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Tarea 1- Introducción a las funciones de varias variables. Calculo Multivariado.

Integrantes: Jesús Alberto García Martínez 94393127 Jaber Andrés Londoño 1116248520 Edgar Esteban Otero Sierra Alexis Pedroza 67032716 Jesus Alberto Gracia.

Grupo: 203057_22

Tutor: Jose Adel Carrera.

Universidad Nacional Abierta y A distancia Unad – Palmira 2019

ÍNDICE Pag

Introducción …………………………………………….. 1. 2. Ejercicios …………………………………………….. 2 - 6. 3. Tabla de Asignacion de ejercicios y link ………….. 7 3.1 Ejercicio A: Leonardo Quintero Bejarano ……….. 7 – 12. 3.2 Ejercicio B: Edgar Esteban Otero Sierrra ……….. 13 – 18. 3.3 Ejercicio C: Jesus Alberto Garcia Martinez ……... 19 - 25. 3.4 Ejercicio D: Alexis Pedroza ………………………..

26 - 38.

3.5 Ejercicio E: Jaber Andres Londoño ………………

38 – 43.

4. Conclusiones ………………………………………..

44.

5. Referencia ……………………………………………

45.

INTRODUCCIÓN.

En el siguiente documento, se presentará la solución a 5 grupo de ejercicios de cálculo vectorial, geometría en el espacio, superficies cuadráticas, funciones vectoriales y límites y continuidad. Con esto permitiendo hacer el análisis a las funciones de varias variables y el cálculo multivariado.

1

2. EJERCICIOS

2

3

4

5

6

3. TABLA DE ASIGNACION DE EJERCICIOS Y LINK DE VIDEOS. ESTUDIANTE Leonardo quintero bejarano. Edgar esteban otero sierra. Jesus Garcia.

EJERCICIO 1 a

EJERCICIO 2 a

EJERCICIO 3 a

EJERCICIO 4 a

EJERCICIO 5 A

Video

b

b

b

b

b

c

c

c

c

C

https://youtu.b e/VJhC7Rxw6 rw

Alexis Pedroza.

d

d

d

d

d

https://www.y outube.com/w atch?v=yMTB_ AwOaYU

Jaber londoño.

e

e

e

e

e

3.1 EJERCICIOS A: LEONARDO QUINTERO BEJARANO. TAREA: 1

𝑝(−2, −1,3) y 𝑞 (−3, − 2, 1)

SUSTENTACIÓN: el vector V se encuentra realizando restándole el punto inicial al punto final.

v = (−3, −2,1) − (−2, −1,3) = (−1, −1, −2) SUSTENTACIÓN: Necesitamos ahora la magnitud del vector V porque se requiere para encontrar el vector unitario, encontramos la magnitud sacándole la raíz cuadrada a la suma de las componentes del vector elevadas al cuadrado y sumándolas entre ellas.

|v| = √(−1)2 + (−1)2 + (−2)2 = √6 SUSTENTACIÓN: El vector unitario en dirección de V se encuentra dividiendo las componentes del vector con la magnitud de este vector. 7

⃗ = u

(−1, −1, −2) √6

= (−0.408, −0.408, −0.816)

SUSTENTACIÓN: El punto medio se halla realizando la suma de cada componente del punto final y el punto inicial, y dividiendo esta suma entre 2, sacando así el promedio, se deben sumar componentes iguales, las de x, y, z. (−2) + (−3) (−1) + (−2) (3) + (1) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = ( , , ) = (−2.5, −1.5,2) 2 2 2

8

TAREA: 2

Perpendicular a la recta que pasa por los puntos (1, 2, −4) y (6, −1, 4) y contiene al punto (−3, 1, 3). •

Con el vector normal de la recta hacemos producto punto con un vector perteneciente al plano.

SUSTENTACIÓN: El punto P es el vector director de la recta. Punto final menos punto inicial para encontrarlo P = (−5,3, −8) SUSTENTACIÓN: L es cualquier punto perteneciente al plano y PL es cualquier vector perteneciente al plano L = (X, Y, Z) ̅PL ̅̅̅ = (x + 3, y − 1, z − 3) SUSTENTACIÓN: REALIZAMOS PRODUCTO PUNTO ENTRE PL Y P para encontrar la ecuación del plano requerido.

