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• Daniel Campos

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Cap´ıtulo 1

Integrales impropias 1.1. Integrales impropias Para evaluar integrales definidas se ha exigido dos condiciones: a) Los extremos del intervalo de integracion ´ son finitos, es decir, un intervalo de la forma [a, b] con a, b ∈ R. b) La funcion ´ es acotada en ese dominio, es decir, no hay as´ıntotas verticales. Recordemos que es posible que el integrando tenga un numero ´ finito de discontinuidades por salto, y aun ´ as´ı la integral definida existe. Adem´as, recordemos que para la utilizacion ´ del Teorema Fundamental del C´alculo se requiere que la funcion ´ en el integrando, sea continua en el intervalo de integracion ´ Definicion ´ 1.1.1. Diremos que una integral definida es una integral impropia si alguna de las condiciones anteriores no se satisface. En espec´ıfico: a) Una integral definida se dice impropia de tipo I o primera especie, si el dominio de integracion ´ es un intervalo de la forma [ a, ∞), (−∞, a] o (−∞, ∞). Una condicion ´ para evaluar una integral de este tipo es que el integrando sea una funcion ´ acotada en el intervalo de integracion. ´ b) Una integral definida se dice impropia de tipo II o segunda especie, si el intervalo de integracion ´ tiene extremos finitos, pero la funcion ´ tiene una discontinuidad infinita (una as´ıntota vertical) en un punto, ya sea, un punto interior o en los extremos del intervalo. Observacion ´ 1.1.2. Las integrales impropias cuyo intervalo de integracion ´ es no acotado y adem´as tienen discontinuidades infinitas en el intervalo, son llamadas integrales impropias del tipo III.

1.1.1. Integrales impropias de tipo I Definicion ´ 1.1.3. 1. Sea f una funcion ´ continua en el intervalo [ a, ∞). Utilizaremos la nocion ´ de l´ımite para aproximarnos a infinito tanto como queramos, mediante integrales definidas 1

1.1 Integrales impropias donde el l´ımite superior es cada vez mayor. Formalmente, definimos: Z ∞ a

f ( x) dx := l´ım

Z b

f ( x) dx,

b→∞ a

siempre que exista el l´ımite. 2. Sea f funcion ´ continua en el intervalo (−∞, b], entonces se define la integral impropia Z b

−∞

f ( x) dx := l´ım

Z b

a→− ∞ a

f ( x) dx,

si el l´ımite existe. 3. Sea f funcion ´ continua en el intervalo (−∞, ∞), entonces se define la integral impropia Z ∞

−∞

f ( x) dx :=

Z a

−∞

f ( x) dx +

Z ∞ a

f ( x) dx,

donde a es cualquier numero ´ real, y siempre que estas integrales impropias existan. En los casos anteriores, cuando el l´ımite existe, se dice que la integral impropia es convergente y que el valor del l´ımite es el valor de la integral impropia. Si el l´ımite no existe, la integral impropia es divergente. Ejemplo 1.1.4. Se llama Trompeta de Gabriel al solido ´ formado al girar alrededor del eje X, la 1 region ´ infinita que queda entre la gr´afica de la funcion ´ f ( x) = y el eje X, con x ≥ 1. x Calcular el volumen. Solucion: ´ Calculemos el volumen del solido ´ de revolucion ´ en el intervalo [1, b], por el m´etodo del disco. Z b 1 −π b V (b) = π dx = 2 x 1 1 x   1 −1 . = −π b Si hacemos tender b a infinito, se tiene V = l´ım −π b→∞



1 −1 b

Ejemplo 1.1.5. Demostrar que la integral impropia su valor. 2



Z ∞ 2

= π. dx es convergente, calculando (2x − 1)2

Ana Cecilia de la Maza - Ang´elica Mansilla - Elena Olivos.

