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• Eiver Rodriguez Pérez

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Universidad de Cartagena Facultad de Ciencias Exactas

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Exactas

Daniela P´erez Novoa Eiver Rodr´ıguez P´erez Jon Valiente Iglesias Alberto Rodr´ıguez Castilla 17 de octubre de 2016

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

Soluci´ on a los ejercicios: 1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: a.) (x + y)(x − y) dx + x(x − 2y) dy = 0 Reescribamos la ecuaci´on como: (x2 − y 2 ) dx + (x2 − 2xy) dy = 0 Tomemos; M (x, y) = (x2 − y 2 ) N (x, y) = x2 − 2xy As´ı, la ecuaci´on diferencial toma la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Luego; para que esta ecuaci´on diferencial sea exacta debe suceder que: ∂N ∂M = ∂y ∂x Dado que; ∂N ∂M = −2y 6= = 2x − 2y ∂y ∂x La ecuaci´on diferencial no es exacta. Veamos si es homogenea: dy x2 − y 2 =− 2 (x − y ) dx + (x − 2xy) dy = 0 ⇒ dx x − 2xy 2

2

2

x2 − y 2 ⇒ y =− 2 x − 2xy 0

2

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

x2 − y 2 dy =− 2 Sea f (x, y) = y = dx x − 2xy 0

Entonces; (tx)2 − (yt)2 f (tx, ty) = − (tx)2 − 2(tx)(ty) t2 x2 − t2 y 2 = − 2 2 t x − 2t2 xy t2 (x2 − y 2 ) = − 2 2 t (x − 2xy)   2 2 x − y = t0 − 2 x − 2xy = t0 f (x, y) Asi; f (x, y) es una funci´on homogenea de grado n = 0; luego la ecuacion diferencial es homogenea. Podemos resolverla por este metodo: dy (x2 − y 2 ) =− 2 dx (x − 2xy) Dividamos arriba y abajo por x2 del lado derecho de la ecuaci´on:  y 2 −1 dy x   = dx 1 − 2 y x y Luego; Tomemos el cambio de variable v = o bien, y = xv. x Entonces; dy dv dv v2 − 1 =v+x ⇒ v+x = dx dx dx 1 − 2v 3

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

As´ı; dv v2 − 1 x = −v dx 1 − 2v v 2 − 1 − v + 2v 2 = 1 − 2v 3v 2 − v − 1 = 1 − 2v Luego: 1 − 2v dx dv = 3v 2 − v − 1 x Integrando en ambos lados de la ecuaci´on tenemos que: Z Z dx 1 − 2v dv = 3v 2 − v − 1 x Resolvamos primero: Z 1 − 2v dv 3v 2 − v − 1 Completemos el cuadrado en el denominador:    2  2 ! v 1 1 1 1 1 3v 2 − v − 1 = 3 v 2 − − = 3 v2 − v + − − 3 3 3 6 3 6 !  2 1 13 = 3 v− − 6 36 De tal forma que nuestra integral queda as´ı: Z

(1 − 2v) dv = 3v 2 − v − 1

Z  3 4

1 − 2v q 2  dv
1 2 13 v−6 − 36

Ecuaciones Diferenciales

Z

5 Sem. 2015

(1 − 2v) 1 dv = 3v 2 − v − 1 3

1 − 2v q 2 dv
1 2 13 v−6 − 36

Z

 1 =  3

 Z

dv v−


1 2 6

−

Z q 2 − 13 36

2v dv  q 2 
2 13 v − 61 − 36

Resolvamos primero: Z Z dv dv = − 2 q   2 q 2 
1 1 2 13 13 v−6 − − v− 36 36 6 r 1 13 Tomemos x = v − ⇒ dx = dv y a = , por lo tanto, utilizando 6 36 las tablas de integrales: Z

dv v−


1 2 6

−

Z q 2 = − 13 36

1 x + a 1 = − ln +c a2 − x 2 2a x − a

√ −1 + 13 √ v + 3 13 6√ +c = − ln 13 1 + 13 v− 6 Z Resolvamos ahora

2v dv q 2
1 2 13 v−6 − 36

1 1 Tomemos u = v − , entonces du = dv y v = u + 6 6 As´ı nuestra integral toma la forma: 5

