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• Erick Machado

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DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CÁLCULO MULTIVARIAD

Leider Torres Código:

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Tutor:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela: ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería Curso: Cálculo Multivariado Valledupar 2019

INTRODUCCIÓN En esta actividad se estudia lo que son las derivadas parciales y cómo podemos aplicarlas para comprobar el teorema de la ecuación de onda en una dimensión. Además, se encontrará la derivada direccional de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada, utilizando derivadas direccionales. Se analizará e identificará los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Se Verifico los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.

Tarea 2 Derivadas de funciones de varias variables Cálculo Multivariado Temáticas por desarrollar: Unidad 2 - Derivadas de funciones de varias variables. • Derivadas Parciales. • Derivadas direccionales. • Linealización y diferenciales. • Máximos y mínimos. • Multiplicadores de Lagrange

Tabla de elección de ejercicios: Selección de ejercicios. Nombre del estudiante

Leider Torres

        

Grupo de ejercicios 1– Derivadas parciales

Grupo de ejercicios 2 – Derivadas direccionales

Grupo de ejercicios 3 – Linealización y diferenciales

Grupo de ejercicios 4 – Máximos y mínimos

Grupo de ejercicios 5 – Multiplicadores de Lagrange

B

B

B

B

B

Portada. Introducción. Desarrollo del Grupo de ejercicios 1 – Derivadas Parciales. Desarrollo del Grupo de ejercicios 2 – Derivadas Direccionales. Desarrollo del Grupo de ejercicios 3 – Linealización y Diferenciales. Desarrollo del Grupo de ejercicios 4 – Máximos y Mínimos. Desarrollo del Grupo de ejercicios 5 – Multiplicadores de Lagrange Tabla links de videos (se anexa para el paso 7) Referencias Bibliográficas en normas APA.

Actividades por desarrollar A continuación, se definen los 5 grupos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad: Grupo de ejercicios 1 – Derivadas Parciales. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 137-143).

La ecuación de onda Si nos paramos en la orilla del mar y tomamos una foto de las ondas, el rango muestra un patrón regular de picos y valles en un instante de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio, con respecto a la distancia. Si nos paramos en el agua, podemos sentir como sube y baja el agua con las olas. Vemos el movimiento vertical periódico en el tiempo. En física, esta bella simetría se expresa mediante la ecuación de onda en una dimensión (espacial) 𝜕 2𝑤 𝜕 2𝑤 2 = 𝑐 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 Donde 𝒘 es la altura de la onda, 𝒙 es la variable de distancia, 𝒕 es la variable de tiempo y 𝒄 es la velocidad de propagación de las ondas. Muestre que todas las funciones de los ítems a – e son soluciones de la ecuación de onda: a. 𝑤 = cos(𝑐𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b. 𝑤 = cos⁡(3𝑥 + 3𝑐𝑡) c. 𝑤 = 𝑒 𝑥+𝑐𝑡 + 3cos(𝑥 + 𝑐𝑡) d. 𝑤 = ln(2𝑥 + 2𝑐𝑡) e. 𝑤 = cos(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑎𝑡)

Solución 𝑤 = cos⁡(3𝑥 + 3𝑐𝑡) Sabemos que:

𝜕 2𝑤 𝜕 2𝑤 2 = 𝑐 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑤 = cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑥 𝜕𝑤 = cos⁡(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑥 𝜕𝑤 = −3𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑥 𝜕 2𝑤 = −3𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑥 2 𝜕 2𝑤 = −9cos⁡(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑥 2

𝜕𝑤 = ⁡ cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑡 𝜕𝑤 = ⁡ −3csin(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑡 𝜕 2𝑤 = ⁡ −3csin(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑡 2 𝜕 2𝑤 = −9𝑐 2 cos⁡(3𝑥 + 3𝑐𝑡) 𝜕𝑡 2 𝜕 2𝑤 𝜕 2𝑤 2 =𝑐 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 −9𝑐 2 cos(3𝑥 + 3𝑐𝑡) = −9𝑐 2 cos⁡(3𝑥 + 3𝑐𝑡)⁡ Grupo de ejercicios 2 – Derivadas Direccionales. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 89-92). En los siguientes ejercicios encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada:

a. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 𝑦 2 (2𝑧 + 1)2 b. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑥 2 −𝑦 2 𝑧2

en 𝑃(2, −3, 2), 𝑒𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝑖 − 2𝑗 + 𝑘

en 𝑃(1, 4, −1), 𝑒𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑑𝑒⁡2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘

c. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥 2 𝑦 + 2𝑦 2 𝑧

en 𝑃(2, −2, 3), 𝑒𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑑𝑒⁡6𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘

d. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 − 𝑦 2 + 𝑧 2

en 𝑃(−4,5, −2), 𝑒𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑑𝑒 − 𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘

e. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √2𝑥 3 𝑦 + 𝑧

en 𝑃(−3, −5, 2), 𝑒𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑑𝑒 − 3𝑖 + 𝑗 − 4𝑘