1.1 Integrales impropias Solucion: ´ Usando la definicion ´ de la integral impropia tenemos Z ∞ 2

dx = l´ım (2x − 1)2 b→∞

Una primitiva del integrando es F ( x) = − Z ∞ 2

Z b 2

dx (2x − 1)2

1 . Por lo tanto 2(2x − 1)

 b    1 1 1 1 dx = l´ım − + = . = l´ım − 2 (2x − 1) 2(2x − 1) 2 b→∞ 2(2b − 1) 6 6 b→∞

1 Con lo cual la integral impropia es convergente y su valor es . 6

Observacion ´ 1.1.6. Por la definicion ´ de integral impropia, las t´ecnicas de integracion ´ siguen siendo v´alidas, como podemos comprobar en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1.1.7. Determinar el valor de la integral Z ∞

−∞

dx . 9 + 4x2

Solucion: ´ 2 ! 2x 2 2x , por lo que tomando u = , du = dx, y notando Notemos que 9 + 4x2 = 9 1 + 3 3 3 que x y u tienden simult´aneamente a ±∞, tenemos 

Z ∞

−∞

dx 9 + 4x2

= = = = = =

1 6

Z ∞

1 6

Z

−∞

du 1 + u2

0

−∞

du + 1 + u2

0

du 1 + u2



 Z h du du + l´ım l´ım h→∞ 0 1 + u2 b →− ∞ b 1 + u2  0 h  1 l´ım arc tg u + l´ım arc tg u 6 b→−∞ h→∞ b 0   1 l´ım (0 − arc tg b) + l´ım (arc tg h − 0) 6 b→−∞ h→∞ 1 π π π = + 6 2 2 6

1 6



Z 0

Teorema 1.1.8. Sea a > 0, la integral impropia p > 1.

Z ∞

Z ∞ dx a

xp

diverge si p ≤ 1 y converge a

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

a1− p , si p−1 3

1.1 Integrales impropias Demostracion. ´ Se tiene que para p 6= 1, Z ∞ dx a

=

xp

=

l´ım

Z b dx

b→∞ a

= l´ım

xp

1 b→∞ 1 − p l´ım

b→∞



1 b p −1

x− p+1 b 1− p a

−

1 a p −1



Para p = 1 Z ∞ dx a

x

= l´ım

Z b dx

x

b→∞ a

 1− p a    p−1 =    ∞

si p > 1, si p < 1.

b = l´ım ln x = l´ım (ln b − ln a) = ∞. b→∞

b→∞

a



Ejercicios Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias: 1.

Z ∞

2.

Z ∞

3.

Z ∞

2

2

1

dx , 2 x −x dx 2 x +x+1 e

−x

dx,

4.

Z 1

5.

Z ∞ dx

6.

Z

−∞

1

2

dx , 1 + 3x2

√ , x x

∞√

dx , x−1

dx , ∞ √ 2 x x−1

7.

Z

8.

Z

9.

Z ∞

∞ −∞ −∞

dx , 1 + x2 x dx 3

(4 + 9x2 ) 2

.

1.1.2. Integrales del tipo II Definicion ´ 1.1.9. Las integrales definidas de funciones que tienen una discontinuidad infinita, o bien en un extremo o en un punto interior del intervalo acotado [ a, b], se dicen integrales impropias del tipo II. Si los siguientes l´ımites existen, hablaremos de integral impropia convergente, y si no, de integral divergente. i) Si f es continua en ( a, b], y discontinua en a, entonces Z b a

f ( x) dx = l´ım

c → a+

Z b c

f ( x) dx.

ii) Si f es continua en [ a, b), y discontinua en b, entonces Z b a

4

f ( x) dx = l´ım

c→b−

Z c a

f ( x) dx.

Ana Cecilia de la Maza - Ang´elica Mansilla - Elena Olivos.

1.1 Integrales impropias iii) Si f es continua en [ a, b], excepto tal vez en x = c, con a < c < b, y siempre que los l´ımites existan, entonces Z b a

f ( x) dx =

Z c a

f ( x) dx +

Z b c

f ( x) dx.

