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• Alberth Ricardo Alayo Rodríguez

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UNIVERSIDAD “CESAR VALLEJO” – TRUJILLO gred Escuela Profesional de Ingeniería Civil

TEMA

:

EJERCICIOS DE TIPOS DE CURVAS

CURSO

:

CAMINOS

PROFESOR

: MEZA RIVAS, Jorge

SECCIÓN

: TURNO TARDE

FECHA

: TRUJILLO, 16 DE JULIO DEL 2019 -1

INTEGRANTES

:

       

NOTA:

Agreda Alfaro, Sara Alayo Rodriguez, Alberth Alvarez Briceño, Renzo Celis Peralta, kevin Melendez Tomas, Anthony Rodriguez Paredes Luis Valderrama Quispe Brandon Villegas Urbina, Mayra

…............................ TRABAJO: EN NUMERO

EN LETRA

........................................... FIRMA DEL PROFESOR

CURVA HORIZONTAL SIMPLE Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos:      

Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20′ E Rumbo de la tangente de salida: N 19º40′ E Abscisa del punto de intersección de las tangentes, PI: k2+226 Coordenadas del PI: 800 N , 700 E Cuerda unidad: 20 m Radio de curvatura: 150 m

Calcular los elementos geométricos de la curva; las abscisas del PC y el PT; las coordenadas del PC, el PT y el centro de la curva; y las deflexiones de la curva. Solución 

Elementos geométricos de la curva

El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no siempre es así, en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE): Δ = 76º20′ – 19º40′ = 56º40′ Izquierda (A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada) Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos: Tangente: T = R · Tan (Δ/2)

Grado de curvatura: Gc = 2 · Sen-1[ c / (2R) ]

Longitud de la curva: Lc = c·Δ/Gc

Cuerda Larga: CL = 2·RSen(Δ/2)

Externa: E = R(1/Cos(Δ/2) – 1)

Ordenada Media (Flecha): M = R[1 - Cos(Δ/2)]

Deflexión por cuerda:

Deflexión por metro:



Abscisas del PC y el PT

Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T) como de la curva (Lc): Abscisa del PC = Abscisa del PI – T Abscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121 Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364 Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI, pues la curva acorta distancia respecto a los alineamientos rectos. 

Coordenadas de los puntos PC, PT y O

Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes: Azimut del PC al PI = 76º 20′ Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20′ + 180º = 256º 20′ Azimut del PC a O = 256º 20′ + 90º = 346º 20′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el PC) Azimut del PI al PT = 19º 40′ Nota: Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts, pues las condiciones particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos. Especialmente el hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha. Lo que yo recomiendo para no cometer errores es, primero que todo, tener bien claro el concepto de azimut, y luego hacer un dibujo representativo para ubicarse, que sea claro y más o menos a escala. Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (NA y EA), las coordenadas de un punto B (NB y EB) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así: NB = NA + DistanciaAB · Cos(AzimutAB) EB = EA + DistanciaAB · Sen(AzimutAB) Coordenadas del PI:

800N 700E Coordenadas del PC: N = 800 + T·Cos(256º 20′) = 800 + 80,879 Cos(256º 20′) N = 780,890 E = 700 + T·Sen(256º 20′) = 700 + 80,879 Sen(256º 20′) E = 621,411 Coordenadas del centro de la curva (O): N = 780,890 + R·Cos(346º20′) = 780,890 + 150 Cos(346º20′) N = 926,643 E = 621,411 + R·Sen(346º20′) = 621,411 + 150 Sen(346º20′) E = 585,970 Coordenadas del PT N = 800 + T·Cos(19º40′) = 800 + 80,879 Cos(19º40′) N = 876,161 E = 700 + T·Sen(19º40′) = 700 + 80,879 Sen(19º40′) E = 727,220 

Deflexiones de la curva

Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro. Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa distancia, por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20, es decir, si empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas: 

Subcuerda de entrada: 2 160 m – 2 145,121 m = 14,879 m

Ahora, si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δm=0º11’28,06”, para la primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de: 

Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m * 0º11’28,06” = 2º50’37,64”

A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda unidad), hasta llegar al PC, y la deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de la anterior con la deflexión por cuerda:      