Ecuaciones Diferenciales

Z

5 Sem. 2015

2v dv q 2 = 2
2 13 v − 16 − 36

u + 61 du u2 − 13 36

Z

 Z  = 2

 u u2 −

du +

13 36

1 6

Z u2 −

du  q 2  13 36

Tomemos otro cambio de variable:r 13 dw 13 w = u2 − ⇒ = u du y a = , por tanto 36 2 36  Z

2v dv 1 = 2  q   2
2 1 2 13 v−6 − 36 

 Z

dw 1 − w 6

Z



du q 2 13 36



− u2

  

 1  u + a  1 1     = 2  ln |w| −  r  ln +c 6 u − a  2 13  2 36  q  √ 1 v − 6 + 13 13 1 3 13 36   2 q  + c = ln |u − | −  ln v − 1 − 13 36 3 13 6 36 √ √ −1+ 13 13 13 v + 6 1 √ = ln (v − )2 + − ln +c v − 1+ 13 6 36 13 6 Finalmente podemos concluir que:

6

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

 Z

(1 − 2v) 1 dv =  3v 2 − v − 1 3

 Z

dv v−


1 2 6

−

Z q 2 − 13 36

√ −1 + 13 √ v + 1  3 13 6√ − ln (v − 1 )2 − − ln =  6 3 13 1 + 13 v− 6 +k 

2v dv   q   2
1 2 13 v−6 − 36

√  −1 + 13 √ v +  13 13 6√  + ln 36 13 1 + 13  v− 6

 √ −1 + 13 √ v +  1 1 2 13 13 6√ − ln (v − )2 −  + k =  − ln 3 13 6 36  1 + 13 v− 6 

Por tanto la soluci´on a la ecuaci´on diferencial es:

√ √ v + −1 + 13 1 2 13 1 13 2 6 − ln (v − ) − = ln x + C √ − ln 39 6 36 1 + 13 3 v− 6

.

√ y −1 + 13  √ + 2 2 13 x 1 y 1 13 6 − ln √ − ln − − = ln x + C 39 36 y 1 + 13 3 x 6 − x 6

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Ecuaciones Diferenciales

b.) x3 + y 3




5 Sem. 2015

dx + 3xy 2 dy = 0

Veamos si la ecuaci´on diferencial es exacta. Tomemos; M (x, y) = x3 + y 3




N (x, y) = 3xy 2 As´ı, la ecuaci´on diferencial toma la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Luego; para que esta ecuaci´on diferencial sea exacta debe suceder que: ∂M ∂N = ∂y ∂x En efecto; ∂M ∂N = 3y 2 = ∂y ∂x Ahora busquemos una funci´on g(x, y) tal que: ∂g ∂g = M (x, y) y = N (x, y) ∂x ∂y ∂g La condici´on = M (x, y) implica que: ∂x ∂g = M (x, y) ⇒ ∂g = M (x, y) ∂x ∂x Z Z ⇒ g(x, y) = M (x, y) dx = x4 ⇒ g(x, y) = + xy 3 + f (y) 4 La condici´on

∂g = N (x, y) implica que: ∂y 8


x3 + y 3 dx

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

∂g ∂ = N (x, y) ⇒ ∂y ∂y



 x4 + xy 3 + f (y) = 3xy 2 4

⇒ 3xy 2 + ⇒

∂f = 3xy 2 ∂y

∂f =0 ∂y

⇒ f (y) = 0 = c x4 + xy 3 + c = q 4 Luego; la
solucion general de la ecuaci´on diferencial x3 + y 3 dx + 3xy 2 dy = 0 es: ⇒

x4 + xy 3 = t 4 donde t = q − c. c.) 3x2 y + ey




dx + x3 + xey − 2y




dy = 0

Tomemos; M (x, y) = 3x2 y + ey N (x, y) = x3 + xey − 2y As´ı, la ecuaci´on diferencial toma la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Luego; para que esta ecuaci´on diferencial sea exacta debe suceder que: ∂M ∂N = ∂y ∂x En efecto; ∂M ∂N = 3x2 + ey = ∂y ∂x 9

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

Ahora busquemos una funci´on h(x, y) tal que: ∂h ∂h = M (x, y) y = N (x, y) ∂x ∂y ∂h La condici´on = M (x, y) implica que: ∂x dh = M (x, y) ⇒ dh = M (x, y) dx dx Z Z ⇒ h(x, y) = M (x, y) dx =


