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INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Unidad 1, Tarea 1

Estudiantes

Tutor

Calculo Multivariado

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

CEAD Jose Acevedo y Gómez Bogotá. Octubre 2019.

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2 Tabla de contenido

INTRODUCCION ............................................................................................................ 3 Objetivo General ............................................................................................................... 4 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD. .......................................................................... 5 EJERCICIOS 1-VECTORES. ..................................................................................... 6 Estudiante Jose Guillermo Rodriguez Literal A. ................................................... 6 Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. .................................................... 9 Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. .................................................................. 10 Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D. .................................................... 11 Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. ..................................................... 11 EJERCICIOS 2. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. ............................................... 12 Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Literal A. ................................................. 12 Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. .................................................. 14 Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. .................................................................. 15 Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D. .................................................... 16 Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. ..................................................... 16 EJERCICIOS 3. SUPERFICIES CUADRÁTICAS. ............................................... 16 Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Angulo, Literal A. ...................................... 16 Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. .................................................. 18 Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. .................................................................. 18 Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D. .................................................... 20 Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. ..................................................... 20 EJERCICIOS 4. FUNCIONES VECTORIALES. .............................................. 21

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3

Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Angulo, Literal A. ...................................... 21 Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. .................................................. 23 Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. .................................................................. 24 Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D. .................................................... 25 Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. ..................................................... 25 EJERCICIOS 5. LIMITES Y CONTINUIDAD. ..................................................... 26 Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Angulo, Literal A. .................................. 26 Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. .................................................. 27 Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. .................................................................. 28 Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D. .................................................... 28 Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. ..................................................... 28 1.

Tabla de enlaces de ejercicios a sustentar ....................................................... 29

Conclusiones. ................................................................................................................... 30 Referencias....................................................................................................................... 31

INTRODUCCION

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El siguiente trabajo colaborativo consiste en desarrollar diferentes ejercicios donde se deben aplicar conceptos básicos de funciones de varias variables para hallar el límite y la continuidad, vectores, superficies cuadráticas, funciones vectoriales, entre otros. A continuación, se consolida 5 puntos, cada uno de ellos consta de 5 ejercicios, que deben ser desarrollados por cada uno de los integrantes del grupo.

Objetivo General

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Reconocer y aplicar los conceptos básicos adquiridos a lo largo de curso, para dar solución a los ejercicios planteados para esta unidad, además se debe evidenciar las simulaciones hechas en GeoGebra para corroborar la respuestas dadas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD.

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EJERCICIOS 1-VECTORES. Estudiante Jose Guillermo Rodriguez Literal A. Desarrolle para cada uno de los siguientes ejercicios: 

Las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto inicial 𝑝 y punto final 𝑞. 𝒑 = (−𝟐, −𝟏, 𝟑) 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑶𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 𝒒 = (−𝟑, −𝟐, 𝟐)𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑬𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐 Para hallar las componentes, se debe restar los puntos del vector extremo con el vector del origen, de la siguiente forma. ⃗ = [(−𝟑) − (−𝟐), (−𝟐) − (−𝟏), (𝟐) − (𝟑)] 𝒗 ⃗ = 〈−𝟏, −𝟏, −𝟏〉 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒎𝒐𝒔, 𝒚 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓. 𝒗 Ya tenemos el vector, ahora para hallar la longitud del vector que tiene el punto inicial p y punto final q, se debe hallar la magnitud del vector, de la siguiente forma. ‖𝒗 ⃗ ‖ = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟏)𝟐 + (−𝟏)𝟐 ‖𝒗 ⃗ ‖ = √𝟏 + 𝟏 + 𝟏 ‖𝒗 ⃗ ‖ = √𝟑



Un vector unitario en la dirección de 𝑣. ⃗ 𝒗

Ahora para obtener el vector unitario se debe dividir el vector ‖𝒗⃗‖, reemplazamos y queda de la siguiente forma. −𝟏 𝟏 𝟏 ⃗〉 ⃗ = 〈( ) 𝒊 − ( ) 𝒋 − ( ) 𝒌 𝒖 √𝟑 √𝟑 √𝟑 O también se puede representar así.