1 Ejemplo 1.1.10. Calcular el a´ rea bajo la curva de √ , en el primer cuadrante, entre x = 0 y x x = 1. Solucion: ´ Es claro que la funcion ´ tiene una discontinuidad infinita en x = 0. Entonces A( R) = l´ım

Z 1 1

a →0 a

2

√ dx. x

1

Calculando esta integral, tenemos

√ 1 √ A( R) = l´ım 2 x = l´ım 2(1 − a) = 2. a →0

0

−1

a →0

a

1

2

−1

Luego, el a´ rea bajo la curva es 2.

Ejemplo 1.1.11. Determinar la convergencia (y su valor ) de la integral impropia Z 4 0

Solucion: ´ La funcion ´

1 2

( x − 2) 3

dx 2

( x − 2) 3

.

es continua en [0, 2) ∪ (2, 4] y tiene una discontinuidad infinita en x = 2.

Consideremos que segun ´ la definicion ´ Z 4 0

dx

( x − 2)

2 3

=

Z 2 0

dx

( x − 2)

2 3

+

Z 4 2

dx 2

( x − 2) 3

,

siempre que ambas integrales existan. Ahora Z 2 0

Z 4 2

dx 2

( x − 2) 3 dx 2

( x − 2) 3

= =

l´ım−

c →2

l´ım

c →2+

Z c

dx

c

( x − 2) 3

2

( x − 2) 3 Z 4 dx 0

Por lo tanto la integral es convergente y

2

1 c 1 = l´ım− 3( x − 2) 3 = l´ım− 3(c − 2) 3 + 6 = 6, 0

c →2

c

c →2

√ 1 4 3 3 = l´ım+ 3( x − 2) = 3 2.

Z 4 0

c →2

dx

( x − 2)

2 3

√ 3 = 6 + 3 2.

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

5

1.1 Integrales impropias Ejemplo 1.1.12. Determinar la convergencia o divergencia de la integral Solucion: ´ Tenemos que la funcion ´ Z 2 0

Z 2 0

dx . 2−x

1 es continua para x 6= 2 y tiene discontinuidad infinita en x = 2. 2−x

dx = l´ım− 2−x c →2

Z c 0

c dx = − l´ım− ln(2 − x) = l´ım− (ln 2 − ln(2 − c)) = ∞. 2−x c →2 c →2 0

Por lo que la integral es divergente.

Ejemplo 1.1.13. Analizar la convergencia o divergencia de

Z 3 1

√

dx 4x − x2 − 3

.

Solucion: ´ Se pide calcular una integral de una funcion ´ continua en (1, 3), pero que tiene discontinuidad infinita en los extremos x = 1 y x = 3, ya que 4x − x2 − 3 = −( x − 1)( x − 3). Debemos separar en dos la integral, para esto consideremos un punto cualquiera c ∈ (1, 3). As´ı, Z c Z 3 Z 3 dx dx dx √ √ √ = + . 2 2 1 c 1 4x − x − 3 4x − x − 3 4x − x2 − 3 Notemos que 4x − x2 − 3 se puede escribir como 1 − ( x − 2)2 , por lo que haciendo el cambio de variable x − 2 = sen α, (notar que en este intervalo −1 ≤ x − 2 ≤ 1) y tomando c = 2, se obtiene que Z 3 dx √ = π. 1 4x − x2 − 3 Por lo tanto la integral impropia es convergente y su valor es π. Teorema 1.1.14. Las integrales impropias Z b a

dx , ( x − a) q

Z b a

dx , (b − x)q

convergen si q < 1 y divergen si q ≥ 1. Ejercicios Determine al convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias:

6

1.

Z 2

√

2.

Z 9

√

0

0

dx 4−

x2

dx , 9−x

,

3.

Z 2

dx , 1 − x2

4.

Z 3

√

0

0

dx , 3−x

5.

Z 2

6.

