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• Carlos Recinos Vásquez

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2012 MATEMÁTICA INTERMEDIA II

Edwin Alexis Cordero Pesquera ©

201145938

Hugo René Días Linares

201145972

Keneth Obed Rodas Linares

201146031

Capitulo 13 13.1.15 Determine una ecuación vectorial y ecuación paramétrica para el segmento rectilíneo P y Q. P(0,0,0) Q(1,2,3) Ver ejemplo 3 pagina 819 de James Stewart Utilizando la ecuación 12.5.4 que se encuentra en la página 797 del libro de Calculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0 ISBN 13: 978-970-686-638-7 ⟩ y ⟨ ⟩ para obtener una En este caso se toma ⟨ ecuación vectorial del segmento rectilíneo que va de P a Q. Se determinó una ecuación vectorial para el segmento rectilíneo que une la punta del vector con la del vector . ( )

(

)

Sustituyendo valores: (1-t)(0,0,0) + t(1,2,3), Obtenemos la ecuación vectorial: ( ) 〈 〉

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

Ecuación paramétrica

13.1.16 Determine una ecuación vectorial y paramétrica para el segmento rectilíneo que une P y Q. Ver ejemplo 3 pagina 819 de James Stewart Utilizando la ecuación 12.5.4 que se encuentra en la página 797 del libro de Calculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0 P(1,0,1) Q(2,3,1) ( ) ( ) (

( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

Ecuación Paramétrica

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

13.1.36 Encuentre una función vectorial que representa intersección de las dos superficies. Cilindro

la curva de

y la superficie z = xy

xy= plano z=

(

)(

)

(

)

Convertimos el 4costsent por identidad trigonométrica ver página 542 del libro de Precálculo, James Stewart-Lothar Redlin-Saleem Watson, quinta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 970-686-638-8 ISBN 13: 978-970-686-638-7 Ecuaciones paramétricas

( ) Función vectorial ( )

(

)

13.1.38 El paraboloide

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

y el cilindro

La función vectorial que representa la curva de intersección de la grafica son: Si [

]

Si [

]

Si

tenemos que ( ) =

( )

(

)

13.2.9 Calcule la derivada de la función vectorial: ( )

(

( )

[

]

( )

) [ ] (

[

] )( )

( )

13.2.21 Encuentre el vector tangente T(t) en el punto con el valor dado del parámetro t. ( ) ( )

〈

〉

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

Utilizando la formula: Ver ejemplo 1 pagina 825 de James Stewart Utilizando la ecuación 13.2.1 que se encuentra en la página 824 del libro de Calculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0 ISBN 13: 978-607-481-152-0 (

)

( )

( ) | ( )| ( )

( ) ( ) | ( )|

(

)

√

√

( ) | ( )|

√

(

)

√

√

√

( ) ( )

( )

⌈

( )

( )

⌈

( )

( )

(

⌉ ⌉

⌈ )

( ) Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

⌉ ( ( )

⌈ )

⌉ (

)

13.2.33 Evalué la integral: ∫

(

)

((∫

)

(∫ [

]

[

)

(∫

]

[

) ) ]

13.2.35 Evalué la integral dada: ∫(

) ((∫

)

(∫

(∫

)

) )

[

]

(

)

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

[ (

] )

[ (

] )

13.3.1 Determine la longitud de la curva: ( ) ( ) | ( )|

√(

| ( )|

√

∫

)

(

(

| ( )|

) ∫

) )

√

√

]

(

√

√ = 107.70

√

13.3.7 Determine la longitud de la curva Ver ejemplo 1 pagina 830 de James Stewart Utilizando la ecuación 13.3.2 que se encuentra en la página 830 del libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0 ISBN 13: 978-970-686-638-7 ( ) ( ) | ( )|

√ √

√ ∫ | ( )|

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

∫

(

( )

(

) [

) ]

13.3.6 Encuentre la longitud de la curva: ( )

√

( )

√ | ( )|

√(

)

√

√

( )

13.3.13 Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arco medida desde el punto t =0 en la dirección en que se incremente: ( )

(

)

(

)

( ) | ( )|

( )

√

√

∫ | ( )|

∫√

√

√ ( ( ))

√

(

√

√

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

)

(

√

)

13.3.18 a) Determine los vectores unitario, tangente y normal unitario T(t) y N(t). b) Aplique la fórmula 9 de la página 832 del libro para calcular la curvatura. La ecuación 9, que se encuentra en la página 832 del libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0

( ) ( )

〈

( )

〈

( )

〈

〉 〉 〉

| ( )|

√

| ( )|

√

( )

( ) | ( )|

( )

( )

B)

√

√

〈

√

〉

√

( ) | ( )|

( )

| ( ) ( )| | ( )|

(

√

)

〈

〉

√ √

〈

〉

√

| ( )| | ( )|

√

√

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

√

〈

〉

√

13.3.21 Aplique el teorema 10 de la pagina 833 del libro para calcular la curvatura. ( )

La ecuación 10, que se encuentra en la página 833 del libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0

| ( ) ( )| | ( )|

( ) ( ) ( ) | ( )| ( ) | ( )