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−𝟏 −𝟏 −𝟏 ⃗ = 〈( ) , ( ) , ( )〉 𝒖 √𝟑 √𝟑 √𝟑

⃗ = −𝟎. 𝟓𝟕𝟕, −𝟎. 𝟓𝟕𝟕, −𝟎. 𝟓𝟕𝟕 𝒖 Al sumar nos da la dirección y la longitud del vector unitario. ⃗ = −𝟏. 𝟕𝟑𝟏 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒖



El punto medio del segmento de recta 𝑝𝑞̅̅̅̅̅̅ Para hallar el punto medio, se debe aplicar la siguiente ecuación. 𝒙𝒄 =

(𝒒𝟏 + 𝒑𝟏) (𝒒𝟐 + 𝒑𝟐) (𝒒𝟑 + 𝒑𝟑) , 𝒚𝒄 = , 𝒛𝒄 = 𝟐 𝟐 𝟐

𝒑 = (−𝟐, −𝟏, 𝟑) 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑶𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 𝒒 = (−𝟑, −𝟐, 𝟐)𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑬𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐

Ahora reemplazamos. 𝒙𝒄 =

((−𝟑) + (−𝟐)) 𝟐 𝒙𝒄 =

−𝟓 𝟐

𝒙𝒄 = −𝟐. 𝟓 Ahora hacemos el mismo paso con (y). 𝒚𝒄 =

((−𝟐) + (−𝟏)) 𝟐

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8 𝒚𝒄 =

−𝟑 𝟐

𝒚𝒄 = −𝟏. 𝟓

Ahora hacemos el mismo paso con (z). 𝒛𝒄 =

(𝟐 + 𝟑) 𝟐

𝒛𝒄 =

𝟓 𝟐

𝒛𝒄 = 𝟐. 𝟓 El punto centro es: 𝒑𝒄 = (−𝟐. 𝟓, −𝟏. 𝟓, 𝟐. 𝟓) 

Realizar la gráfica respectiva por medio de la herramienta GeoGebra.

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Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. a. 𝒑(𝟑, − 𝟑, −𝟏) y 𝒒(−𝟐, −𝟕, −𝟓) ̅̅̅̅ = 𝒗 = (−𝟐, −𝟕, −𝟓) − (𝟑, −𝟑, −𝟏) 𝒑𝒒 𝒗 = (−𝟓, −𝟒, −𝟒) ⃗ | = √(−𝟓)𝟐 + (−𝟒)𝟐 + (−𝟒)𝟐 |𝑽 ⃗ | = √𝟓𝟕 |𝑽 ̂= 𝒖

(−𝟓, −𝟒, −𝟒) √𝟓𝟕

= (−

𝟓 √𝟓𝟕

,−

𝟒 √𝟓𝟕

,−

𝟒 √𝟓𝟕

)

(𝟑) + (−𝟐) (−𝟑) + (−𝟕) (−𝟏) + (−𝟓) 𝟏 𝑷𝒎 = ( , , ) = ( , −𝟓, −𝟑) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

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Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. 𝒑(−𝟏, −𝟒, 𝟑) y 𝒒(−𝟐, 𝟓, 𝟐) ⃗ = (−𝟐 + 𝟏, 𝟓 + 𝟒, 𝟐 − 𝟑) = 𝒗 ⃗ = (−𝟏, 𝟗, −𝟏) 𝒗 |𝒗 ⃗ | = √(−𝟏)𝟐 + (𝟗)𝟐 + (−𝟏)𝟐 = √𝟏 + 𝟖𝟏 + 𝟏 |𝒗 ⃗ | = √𝟖𝟑 = 𝟗, 𝟏𝟏 −𝟏 𝟗 −𝟏 ⃗⃗ 𝒗 ⃗⃗ 𝒗 ⃗ = ( ⃗ = (−𝟎. 𝟏𝟏 , 𝟎. 𝟗𝟖, −𝟎. 𝟏𝟏) 𝑼 , , )= 𝑼 √𝟖𝟑 √𝟖𝟑 √𝟖𝟑 ̅̅̅̅ = ( 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒒

−𝟏 𝟗 −𝟏 , , ) = (𝟎. 𝟓, 𝟒. 𝟓, −𝟎. 𝟓) 𝟐 𝟐 𝟐

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Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D.

Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. 𝒑(𝟗, −𝟑, −𝟓) y 𝒒(𝟖, −𝟖, 𝟖)

𝒑𝒒 = (𝟖, −𝟖, 𝟖) − (𝟗, −𝟑, −𝟓) = (−𝟏, −𝟓, 𝟏𝟑) |𝒑𝒒| = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟓)𝟐 + (𝟏𝟑)𝟐 |𝒑𝒒| = √𝟏𝟗𝟓 𝒖=

𝒖 = (−

𝑷𝒎 = (

(−𝟏, −𝟓, 𝟏𝟑)

𝟏 √𝟏𝟗𝟓

√𝟏𝟗𝟓 ,−

𝟓

,

𝟏𝟑

√𝟏𝟗𝟓 √𝟏𝟗𝟓

)

(𝟗) + (𝟖) (−𝟑) + (−𝟖) (−𝟓) + (𝟖) , , ) 𝟐 𝟐 𝟐

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𝑷𝒎 = (

𝟏𝟕 𝟏𝟏 𝟑 ,− , ) 𝟐 𝟐 𝟐

EJERCICIOS 2. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Literal A. Obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas: Perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, 3, −4) y (5, −1, 2) y contiene al punto (−3, 1, 2). Primero hallamos el vector de los dos puntos de la recta, de la siguiente forma.

𝑽 = (𝒒𝟏 − 𝒑𝟏 ), (𝒒𝟐 − 𝒑𝟐 ), (𝒒𝟑 − 𝒑𝟑 ) Ahora reemplazamos valores.

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𝑽 = (𝟓 − 𝟐), (−𝟏 − 𝟑), (𝟐 − (−𝟒)) 𝑽 = (𝟑), (−𝟒), (𝟔) Al obtener este vector, vemos que es perpendicular al plano. La ecuación del plano es: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎 Reemplazamos según el vector encontrado. 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 + 𝑫 = 𝟎 Calculamos D, de acuerdo con los puntos (−𝟑, 𝟏, 𝟐) 𝟑(−𝟑) − 𝟒(𝟏) + 𝟔(𝟐) + 𝑫 = 𝟎 −𝟗 − 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝑫 = 𝟎 −𝟏 + 𝑫 = 𝟎 𝑫=𝟏 Ahora reemplazamos D para obtener la ecuación en el plano.

𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 + 𝟏 = 𝟎 Grafica en GeoGebra.

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Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. Paralelo al plano 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎 y contiene al punto (−𝟏, 𝟔, −𝟐). 𝐄𝐜. 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝟏 → 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎 𝒏𝐏𝐥𝐚𝐧𝐨 𝟏 = (𝟐, −𝟏, 𝟏) 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐𝒔 → 𝒏𝐏𝐥𝐚𝐧𝐨 𝟐 = 𝒏𝐏𝐥𝐚𝐧𝐨 𝟏 𝒏𝐏𝐥𝐚𝐧𝐨 𝟐 = (𝟐, −𝟏, 𝟏)

𝐄𝐜𝐮. 𝐏𝐥𝐚𝐧𝐨 𝟐 → (𝟐, −𝟏, 𝟏) ⋅ (𝒙 + 𝟏, 𝒚 − 𝟔, 𝒛 + 𝟐) = 𝟎

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𝟐(𝒙 + 𝟏) − (𝒚 − 𝟔) + (𝒛 + 𝟐) = 𝟎 𝐄𝐜𝐮. 𝐏𝐥𝐚𝐧𝐨 𝟐 → 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = −𝟏𝟎 Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. Obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas: Perpendicular

al

𝒙 + 𝟑𝒚– 𝒛 −𝟕 = 𝟎

plano

y

contiene

a

los

puntos

(𝟑, −𝟏, 𝟐) y (−𝟏, −𝟐, −𝟑). 𝐩(𝟑, −𝟏, 𝟐) 𝐪(−𝟏, −𝟐, −𝟑) ⃗⃗ 𝟏 = (𝟏, 𝟑, −𝟏) 𝑽

⃗⃗ 𝟐 = (−𝟏 − 𝟑, −𝟐 + 𝟏, −𝟑 − 𝟐) = 𝑽

⃗𝟏 𝑽

= (−𝟒, −𝟏, −𝟓) Ecuación paramétrica: 𝒙 = 𝟑 + 𝝀 − 𝟒𝝁 {𝒚 = −𝟏 + 𝟑𝝀 − 𝝁 𝒛 = 𝟐 − 𝝀 − 𝟓𝝁 𝒙−𝟑 |𝒚 + 𝟏 𝒛−𝟐