Solución 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑥 2 −𝑦 2 𝑧2

en 𝑃(1, 4, −1), 𝑒𝑛⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑑𝑒⁡2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘

𝛻𝑓 = 𝑓 ′ 𝑥𝑖 + 𝑓 ′ 𝑦𝑗 + 𝑓 ′ 𝑧𝑘 =

𝑥 2 −𝑦 2 𝑧2

2𝑥 2𝑦 2𝑦 2 − 2𝑥 2 𝛻𝑓 = ( 2 ) 𝑖 − ( 2 ) 𝑗 + ( )𝑘 𝑧 𝑧 𝑧3 Analizamos en el punto dado 𝛻𝑓1,4,−1 = ( 𝛻𝑓1,4,−1

2𝑥 2𝑦 2𝑦 2 − 2𝑥 2 ) 𝑖 − ( ) 𝑗 + ( )𝑘 𝑧2 𝑧2 𝑧3

2∗1 2∗4 2 ∗ 42 − 2 ∗ 12 = ( 2)𝑖 −( 2)𝑗 +( )𝑘 −1 −1 −13 𝛻𝑓1,4,−1 = 2𝑖 + 8𝑗 − 30𝑘

Calculamos el módulo de 2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 |𝑣⃑| = ⁡ √(2)2 + (−1)2 + (3)2 ⁡ |𝑣⃑| = √14 Vector unitario ⃑⃑⃑⃑ = 𝑢⁡

2

(−1) (3) , √14 √14 √14 ,

La derivada direccional de la función es 𝐷 2 (−1) (3) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,8, −30) ∗ , , 𝑣⃑ √14 √14 √14

𝐷 4 8 90 34 √14 17√14 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − − =⁡− ∗ =− 𝑣⃑ 7 √14 √14 √14 √14 √14 Grupo de ejercicios 3 – Linealización y Diferenciación. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 145-150). Determine la linealización de 𝐿(𝑥, 𝑦) de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en 𝑝0 . Luego determine una cota superior 𝑀, para la magnitud |𝐸| del error de la aproximación 𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝐿(𝑥, 𝑦) en el rectángulo 𝑅. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3 𝑅: |𝑥 − 2| ⁡ ≤ 0.1,

en 𝑃0 (1, 1),

|𝑦 − 2| ≤ 0.1

1

1

b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 4 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 + 2 𝑅: |𝑥 − 2| ⁡ ≤ 0.1,

en 𝑃0 (2,2),

|𝑦 − 2| ≤ 0.1

c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦 − 2) 𝑅: |𝑥 − 1| ⁡ ≤ 0.1,

en 𝑃0 (2,1),

|𝑦 − 2| ≤ 0.1

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑦 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦

en 𝑃0 (0,0),

𝑅: |𝑥| ≤ 0.2,⁡⁡⁡|𝑦| ≤ 0.2 (Use |𝑐𝑜𝑠𝑦| ≤ 1⁡𝑦⁡|𝑠𝑒𝑛𝑦| ≤ 1⁡𝑎𝑙⁡𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑟⁡𝐸. ) e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑙𝑛𝑥 + 3𝑙𝑛𝑦

en 𝑃0 (1,1),

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑅: |𝑥 − 1| ⁡ ≤ 0.2,⁡⁡⁡|𝑦 − 1| ≤ 0.2 Solución: 1

1

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 4 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 + 2 𝑅: |𝑥 − 2| ⁡ ≤ 0.1,

en 𝑃0 (2,2),

|𝑦 − 2| ≤ 0.1

Evaluamos la función en el punto p (2,2) 𝑃(2,2) =

1 2 1 ∗ 2 + (3 ∗ 2 ∗ 2) + ∗ 22 + 4 ∗ 2 − 4 ∗ 2 + 2 = 17 2 4

Derivamos con respecto a x 𝑑 = 𝑥 + 3𝑦 + 4 𝑑𝑥 Evaluamos en el punto p(2,2) 𝑑 = 2 + 3 ∗ 2 + 4 = 12⁡ 𝑑𝑥

Derivamos con respecto a y 𝑑 𝑦 = 3𝑥 + 𝑑𝑦 2 Evaluamos en el punto p(2,2) 𝑑 2 =3∗2+ = 7 𝑑𝑦 2 Ahora encontramos la linealización 𝐿(𝑥, 𝑦) ⁡ = ⁡17 + ⁡12(𝑥 − 2) + 7(𝑦 − 2)⁡ 𝐿(𝑥, 𝑦) ⁡ = ⁡17 + ⁡ (12𝑥 − 24) + (7𝑦 − 14)⁡ 𝐿(𝑥, 𝑦) ⁡ = ⁡17 + ⁡12𝑥 − 24 + 7𝑦 − 14 𝐿(𝑥, 𝑦) = 12𝑥 + 7𝑦 − 21 Ahora procedemos a calcular el error, el cual tiene la siguiente formar: 1 𝐸(𝑥, 𝑦) = ⁡𝑀⁡ · ⁡ |𝑥 − 𝑥₀| ⁡ · ⁡ |𝑦 − 𝑦₀| 2 De tal manera que debemos buscar el valor máximo (M) para ello buscaremos las segundas derivadas, recordemos que ya tenemos la primera derivada, tenemos:  fxx = 1  fyy = 1/2  fxy = 1  fyx = 1 Podemos observar que en este caso el máximo viene siendo M = 1, empleamos la ecuación y tenemos: 𝐸(𝑥, 𝑦) ⁡ = ⁡1/2⁡ · ⁡1⁡ · ⁡0.1⁡ · ⁡0.1 𝐸(𝑥, 𝑦) ⁡ = ⁡0.5⁡%

