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• Nestor Aranda

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Ministerio de Educación y Cultura

CÁLCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA El “cálculo mental” se puede concebir como un conjunto de procedimientos no algorítmicos en donde no hay una serie de pasos inalterables a seguir. Al no tratarse de procesos automatizados, consiste en el despliegue de diferentes caminos a partir de decisiones que los alumnos van tomando durante la resolución. Tales decisiones se vinculan con la comprensión de la tarea, con diferentes relaciones que se establecen y con el control de lo que sucede durante la resolución y se apoya en las propiedades del sistema de numeración decimal, en las propiedades de las operaciones y en los resultados que deberán tener en su memoria. Esta construcción de procedimientos personales que permiten dar respuesta a una situación da lugar a un tipo de cálculo pensado/reflexionado que en contraposición a los algoritmos aportan mayor comprensión acerca de la operatoria y su funcionamiento. Sin embargo la enseñanza del “cálculo mental” no reemplaza el cálculo algorítmico ya que es finalidad de la escuela primaria que los alumnos se apropien de los algoritmos convencionales para resolver las operaciones con números naturales. Todo cálculo algorítmico contempla momentos de apelación al cálculo mental y se enriquece con sus aportes, tanto para anticipar y controlar la magnitud del resultado como para comprender el sentido de los pasos del algoritmo convencional. En la escuela los alumnos deben aprender a realizar cálculos reflexionados y a aplicar correctamente los algoritmos y es allí donde, además, deben aprender a evaluar en qué casos es más conveniente utilizar uno u otro procedimiento. En resumen, el aprendizaje de los niños con relación a las operaciones con números naturales no debería limitarse a hacer bien las cuentas sino que la enseñanza debe ocuparse de: - los problemas que se resuelven con una operación determinada o que se relacionan con ella,

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las situaciones en las que no puede ser utilizada, la evolución de las distintas concepciones de la operación, de tal manera que permita utilizarla en los distintos campos numéricos

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sus relaciones con otras operaciones los recursos de cálculo que pueden ser utilizados -en donde el algoritmo es uno entre otros posibles- y por qué funcionan esos recursos de cálculo.

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cuáles son los mecanismos de control que se poseen y que permiten validar el procedimiento realizado o la adecuación de la respuesta, etc.” 1

Irma Saiz “La Multiplicación en el 1er Ciclo” Consejo General de Educación. Corrientes Junio 1995. 1

Fuente: www.cgecorrientes.gob.ar Consejo General de Educación - Catamarca N° 640 Corrientes - Capital

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Y en este contexto, el trabajo en la construcción de los recursos de cálculo debe propiciar que el alumno pueda: -elegir diferentes procedimientos de cálculos según los números involucrados. -decidir si es necesario utilizar procedimientos de cálculo exacto o aproximado según la situación. -disponer de diferentes recursos de estimación previa (por ej. redondeo) -tener práctica de control posterior de resultados. -utilizar las propiedades para inventar procedimientos y probarlos. -incorporar procedimientos de cálculos inventados por otros compañeros.