π: (−5,3, −8) ⋅ (x + 3, y − 1, z − 3) π: −5x + 3y − 8z + 6 = 0

9

TAREA: 3

9𝑥 2 + 36𝑦 2 + 4𝑧 2 = 36

SUSTENTACIÓN: Dividimos por 36, para simplificar

9x 2 + 36y 2 + 4z 2 = 36 9x 2 36y 2 4𝑧 2 + + =1 36 36 36

SUSTENTACIÓN: Dada la forma de la expresión concluimos que es un elipsoide. x2 𝑧2 + y 2 + = 1. Un elipsoide 4 9

10

TAREA: 4

𝑅(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑖 + 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑗 + 𝑡𝑘

𝑡≥0

SUSTENTACIÓN: En la forma paramétrica de una expresión vectorial, la componente de i es X, la componente j es Y, y la componente K es z.

𝑥(𝑡) = 2𝑆𝑒𝑛(𝑡) 𝑦(𝑡) = 4𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑧(𝑡) = 𝑡

11

TAREA: 5

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥𝑦 2 −9𝑦 𝑥 {

0

𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (3,1) 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (3,1)

en (3, 1)

SUSTENTACIÓN: Primero evaluó la función en el punto. 𝑓(3,1) = 0

SUSTENTACIÓN: Evaluó el límite para las trayectorias de las rectas del tipo y=mx

𝑥𝑦 𝑥(𝑚𝑥) 𝑚𝑥 2 = = (𝑥,𝑦)→(𝑥,𝑥𝑚) 𝑥 2 − 9𝑦 𝑥 2 − 9(𝑚𝑥) 𝑥 2 − 9𝑚𝑥 lim

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥,𝑚𝑥) 𝑥 2

𝑥𝑦 𝑚𝑥 = − 9𝑦 𝑥 − 9𝑚

12

SUSTENTACIÓN: Este límite termina dependiendo de la pendiente que se le de, y de la variable x, entonces este límite no existe, y es discontinua la función.

El límite depende del valor de la pendiente, la función no es continua en ese punto.

3.2 EJERCICIOS B: EDGAR ESTEBAN OTERO SIERRA.

PROBLEMA: 1

𝑝(3, − 3, −1) y 𝑞(−2, −6, −5)

SUSTENTACIÓN: el vector V se encuentra realizando restándole el punto inicial al punto final.

v = (−2, −6, −5) − (3, −3, −1) = (−5, −3, −4) SUSTENTACIÓN: Necesitamos ahora la magnitud del vector V porque se requiere para encontrar el vector unitario, encontramos la magnitud sacándole la raíz cuadrada a la suma de las componentes del vector elevadas al cuadrado y sumándolas entre ellas.

|v| = √(−5)2 + (−3)2 + (−4)2 = 5√2 SUSTENTACIÓN: El vector unitario en dirección de V se encuentra dividiendo las componentes del vector con la magnitud de este vector. 13

⃗ = u

(−5, −3, −4) 5√2

= (−0.141, −0.424, −0.566)

SUSTENTACIÓN: El punto medio se halla realizando la suma de cada componente del punto final y el punto inicial, y dividiendo esta suma entre 2, sacando así el promedio, se deben sumar componentes iguales, las de x, y, z.

(3) + (−2) (−3) + (−6) (−1) + (−5) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = ( , , ) = (0.5, −4.5, −3) 2 2 2

14

PROBLEMA: 2

Paralelo al plano 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 y contiene al punto (−2, 6, −3). •

Para la ecuación del plano requerido podemos usar el vector normal del plano dado, porque son planos paralelos.

SUSTENTACIÓN: Encontramos el vector normal del plano dado, luego usamos este mismo vector normal para el otro plano debido a que son planos paralelos.

n1 = (2, −1,1) n2 = n1 = (2, −1,1) SUSTENTACIÓN: Realizamos el producto punto entre el vector normal y un vector perteneciente al plano para así encontrar la ecuación del plano.

π: (2, −1,1) ⋅ (x + 2, y − 6, z + 3) = 0

π: 2(x + 2) − (y − 6) + (z + 3) = 0 π: 2x − y + z + 13 = 0

15

PROBLEMA: 3

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 + 17 = 0

SUSTENTACIÓN: sumamos y restamos dada la fórmula de completación de cuadrados

(x 2 + 8x + 16 − 16) + (y 2 − 6y + 9 − 9) + (z 2 + 2z + 1 − 1) = −17

SUSTENTACIÓN: Ahora completamos los cuadrados. (x + 4)2 − 16 + (y − 3)2 − 9 + (z + 1)2 − 1 = −17

SUSTENTACIÓN: Se observa que representa una esfera. (x + 4)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9 Una esfera.

