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• Francisco Luis Acosta Hernández

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CALCULO MULTIVARIADO CÓDIGO: 203057

FASE 1- TRABAJO COLABORATIVO-UNIDAD 1

UNIDAD No 1

Presentado a: GUSTAVO SALAZAR CEDEÑO Tutor

Entregado por: HERNAN DARZO GOMEZ Código: 79992502

Grupo: 203057_18

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA NOVIEMBRE 9 DEL 2018

INTRODUCCIÓN

Para poder comprender el trabajo colaborativo de la fase 1, nos adentraremos a las funciones de varias variables. Es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. Estas se ordenan mediante una regla de correspondencia, da un número real (llamado Dominio) y el conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio. Al tener una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Entonces teniendo todos estos puntos tenemos el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. así que todos estos puntos están a la misma altura sobre el plano x y, o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano x y.

1) Hallar las componentes y la magnitud del vector Vque tiene punto inicial P y final Q, después hallar el vector unitario en la dirección V Puntos escogidos D: P(3,2,5) y Q(-2,-7,5)

R//

⃗ (−2, −7,5) 𝑃⃗ (3,2,5)𝑄

⃗ =𝑄 ⃗ − 𝑃⃗=(-5,-9,0) 𝑃⃗𝑄 ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 ∥= √(−5)2 + (−9)2 + 02 = √25 + 81 = √106 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑

Vector unitario

⃗ 𝑃𝑄 = 𝑈

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 1 = (−5, −9,0) ∥ 𝑃𝑄 ∥ 106

1) Determinar la gráfica de la ecuación, se debe completar el cuadrado.

3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 = 10 + 6𝑦 + 12𝑧 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 𝑧 2 − 6𝑧 =

10 3

𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 + 𝑧 2 − 6𝑧 + 9 = 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 3)2 =

40 3

10 + 10 3 40

y es la ecuación de una esfera de radio 𝑟 = √ 3 y centrada

en (0,1,3)

2) La posición de una partícula que se mueve en el plano XY a las t unidades de tiempo esta determinada por la ecuación vectorial, obtenga v(t) a(t) ∥ 𝑣(𝑡) ∥

∥ 𝑎(𝑡) ∥ Determinar los vectores velocidad y aceleración en t=t1. 𝑅(𝑡) = (𝑡 2 + 3𝑡)𝑖 + (1 − 3𝑡 2 )𝑗

𝑡=

1 2

Derivar con respecto al tiempo 𝑅 ′ (𝑡) = 𝑣 ⃗⃗⃗ (𝑡) = (2𝑡 + 3)𝑖 + (−6𝑡)𝑗 Segunda derivada de R(t) obtengo a(t) 𝑎(𝑡) = (𝑣 (𝑡))´ = 2𝑖 − 6𝑗 = (2 , −6) 𝑒𝑛 𝑡 =

1 2

Velocidad 1 𝑣 ( ) = (4𝑖 − 3𝑗) = (4, −3) 2 Aceleración 𝑎 = (2𝑖 − 6𝑗) = (2,-6)

En todo momento.

∥ 𝑣(𝑡) ∥=√(2𝑡 + 3)2 + (−6𝑡)2 = √4𝑡 2 + 12𝑡 + 9 + 36𝑡 2 = √40𝑡 2 + 12𝑡 + 9

=

√10 + 6 + 9 = 5 ∥ 𝑎(𝑡) ∥=√4 + 36 = 2√10

4. Obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas.

Perpendicular a cada uno de los planos 𝜋1 : x – y + z = 0 y 𝜋2 : 2x + y – 4z -5 = 0 y contiene al punto (4, 0, -2) el producto cruz de los vectores directores de los planos me da un vector que pertenece al plano que es perpendicular a ambos.

Así (1, −1, 1) × (2, −1, 4) = (−3, −2, 1) es un vector paralelo al plano en cuestión, para determinar otro vector paralelo al plano, debemos encontrar otros dos vectores sobre los planos 𝜋1 y 𝜋2 Tomando dos puntos sobre cada uno de los planos y volteándolos Por tanto la ecuación del plano es….

