• Author / Uploaded
• Brian Briceño

• Categories
• Integral
• Vector Euclidiano
• Derivado
• Cálculo
• Sistema coordinado

Citation preview

Instituto Tecnológico Superior de Irapuato Extensión Cuerámaro

Alumno: Brian Briceño López Carrera: Ingeniería Industrial Materia: Cálculo Vectorial Reporte: Unidad IV y V Docente: Marisela Sandoval Trujillo Fecha: 21 de Noviembre del 2017

1

Unidad IV 4. Funciones reales de varias variables. 4.1 Definición de una función de varias variables. 4.2 Gráfica de una función de varis variables. 4.3 Curvas y superficies de nivel. 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica. 4.5 Derivada direccional. 4.6 Derivadas parciales de orden superior. 4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena. 4.8 Derivación parcial implícita. 4.9 Gradiente. 4.10 Campos vectoriales. 4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.

Unidad V 5. Integración. 5.1 Introducción. 5.2 Integral de línea. 5.3 Integrales iteradas dobles y triples. 5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema. 5.5 Integral doble en coordenadas polares. 5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas. 5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

2

Unidad IV: Funciones reales de varias variables

4.1 Definición de una función de varias variables Las funciones de varias variables son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo: 

El volumen V de un cilindro circular V= V(r,h)= πr² • h compuesta de dos variables.



El área A de un cuadrado A= b • h compuesta de dos variables.



El volumen V de una caja rectangular V= V (l • a • h)= l • a • h compuesta de tres variables.

Denotaremos una función de dos o más variables de la forma usual: z= f(x,y)= x²+y²+1 z= f(x,y)= x y z

4.2 Grafica de una función de varias variables Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando se gráfica. La gráfica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) para los que z=f(x, y) y (x,y) está en el dominio de f. Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar que asigna al punto (x,y) el escalar Z=f(x,y). Un campo escalar se caracteriza por sus curvas de nivel ó líneas de contorno a lo largo de las cuales el valor f(x,y) es constante.

3

Podemos definir las funciones de tres o más variables, f: D Є Rⁿ → R En todo caso el dominio será un subconjunto de Rⁿ y el recorrido un subconjunto de R. Ejemplo:

4.3 Curvas y superficies de nivel La grafica es una función f: D Є Rⁿ → R es el conjunto de puntos (x, y, z) tales que Z= f(x, y) y xЄ R. Es decir, 𝑮𝒓𝒂𝒇 (𝒇) = {(𝒙, 𝒚 𝒇(𝒙, 𝒚))|(𝒙, 𝒚)Є𝑹} Características de las curvas de nivel. 1. Toda curva se cierra por sí misma. 2. Una curva no puede dividirse o ramificarse. 3. No se pueden fundir dos o más curvas en una sola. 4. Si en algún lugar las curvas de nivel se cruzan indican una cueva o una saliente. 5. En una zona dependiente uniforme quedaran las curvas equidistantes. 6. Si las curvas están muy separadas será porque hay pendiente suave, y cuando están muy cercanas la pendiente es fuerte.

4

Ejemplo:

5

4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica Sea f una función de las variables (x,y,z). La derivada parcial de f con respecto a x es la función denotada por D1f, tal que su valor en cualquier punto (x,y) del dominio de f esta dado por: D1f(x,y)=𝒍𝒊𝒎

𝒇(𝒙+∆𝒙,𝒚)−𝒇(𝒙,𝒚) ∆𝒙

∆𝒙→𝟎

Si este límite existe. De manera semejante, la derivada parcial de f con respecto a y es la función denotada por D2f tal que su valor en cualquier punto (x,y) del dominio de f esta dado por: D2f(x,y)=𝒍𝒊𝒎

𝒇(𝒙,𝒚+∆𝒚)−𝒇(𝒙,𝒚)

∆𝒚→𝟎

Si existe este límite. Ejemplo:

6

∆𝒚

4.5 Derivada direccional Supongamos que f es una función de tres variables x, y y z. Si u es un vector unitario cos αi+ cos βj+ cos γk

entonces la derivada direccional de f es la

dirección de u, denotada por Duf está dada por: Duf(x,y,z)=𝒍𝒊𝒎

𝒇(𝒙+𝒉 𝒄𝒐𝒔 𝜶, 𝒚 + 𝒄𝒐𝒔 𝜷, 𝒛+𝒄𝒐𝒔 𝜸) 𝒉

𝒉→𝟎

Ejemplo:

4.6 Derivadas parciales de orden superior Si tenemos z= f(x,y), sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es: 𝝏𝒛 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙 𝝏𝒛 = 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚

7

Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas pueden derivarse nuevamente respecto de x y de y son llamados derivadas de segundo orden. 𝝏𝟐 𝒛 = 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝟐 𝒛 = 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚𝟐 Ejemplo:

4.7 Incremento, diferenciales, y regla de la cadena Si u es un función diferenciable de x y de y, definida por u= f(x,y), donde x=F(r,s) 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒚

y y=G(r,s), y 𝝏𝒓 , 𝝏𝒔 , 𝝏𝒓 , 𝝏𝒔 existen, entonces u es una función de r y s y además:

𝝏𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = + 𝝏𝒓 𝝏𝒙 𝝏𝒓 𝝏𝒚 𝝏𝒓 𝝏𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = + 𝝏𝒔 𝝏𝒙 𝝏𝒔 𝝏𝒚 𝝏𝒔 8

Ejemplo:

4.8 Derivación parcial implícita Frecuentemente se presentan funciones en las cuales no es posible despejar a y o resulta difícil hacerlo. En esta situación, debe derivarse la función tal como está dada, (recordando que y es función de x y aplicando la regla de la cadena para derivarlos 𝒅𝒚

términos donde aparece y) y resolverse para 𝒅𝒙 Ejemplo:

9

4.9 Gradiente Si f es una función de las tres variables x, y y z, las primera derivadas parciales fx, fy, fz existen, entonces el gradiente de f denotado por ∇f, está definido por: ∇f(x,y,z)= fx(x,y,z)i +fy(x,y,z)j+Fz(x,y,z)k Al igual que para las funciones de dos variables. Si u es un vector unitario, entonces de la definición anterior se tiene: Duf(x,y,z)=u•∇f(x,y,z) Ejemplo:

4.10 Campos Vectoriales Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente

10

lineal.𝑹𝒏 → 𝑹𝒎 , en donde 𝑹𝒏 representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y 𝑹𝒎 el espacio vectorial que actúa como rango. Ejemplo:

4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física Sea F un campo vectorial sobre una bola abierta B de 𝑹𝟑 tal que F(x,y,z)= M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y,z)k Entonces el rotacional de F, denotado por rot F, está definido por: 𝒓𝒐𝒕 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (

𝝏𝑹 𝝏𝑵 𝝏𝑴 𝝏𝑹 𝝏𝑵 𝝏𝑴 − )𝒊 + ( − )𝒋 + ( − )𝒌 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚

Este también se puede desarrollar por el método de “producto cruz” 𝒊 𝒋 𝝏 𝝏 ( 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝑴 𝑵

11

𝒌 𝝏 ) 𝝏𝒛 𝑹

Ejemplo:

4.12 Valores extremos de funciones de variables Nos basaremos, básicamente, en dos teoremas: 

Puntos críticos: según teorema, Si

la

función f admite derivadas

parciales en

un extremo

relativo a,

entonces son iguales a 0. Es decir, los candidatos a extremos relativos son los puntos que anulan las derivadas parciales. Es una condición necesaria pero no suficiente, esto es, que se anulen en a no significa que a sea un extremo, pero es un requisito indispensable. A estos candidatos los llamamos puntos críticos. 

Teorema: condición suficiente de extremos relativos: Sean f una función de clase 𝐶 2 en un abierto del plano que es entorno del punto a, siendo a un extremo relativo

12

Llamamos a las derivadas parciales de f en a del siguiente modo: A=D1,1f(a)A=D1,1f(a) B=D1,2f(a)B=D1,2f(a) C=D2,2f(a)C=D2,2f(a) Y definimos el Hessiano de f en a como H=A⋅C−B2H=A⋅C−B2 El Hessiano es el determinante de la matriz Hessiana. Entonces se cumple que 

Si H>0H>0 y A0 y A>0A>0, entonces f tiene un mínimo local en a



Si H