16

PROBLEMA: 4

𝑅(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑘

𝑡≥0

SUSTENTACIÓN: En la forma paramétrica de una expresión vectorial, la componente de i es X, la componente j es Y, y la componente K es z.

𝑥(𝑡) = 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑧(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛(𝑡)

17

PROBLEMA: 5

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 2 −𝑦 2 4 4 {𝑥1 −𝑦 2

𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (1,1)

en (1, 1)

𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (1,1)

SUSTENTACIÓN: Empiezo simplificando la expresión para cuando es diferente a (1,1)

(x + y)(x − y) x 2 −y 2 1 = = x 4 −y 4 (x 2 +y 2 )(x − y)(x + y) x 2 + y 2

SUSTENTACIÓN: Ahora evaluó a la función en el punto

𝑓(1,1) =

1 2

SUSTENTACIÓN: Evaluó el límite.

lim

(x,y)→(1,1) x 2

1 1 1 = 2 = 2 2 +y 1 +1 2

SUSTENTACIÓN: Ahora comparo los resultados y me doy de cuenta que son iguales, por lo tanto digo que es una función continua y que el límite existe.

La función es continua, los valores coinciden.

18

3.3 EJERCICIOS C: JESÚS ALBERTO GARCÍA MARTÍNEZ.

Vectores •

Las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto inicial 𝑝 y punto final 𝑞 𝑝(−1, −4, 3) 𝑦 𝑞(−2, 6, 2) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2, 6, 2) − (−1, −4, 3) 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (−2 + 1, 6 + 4, 2 − 3) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1, 10, −1) 𝑃𝑄 = 𝑉 ⃗ = (−1, 10, −1) 𝑉 ⃗ | = √(−1)2 + (10)2 + (−1)2 |𝑉 ⃗ | = √1 + 100 + 1 |𝑉 ⃗ | = √102 |𝑉 ⃗ | = 10.099 ≅ 10.1 |𝑉

•

Un vector unitario en la dirección de 𝑣 ⃗ 𝑉 𝑢 ⃗ = ⃗| |𝑉 (−1, 10, −1) 1 10 1 𝑢 ⃗ = = (− , ,− ) √102 √102 √102 √102

•

El punto medio del segmento de recta 𝑝𝑞 ̅̅̅ 𝑝(−1, −4, 3) = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑞(−2, 6, 2) = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) 𝑥1 + 𝑥2 −1 − 2 3 𝑥= = =− 2 2 2 𝑦1 + 𝑦2 −4 + 6 𝑦= = =1 2 2 𝑧1 + 𝑧2 3 + 2 5 𝑧= = = 2 2 2

19

•

Realizar la gráfica respectiva por medio de la herramienta Geogebra.

Geometría en el espacio Obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas: Perpendicular al plano 𝑥 + 3 𝑦 – 𝑧 − 7 = 0 y contiene a los puntos (3, 1, 4) y (1, 2, −2). 𝑝(3, 1, 4) 𝑞(1, 2, −2) ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑄 − 𝑃 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (1, 2, −2) − (3, 1, 4) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (1 − 3, 2 − 1, −2 − 4) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2, 1, −6) 𝑃𝑄 = 𝑉 ⃗ = (−2, 1, −6) 𝑉 Y es perpendicular a 𝑥 + 3𝑦– 𝑧 −7 = 0 𝑤 ⃗⃗ = (1, 3, −1) Entonces

20

⃗ = (−2, 1, −6), 𝑤 𝑝(3, 1, 4), 𝑉 ⃗⃗ = (1, 3, −1) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3, 1, 4) + 𝑇(−2, 1, −6) + 𝑆(1, 3, −1) (𝑥, 𝑦, 𝑧) − (3, 1, 4) = 𝑇(−2, 1, −6) + 𝑆(1, 3, −1) (𝑥 − 3, 𝑦 − 1, 𝑧 − 4) = 𝑇(−2, 1, −6) + 𝑆(1, 3, −1) Para que en R3 los vectores sean perpendiculares los determinantes de dichos vectores debe ser igual a cero 𝑥−3 𝑦−1 𝑧−4 𝑑𝑒𝑡 | −2 1 −6 | = 0 1 3 −1 𝑥−3 | −2 1

