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1 ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

ECBTI Fase 1: Trabajo Colaborativo No. 2 CALCULO MULTIVARIADO

INFORME TRABAJO COLABORATIVO No. 2

JHON MAURICIO CAICEDO JUAN DARIO GOMEZ EDUARDO ANDRÉS HERNÁNDEZ ZAMBRANO

GRUPO: 203057_12

TUTOR JOSE ADEL BARRERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA - ECBTI NOVIEMBRE DE 2016

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ECBTI Fase 1: Trabajo Colaborativo No. 2 CALCULO MULTIVARIADO

INTRODUCCIÓN En este documento se desarrolla el trabajo colaborativo de la segunda fase del curso calculo multivariado, el cual tiene como propósito estudiar la derivación de funciones de varias variables, en este ejercicio se ha podido hacer uso de conceptos como: Derivadas parciales, derivadas direccionales, gradiente, plano tangente, entre otros.

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CONCEPTOS UTILIZADOS Derivada Parcial: La derivada de una función de una variable está dada por el límite de un cociente de diferencia:

Exactamente de la misma manera, podemos definir la derivada de primer orden de una función de dos variables z f(x, y) con respecto a cada variable.

Derivada Direccional: Las derivadas parciales son las tasas de cambio de una función z=f(x,y) en las direcciones paralelas a los ejes x o y, la derivada direccional permite calcular la tasa de cambio en una dirección arbitraria, para poder hacer uso de esta operación se debe hacer uso del gradiente. Gradiente: Se define como:

Indica la dirección en la cual la pendiente varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. El símbolo es una delta griega mayúscula invertida, que se denomina del o nabla. El símbolo suele leerse “grad f ”.

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Ecuación del plano tangente: Se define como la función de un plano que es tangente a otra función en un punto dado.

Problema a Resolver No. 2 Halle para los mismos casos que se estudiaron en la pasada unidad, la ecuación del plano tangente a las superficies isobáricas en los mismos puntos que se consideraron anteriormente y halle la dirección de la fuerza por unidad de volumen. Los casos que se plantearon fueron: a) Cuando un fluido esta sin movimiento acelerado en la superficie de la tierra la presión se calcula de la forma

, donde A y C son constantes y z es la coordenada

hacia abajo. Procedemos inicialmente a evaluar la expresión dada: , x=0, y=0 Donde A y C como se enunció anteriormente son constantes arbitrarias. Damos valores a “A” y “C” para hallar la presión en dichos puntos. A=7

Para hallar la ecuación del Plano Tangente:  Expresamos la ecuación como:

C=2

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Después considerando:

Se tiene:

Por lo tanto, la Ecuación del plano tangente en (1, -2, 4) es:

 Hallamos el Gradiente:

Utilizando:

Se tiene:

* Como no podemos reemplazar en los puntos asumimos que el gradiente es:

 Derivada Direccional: En el punto (1,2,4) en la dirección de: Encontramos el vector u:

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Usando este vector unitario se tiene:

b) Cuando un fluido esta acelerado con una aceleración constante, la presión se calcula de la forma:

Donde A, B, C, D son constantes, y y z son coordenadas de la posición:

El plano xy es horizontal y z hacia abajo. Se tomará como ecuación para dar valores a las incógnitas x, y, z la ecuación (la misma que se propuso en el trabajo colaborativo No. 1:

Se tomará como punto arbitrario en el plano: P(2,3,-4). Se inicia calculando el plano tangente a la ecuación f(x,y,z) en el punto P(2,3,-4): Se calcula las derivadas parciales:

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Teniendo en cuenta que se obtuvieron constantes en las derivadas parciales se pasa directamente a forma la ecuación del plano tangente:

Teniendo en cuenta que la ecuación inicial es un plano, el plano tangente en un punto será un plano en la misma dirección que pasa por el punto p(2,3,-4), pero este plano se ha desplazado en el eje z gráficamente se ve así:

Teniendo en cuenta que se trata de un plano la máxima pendiente es la misma en todos los puntos de la ecuación, se puede calcular la pendiente con el gradiente: Se calcula las derivadas parciales:

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La máxima pendiente es igual a la magnitud de ese vector:

El vector unitario será:

Es posible calcular la pendiente en una dirección, por ejemplo si se tiene el vector i+2j+3k la derivada direccional será: Se calcula las derivadas parciales:

En este punto se puede observar que en todos los puntos se obtiene el mismo vector. Calculamos el vector unitario del vector dado:

c) Cuando el fluido está girando con una velocidad angular constante, la presión se calcula de la forma:

, donde A, B y C son constantes y .

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Procedemos inicialmente a evaluar la expresión dada: , x=0, y=0 A=3

B=5

C=2

 Expresamos la ecuación de la superficie como:

Después considerando:

Se tiene:

En el punto (1, -1, 4) las derivadas parciales son:

Por lo tanto, la Ecuación del plano tangente en (1, -1, 4) es:

 Hallamos el Gradiente: Usando el punto (1,2,3)

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Utilizando:

Se tiene:

En el punto (1, 2, 3) el gradiente es:

 Derivada Direccional: En el punto (1,-2,5) en la dirección de:

Como

,

y

son continuas. Se calcula el vector. Unitario en dirección v:

Encontramos el vector u:

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Usando este vector unitario se tiene qué:

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CONCEPTOS NO UTILIZADOS Coordenadas polares: Para establecer un sistema de coordenadas polares empleamos un sistema de círculos centrados en un punto O, denominado polo, y líneas rectas o rayos que emanen de O. Tomamos como eje de referencia una media línea horizontal dirigida hacia la derecha del polo, a la cual se le nombra eje polar. Para especificar una distancia r dirigida (con signo) desde O y un ángulo u cuyo lado inicial es el eje polar y cuyo lado final es el rayo OP, se identifica el punto P mediante (r, u). Se dice que el par ordenado (r, u) son las coordenadas polares de P. Pendiente de una tangente a una gráfica polar: la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una ecuación polar r = f (u) no sea la derivada La pendiente de una recta tangente sigue siendo dy dx.

Regla de la cadena: La regla de la cadena para funciones de una sola variable indica que si y=f(x) es una función diferenciable de x, y es una función diferenciable de t, entonces la derivada de la función compuesta es:

Para ayudarse en el uso de la regla de la cadena se puede hacer uso de diagramas de árbol:

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EJERCICIOS PROPUESTOS Regla de la Cadena: a) Problema: El voltaje de una batería se agota con el tiempo, el voltaje en la batería se ajusta a la ecuación V=R.I, la resistencia aumenta en la batería a medida que esta se usa y se calienta, el diagrama de árbol sería el siguiente: V

I

t

R

t

Por lo tanto la ecuación a aplicar es:

Se tiene una tasa de cambio de la resistencia 0,5 Ohm / Segundo y una tasa de pérdida de voltaje de -0,01 Voltios / Segundo. Se quiere el cambio de la corriente en el instante en que la resistencia es de 200 Ohms y la intensidad es igual 0,01 A. Aplicando la formula se tiene:

Reemplazando:

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Despejando se tiene:

b) Si z

, donde x

, en

Solución.

Reemplazo los valores de x y y en la ecuación:

Luego encontramos:

Reemplazo los valores de x y y en la ecuación:

. Calcule

y

.

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Por lo tanto, reordenando tenemos que:

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CONCLUSIONES - Se ha podido conocer que al igual que en las ecuaciones en dos dimensiones, también es posible aplicar el cálculo para mas variables y se aplican todas las técnicas matemáticas ya conocidas para derivar además de otras propias del cálculo para mas variables. - La aplicación del cálculo es muy útil en muchas profesiones, depende de nosotros como estudiantes su aprovechamiento.

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REFERENCIAS Calculo de Varias Variables, Dennis G. Zill, Warren S. Wright, cuarta edición. https://www.youtube.com/watch?v=b4m4wDtBYYM