Acerca del trabajo en el aula En el trabajo con cálculo mental es posible distinguir dos aspectos complementarios a tener en cuenta. Por un lado, la sistematización de un conjunto de resultados que puedan ser recuperados fácilmente y, por el otro, la construcción de procedimientos personales que implica conocer y utilizar resultados memorizados y procedimientos automatizados sobre la base de la comprensión de las relaciones involucradas y del control de las acciones. Estos dos aspectos enunciados contribuyen mutuamente al dominio de la operatoria; del mismo modo que la memorización debe apoyarse en la construcción e identificación de relaciones que tejan una red desde la cual sostenerla y darle sentido, la elaboración de procedimientos personales sólo se sostiene cuando se tiene un repertorio memorizado al cual recurrir para desarrollarlos. Será necesario entonces proponer simultáneamente en el aula situaciones que propicien conocimientos en dirección a estos dos aspectos explicitados, no se debe esperar que los niños dominen uno de ellos totalmente para avanzar en el otro sentido. Una vía de acceso interesante para el trabajo con el cálculo mental y en particular para la memorización de resultados es el juego reglado. Pero, cabe aclarar que el juego en sí mismo no es una herramienta suficiente para garantizar una situación de aprendizaje. Será la intervención del docente lo que diferencie el uso didáctico del juego de su uso social. Es necesaria la gestión de momentos de análisis conjunto a propósito del desarrollo de cada propuesta lúdica. Preguntas tales como: ¿todos lo jugaron de la misma manera?, ¿qué estrategias utilizó cada uno?, ¿cuál les pareció la forma más rápida?, ¿qué les costó más hacer?, ¿de qué manera resolvieron lo que les resultó más fácil? ¿y lo más difícil?, etc. suelen ser típicas para orientar a los niños a que reflexionen sobre el contenido que se pretendió abordar. 2 Fuente: www.cgecorrientes.gob.ar Consejo General de Educación - Catamarca N° 640 Corrientes - Capital

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Algunas propuestas para construir estrategias y memorizar cálculos (en este caso la construcción de un repertorio aditivo) están expuestas en el apartado “Plantear juegos para memorizar cálculos” del Cuaderno para el aula de 2do grado. (pág.91 a 98) Ministerio de Educación y Cultura de la Nación. Bajo el mismo título se encuentran ejemplos da actividades acordes a 1er grado en el Cuaderno para el Aula de ese año. Teniendo en cuenta estas actividades es posible armar un trabajo secuenciado institucional para cada uno de los años de primer ciclo referido a la memorización de resultados aditivos. Del mismo modo, enmarcadas en el apartado “Plantear juegos para memorizar productos” del Cuaderno para el aula de 3er grado se pueden encontrar ejemplos de actividades correspondientes al trabajo con productos. A partir de estas propuestas es posible también generar una progresión para el trabajo en 3ero, 4to y 5to grado con el producto. Es importante que a medida que los alumnos van memorizando cierto repertorio de cálculos (aditivo, multiplicativo, etc) a partir de propuestas como los juegos reglados a los que hicimos referencia anteriormente, vayan también identificando claramente cuáles son los cálculos que tienen memorizados y cuáles no, de manera que sepan los que tienen disponibles para usar en situaciones nuevas. De este modo para avanzar en la resolución de nuevos cálculos el docente debería proponer actividades que requieran apoyarse en los cálculos conocidos para obtener los otros. En la pág. 71 del Cuaderno para El Aula-Matemática 1, bajo el título de “Plantear situaciones para sumar y restar con otros números” se puede encontrar una actividad que da idea del tipo de trabajo a realizar. Resolvé los siguientes cálculos usando los del cartel. 4+5= 3+3=6 6+5= 6 + 6 = 12 4+3= 4 + 6 = 10 5+7= 5 + 5 = 10 10 – 6 =

Dependiendo de cuáles sean los cálculos que los alumnos ya tengan memorizados es interesante que el docente seleccione cálculos que todavía no memorizan pero que puedan ser resueltos por los que ya saben (los del cartel). Por ejemplo, para resolver 6 + 5, los alumnos que conozcan las sumas de dobles podrían pensarlo como el doble de 5 más uno (5 + 5 + 1), o bien pensarlo como el doble de 6 menos 1, apoyándose en: 6 + 6 – 1. Este tipo de actividades es bueno plantearlas en forma individual o en pareja (no es recomendable que se las desarrolle en grupos más grandes) para que los alumnos las