5. Problemas de aplicación, realizar los respectivos problemas propuestos, a. Se dispara un proyectil desde un cañón situado en la parte superior de un edificio de 96 pie de altura. El cañón forma un ángulo de 30º con la horizontal. Si la velocidad de salida es de 1600 pie/s, calcule el tiempo de recorrido y la distancia desde la base del edificio hasta el punto donde caerá el proyectil. 1600 pie/s 30 º ~~~`` ``` 96

Descomponemos el vector velocidad en sus componentes en x e y asi 𝑣 = 𝑣𝑥 𝒊 + 𝑣𝑦 𝒋 Donde 𝑣𝑥 = 𝑣 ∗ cos(30 º ) = √3 ∗ 800 𝑣𝑦 = 𝑣 ∗ sin(30 º ) = 800 Ahora tratamos ambos problemas como un problema de caída libre en el eje y, un problema de movimiento rectilíneo en el eje x.

1600 pie/s 𝑣𝑦 = 𝑣 ∗ sin(30 º ) = 800 pies/s 30 º ~~~`` ``` 𝑣𝑥 = 𝑣 ∗ cos(30 º ) = √3 ∗ 800pies/s

Las condiciones iníciales para el caso del eje y son

𝑣𝑜 = 800 ℎ𝑜 = 96 𝑡𝑜 = 0 Y utilizamos las ecuaciones de movimiento 𝑣 = −32 ∗ 𝑡 + 𝑣0 (1) ℎ = −16 ∗ 𝑡 2 + 𝑣0 ∗ 𝑡 + ℎ0 (2) la altura máxima se encuentra cuando v=0, por lo tanto al reemplazar (1) y despejar, obtenemos el valor para el tiempo. 0 = −32 ∗ 𝑡 + 800 de donde t=25 segundos, esto es el tiempo que toma el proyectil en alcanzar la máxima altura es de 25 segundos, al reemplazar este valor en la ecuación (2) obtenemos que la altura máxima que alcanza es de 10.096 pies. Con esta información podemos calcular el tiempo que el proyectil demora en caer al suelo, de nuevo reemplazando en la ecuación (2) donde ahora h0=10096, t0=0, v0=0, asi obtenemos que el tiempo que demora el proyectil en caer es de √631 ≈ 25.1197, por tanto el tiempo total de vuelo es de

𝒕 = 𝟐𝟓 + √𝟔𝟑𝟏 segundos.

En el caso del movimiento en x, este se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme por tanto la ecuación es 𝑥 = 𝑣 ∗ 𝑡 y como 𝑣𝑥 = 𝑣 ∗ cos(30 º ) = √3 ∗ 800pies/s Tenemos que 𝒙

= √𝟑 ∗ 𝟖𝟎𝟎 ∗ (𝟐𝟓 + √𝟔𝟑𝟏) ≈ 𝟔𝟗𝟒𝟒𝟖 𝒑𝒊𝒆𝒔

b. Un avión parte de un aeropuerto ubicado en el origen 0 y vuela a 150 mi en la dirección 20° noreste a la ciudad A. De A el avión vuela después 200 mi en la dirección 23° noroeste a la ciudad B. De B el avión vuela 240 mi en la dirección 10° suroeste a la ciudad C. Exprese la ubicación C como un vector r igual al que se presenta en la siguiente figura. Determine la distancia 0 a C.

c. Se empuja un tren a lo largo de un riel recto con una fuerza de 3000 lb actuando un ángulo de 45° en la dirección de movimiento. Determine el trabajo realizado al mover el tren 400 pies. En los ítem d y e Verifique que el cuadrilátero dado es un paralelogramo y determine el área del paralelogramo. d.

e.

CONCLUSIONES

En esta fase estudiamos las funciones de varia variables, (con valores reales y con valores vectoriales) incluso en cada uno de los ejercicios pudimos observar que esto es aplicable a la vida real, muchos fenómenos del mundo físico se pueden describir mediante tales funciones, pero en la mayoría de los fenómenos intervienen muchas variables relacionadas entre sí y el valor de una de ellas depende de las otras. En la fase 1 de Calculo Multivariado se tuvo que hacer una sobre simplificación de los problemas de tal manera que pudiéramos utilizar las herramientas que proporcionaron la universidad por medio del tutor del tutor y después llevado a un software de simulación llamado Geogebra.

BIBLIOGRAFÍA 

(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx?i=629&opensearch=matem%C3%A1t icas%203&editoriales=&edicion=&anio=

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(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11013675

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(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10491306

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(s.f.). Obtenido de http://hdl.handle.net/10596/9263

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(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10609048&p00 =calculo+de+varias+variables

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(s.f.). Obtenido de https://www.geogebra.org/material/show/id/352279