Deflexión para la k2+180 = 2º50’37,64” + 3º49’21,2” = 6º39’58.84” Deflexión para la k2+200 = 6º39’58.84” + 3º49’21,2” = 10º29’20,04” Deflexión para la k2+220 = 10º29’20,04” + 3º49’21,2” = 14º18’41,24” Deflexión para la k2+240 = 14º18’41,24” + 3º49’21,2” = 18º08’02,44” Deflexión para la k2+260 = 18º08’02,44” + 3º49’21,2” = 21º57’23,64” Deflexión para la k2+280 = 21º57’23,64” + 3º49’21,2” = 25º46’44,84”

Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 , por lo tanto se genera otra subcuerda, la de salida, que se calcula de manera similar a la de entrada: 

Subcuerda de salida: 2 293,364 m – 2 280 m = 13,364

Y de la misma manera, la deflexión para la subcuerda es de: 

Deflexión para la subcuerda de salida = 13,364 m * 0º11’28,06” = 2º33’15,23”

Así que al final, la deflexión para el PT es: 

Deflexión para la k2+293,364 = 25º46’44,84” + 2º33’15,23” = 28º20’00,07”

La cual, según lo visto en el artículo, debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva:

Con esta información se construye la cartera de deflexiones, que va a ser la que permita materializar la curva en el terreno, pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. A continuación se muestran las tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de los alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT, que es el sentido en el que aumenta la deflexión). Nótese que la cartera está escrita de abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topógrafos. ESTACIÓN PT

PC

ABSCISA k2+293,364 K2+280 K2+260 K2+240 K2+220 K2+200 K2+180 K2+160 k2+145,121

DEFLEXIÓN 28º20’00,07” 25º46’44,84” 21º57’23,64” 18º08’02,44” 14º18’41,24” 10º29’20,04” 6º39’58.84” 2º50’37,64” 0º00’00”

CURVAS COMPUESTA Por las condiciones del terreno en una carretera primaria surge la necesidad de proyectar una curva compuesta de tres radios en el terreno, cuyos datos son los siguientes: Curva compuesta : R3>R2>R1 Sobrea ncho Ancho de calzada Angulo °(1) Angulo °(2) Angulo °(3) Angulo °

0,8 14,00 45,003 30,257 20,000 95,260 70,00 8,00 1,50 20+200,00 1570070,00

m. ms. Grados Grados Grados Grados Km/h % m. Km. m.

2630503,00 130,17

m. Grados

Grados 45 30,000 20,000 95,000

Minutos Segundos 0 10 15 25 0,00 0 15,00 35

Vel.proyecto (Vp) em ax= Sobre ancho: s= Prog. PI = NPI= EPI= Acimut de entrada Ae°= 1) Realizar inicialmente un dibujo a mano alzada (tipo croquis) de los alineamientos de

la curva planteada 2) Hallar los elementos geométricos dela curva compuesta 3) Hallar las Abcisa y ordenadas de los puntos principales PCC(1),PCC(2) y FC 4) Realizar la planilla de coordenadas planas de los puntos principales

PC,PCC(1),PCC(2),FC 5) Realizar un dibujo a escala adecuada en un CAD de su aplicación personal donde se

puedan comprobar las coordenadas planas halladas

Solución:

En curvas compuestas las longitudes de las curvas deben ser mayor o igual al mayor valor de Lmin de estos dos criterios : V2 ELECCION DEL Lemin

Pn)

Lemín 6.04 V(

=

128*R 1

Criterio de comodidad

Criterio apariencia General

Lemin =

VD/1.8 =

Ok. Longitud sector circular (Desarrollo) de cada curva :

6,64 m.

38,89 m>30

Long. Seccion circular (L1) =

PI*1*RC1/180

=

196,36 m>39.89 Ok.

Long. Seccion circular (L2) =

PI*2*RC2/180

=

211,23 m>39.89 Ok.

Long. Seccion circular (L3) = Longitud total de la curva =

PI*3*RC3/180

= =

174,53 m>39.89 Ok. 582,13 m.