𝟏 𝟑 −𝟏

−𝟒 −𝟏| = (𝒙 − 𝟑)(𝟏𝟓 − 𝟏) − (𝒚 + 𝟏)(−𝟓 − 𝟒) + (𝒛 − 𝟐(−𝟏 + 𝟏𝟐) −𝟓 −𝟏𝟔(𝒙 − 𝟑) + 𝟗(𝒚 + 𝟏) + 𝟏𝟏(𝒛 − 𝟐) = 𝟎 −𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝟖 + 𝟗𝒚 + 𝟗 + 𝟏𝟏𝒛 − 𝟐𝟐 = 𝟎 −𝟏𝟔𝒙 + 𝟗𝒚 + 𝟏𝟏𝒛 = −𝟑𝟓

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Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D.

Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. Contiene al punto (−𝟏, 𝟔, −𝟑) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (𝟐, 𝟏, −𝟒) y (𝟏, −𝟏, −𝟏). (𝟐, 𝟏, −𝟒) − (𝟏, −𝟏, −𝟏) = (𝟏, 𝟐, −𝟑) 𝑹(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟐, 𝟏, −𝟒) + 𝝀(𝟏, 𝟐, −𝟑) (𝒙 + 𝟏) + 𝟐(𝒚 − 𝟔) − 𝟑(𝒛 + 𝟑) = 𝟎 𝝅: 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 − 𝟐𝟎 = 𝟎 EJERCICIOS 3. SUPERFICIES CUADRÁTICAS. Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Angulo, Literal A. Realice la gráfica e identifique el tipo de superficie de las siguientes ecuaciones, sugerencia: Es necesario realizar el proceso de completación de cuadrados: 

𝟗𝒙𝟐 + 𝟑𝟔𝒚𝟐 + 𝟒𝒛𝟐 = 𝟑𝟔

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De acuerdo con la anterior ecuación, analizamos que se trata de un elipsoide, esto se puede decir porque las tres variables se encuentran elevadas al cuadrado, las tres variables son de signo positivo y los coeficientes son distintos. 𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝒛 𝟐 + + =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 Para resolver esta ecuación y para igualarla a 1, se debe dividir todo por 36, de la siguiente forma. 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 =𝟏 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝒛 𝟐 + + =𝟏 𝟒 𝟏 𝟗 Para saber las coordenadas del elipsoide, debemos sacar raíces a las constantes. √𝒂𝟐 = √𝟒 = 𝟐 √𝒃𝟐 = √𝟏 = 𝟏 √𝒄𝟐 = √𝟗 = 𝟑 Grafica en GeoGebra.

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Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏𝟕 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏𝟕 = 𝟎 (𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) + (𝒚𝟐 − 𝟔𝒚) + (𝒛𝟐 + 𝟐𝒛) = −𝟏𝟕 (𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟔) + (𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 + 𝟗 − 𝟗) + (𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝟏 − 𝟏) = −𝟏𝟕 (𝒙 + 𝟒)𝟐 − 𝟏𝟔 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 − 𝟗 + (𝒛 + 𝟏)𝟐 − 𝟏 = −𝟏𝟕 (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 + (𝒛 + 𝟏)𝟐 = 𝟗 (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 + (𝒛 + 𝟏)𝟐 = 𝟑𝟐

Corresponde a la gráfica de una esfera con radio 3.

Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟒𝒛𝟐

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19 𝟗𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒚𝟐 𝟒𝒛𝟐 + = 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 + = 𝟏𝟔 𝟗 𝟑𝟔

𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂𝟐 = 𝟏𝟔 , 𝒃𝟐 = 𝟗 , 𝒄𝟐 = 𝟑𝟔 𝒚 𝒂 > 𝟎

𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔

𝒙𝒚 (𝒛 = 𝟎)

𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 + = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 ,𝒃 > 𝟎

𝒚

𝒕𝒓𝒂𝒛𝒂

𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟎, 𝟎)

𝒙𝒛 (𝒚 = 𝟎)

𝒄 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒛 = ± 𝒙 𝒂

𝒚𝒛 (𝒙 = 𝟎)

𝒄 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒛 = ± 𝒚 𝒃

Representación en Geogebra:

𝒄>𝟎

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Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D.

Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟖𝒛 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟖𝒛 = 𝟎 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 +

𝟗 𝟗 − ) + (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟒 − 𝟒) + (𝒛𝟐 − 𝟖𝒛 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟔) = 𝟎 𝟒 𝟒

𝟑 𝟐 𝟗 (𝒙 − ) − + (𝒚 + 𝟐)𝟐 − 𝟒 + (𝒛 − 𝟒)𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟖𝟗 (𝒙 − ) + (𝒚 + 𝟐)𝟐 + (𝒛 − 𝟒)𝟐 = 𝟐 𝟒

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EJERCICIOS 4. FUNCIONES VECTORIALES. Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Angulo, Literal A. En los siguientes ejercicios, escriba la función vectorial dada 𝑅(𝑡) como ecuaciones paramétricas y grafique la curva trazada por la función vectorial que se indica. 𝑅(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡𝒊 + 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝒋 + 𝑡𝒌

𝑡≥0

Para dar solución a este ejercicio, primero separaremos las ecuaciones paramétricas, así: 𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝒕) 𝒚 = 𝟒 𝐜𝐨𝐬(𝒕) 𝒛 = (𝒕) Como analizamos, la curva va a ser ascendente ya que el parámetro Z es positivo, hay que calcular ciertos puntos para ubicar el vector.

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(t)

0

1

2

3

4

5

6

7

x=2sen(t)

0

1.68

1.82

0.28

-1.51

-1.92

-0.56

1.31

Y=4cos(t) 4

2.16

-1.66

-3.95

-2.61

1.13

3.84

3.01

z=(t)

1

2

3

4

5

6

7

0

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟎) = 〈𝟎, 𝟒, 𝟎〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟏) = 〈𝟏. 𝟔𝟖, 𝟐. 𝟏𝟔, 𝟏〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟐) = 〈𝟏. 𝟖𝟐, −𝟏. 𝟔𝟔, 𝟐〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟑) = 〈𝟎. 𝟐𝟖, −𝟑. 𝟗𝟓, 𝟑〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟒) = 〈−𝟏. 𝟓𝟏, −𝟐. 𝟔𝟏, 𝟒〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟓) = 〈−𝟏. 𝟗𝟐, 𝟏. 𝟏𝟑, 𝟓〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟔) = 〈−𝟎. 𝟓𝟔, 𝟑. 𝟖𝟒, 𝟔〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓(𝟕) = 〈𝟏. 𝟑𝟏, 𝟑. 𝟎𝟏, 𝟕〉 Grafica en GeoGebra.

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Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. a. 𝑹(𝒕) = 𝒕𝒊 + 𝒄𝒐𝒔 𝒕𝒋 + 𝒔𝒆𝒏 𝒕𝒌

𝒕≥𝟎

𝒙=𝒕 𝒚 = 𝑪𝒐𝒔(𝒕) 𝒛 = 𝑺𝒆𝒏(𝒕)

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Estudiante Claudelby Diaz, Literal C. 𝑹(𝒕) = 𝟒𝒊 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕𝒋 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒕𝒌 La ecuación está dada en modo paramétrico:

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Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D.

Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. 𝑹(𝒕) = 𝟐𝒕𝒊 + 𝟐𝒕𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒌 𝒙(𝒕) = 𝟐𝒕 ⟨ 𝒚(𝒕) = 𝟐𝒕 𝒛(𝒕) = 𝑪𝒐𝒔(𝒕)

𝒕≥𝟎

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EJERCICIOS 5. LIMITES Y CONTINUIDAD. Estudiante Jose Guillermo Rodríguez Angulo, Literal A. Determinar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado:

𝒇(𝒙, 𝒚) =

𝒙𝒚 − 𝟗𝒚 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟑, 𝟏)

𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟑, 𝟏)

𝒙𝟐

{𝟎

Se evalúa la función en el punto. 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟑,𝟏) 𝒙𝟐

𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟑,𝟏) 𝟑𝟐

𝒙𝒚 − 𝟗𝒚

𝟑∗𝟏 − 𝟗(𝟏)