𝑦−1 1 3

𝑧−4 −6 | −1

1 −6 −2 −6 = (𝑥 − 3) ∗ 𝑑𝑒𝑡 | | − (𝑦 − 1) ∗ 𝑑𝑒𝑡 | | + (𝑧 − 4) 3 −1 1 −1 −2 1 ∗ 𝑑𝑒𝑡 | | 1 3

Calculo los determinantes de manera independiente 1 −6 𝑑𝑒𝑡 | | = (1 ∗ −1) − (−6 ∗ 3) = −1 + 18 = 17 3 −1 −2 −6 𝑑𝑒𝑡 | | = (−2 ∗ −1) − (−6 ∗ 1) = 2 + 6 = 8 1 −1 −2 1 𝑑𝑒𝑡 | | = (−2 ∗ 3) − (1 ∗ 1) = −6 − 1 = −7 1 3 Reemplazo = (𝑥 − 3) ∗ 17 − (𝑦 − 1) ∗ 8 + (𝑧 − 4) ∗ −7 = 17𝑥 − 51 − 8𝑦 + 8 − 7𝑧 + 28 = 17𝑥 − 8𝑦 − 7𝑧 − 15 17𝑥 − 8𝑦 − 7𝑧 − 15, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜. Superficies cuadráticas Realice la gráfica e identifique el tipo de superficie de las siguientes ecuaciones, sugerencia: Es necesario realizar el proceso de completación de cuadrados: La ecuación corresponde a un conoide. 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + − 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 𝑥2 = 9𝑥 2 2 𝑎 1 =9 𝑎2 21

1 = 𝑎2 9 1 =𝑎 3 𝑦2 = 16𝑦 2 𝑏2 1 =𝑏 4 𝑧2 − 2 = −4𝑧 2 𝑐 1 =𝑐 2 9𝑥 2 + 16𝑦 2 − 4𝑧 2 =

𝑥2 1 (3)

2+

𝑦2 1 (4)

2−

𝑧2 1 2 (2)

=0

22

Funciones Vectoriales En los siguientes ejercicios, escriba la función vectorial dada 𝑅(𝑡) como ecuaciones paramétricas y grafique la curva trazada por la función vectorial que se indica.

𝑅(𝑡) = 4𝒊 + 2 cos 𝑡𝒋 + 3𝑠𝑒𝑛 𝑡𝒌 𝑅(𝑡) = ⟨𝑓(𝑡)|𝑔(𝑡)|ℎ(𝑡)⟩ = ⟨𝑓(𝑡)𝒊|𝑔(𝑡)𝒋|ℎ(𝑡)𝒌⟩ = 4𝒊 + 2 cos 𝑡𝒋 + 3𝑠𝑒𝑛 𝑡𝒌 𝒙(𝒕) = 𝟒 {𝒚(𝒕) = 2 cos 𝑡 𝒛(𝒕) = 3𝑠𝑒𝑛 𝑡

Valores en el dominio de la función: t x(t) y(t) z(t)

0 0 2 0

90 360 0 3

180 720 -2 0

270 1080 0 -3

360 1440 2 0

23

Límites y continuidad Determinar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado:

𝑓(𝑥, 𝑦) =

lim

(𝑥,𝑦)→(1,1)

1 ; (1,1) 𝑥2 − 𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥2

1 −𝑦

Al analizar el problema nos da una indeterminación lim

(𝑥,𝑦)→(1,1)

lim

(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑓(𝑥, 𝑦) =

12

1 −1

1 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 0

Se evalúa el dominio de la función 𝑥2 − 𝑦 ≠ 0 𝑥 2 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ √𝑦 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: ℝ2 − {𝑥 2 − 𝑦 = 0} Limites direccionales

(𝑥, 𝑦) → (𝑎, 𝑏) (𝑥, 𝑦) → (1,1)

lim

(𝑥,𝑦)→(1,1)

lim

(𝑥,𝑦)→(1,𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥2

1 −𝑦

1 1 = 12 − 𝑦 1 − 𝑦

24

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥,1)

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥2

1 1 = 2 −1 𝑥 −1

Ambos limites son diferentes por tal motivo no existe el límite de la función

Cambio de variable 𝑥 =𝑢+𝑎 {𝑦 = 𝑣 + 𝑏 𝑔(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢 + 𝑎, 𝑣 + 𝑏) lim