Z 1 dx

1

Ana Cecilia de la Maza - Ang´elica Mansilla - Elena Olivos.

−1

dx √ , x x−1 2

x3

.

1.2 Criterios de convergencia para integrales impropias de tipo I

1.2. Criterios de convergencia para integrales impropias de tipo I A veces solo se quiere saber si una integral impropia es convergente o no, para esto usaremos los siguientes criterios de convergencia. Observacion ´ 1.2.1. Si la integral tiene m´as de un punto de discontinuidad infinita y/o intervalos infinitos, se debe separar en una suma de integrales (con un solo punto conflictivo), y luego analizar por separado cada una de ellas.

1.2.1. Criterio de comparacion ´ Teorema 1.2.2. Sean f y g funciones continuas en [ a, ∞), tal que ∀ x ∈ [ a, ∞) se tiene 0 ≤ f ( x ) ≤ g( x ), entonces i) Si

Z ∞

ii) Si

Z ∞

a

a

g( x) dx es convergente, entonces f ( x) dx es divergente, entonces

Z ∞ a

Z ∞ a

f ( x) dx es convergente.

g( x) dx es divergente.

Demostracion. ´ Demostraremos solo la primera parte del teorema, ya que la segunda parte corresponde a la contra-rec´ıproca de la primera. Sean F y G funciones funciones reales definidas por F (b) =

Z b a

f ( x)dx

y

G (b) =

Z b a

g( x)dx.

Como 0 ≤ f ( x) ≤ g( x), entonces F y G son crecientes para todo b ∈ [ a, ∞). Adem´as, 0 ≤ F (b) ≤ G (b)
0 tal que x →∞ g( x ) 2 f ( x) L ∀ x > N, − L < . g( x ) 2

As´ı, para todo n > N, se tiene

− 8

f ( x) L L < −L< 2 g( x ) 2

⇒

L L g( x ) < f ( x ) < g( x ) 2 2

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1.2 Criterios de convergencia para integrales impropias de tipo I Luego, tenemos que L 2 Si

Z ∞ a

Z ∞ aZ

cion ´

M

g( x)dx
0 o λ = ∞ y p ≤ 1, entonces la integral

f ( x) dx converge. Z ∞ a

f ( x) dx diverge.

Observacion ´ 1.2.7. El criterio p es una caso particular del criterio de comparacion ´ en el l´ımite.

Ejemplo 1.2.8. La integral l´ım

x →∞

x3

4 4x · 4 = 2 5x − 2x + 3 5

Z ∞ 1

5x4

4x dx es convergente, pues para p = 3 tenemos que − 2x2 + 3

∞ x dx Ejemplo 1.2.9. La integral es divergente. En efecto, si consideramos p = 1, se tiene 3 e ln x que 2x2 4x2 8x2 x2 = l´ım = l´ım =∞ l´ım 3 = l´ım 2 x →∞ 3 ln x x →∞ 6 ln x x →∞ 6 x →∞ ln x

Z

Ejercicios Determinar al convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias: 1.

2. 10

Z ∞ 2

Z ∞ 1

dx x2 − x

e

−x

dx

3.

Z 1

dx 9 + 4x2

4.

Z ∞

x dx

−∞

−∞

3

(4 + 9x2 ) 2

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1.3 Criterio de convergencia para integrales impropias de tipo II 5.

Z ∞ (1 − cos x) dx

10.

Z ∞

6.

Z −1 4x e dx

11.

Z ∞

( x + x4 )−1/2 dx

7.

Z ∞ ( x3 + x2 ) dx

12.

Z ∞

4x2 dx 3x6 + 25x + 1

13.

Z ∞ (2x2 − 1) dx

14.

Z ∞

x2

0

x

−∞

x6 + 1

−∞

x2 dx 2x4 + 25

8.

Z ∞

9.