L=L1+L2+L3

TANGENTES: Tangente T1 = R1*tan(°(1)/2) Tangente T2 = R2*tan(°(2)/2) Tangente T3 = R3*tan(°(3)/2)

= = =

103,560 m 108,142 m 88,163 m

Los otros elementos geométricos internos de las tres curvas en este caso no son necesarios para lo solicitado en este problema, pero se los ha calculado líneas más abajo. Se hallan las tangentes externas de entrada (Te) y de salida (Ts) del PI de la curva compuesta de tres radios cuya condición es R3>R2>R1

O3

O2 R2 O1 N R3

R1 R2 R1

FC

Ae= 130° 0' 0'' PC

PCC(2) PI-3 PI-1

PCC(1)

P-I2

=95,26° PI N(PI)= 1570070 E(PI)= 2360503 Fig.8.3.9-1 Dibujo a mano alzada de la curva de tres radios (R3>R2>R1) con los alineamientos en los PI para configurar las tres curvas circulares internas

De la configuración de la curva y aplicando la ecuación dada para el caso, hallamos la Tangente de salida de la curva:

(T2+T3) (T1+T2+(Sen(∝ °) Ts=C+D+ T3 =

Ts= Sen(∆°(1))

Sen(∆°(3))

+

(T2+T3)Sen(∆°(2)) +T3 Sen(∝°)

)) Sen(Q°)

Sen( °(3 Sen(20°)= 0,342020 ))= 91 Sen( °)= Sen(129,74 0,76891 3°)= 656 Sen( °) Sen(84,84° 0,99594 = )= 774 Sen( °(2 Sen(30,257 0,50388 ))= °)= 058 Sen( °(1 Sen(45,003 0,70714 ))= °)= 51 Entonces reemplanzado datos, hallamos Ts: Ts=C+D+T3= 212,31+128,64+88,16,3=

429,11 m.

Estos resultados han sido confirmados en el gráfico Ej. 8.3.9-1 realizado a escala y que se adjunta más abajo. COORDENADAS DEL PCC(1), PCC(2), FC X (PCC(1)= R1

SEN(

176,79 m

Y(PCC(1))= R1 * (1- COS( °(1)) =

X(PCC(2)= X(PCC(1))+R2 * SEN( Y(PCC(2)= Y(PCC(1))+R2*COS( (1))-R2*COS (

73,23 m ) - R2*SEN( (1))=

280,76 m

)) 254,29

m X(FC)=(R1-R2)*Sen( °(1)+(R2-R3)*Sen( °(1)+ °(2))+R3*Sen( )= 295,11 m. Y(FC)=R1*(1-Cos( °(1)+R2*(Cos( °(1))-Cos( °(1)+ °(2))+R3*((Cos( °(1)+ °(2))-Cos( °)) Y4-Y3=R2*Cos( °(1))-R2*Cos( °(1)+ °(2))=00*Cos(45,003°)400*Cos(45,003+30,257)= Y2-Y1=R3*(Cos( °(1)+ °(2))-R3*Cos( °))=500*Cos(45,003+30,257)U.A.G.R.M

Cátedra de Vias de Comunicación II –CIT.222 Ing. en Agrimensura –St. Cruz Bolivia

181,09 173,05 N° 20

500*Cos(95,26) Y(FC)=Y(PCC(1))+(Y4-Y3)+(Y2-Y1) =73,23+181,09+173,05

= = 427,37 m.

En función de las coordenadas halladas del FC podemos verificar las tangentes Te y Ts

Coordenadas planas de los puntos principales

En el presente ejemplo, para abreviar los cálculos, a veces no es necesario calcular las coordenadas planas del PI-1, PI-2 o ir a las coordenadas base de los centros O1,O2,O3 para calcular las coordenadas planas de los puntos en cada una de las curvas componentes; aquí se ha calculado directamente las coordenadas planas del PCC(1) con apoyo desde el PC , del PCC(2) con apoyo de las coordenadas del PCC(1) , del PCC(3) con apoyo de las coordenadas del PCC(2) y del Fc con apoyo de las coordenadas del PCC(3), para ello solamente se precisan en cada caso calcular la cuerda y el ángulo deflector del punto final correspondiente en cada curva y calcular los acimut respectivos de las cuerdas. Ci=2*R2*Seno (( i)/2) Cuerda de la curva i °(PCC(i))= °(i)/2 Ángulo de deflexión de los puntos comun es de curvatura PCC(i) y del FC Suponiendo en este caso que no se nos piden las coordenadas planas de los PI-1,Pi-2 y PI-3, o dicho de otra manera se decide optar por la otra alternativa sin utilizar las coordenadas de estos PI.