3x2 y + ey dx

⇒ h(x, y) = x3 y + xey + f (y) La condici´on

∂h = N (x, y) implica que: ∂y


dh ∂ = N (x, y) ⇒ x3 y + xey + f (y) = x3 + xey − 2y dy ∂y ⇒ x3 + xey + ⇒

∂f = x3 + xey − 2y ∂y

∂f = −2y ∂y

⇒ ∂f = −2y ∂y Z ⇒ f (y) = (−2y) dy = −y 2 + c1 Luego; la solucion general de la ecuaci´on diferencial

3x2 y + ey dx + x3 + xey − 2y dy = 0 es f (x, y) = c2 . Es decir; y 2 = k;

√ y=± k

Donde k = −(c2 − c1 ) = c1 − c2 > 0

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Ecuaciones Diferenciales

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xy



d.) (y ln y − e ) dx +

1 y

 + x ln y

dy = 0

Veamos si la ecuaci´on diferencial es exacta. Tomemos; M (x, y) = y ln y − exy 1 + xy ln y 1 N (x, y) = + x ln y = y y As´ı, la ecuaci´on diferencial toma la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Luego; para que esta ecuaci´on diferencial sea exacta debe suceder que: ∂M ∂N = ∂y ∂x Como; My =

∂M = ln y + 1 − xexy ∂y ∂N Nx = = ln y ∂x

Se tiene que: ∂M ∂N 6= ∂y ∂x Ademas;

y − xyexy My − Nx = N 1 + xy ln y Nx − My xexy − 1 = M y ln y − exy dependen de x e y. Por lo que dicha ecuaci´on diferncial no puede volverse exacta por los medios conocidos hasta ahora.

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Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

Reescrivamos la ecuaci´on como: yexy − y 2 ln y dy = dx 1 + xy ln y

As´ı; la ecuaci´on diferencial no es separable. Veamos si la ecuaci´on difrencial (y ln y − exy ) dx +



1 + x ln y y

 dy = 0

es homogenea. dy yexy − y 2 ln y Tomando; f (x, y) = = dx 1 + xy ln y Entonces; 2

tyetx(ty) − (ty)2 ln(ty) tyet xy − t2 y 2 ln(ty) f (tx, ty) = = 1 + tx(ty) ln(ty) 1 + t2 xy ln(ty) dy no es una funci´on homogenea. Por lo tanto dicha As´ı; f (x, y) = dx ecuai´on diferencial no es homogenea. As´ı; la ecuaci´on difrencial (y ln y − exy ) dx +



1 + x ln y y

 dy = 0

no es exacta, no es homogenea y no es separable. Por lo tanto no puede resolverse con los metodos vistos hasta el momento.

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Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

2. Determine el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas:



a.) y 3 + kxy 4 − 2x dx + 3xy 2 + 20x2 y 3 dy = 0 Tomemos M (x, y) = y 3 + kxy 4 − 2x y N (x, y) = 3xy 2 + 20x2 y 3 . As´ı, la ecuaci´on diferencial toma la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Luego; para que esta ecuaci´on diferencial sea exacta debe suceder que: dM dN = dy dx Como:

dM = 3y 2 + 4kxy 3 dy

y

dN = 3y 2 + 40xy 3 dx

Entonces: 3y 2 + 4kxy 3 = 3y 2 + 40xy 3 4kxy 3 = 40xy 3 4k = 40 ;

x 6= 0; y 6= 0

k = 10 Asi para que la ecuacion diferencial

y 3 + kxy 4 − 2x dx + 3xy 2 + 20x2 y 3 dy = 0 sea exacta deve suceder que k = 10.

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Ecuaciones Diferenciales

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b.) 2x − y sin(x) + ky 4





dx + 20xy 3 + x sin(xy) dy = 0

Tomemos: M (x, y) = 2x − y sin(x) + ky 4 y N (x, y) = 20xy 3 + x sin(xy). As´ı, la ecuaci´on diferencial toma la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Luego; para que esta ecuaci´on diferencial sea exacta debe suceder que: ∂M ∂N = ∂y ∂x Como: ∂M = − sin x + 4ky 3 ∂y dN = −20y 3 − [xy cos(xy) + sin(xy)] dy = −20y 3 − xy cos(xy) − sin(xy) Entonces: − sin x + 4ky 3 = −20y 3 − xy cos(xy) − sin(xy) 4ky 3 = −20y 3 − xy cos(xy) − sin(xy) + sin x −20y 3 − xy cos(xy) − sin(xy) + sin x k= ; y 6= 0 4y 3 −20y 3 − xy cos(xy) − sin(xy) + sin x k= 4y 3 Asi para que la ecuacion diferencial