Z 5 ( x2 + x3 ) dx

1

−∞

x6

+1

x2

0

0

1

dx √ + x

√

1

1

x6 + 16

ln x dx √ . x2 + 16

1.3. Criterio de convergencia para integrales impropias de tipo II Para integrales impropias de tipo II se tienen los mismos criterios que en las integrales de tipo I, teniendo en cuenta que el l´ımite lo calculamos en el punto donde la funcion ´ no est´a acotada.

1.3.1. Criterio de comparacion ´ Teorema 1.3.1. Sean f y g funciones continuas en [ a, b), tal que l´ım f ( x) = l´ım g( x) = ∞. Si x →b−

para toda x ∈ [ a, b) se tiene que 0 < f ( x) ≤ g( x), entonces i) Si

Z b

g( x) dx es convergente, entonces

ii) Si

Z b

f ( x) dx es divergente, entonces

a

a

Z b a

Z b a

x →b−

f ( x) dx es convergente.

g( x) dx es divergente.

1.3.2. Criterio de comparacion ´ en el l´ımite Teorema 1.3.2. Sean f y g funciones continuas y positivas en el intervalo [ a, b) tal que l´ım f ( x) = l´ım− g( x) = ∞.

x →b−

Si para toda x ∈ [ a, b) se tiene que l´ım

x →∞

x →b

f ( x) = L, entonces g( x )

i) Si 0 ≤ L < ∞, se tiene que si Z b a

g( x) dx convergente, entonces

Z b

f ( x) dx convergente.

Z b

f ( x) dx divergente.

a

ii) Si 0 < L < ∞ o L = ∞, entonces Si

Z b a

g( x) dx divergente entonces

a

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

11

1.3 Criterio de convergencia para integrales impropias de tipo II

1.3.3. Criterio de la potencia Teorema 1.3.3. Sea q un numero ´ real. 1. Sea f continua y no negativa en ( a, b] y l´ım+ ( x − a)q · f ( x) = λ. Entonces x→a

i) si 0 ≤ λ < ∞ y q < 1 entonces

Z b a

f ( x) dx converge

ii) si λ > 0 o λ = ∞ y q ≥ 1 , entonces

Z b a

f ( x) dx diverge.

2. Sea f continua y no negativa en [ a, b) y l´ım (b − x)q · f ( x) = λ. Entonces x →b−

i) si 0 ≤ λ < ∞ y q < 1 entonces

Z b a

f ( x) dx converge

ii) si λ > 0 o λ = ∞ y q ≥ 1 , entonces

Z b a

f ( x) dx diverge.

Ejercicios Estudiar convergencia de las integrales impropias: 1.

Z 1 cos x dx

2.

Z 1

x2

0

0

dx √ ( x + 1) 1 − x 2

3.

Z 6 ln x dx

4.

Z 1

5.

Z 2 ln x dx

3

0

1

( x − 3) 4 √

√ 3

dx 1 − x2 8−

x3

6.

Z 1

7.

Z

8.

Z 3

9.

Z ∞

√ 3

10.

Z ∞

dx √ x x−1

0

π 2

0

0

0

1

dx p

ln( x−1 )

ln(sen x) dx

x2 dx (3 − x )2 e− x dx x(3 + 2 sen x)

1.3.4. Convergencia absoluta Definicion ´ 1.3.4. Se dice que la integral impropia de f es absolutamente convergente en un cierto intervalo acotado o no acotado, si la integral de la funcion ´ | f | es convergente en dicho intervalo. Naturalmente, los criterios de convergencia antes vistos para integrales de funciones no negativas, pueden usarse para estudiar la convergencia absoluta de la integral de cualquier funcion. ´ Por ello, el siguiente teorema, es de gran utilidad. Teorema 1.3.5. Si 12

Z ∞ a

| f ( x)| dx converge, entonces

Z ∞ a

f ( x) dx converge.

Ana Cecilia de la Maza - Ang´elica Mansilla - Elena Olivos.

