó + − = E( Rx ) σ m2 σ m2 σ m2 σ m2 σ m2 σ m2

Luego: E (R m )σ xm R f σ xm − = E (R x ) σ m2 σ m2 σ E( Rx ) = R f + E (Rm ) − R f xm2 σm Rf +

[

]

Donde:

σ xm =β σ m2

10.Rentabilidad y riesgo en el CAPM La determinación de la rentabilidad de la acción de una determinada empresa dentro del modelo del CAPM está dada por la relación entre la tasa libre de riesgo y la prima por riesgo negocio:

ρN

KE Rf

KE = Rf + ρN

Donde: KE = retorno esperado de la acción. Rf = tasa libre de riesgo ρ N = premio por riesgo negocio El riesgo de un activo individual se calcula a través de su desviación estándar. La Teoría del Portafolio demostró que el riesgo de un activo que forma parte de una cartera diversificada se mide por su covarianza y no por la desviación estándar. El modelo CAPM introduce el concepto del Beta (β ) como medida del riesgo. El Beta muestra la tendencia de una acción individual a covariar con el mercado, o si se quiere, muestra la sensibilidad de la rentabilidad de un título frente a la variación en la rentabilidad del mercado. Por ejemplo, una acción con un β = 1 tiende a subir y bajar proporcionalmente al mercado. El Retorno exigido por el inversionista para un título estará dado por la fórmula:

[

E ( R x ) = R f + β E (R m ) − R f

]

Si el Beta de una acción mayor que 1 se exigirá un retorno superior al del mercado y viceversa. Si el Beta de una acción es superior que 1 y su re torno no es lo suficientemente alto, el mercado castigará esa acción haciendo que descienda su precio lo que incrementará su retorno y mantendrá el equilibrio. El lector debe considerar que el CAPM es un modelo que trabaja en base a Retornos esperados, por ello no debe utilizarse este modelo para una proyección de corto plazo de la rentabilidad de una acción. Por el contrario, si aceptamos la utilización del modelo para proyectar la rentabilidad de un activo financiero debemos hacerlo bajo el entendimiento de que el modelo servirá para predecir el rendimiento promedio que la acción tendrá en el futuro y no el rendimiento exacto del siguiente período. La metodología para la determinación del Beta que comprende la determinación del horizonte de evaluación, del intervalo de tiempo para calcular los retornos y del índice representativo del Portafolio de Mercado será objeto de otro trabajo.

11.Resumen y Conclusiones El presente trabajo comienza por demostrar la estrecha vinculación existente entre el CAPM y la Teoría del Portafolio. Luego se hace un breve repaso del desarrollo histórico del modelo, destacando los aportes de Treynor [1961], Sharpe [1963, 1964], Lintner [1965a, 1965b] y Mossin [1966].

Los supuestos del CAPM son expuestos brevemente, ya que son desarrollados a lo largo del trabajo, destacándose el hecho de que el modelo puede ser válido a pesar de que sus supuestos no se apliquen enteramente en la realidad. Luego se introduce al lector en el concepto del CAPM. Para ello se desarrollan brevemente conceptos microeconómicos como la restricción presupuestaria, la curva de indiferencia [Frank, 2001] y el modelo de la Utilidad esperado desarrollado por Von Neumman y Morgenstern [1944]. Utilizando los conceptos desarrollados se hace referencia a la fortaleza explicativa del CAPM y una primera aproximación al modelo, entendiendo al Beta en su forma más simple como la pendiente de una regresión lineal de un solo factor. A continuación se procede a demostrar la derivación de la fórmula representativa del CAPM, siguiendo la metodología desarrollada por Copeland [1992]. Finalmente, se hace referencia al concepto de riesgo y rendimiento dentro del CAPM, en donde el riesgo no será medido en función de la desviación estándar de cada título sino de su Beta respectivo.