(𝑥,𝑦)→(𝑢,𝑣)

𝑔(𝑢, 𝑣) =

lim

𝑓(𝑥, 𝑦) =

lim

𝑓(𝑥, 𝑦) =

(𝑥,𝑦)→(1,1)

(𝑥,𝑦)→(1,1)

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑢+𝑎,𝑣+𝑏)

(𝑢 +

𝑎)2

𝑓(𝑢 + 𝑎, 𝑣 + 𝑏)

1 − (𝑣 + 𝑏)

1 (𝑢 + 1)2 − (𝑣 + 1)

1 (𝑥,𝑦)→(1,1) + 2𝑢 + 1 − 𝑣 − 1 1 lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 (𝑥,𝑦)→(1,1) 𝑢 + 2𝑢 − 𝑣 lim

𝑓(𝑥, 𝑦) =

lim

𝑔(𝑢, 𝑣) =

lim

𝑔(𝑢, 𝑣) =

(𝑢,𝑣)→(0,0)

(𝑢,𝑣)→(0,0)

𝑢2

𝑢2

1 ;𝑢 = 0 + 2𝑢 − 𝑣

02

1 1 =− + 2(0) − 𝑣 𝑣

1 ;𝑢 = 𝑣 (𝑢,𝑣)→(0,0) + 2𝑢 − 𝑣 1 1 lim 𝑔(𝑢, 𝑣) = 2 = 2 (𝑢,𝑣)→(0,0) 𝑣 + 2𝑣 − 𝑣 𝑣 + 𝑣 lim

𝑔(𝑢, 𝑣) =

𝑢2

Ambos limites son diferentes por tal motivo no existe el límite de la función

25

3.4 EJERCICIOS D: ALEXIS PEDROZA. Grupo de ejercicios 1 – Vectores: Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGrawHill Interamericana. (pp. 2-8); (pp. 14-23). Desarrolle para cada uno de los siguientes ejercicios:

• LAS COMPONENTES Y LA LONGITUD DEL VECTOR QUE TIENE PUNTO INICIAL Y PUNTO FINAL. Componentes vector p y q. p(-5,2,-2) q(-1,7,-7) Longitud de un p y q. d(p,q) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2 d(p,q) = √(−1 − (−5))2 + (7 − 2)2 + (−7 − (−2))2 d(p,q) = √(−1 + 5)2 + (7 − 2)2 + (−7 + 2)2 d(p,q) = √(4)2 + (5)2 + (−5)2 d(p,q) = √16 + 25 + 25 d(p,q) = √66 d(p,q) = 8.12

• UN VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE

.

Vector: ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑜𝑝 𝑝𝑞 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑜𝑞 ⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝𝑞 = 𝑜𝑝 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑜𝑞 ⃗⃗⃗⃗ = ((−1) − (−5), (7) − (2), (−7) − (−2)) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝𝑞 = 𝑜𝑝 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑜𝑞 ⃗⃗⃗⃗ = (4, 5, −5)

Vector unitario: |𝒂| = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 |𝒂| = √𝟒𝟐 + 𝟓𝟐 + −𝟓𝟐 |𝒂| = 𝟖. 𝟏𝟐 𝒂 𝟏 𝒗= (𝟒, 𝟓, −𝟓) |𝒂| 𝟖. 𝟏𝟐

26

• El punto medio del segmento de recta. (

(

𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑧1 + 𝑧2 , , ) 2 2 2

−5 + (−1) 2 + 7 (−2) + (−7) , , ) 2 2 2 −6 9 −9 ( , , ) 2 2 2

• Realizar la gráfica respectiva por medio de la herramienta Geogebra.