𝒆𝒏(𝟑, 𝟏)

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27 𝟑 (𝒙,𝒚)→(𝟑,𝟏) 𝟗 − 𝟗 𝐥𝐢𝐦

𝟑 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒂 (𝒙,𝒚)→(𝟑,𝟏) 𝟎 𝐥𝐢𝐦

Por lo tanto, no se cumple cuando la función vale 0, ya que no es igual en el punto (3,1), no existe continuidad. Estudiante Jose Eduardo Rodríguez, Literal B. 𝒙𝟐 −𝒚𝟐

𝒇(𝒙, 𝒚) = {𝒙

𝟒 −𝒚𝟒

𝟏 𝟐

𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟏, 𝟏)

en (𝟏, 𝟏)

𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟏, 𝟏)

(𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚) 𝒙𝟐 −𝒚𝟐 = 𝒙𝟒 −𝒚𝟒 (𝒙𝟐 +𝒚𝟐 )(𝒙 − 𝒚)(𝒙 + 𝒚) 𝒙𝟐 −𝒚𝟐 𝟏 = 𝒙𝟒 −𝒚𝟒 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝟏 𝟐

𝒇(𝟏, 𝟏) = 𝑳𝟏 = 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟏)

𝟏 𝟐

𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚

𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟏) 𝟏𝟐

𝑳𝟐 =

𝟐

𝟏 𝟏 = 𝟐 +𝟏 𝟐 𝟏 𝟐

𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 =

𝟏 𝟐

La función es continua en especial en el punto (1, 1).

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Estudiante Claudelby Diaz, Literal C.

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚) →(𝟏,𝟏) 𝒙𝟐

𝒕𝒙 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏

𝒚

𝒙𝟐

−𝒚

𝟏 𝒙𝟐 −𝒚

en (𝟏, 𝟏)

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝟐 = = = = ∞ 𝟐 (𝟏) − 𝟏 𝟏−𝟏 𝟎 −𝒚 𝒙 −𝒚

𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟏, 𝟏) 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒚𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 (𝒙, 𝒚)𝒕𝒊𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏 𝒂 (𝟏, 𝟏)𝒆𝒔 𝒏 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐

Estudiante Carlos Rincon Ramírez, Literal D.

Estudiante Ediver Antonio Ladino, Literal E. 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 +𝒚𝟐 )

𝒇(𝒙, 𝒚) = {

(𝒙𝟐 +𝒚𝟐 )

𝟏

𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)

en (𝟎, 𝟎)

𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎)

𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) = 𝟏 = 𝑳𝟏 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝐥𝐢𝐦

𝒇(𝟎, 𝟎) = 𝟏 = 𝑳𝟐 𝑺𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔, 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐.

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1. Tabla de enlaces de ejercicios a sustentar Nombre Estudian te Jose Guillerm o Rodrigu ez Angulo

Ejercicios sustentad os Ejercicio 5, literal A

Link video explicativo

https://www.loom.com/share/ada9abc20be2494da9420 f5ee79ac07d

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30

Conclusiones.



Al finalizar esta actividad vemos que se aplicaron temas básicos como por ejemplo los vectores y sus coordenadas, de igual forma se realizó un repaso de aquellos conceptos olvidados y que podrían usarse para resolver dichas actividades.

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31

Referencias Bibliograficas 

Hernández, A. E. (2014). Vectores y geometria en el espacio. En A. E. Hernández, Vectores y geometria en el espacio (págs. 16-17). Bogota: Grupo Editorial Patria.



matematicas3. (20 de 9 de 2019). matematicas3. En D. Zill, matematicas3 (págs. 20-26). Mexico: McGraw-Hill Interamericana. Obtenido de matematicas3.



matemovil.

(20

de

9

de

2019).

matemovil.

Obtenido

de

matemovil:

https://www.youtube.com/watch?v=etX1fU9PvqU 

sgpwe.

(30

de

9

de

2019).

superficies

cuadraticas.

Obtenido

de

sgpwe:

http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/gabl/cap7.pdf 

Vectorial, D. d. (30 de 09 de 2019). Diario de Cálculo Vectorial. Obtenido de Diario de Cálculo vectoriales

Vectorial:

https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-