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N° 21

COORDENADAS DEL PC : N(PC) = N(PI)+Te*Coseno(180°-Aeº)= E(PC) = E(PI)+Te*Seno(180°-Aeº) = COORDENADAS DEL PCC(1) C1=2*R1*Seno(( 1)/2)=2*250*Seno(45, 003/2)= (PCC(1))= °(1)/2 = 45°/2 N(PCC(1)) = N(PC)+C1*Coseno(AeºPCC(1) )= E(PCC(1)) = E(PC) +C1*Seno(Aeº(PCC(1)) = COORDENADAS DEL PCC(2): C2=2*R2*Seno(( 2)/2)=2*400*Seno(30, 257/2)= (PCC(2))= °(2)/2 = 30,257/2 = N(PCC(2)) = N(PCC(1)) +C2*Coseno(Aeº- 1- 2/2)= E(PCC(2)) = E(PCC(1))+C2*Seno(Aeº12/2)= COORDENADAS DEL FC: C3=2*R3*Seno(( 3)/2)=2*500*Seno(20/ 2)= (PCC(3))= °(3)/2 = 20/2 = N(FC) = N(PCC(2))+C3*Coseno(Aeº123/2)= E(FC) = E(PCC(2)) ' +C3*Seno(Aeº 1 23/2) =

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1570285 ,72 2630247 ,46

m

191,35

m.

22,50

m

Grados

1570227 ,64 2630429 ,78

m

208,79

m.

15,13 1570298 ,92 2630626 ,03 173,65 10,00 1570421 ,90 2630748 ,63

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m

Grados m m

m. Grados m m

N° 22

Fig. Ej. 8.3.9-2 Detalle final de la curva compuesta de tres radios (R3>R2>R1) con elementos geométricos y coordenadas planas de los puntos principales

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N° 23

PROGRESIVAS O ABCISAS (m) Prog. PI

= 20200

=

20200

Prog. PC = Prog. PI-Te

= 20200-334,42

=

19865,58

PCC(1)= Prog PC+L1

=

19865,58+196,3 = 20061,94 6 PCC(2)= Prog. PCC(1)+L2 =20061,94+211,13 = 20+273,17 Prog. FC= Prog. PCC(2)+L3 20273,17+174,53 = 20447,71 20+447,71

(Km) 20+200,0 0 19+865,5 Prog 8 20+061,9 Prog 4 . 20273,17 =

L=Prog. FC - Prog.PI =20447,71 - 19865,58=582,13 m.

Cartera de localización

Para efectos comparativos, en el presente ejemplo retomamos para el replanteo por deflexiones el método del Grado de curvatura con cuerda unidad para obtener la deflexión por metro (°/m); deflexión por subcuerdas de tal manera de trabajar con progresivas enteras de los puntos con estacas intermedias en cada curva a excepción de los principios y final de cada curva que tienen progresivas fijas invariables.

Elección de la cuerda unidad

Para la elección de la Cuerda Unidad ( ci ) de las curvas circulares internas con una aproximación a su arco similar de 5 cm como máximo, en función del radio (Ri) respectivo se aconseja tomar como guía los valores del siguiente cuadro.

RADIO (Rc(m)) 32 – 67 67 – 143 > 143

CUERDA UNIDAD (c(m)) 5.00 10.00 20.00

Tal como se vio anteriormente en el replanteo por deflexiones de curvas circulares es también recomendable hacer el chequeo previo del arco o cuerda del replanteo en función del arco máximo permitido (lmax) similar a su cuerda con un error de 1/5000 , lmax= 0,07*Rc (m) de tal manera que siempre c=l 143m R3=500 m. >143

l 1 max=0,07*250=17,5 m., luego se asume c1=10 m.L=2.Dp-444/A=2(119.477)-444/10.75 L=197.652m. SI SE CUMPLE PARA Dp