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Asignatura: Instrumentos de inversión

Modelo CAPM. Ejercicios Clase 5

Iván Araya

Ejercicios de CAPM 1. ¿Qué es el modelo de precios de activos de capital (CAPM en su sigla en inglés)? a. Es una expresión algebraica que mide el riesgo de un negocio que se asocia a las fluctuaciones que experimente el mercado. b. Cuando un inversionista busca determinar la rentabilidad de un activo, el guarismo o cifra mostrará dos componentes, a saber: la tasa libre de riesgo y el premio por el riesgo del negocio. c. Este premio viene dado por el producto de la beta de los activos y la prima por el riesgo de mercado, donde la beta es una medida de la sensibilidad del negocio de la empresa a las fluctuaciones que ocurren en el mercado. 2. ¿Cuáles son los supuestos del modelo CAPM? a. Los inversionistas son individuos adversos al riesgo y maximizan la utilidad esperada de su riqueza al final del período, que ellos consideran su horizonte de planeación. Ellos escogen entre carteras alternativas en base a la media o valor esperado y la varianza de las utilidades.

Año i 2001 2002 2003 2004 2005 Promedio

Activo A xi 182.00 50.00 17.80 6.80 54.00 62.12

Activo B yi 13.13 5.00 4.00 3.00 6.00 6.226

Desviación Estándar xi yi 14,371.21 47.67 146.89 1.50 1,964.26 4.96 3,060.30 10.41 65.93 0.05 70.02 4.02

Donde la esperanza o valor esperado es: 𝐸(𝑥) =

∑𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝑛

Página

b. Los inversionistas son tomadores de precios, es decir, ningún inversionista es lo suficientemente poderoso como para afectar al precio de los activos en el mercado. Además, los inversionistas tienen expectativas homogéneas sobre los retornos de los activos, o sea, pueden tomar decisiones basadas en un conjunto de oportunidades idénticas. c. Existe un activo de riesgo cero, tal que los inversionistas pueden endeudarse y prestar cantidades ilimitadas a esa tasa de riesgo cero.

1. Profesor Iván Araya

∑𝑛𝑖(𝑥𝑖 − 𝐸(𝑥))2 √ 𝐷𝑒𝑠. 𝑆𝑡𝑑(𝑆𝑥) = 𝑛−1

d. Las cantidades de activos son fijas. Además, todos los activos son comercializables en cualquier momento, es decir, son perfectamente líquidos y perfectamente divisibles. e. Los mercados de activos son friccionales, es decir, la tasa de endeudamiento iguala a la tasa de préstamos y la información tiene costos cero, a la vez que esta simultáneamente disponible para todos los inversores. f. No hay imperfecciones de mercado tales como impuestos, regulaciones o restricciones a ventas de corto plazo, ni costos de transacción o cualquier restricción para operar. 3. ¿Cómo se calcula la Beta? La beta (𝛽) =

𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 (𝑥𝑖,𝑦𝑖) 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 (𝑦𝑖)

Donde: ∑𝑛𝑖[𝑥𝑖 − 𝐸(𝑥)] ×[𝑦𝑖 − 𝐸(𝑦)] 𝐶𝑜𝑣(𝑥𝑖, 𝑌𝑖) = ∑𝑛𝑖[𝑦𝑖 − 𝐸(𝑦)]2 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑖)

y

𝐶𝑜𝑒𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑥𝑖, 𝑌𝑖) =

∑𝑛𝑖[𝑥𝑖 − 𝐸(𝑥)] ×[𝑦𝑖 − 𝐸(𝑦)] (𝑛 − 1)×𝑆(𝑥)×𝑆(𝑦)

El coeficiente de correlación mide la tendencia de los rendimientos de los títulos a moverse conjuntamente. Su valor numérico depende de la similitud entre cada dos pares posibles de los rendimientos de los títulos y oscila entre−1 ≤ 𝜌 ≤ +1.

Página

Por tanto, cuando una cartera de inversiones presenta una correlación cero, implica que su riesgo cartera es muy pequeño. La diversificación efectiva requiere que los rendimientos de los títulos no tengan una correlación perfecta positiva.

2. Profesor Iván Araya

La correlación perfecta positiva es 𝜌 = +1 indica que los rendimientos se mueven en perfecta sincronización. La correlación perfecta negativa es 𝜌 = −1 y señala que los rendimientos se mueven exactamente en dirección opuesta. El valor 𝜌 = 0 denota que los rendimientos no están relacionados.

4. Ejercicios: a. Suponga dos bases de datos con el movimiento bursátil del mercado y otra, con el movimiento bursátil de un activo de largo plazo:

Tasa de Rentabilidad media Estimada de Mercado r n N de observación

fecha

1 2 3 4 5

06/04/2010 07/04/2010 08/04/2010 09/04/2010 10/04/2010

Indice

variación

12,266.98 100.00 12,390.39 101.01 12,407.66 101.15 12,409.36 101.16 12,449.36 101.49 Retorno Esperado

Rentabilidad rnM 0.0101 0.0115 0.0116 0.0149 0.0120

Rentabilidad Estimada a partir de los precios del activo r e N de observación

fecha

Precio del activo

1 2 3 4 5

06/04/2010 07/04/2010 08/04/2010 09/04/2010 10/04/2010

variación

38,320.00 100.00 38,020.00 99.22 37,860.00 98.80 38,100.00 99.43 38,100.00 99.43 Retorno Esperado

Rentabilidad rnE 0.0078 0.0120 0.0057 0.0057 0.0078

Determine la relación que existe entre ambos activos y determine la beta

Análisis [xi - E(X)]^2 [yi - E(Y)]^2 [xi - E(X)]*[yi - E(Y)]