27

28

Grupo de ejercicios 2 – Geometría del Espacio: 29

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 16-26). Obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas:

Ya que la ecuación que vamos a hallar es perpendicular a dos planos, entonces procedemos a calcular la normal del nuevo plano, operando un producto cruz entre estos dos planos. Ecuación del Plano X – 2Y + 3Z = 0 -x + y -3z - 4 =0

𝑛3= 𝑛1 × 𝑛2 =

(n1) (n2)

𝑖 𝑗 𝑘 1 −2 3 −1 1 −3

Vectores Normal de los planos I - 2j +3k - i + j - 3k

= (6 − 3)𝑖 − (−3 + 3)𝑗 + (1 − 2)𝑘 = 3𝑖 − 0𝑗 − 𝑘 𝑛3 = (3,0, −1)

30

Formula de ecuación general del Plano. a(x − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 ahora con el vector normal calculado n3 y el punto , calcularemos la ecuación general del plano. Siendo 𝑛3 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (3,0, −1) 𝑝 = (𝑥0, 𝑦0

,

𝑧0 ) = (4, 1, -3)

a(x − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 3(x − 4) + 0(𝑦 − 1 ) − 1(𝑧 + 3) = 0 3x -12 -z -3 =0 3x -z -15 = 0 ( ecuación del plano 3)

31

Grafica

32

33

Grupo de ejercicios 3 – Superficies Cuadráticas: Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGrawHill Interamericana. (pp. 43-53). Realice la gráfica e identifique el tipo de superficie de las siguientes ecuaciones, sugerencia: Es necesario realizar el proceso de completación de cuadrados:

Formula General superficies Cuadráticas: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑫𝒙𝒚 + 𝑬𝒚𝒛 + 𝑭𝒙𝒛 + 𝑮𝒙 + 𝑯𝒚 + 𝑰𝒛 + 𝒋 = 𝟎

ESFERAS: (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 + (𝒛 − 𝒄)𝟐 = 𝒓𝟐 Centro = (a , b , c) Radio =√𝑟 2

Ordenando: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 2𝑧 + 2𝑦 = 9

Dividiendo entre 3: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 −

2𝑧 2𝑦 + =3 3 3

Completando cuadrados: 2𝑦 2 1 2 2𝑧 2 1 2 2 1 2 2 1 2 + ( ∗ ) ] + [𝑧 2 − + ( ∗ ) ] = 3 + ( ∗ ) + ( ∗ ) 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2𝑦 1 2𝑧 1 1 1 𝑥 2 + [𝑦 2 + + ( ) ] + [𝑧 2 − + ( ) ] = 3 + ( ) + ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 2 𝑥 2 + (𝑦 + ) + (𝑧 − ) = 3 + 3 3 9 2 2 1 1 29 𝑥 2 + (𝑦 + ) + (𝑧 − ) = 3 3 9

𝑥 2 + [𝑦 2 +

34

Tenemos una esfera con centro: 1

C (0, − 3 ,

1 ) 3

Radio √29 3

R=

GRAFICA: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 2𝑧 + 2𝑦 = 9 ESFERA.

https://www.youtube.com/watch?v=SbOw4eiBF6I

FORMA Esfera.

SUPERFICIES CUADRATICAS. DEFINICIÓN FORMULA 2 todas las variables están x + y 2 + z 2 = 50 elevadas al cuadrado, el coeficiente es el mismo y las tres variables tienen el mismo signo positivo.

FIGURA

35

Elipsoides.

Las tres variables están elevadas al cuadrado, pero tienen diferentes coeficientes y tienen el mismo signo.

9x 2 + 16y 2 + 36z 2 = 144

Paraboloide circular.

Una variable no esta elevada al cuadrado, tiene coeficientes iguales las variables y con igual signo.

z = x2 + y2

Paraboloide elíptico.

Una variable no esta elevada al cuadrado, coeficientes diferentes.

z = x 2 + 2y 2

Paraboloide hiperbólico.

Una variable no esta elevada al cuadrado, coeficientes iguales con signos contrarios.

z = x2 − y2

Cero en el segundo miembro.

x2 + y2 − z2 = 0

Hiperboloide de una hoja.

Numero positivo en el segundo miembro.

x2 + y2 − z2 = 1

Hiperboloide de dos hojas.

Numero negativo en el segundo miembro.

x 2 + y 2 − z 2 = −1

Cono elíptico.

36

Grupo de ejercicios 4 – Funciones vectoriales: Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 44-54). En los siguientes ejercicios, escriba la función vectorial dada como ecuaciones paramétricas y grafique la curva trazada por la función vectorial que se indica.