1.3 Criterio de convergencia para integrales impropias de tipo II Demostracion. ´ Z Sabemos que

∞

a

| f ( x)| dx converge. Entonces, para cada x ∈ [a, ∞), se tiene que −| f ( x)| ≤ f ( x) ≤ | f ( x)| luego 0 ≤ f ( x) + | f ( x)| ≤ 2| f ( x)|,

aplicando el teorema de comparacion, ´ tenemos que la integral gente, y as´ı

Z ∞ a

f ( x) dx.

Z

f ( x) + | f ( x)| dx es conver-



Definicion ´ 1.3.6. Diremos que la integral impropia Z ∞

i) converge absolutamente; si

a

ii) converge condicionalmente; si

Z ∞ a

f ( x) dx

| f ( x)| dx converge.

Z ∞ a

f ( x) dx converge, pero

Ejemplo 1.3.7. Analizar la convergencia de

Z ∞ a

| f ( x)| dx diverge.

Z ∞ cos x dx

x2

1

Solucion: ´

Z ∞ cos x dx 1 es convergente. EntonSabemos que para todo x ≥ 1, se tiene 2 ≤ 2 y la integral 2 x x 1 x Z ∞ cos x ces por el criterio de comparacion, ´ tenemos que 2 dx es convergente. x 1

Luego

Z ∞ cos x dx

x2

1

es absolutamente convergente.

Ejemplo 1.3.8. Probar que

Z ∞ sen x 0

x

dx es condicionalmente convergente.

Solucion: ´ 1 sen x sen x Como l´ım = 1, la integral dx no es impropia, luego ella es convergente. x →∞ x x 0 Z ∞ sen x dx es convergente. Para ello, utilizaremos la definicion ´ de Ahora debemos probar que x 1 integral impropia e integracion ´ por partes.

Z

Z ∞ sen x 1

x

dx = l´ım

Z h sen x

h→∞ 1

Z ∞ Z h cos x cos x h cos x dx = l´ım dx = cos 1 − dx. − l´ım 2 x x 1 h→∞ 1 x x2 h→∞ 1

Por el ejemplo anterior, sabemos que bi´en es convergente. Por otro lado, debemos mostrar que

Z ∞ cos x

x2

1

dx es convergente, entonces

Z ∞ sen x 1

x

dx tam-

Z ∞ sen x 1



x

dx es divergente.

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13

1.4 Funcion ´ Gamma En efecto, para todo x ≥ 1, podemos decir que, sen2 x ≤ x

sen x , x

luego Z ∞ sen2 x 1

x

dx =

Z ∞ 1

2x

1

dx −

Z ∞ cos 2x 1

2x

dx.

La primera integral es divergente por el teorema 1.1.8 y la segunda es convergente por el teorema 1.3.5. Z ∞ sen2 x dx es divergente. Luego la integral x 1 Z ∞ sen x Por el criterio de comparacion, ´ se tiene que dx diverge. x 1 As´ı, la integral Z ∞ sen x dx x 0 es condicionalmente convergente.

1.4. Funcion ´ Gamma Esta funcion ´ fue introducida por Euler en 1729 y nos permite determinar el valor algunas integrales impropias, sin calcularlas. Definicion ´ 1.4.1. Para valores positivos de x, la funcion ´ Gamma, denotada por Γ( x), se expresa mediante la integral Γ( x) =

1.4.1.

Z ∞ 0

e−t tx −1 dt

Propiedades de la funcion ´ Gamma

1. Γ es una funcion ´ continua ∀ x > 0. 2. Γ(1) =

Z ∞ 0

e−t dt = 1

3. Para todo n ∈ N se tiene Γ(n) = (n − 1)! 4. Γ( x + 1) = x · Γ( x)   √ 1 = π 5. Γ 2 6. Si n es un entero positivo, Γ( x + n) = ( x + n − 1)( x + n − 2) · · · x Γ( x), x > 0 7. Γ( x)Γ(1 − x) = 14

π , sen πx

0