3 Fuente: www.cgecorrientes.gob.ar Consejo General de Educación - Catamarca N° 640 Corrientes - Capital

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resuelvan en sus cuadernos y hacer, posteriormente, una puesta en común, centrándose en cómo lo pensaron. A partir de la reflexión y de la sistematización de lo realizado los niños podrán avanzar hacia la utilización de estrategias más económicas de cálculo y hacia la sistematización de algunas propiedades. Siguiendo en este sentido, en relación con la elaboración de procedimientos personales de resolución, también se pueden encontrar ejemplos de actividades en la misma Serie de Cuadernos para el Aula, elaborados por el Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la Nación2, incluidos en los apartados tales como, “Para avanzar en el cálculo de sumas y restas” (Cuaderno para el Aula de 3er grado) o “Para avanzar en las formas de calcular con números naturales” (Cuaderno para el Aula de 3er grado).

Algunas apreciaciones sobre la gestión de la clase de Cálculo Mental Una clase de cálculo mental pasa por diferentes momentos: -una fase de resolución individual o en grupo. - explicación del método que han utilizado para resolver el cálculo; - puesta en común donde se exponen tanto los procedimientos correctos como los incorrectos; - comparación y análisis de los procedimientos seleccionados (por el docente); - descubrir aquellos que combinan dos o más procedimientos; -inventar nuevos procedimientos; -institucionalizar el o los procedimientos adecuados a esa situación particular; -aplicar a otras situaciones y reconocer aquellas donde el procedimiento realizado no es pertinente. El trabajo que se propone no puede quedar relegado a clases aisladas, sino que es necesario organizar una progresión de aprendizajes y planificar una secuencia de enseñanza, en la cual cada nuevo conocimiento pueda apoyarse en aquello que los alumnos ya conocen, al mismo tiempo que introduce novedades, siendo por su parte base para nuevos aprendizajes. Al transcurrir las clases se van logrando avances para todos y se realizan acuerdos. Estos acuerdos permiten al docente ir provocando avances en el procedimiento de sus alumnos ya que en un principio estos son espontáneos pero luego están influidos intencionalmente por la producción colectiva y la intervención docente.

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La Serie de Cuadernos para el Aula fueron distribuidos a las escuelas y se encuentran digitalizados en la pág. Web del Ministerio de Educación de la Nación http://www.me.gov.ar/curriform/cuadernos.html 4 Fuente: www.cgecorrientes.gob.ar Consejo General de Educación - Catamarca N° 640 Corrientes - Capital

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El docente llegará a incorporar estos propósitos trabajándolos cada vez que se presente una ocasión en la clase, deberá estar sumamente atento a reutilizar los procedimientos en todas las situaciones donde pueda ser aplicado y no solamente en la hora de “cálculo mental”. Debe, además, identificar qué cuestiones merecen discutirse y en qué situaciones puede resultar interesante que los alumnos confronten sus puntos de vista. El docente tendrá presente la relación que existe entre el “cálculo mental” y el enriquecimiento de los conocimientos de las relaciones aritméticas, conocer mayor cantidad de relaciones numéricas facilita el “cálculo mental”, pero a su vez plantear a los alumnos actividades de “cálculos mentales” permite hacer desarrollar los conocimientos de las relaciones y de las propiedades de los números. En resumen, el objetivo, es actuar sobre las concepciones numéricas de los alumnos, enriquecerlas, diversificarlas y extender su dominio de disponibilidad propiciando la discusión sobre la pertinencia de un recurso ante una situación, la práctica de la estimación y el control de los alumnos sobre sus procesos y resultados.

Fuentes: -Recopilación de Documentos de Apoyo elaborados por la Asesoría Pedagógica del Consejo General de Educación de la Pcia. de Corrientes. - Apuntes para la Enseñanza. Matemática. Cálculo Mental con Números Naturales. Secretaría de Educación. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

Equipo Elaborador: Supervisora Irma Costa Supervisora Amalia Ayala Supervisora Julia Otaño Prof. Clara Barrionuevo

5 Fuente: www.cgecorrientes.gob.ar Consejo General de Educación - Catamarca N° 640 Corrientes - Capital