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Capítulo IV

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas ccc y EDOs de orden superior

CAPITULO IV ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Y EDOs DE ORDEN SUPERIOR 

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneas

con coeficientes constantes Se le llama ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea con coeficientes constantes a la ecuación diferencial de la forma siguiente: 𝑎𝑦 ´´ + 𝑏𝑦 ´ + 𝑐𝑦 = 0 → (1) Donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0 Las soluciones de este tipo de ecuaciones son de la siguiente forma: 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 Entonces 𝑦 ´ (𝑥) = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 ,

𝑦 ´´ (𝑥) = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥

Luego, si r es una raíz de la ecuación 𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 Donde (2) es conocida como ecuación auxiliar o característica, la función 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 , 𝑒s solución de la ecuación (1) o

Casos especiales

Caso I: Si las 𝑟1 𝑦 𝑟2 son raíces reales y distintas entonces 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑟1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 𝑟2 𝑥

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Son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial (1), donde su ecuación general está dada por 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑟1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑟2 𝑥 Caso II: si las raíces son reales e iguales entonces 𝑟1 = 𝑟2 = −

𝑏 =𝑟 2𝑎

Por lo tanto 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑟𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = 𝑥𝑒 𝑟𝑥 Son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial (1), donde su ecuación general está dada por 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑟𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑟𝑥 Caso III: Cuando se obtienen raíces complejas, en este caso, se denotaran de la siguiente forma: 𝑟1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 y 𝑟2 = 𝛼 − 𝛽𝑖, Entonces dos soluciones linealmente independientes son: 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 (𝛼−𝑖𝛽)𝑥 Sin embargo estamos interesados en encontrar soluciones con valores reales, y a través de la fórmula de Euler se sigue que: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 Ejemplo: 𝒚,, − 𝟒𝒚, + 𝟒𝒚 = 𝟎 Solución Si nos damos cuenta, la ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogéneo con coeficientes constantes, por lo tanto, el polinomio característico de la ecuación diferencial es: 𝑟 2 − 4𝑟 + 4 = 0 Donde r = 2 de multiplicidad 2 Luego 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 2𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = 𝑥𝑒 2𝑥

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La solución general está dada por 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 2𝑥



Ecuaciones diferenciales lineales de orden Superior (n) Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n tienen la siguiente

forma 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 (𝑛) (𝑥) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) (𝑥) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 , (𝑥) + 𝑎0 (𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥) → (1) Donde 𝑎0 , 𝑎1 … 𝑎𝑛 y g son funciones que dependen de la variable independiente (x) o pueden ser funciones constantes Si en la ecuación (1) la función 𝑔(𝑥) = 0 entonces se obtiene: 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 (𝑛) (𝑥) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) (𝑥) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 , (𝑥) + 𝑎0 (𝑥)𝑦(𝑥) = 0 → (2) A la ecuación diferencial (2) se le llamara ecuación diferencial lineal homogénea Si en la ecuación (1) la función 𝑔(𝑥) ≠ 0 entonces se le llamara ecuación diferencial lineal no homogénea Si 𝑦1 , 𝑦2 … . 𝑦𝑛 son soluciones de la ecuación diferencial (2), entonces la combinación lineal de 𝑦1 , 𝑦2 … . 𝑦𝑛 también es solución de la ecuación diferencial (2), siempre y cuando 𝑦1 , 𝑦2 … . 𝑦𝑛 sean funciones linealmente independientes 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 Donde 𝑐1 , 𝑐2 … 𝑐𝑛 son constantes

o

Dependencia lineal de las funciones

Se dice que un conjunto de funciones 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥) … … … … … … 𝑓𝑛 (𝑥) es linealmente dependiente (L.D) en un intervalo I si existen constantes si existen constantes𝑐1 , 𝑐2 , … … 𝑐𝑛 no todas cero tales que 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0 Para todo x que pertenece al intervalo I. o

Independencia lineal de las funciones 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥) … … … … … … 𝑓𝑛 (𝑥)son linealmente independientes (L.I) en I si

no son L.D, es decir:

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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas ccc y EDOs de orden superior 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0

Para todo x∈ 𝐼 implica que 𝑐1 = 0, 𝑐2 = 0, … … , 𝑐𝑛 = 0 

El wronskiano Sean𝑓1 , 𝑓2 … 𝑓𝑛 funciones que tienen al menos (𝑛 − 1)derivadas en un

intervalo abierto I. para 𝑥en I, el wronskiano de dichas funciones se define como el determinante 𝑓1 (𝑥) 𝑓1 , (𝑥) | 𝑤(𝑓1 , 𝑓2 … 𝑓𝑛 )(𝑥) = ⋮ (𝑛−1) 𝑓𝑛 (𝑥)

𝑓2 (𝑥) … 𝑓𝑛 (𝑥) , 𝑓2 (𝑥) … 𝑓𝑛 , (𝑥) | ⋮ ⋮ 𝑓2 (𝑛−1) (𝑥) 𝑓𝑛 (𝑛−1) (𝑥)

Si el determinante de los coeficientes de 𝑐1 , 𝑐2 , … … 𝑐𝑛 no es nulo es decir, el 𝑤𝑟𝑜𝑛𝑠𝑘𝑖𝑎𝑛𝑜 = 0 entonces diremos que las funciones: 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥) … 𝑓𝑛 (𝑥) Son linealmente independientes. Ejemplo: Demostrar que las funciones 𝑒 𝑥 , 𝑒 2𝑥 , 𝑒 3𝑥 son linealmente independientes. Solución: 𝑒 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑊 = |𝑒 𝑥 2𝑒 2𝑥 𝑒 𝑥 4𝑒 2𝑥

𝑒 3𝑥 6𝑥 3𝑒 3𝑥 | = 2𝑒 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 9𝑒 3𝑥

Entonces las funciones 𝑒 𝑥 , 𝑒 2𝑥 , 𝑒 3𝑥 son linealmente independientes