√( )

( )

√

( ) ( )| ( )

(√

)

(

)

⁄

13.3.27 Mediante la formula 11 de la pagina 834 del libro, determine la curvatura

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

La ecuación 11, que se encuentra en la página 834 del libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0

| ( )|

( )

( ( )) ]

[

⁄

( ) ( ) ( ) ( )

| [

|

(

) ]

⁄

[

]

⁄

13.3.44 Calcule los vectores tangente T, normal N y binormal B en el punto dado: ( )

〈

( )

〈

| ( )|

〉

(

)

〉 |

( )

( ) | ( )|

( )

〈

( )

〈 [(

( )

〈

| 〈

〉 〉

)(

)

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

(

( )(

) )] ( 〉

( )(

) )

〉

( )

( ) | ( )|

√

( )

( )

( )

( )

(

( )

〈

( )

〈

( )

(

√

(

√

) √ (

)

(

(

)

√

√

〈

√

√

〉

)

) 〉

√ √

√ √

〉

)

13.3.45 Determine las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de la curva en el punto dado: (

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) | ( )| √ √

(

)

√

( (

) )

(

)

(

)

La ecuación 7, que se encuentra en la página 798 del libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

Ecuación del plano tangente: (

(

( )

)

)

(

(

(

)

)

√ √

√ ( )

| ( )|

〈

( )

(

〉

) √

(

)

( )

(

)

(

Ecuación del plano osculador: ( ) ( (

)

)

(

√

| ( )|

( )

(

)

)

(

)

(

)

√

(

)

) (

)

)

13.4.3 Calcule la velocidad, la aceleración y la rapidez de una partícula con la función de posición dada. ( )

(

)

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

( ) (

( ) )

( ) (

( ( )

)

(

) )

(

(

) ) | ( )|

√

13.4.9 Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula con la función de posición dada: ( )

〈

〉

( )

( )

( )

( )

( )

√( )

(

| ( )|

(

) ( )

) ( )

√

13.4.15 Determine los vectores de velocidad y posición de una partícula que tiene la aceleración dada y la velocidad y posición iniciales dadas: ( )

( )

( )

( ) ( )

∫ ( )

∫(

)

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

Constante cuando v(t = 0) = c; Entonces tenemos que c = k ( ) ( )

∫ ( )

∫(

)

( ) Cuando r(t = 0) = D entonces D = i entonces: ( )

(

)

13.4.18 Encuentre el vector de posición de una partícula que tiene la aceleración y la velocidad y posición iniciales especificadas: ( ) v(t = 0) = k r(t = 0) = j+k ( )

∫(

)

Cuando k = v(t = 0) tenemos que: (

)

(

)

( )

Entonces: Entonces tenemos que: ( )

(

)

(

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

)

( )

∫ ( )

( )

(

( )

(

( )

(

∫(

(

)

( )

)

)

(

) )

) (

(

) )

( ) ( ) Entonces: D = 0 ( )

(

)

(

)

13.4.19 La función de posición de una partícula está definida por ( ) 〈 〉 Cuando la rapidez sea: ( )

( )

(

)

| ( )|

| ( )|

√( )

| ( )|

| ( )|

√

| ( )|

| ( )|

√

| ( )|

(

(

)

⁄

)

(

Si el número es cero tenemos que: 16t - 64= 0 ; t=4 Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

)

Si

| ( )|

| ( )|

Sustituyendo t = 4 en | ( )|

| ( )|

√ ( )

( )

√

13.4.21 Una fuerza de magnitud de 20N actúa en forma directriz hacia arriba del plano xy sobre un objeto con masa de 4kg, el objeto parte del ) origen con velocidad inicial ( Determine la función de posición y su rapidez en el tiempo t: | ( )|

en la dirección positiva de z.

m = 40kg F = ma ( )

[ ( )];

Entonces:

( )

( ) ( )

Velocidad magnitud:

( )

√

√

Entonces: ( ) Entonces:

pues la partícula parte del origen.

( )

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

13.4.33 Calcule las componentes tangencial y normal del vector aceleración: ( )

(

( )

(

) )

| ( )|

√(

)

| ( )|

√(

)

( )

( ) ( )

( )

(

) ( ) ( ) | ( )|

Ecuación 9, que se encuentra en la página 843 del libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0 Por la relación,

(

) | ( ) ( )| | ( )|

La ecuación 10, que se encuentra en la página 843 del libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0

(

) (

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

)

13.9.18 Encuentre el vector unitario tangente T(t) en el punto con el valor dado del parámetro z. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

√ √ ( ) | ( )| (

(

√

)

)

13.9.38

Encuentre la función vectorial que representa la curva de intersección de estas dos gráficas: Si Si : ( ) ( )

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

(

)

13.118 Ejercicio de repaso: Una partícula parte del origen con velocidad inicial i-j+3k. Su aceleración es a(t) = 6ti + 12 j - 6tk. Calcule su función de posición ()

∫ () ( )

( )

∫ ( )

)

∫( )

∫( (

)

(

(

) )

(

(

) )

( )

( ) ( )

(

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

)

(

)

(

)

( )