Ecuaciones Vectorial: https://www.youtube.com/watch?v=mspaFU3pOKI

R(t)= f(t)i + g(t)j + h(t)k. siendo las ecuaciones paramétricas

x = f(t) y = g(t) z = h(t)

Donde i=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1) Ecuacion vectorial de una recta. Con relación a un punto y un vector. r-r0 = vt P0= (x0,y0,z0) v= (a,b,c) X =x0+at y=y0+bt z=z0+ct ecuaciones paramétricas R(t)=( x0+at, y0+bt, z0+ct) R(t)= (x0+at)i + (y0+bt)j + (z0+ct)k Ecuaciones Paramétricas de la ecuación:

x = t y = 𝑡3 z = t r(t) = ( - t,−𝑡 3 , −𝑡). 𝑡(−5) = 𝑟(−5) = (−5, 125, −5) 𝑡(0) = 𝑟(0) = (0,0,0) 𝑡(5) = 𝑟(5) = (5, 125, 5)

37

Grafica. https://www.youtube.com/watch?v=Ml9UbPo9Fyo

Grupo de ejercicios 5 – Límites y continuidad: Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGrawHill Interamericana. (pp. 124-137). Determinar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado:

Teoría limite de continuidad de dos variables.

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Para analizar la continuidad de esta función a trozos, se van a realizar 3 parámetros. 1. Para el punto indicado existe. ∃𝒇(−𝟏, 𝟏) 9 Cuando f(x,y)= f(-1,1) = por lo tanto existe en un punto ya que 9/25 es una constante, 25 como lo podría ser 0 o cualquier numero sin variables o incógnitas. 2. Existe el limite aproximándose al punto. Definiendo el camino. ∃

𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(−𝟏,𝟏)

𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒔 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹 | 𝒚 = 𝒎√𝒙} Recta que pasa por el punto.

3.

𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(−𝟏,𝟏)

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒇(−𝟏, 𝟏) lim

(𝑥,𝑦)→(−1,1)

(

𝑥2 − 𝑦2 𝑥 + 𝑦2

2

) 2

lim

(

(𝑥,𝑦)→(−1,1)

𝑥 2 − (𝒎√𝒙)

2

2)

𝑥 + (𝒎√𝒙 )

2

𝑥 2 − 𝑥𝑚2 ( ) 𝑥 + 𝑥𝑚2 2 𝑥(𝑥 − 𝑚2 ) ( ) 𝑥(1 + 𝑚2 )

lim

(𝑥,𝑦)→(−1,1)

lim

(𝑥,𝑦)→(−1,1)

2

lim

(𝑥,𝑦)→(−1,1)

(

(𝑥 − 𝑚2 ) ) (1 + 𝑚2 )

Evaluando el limite f(x,y)= f(-1,1) 2 (𝑥 − 𝑚2 ) lim ( ) (𝑥)→(−1) (1 + 𝑚2 ) (−1 − 𝑚2 ) ( ) (1 + 𝑚2 )

2

−(1 + 𝑚2 ) lim ( ) (𝑥)→(−1) (1 + 𝑚2 ) (−1)2 lim

2

lim

(𝑥)→(−1)

(𝑥)→(−1)

lim

(𝑥)→(−1)

1

La ecuacion tiene continuidad en f(-1,1) y existe.

39

3.5 EJERCICIOS E: Jaber Andrés londoño

ejercicios 1 Vectores •

Las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto inicial 𝑝 y punto final 𝑞 𝑝(9, −3, −5) y 𝑞(8, −8, 7) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (8, −8, 7) − (9, −3, −5) ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑉 ⃗ = (−1, −5, 12) 𝑃𝑄 ⃗ = (−1, −5, 12) 𝑉 ⃗ | = √(−1)2 + (−5)2 + (12)2 |𝑉 ⃗ | = √1 + 25 + 144 |𝑉 ⃗ | = 13 |𝑉

•

Un vector unitario en la dirección de 𝑣 ⃗ 𝑉 𝑢 ⃗ = ⃗| |𝑉 (−1, −5, 12) 1 5 12 𝑢 ⃗ = = (− , − , ) 13 13 13 13