Varianza (x) Varianza (y) Covarianza(x,y) 0.0019 0.0000 0.0000038 0.0000000 - 0.00000000000000 0.0005 0.0042 0.0000003 0.0000174 0.00000222349544 0.0004 0.0021 0.0000002 0.0000044 - 0.00000082242952 0.0029 0.0021 0.0000082 0.0000044 0.00000598505748 0.0000124 0.0000262 0.00000738612340 Desv.Standar 0.0035246 0.0051138

3. Profesor Iván Araya

-

yi - E(Y)

Página

xi - E(X)

b. Se presenta una base histórica de los retornos de dos activos, uno del sector eléctrico (xi) y el otro del sector bancario (yi). Además, se entrega el proxi mercado para determinar la beta de cada activo y el de la cartera de inversión. Luego de determinar el Coeficiente de correlación, grafique la trayectoria de los retornos de cada activo (xi,yi):

Año i 2001 2002 2003 2004 2005 Promedio

Activo A xi 30 40 -5 -15 20 14

Activo B yi -18 -20 35 49 24 14

Cartera Ci 6 10 15 17 22 14

Mercado Mi 10 15 30 40 50 29

Además, la inversión en cada papel financiero es del 50% del total de la inversión del portafolio.

xi 256.00 676.00 361.00 841.00 36.00 23.291629

Desviación Estándar yi Ci 1,024.00 64.00 1,156.00 16.00 441.00 1.00 1,225.00 9.00 100.00 64.00 31.408598 6.204837

Mercado 361.00 196.00 1.00 121.00 441.00 16.733201

16 26 -19 -29 6 0

(mi-m) (xi-x)(mi-m) -19 -304 -14 -364 1 -19 11 -319 21 126 0 -880

(mi-m)2 361 196 1 121 441 1120 -0.78571429

Página

(xi-x)

4. Profesor Iván Araya

Cálculo de la beta del activo xi respecto al mercado:

Cálculo de la beta del activo yi respecto al mercado:

(yi-y) -32 -34 21 35 10 0

(mi-m) (yi-y)(mi-m) -19 608 -14 476 1 21 11 385 21 210 0 1700

(mi-m)2 361 196 1 121 441 1120 1.51785714

Cálculo de la beta de la cartera 𝛽𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑟𝑎 = 𝛽𝑥𝑖 ×𝑃𝑥 + 𝛽𝑦𝑖 ×𝑃𝑦

𝛽𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑟𝑎 = −0.7857×0.50 + 1.5178×0.50 = 0.3661

Cálculo del Coeficiente de correlación

(xi-x)(yi-y) 𝐶𝑜𝑒𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑥𝑖, 𝑌𝑖) = -512.00 -884.00 -399.00 -1,015.00 60.00 -2,750.00

𝐶𝑜𝑒𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑥𝑖, 𝑌𝑖) =

∑𝑛 𝑖 [𝑥𝑖−𝐸(𝑥)]×[𝑦𝑖−𝐸(𝑦)] (𝑛−1)×𝑆(𝑥)×𝑆(𝑦)

−2.750,00 = −0,9398 (5 − 1)×23,2916×31,4085

5. Profesor Iván Araya

(yi-y) -32 -34 21 35 10 0

Página

(xi-x) 16 26 -19 -29 6 0

Gráfico:

c. Análisis de Cartera Año i 2009 2010 2011 2012 2013 Promedio Porci% Cartera

Activo A xi 34 21 -5 -15 3 7,6 0,3

Activo B yi 10 20 -20 -10 20 4 0,7

Cartera Ci 17,2 20,3 -15,5 -11,5 14,9 5,08

Mercado Mi 10 20 -5 -20 15 4

Desviación Estándar (xi-x)2 (yi-y)2 (Ci-C)2 696,96 36 146,8944 179,56 256 231,6484 158,76 576 423,5364 510,76 196 274,8964 21,16 256 96,4324 19,7939385 18,1659021 17,1275217

Página

6. Profesor Iván Araya

Suponga que el coeficiente de correlación de los activos es 0,6382539. Se pide determinar la beta de la cartera y otros indicadores relevantes para determinar el retorno de la cartera ajustado al riesgo sistemático, si la tasa libre de riesgo es 2,25%.

d. Análisis de Cartera

fecha

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

07-04-2017 08-04-2017 09-04-2017 10-04-2017 11-04-2017 12-04-2017 13-04-2017 14-04-2017 15-04-2017 16-04-2017 17-04-2017 18-04-2017 19-04-2017 20-04-2017 21-04-2017

Indice 23.525,46 17.961,00 14.567,16 19.733,81 16.238,69 19.578,89 13.648,99 20.396,82 12.642,60 22.176,68 19.504,41 24.281,30 17.809,19 13.518,63 15.074,59

variación 100,00 76,35 61,92 83,88 69,03 83,22 58,02 86,70 53,74 94,27 82,91 103,21 75,70 57,46 64,08

n

fecha

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

07-04-2017 08-04-2017 09-04-2017 10-04-2017 11-04-2017 12-04-2017 13-04-2017 14-04-2017 15-04-2017 16-04-2017 17-04-2017 18-04-2017 19-04-2017 20-04-2017 21-04-2017

Precio del activo 41.554,08 56.790,37 48.993,05 51.027,24 75.237,25 53.974,02 43.678,81 55.312,10 73.576,21 45.532,25 60.542,91 39.215,16 72.648,12 39.301,86 58.774,95

variación 100,00 136,67 117,90 122,80 181,06 129,89 105,11 133,11 177,06 109,57 145,70 94,37 174,83 94,58 141,44

7. Profesor Iván Araya

n

Rentabilidad Estimada a partir de los precios del activo

Página

Tasa de Rentabilidad media Estimada de Mercado