2x − y sin(x) + ky 4 dx + 20xy 3 + x sin(xy) dy = 0 −20y 3 − xy cos(xy) − sin(xy) + sin x sea exacta deve suceder que k = . 4y 3 14

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

c.) 6xy 3 + cos y




dx + kx2 y 2 − x sin y




dy = 0

Tomemos M (x, y) = 6xy 3 + cos y y N (x, y) = kx2 y 2 − x sin y. As´ı, la ecuaci´on diferencial toma la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Luego; para que esta ecuaci´on diferencial sea exacta debe suceder que: ∂M ∂N = ∂y ∂x Como:

∂M = 18xy 2 − sin y ∂y

y

∂N = 2kxy 2 − sin y ∂x

Entonces: 18xy 2 − sin y = 2kxy 2 − sin y 18xy 2 = 2kxy 2 18 = 2k ; x 6= 0; y 6= 0 k=9 Asi para que la ecuacion diferencial

6xy 3 + cos y dx + kx2 y 2 − x sin y dy = 0 sea exacta deve suceder que k = 9. 3. Determine una funci´ on M (x, y) de forma que la ecuaci´ on diferencial sea exacta:   1 xy M (x, y) dx + xe + 2xy + dy = 0 x Sea M (x, y) dx + xexy + 2xy +

1 dy = 0 se debe cumplir que: x 15

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

  ∂M ∂N ∂ 1 1 xy = = xe + 2xy + = exy + xyexy + 2y − 2 ∂y ∂x ∂x x x Integrando respecto a y donde x representa una constante tenemos:

Z 

 1 e + xye + 2y − 2 dy M (x, y) = x Z Z Z Z 1 = exy dy + x yexy dy + 2y dy − 2 dy x Z Z y = exy dy + x yexy dy + y − 2 + c1 x Z Resolvamos exy dy xy

xy

Tomando el cambio de variable siguiente: dw w = xy ⇒ = dy x Z Z 1 1 w exy xy w e dy = e dw = (e ) + c2 = + c2 x x x Z Ahora resolvamos yexy dy Utilizando el m´etodo de integraci´on por partes tomando: 1 u = y ⇒ du = dy; dv = exy dy ⇒ v = (exy ), as´ı; x Z

Z

Z

Z 1 y yexy dy = u dv = uv − v du = exy − exy dy x x   yexy 1 xy 1 exy y = − 2 (e ) = ye − + c3 x x x x

Finalmente podemos concluir que: 16

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

   xy e 1 exy 1 +x yey − − 2 (y) + g(x) M (x, y) = x x x x y = yexy + y 2 − 2 + g(x) x De modo que podemos verificar 1 ∂N ∂M = exy + xyexy + 2y − 2 = ∂y x ∂x

4. Determine una funci´ on N (x, y) de manera que la siguiente ecuaci´ on diferencial sea exacta: r  x y + 2 dx + N (x, y) dy = 0 x x +y  r y x dx + N (x, y) dy = 0, se debe cumplir que: Sea + x x2 + y   1 1 ∂N ∂M ∂ 1 x x = = x− 2 y 2 + 2 = p √ − 2 ∂x ∂y ∂y x +y 2 x y (x + y)2 Integrando con respecto a x donde y representa una constante. du Esto tomando u = x2 + y ⇒ = xdx tenemos: 2

N (x, y) =

=

1 √

2 y 1 √

Z

Z 1 du x dx − 2 u2 !   √ 1 x2 x 1 1 u−1 − + g(y) = + + g(y) √ 1 2 + y) 2 −1 y 2(x 2 − 12

2 y √ x 1 = √ + + g(y) y 2(x2 + y) 17

Ecuaciones Diferenciales

5 Sem. 2015

De modo que podemos verificar que: 1 ∂M 1 = √ √ + ∂y 2 x y 2



−2x (x2 + y)2

 =

∂N ∂x

∂M 1 x ∂N = √ √ − 2 = ∂y ∂x 2 x y (x + y)2 1 2

el f raccionario

1 2 3 5 6 10 15 30 D30 iT :

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