𝑢 ⃗ =−

1 5 12 ,− , 13 13 13

𝑢 ⃗ = −0.07, −0.38,0.92

40

•

El punto medio del segmento de recta 𝑝𝑞 ̅̅̅ 𝑝(9, −3, −5) = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑞(8, −8, 7) = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) 𝑥1 + 𝑥2 9 + 8 𝑥= = = 8,5 2 2 𝑦1 + 𝑦2 −3 − 8 𝑦= = = −5.5 2 2 𝑧1 + 𝑧2 −5 + 7 𝑧= = =1 2 2 8.5, −5.5,1

ejercicios 2 Geometría en el espacio Contiene al punto (−1, 6, 3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (−2, −1, 4) y (1, 1, −1) a. (1, 2, −4) y (6, −1, 4) y contiene al punto (−3, 1, 3). SUSTENTACIÓN: El punto P es el vector director de la recta. Punto final menos punto inicial para encontrarlo P = (−2, −1, 4) − (1, 1, −1) P = (−3, −2,5) SUSTENTACIÓN: L es cualquier punto perteneciente al plano y PL es cualquier vector perteneciente al plano L = (X, Y, Z) ̅PL ̅̅̅ = (x − 1, y − 1, z + 3)

SUSTENTACIÓN: REALIZAMOS PRODUCTO PUNTO ENTRE PL Y P para encontrar la ecuación del plano requerido.

π: (−3, −2,5) ⋅ (x − 1, y − 1, z + 3)

π: −3 (x − 1) − 2(y − 1)5(z + 3)

41

π: −3x − 2y + 5z + 20 = 0

. ejercicios 3 Superficies cuadráticas Realice la gráfica e identifique el tipo de superficie de las siguientes ecuaciones, sugerencia: Es necesario realizar el proceso de completación de cuadrados: 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 36 𝑥2 𝑦2 + =1 9 36

La ecuación corresponde a una elipse

42

ejercicios 4 Funciones Vectoriales En los siguientes ejercicios, escriba la función vectorial dada 𝑅(𝑡) como ecuaciones paramétricas y grafique la curva trazada por la función vectorial que se indica. 𝑅(𝑡) = 2𝑡𝒊 + 2𝑡𝒋 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝒌

𝑡≥0

𝒙(𝒕) = 2𝑡 { 𝒚(𝒕) = 2 𝒛(𝒕) = 𝑐𝑜𝑠 𝑡

ejercicios 4 Límites y continuidad Determinar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado: 𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 +𝑦 2 )

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

(𝑥 2 +𝑦 2 )

1

𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

en (0, 0)

𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

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SUSTENTACIÓN: Empiezo simplificando la expresión para cuando es diferente a (1,1)

𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2 ) =0 (x,y)→(0,0) (𝑥2 + 𝑦2 ) lim

SUSTENTACIÓN: Ahora evaluó a la función en el punto

𝑓(0,0) = 1

SUSTENTACIÓN: Evaluó el límite.

𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2 ) =0 (x,y)→(0,0) (𝑥2 + 𝑦2 ) lim

SUSTENTACIÓN: Ahora comparo los resultados y me doy de cuenta que son iguales, por lo tanto digo que es una función continua y que el límite existe.

La función no es continua, los valores no coinciden.

44

4. CONCLUSION.

La utilización de sistemas de coordenadas en 3dimensiones, nos acobija con fuerza y necesidad toda la teoría de los vectores, para poder así interpretar la posición de las figuras en el espacio y al mismo tiempo poder comprender y analizar sus funciones, y sus superficies.

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5. Referencias

BALAGUER, R. (2010). Modelos 1 a 1 y los nortes necesarios que deben guiar nuestras acciones. RELPE, Reflexiones iberoamericanas sobre las TIC y la educación.

CABERO, J.; GISBERT, M. (2005). La formación en Internet. Guía para el diseño de materiales didácticos. Sevilla: Eduforma.

DORFSMAN, M. (2011). El componente vivencial como factor central en la integración de tecnologías para la enseñanza y la investigación. Revista de Educación a Distancia,29.

DORFSMAN, M. (2012). La profesión docente en contextos de cambio: el docente global en la sociedad de la información. RED-DUSC. Revista de Educación a Distancia-Docencia Universitaria en la Sociedad del Conocimiento. Número 6.

Carlos Alberto Bonilla Rios(2015). Funciones vectoriales (geogebra) https://www.youtube.com/watch?v=Ml9UbPo9Fyo 46

Academatica(2015). Funciones vectoriales. https://www.youtube.com/watch?v=mspaFU3pOKI Cesar Moises Grillo soliz (2013), ecuaciones de las superficies cuadraticas. Quadrics surfaces Equations. https://www.youtube.com/watch?v=SbOw4eiBF6I

Dennis G. Zill, Warren s. wright (2011), matematicas 3, calculo de varias variables. Mexico: editorial Mc Graw-Hill.

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