Grupo de ejercicios 4 – Máximos y Mínimos. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 92-99). Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 + 2𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − ⁡ (𝑥 − 2)2 − 2𝑦 + (𝑦 − 1)2 c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 2 + 5𝑦 2 + 20𝑥 − 10𝑦 + 40 d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 3𝑦 + 1 e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 2 + 𝑦 2 − 5𝑥 + 2𝑦 − 6 Solución: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − ⁡ (𝑥 − 2)2 − 2𝑦 + (𝑦 − 1)2 Para determinar los puntos críticos y extremos relativos primero vamos a calcular las derivadas parciales de la función: 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − ⁡ (𝑥 − 2)2 − 2𝑦 + (𝑦 − 1)2 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 + 8 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − ⁡ (𝑥 − 2)2 − 2𝑦 + (𝑦 − 1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 4 𝑑𝑦

𝑑 2 𝑓(𝑥, 𝑦) =2 𝑑𝑦 Ahora que ya conocemos las derivadas parciales, vamos a buscar los puntos críticos, igualando las derivadas de primer orden a cero: −2𝑥 + 8 = 0 𝑥=4 2𝑦 − 4 = 0 𝑦=2 Tenemos como punto critico P (6,8) Calculamos el discriminante: 𝐷 = ⁡⁡𝑓𝑥𝑥 ∗ 𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦² 𝐷 = −2 ∗ 2 − ⁡0 = −4⁡ Reemplazamos los valores de “x” y “y” por los valores encontrados 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − ⁡ (𝑥 − 2)2 − 2𝑦 + (𝑦 − 1)2 𝑓(4,2) = 4(4) − ⁡ (4 − 2)2 − 2(2) + (2 − 1)2 𝑓(4,2) = 9 para determinar si tiene un extremo relativo en (4,2) se toma un punto cualquiera distinto del punto crítico (4,2) o se completa cuadrado en la expresión para f(x,y) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − ⁡ (𝑥 − 2)2 − 2𝑦 + (𝑦 − 1)2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 − 2𝑦 + 𝑦 2 − 2𝑦 − 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 2 − 4 + 𝑦 2 − 1 Así, si (x,y) ≠ (4,2), entonces f(x,y) > 9, en consecuencia por la definición de extremo relativo f(4,2) = 9 es un valor mínimo relativo.

Grupo de ejercicios 5 – Multiplicadores de Lagrange. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 177-182).

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 , sujeta a √𝑥 + √𝑦 = 2 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 − 4𝑦 2 + 1, sujeta 𝑥 + 2𝑦 = −3 c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, sujeta 2𝑥 2 + 3𝑦 2 = 1 d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧, sujeta 𝑥 2 + 2𝑦 2 − 𝑧 2 = 3 1

1

e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑧, sujeta 2𝑥 2 + 4 𝑦 2 + 9 𝑧 2 = 2, 𝑐𝑜𝑛⁡⁡𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0 Solución 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥^2 − 4𝑦^2 + 1, 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎⁡𝑥 + 2𝑦 = −3 𝐹(𝑥, 𝑦) = ⁡2𝑥 2 − 4𝑦 2 + 1 ⁡𝑔(𝑥) => 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 𝑓𝑥 = ⁡𝜆𝑔(𝑥)⁡ 4𝑥 = ⁡𝜆 𝜆 𝑥 = ⁡⁡ 4

𝑓𝑦 = ⁡𝜆𝑔(𝑦) −8𝑦 = ⁡2𝜆 𝑦=

2𝜆 −8

𝑦=−

𝜆 4

𝑦 = −𝑥

𝑔(𝑥) => 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 𝑔(𝑥) => 𝑥 + 2(−𝑥) + 3 = 0 𝑔(𝑥) => 𝑥 − 2𝑥 + 3 = 0 𝑥 − 2𝑥 = −3 𝑥(1 − 2) = −3

𝑥(−1) = −3 𝑥=−

3 =3 −1

𝐹(𝑥, 𝑦) = ⁡2𝑥 2 − 4𝑦 2 + 1 𝐹(𝑥, 𝑦) = ⁡2(3)2 − 4(−3)2 + 1 = ⁡ −17

Por tanto, el máximo y mínimo relatico con la restricción dada esta en (-17)